Louis Jean François Lagrenée. Erotismo y sensualidad. El erotismo en la Hist...
Sol6
1. Problemas de la 6ª semana
2º ESO
1º-) Si A, B y C son números naturales tales que
1
1
1
4
31
+
+
+=
C
B
A . Calcular A2
+ B2
+ C2
Solución:
12
1
1
1
7
3
1
1
1
7
3
4
1
7
4
3
7
4
31
+
+
+=
+
+=+=+=
542;1;7 222
=++⇒=== CBACBALuego
2º-) El área de la región sombreada es π2 . Calcular el área del círculo
grande.
Solución: Sea r el radio del círculo pequeño, el área sombreada es
( ) 2222
2
4
2
2
2
2
2 222
222
=⇒=⇒=⋅⇒=⋅−
⋅
⇒=
⋅
⋅−
⋅
rrrr
rrr
ππππ
π
π
ππ
Área del círculo grande: ( ) ( ) ππππ 82442
222
=⋅=⋅⋅=⋅ rr
3º-) Hallar el número que admite sólo los factores primos 2 y 3 y la
suma de sus divisores es 28.
Solución: El número será de la forma βα
32 ⋅=N
Las potencias de 2 son: 1 2 4 8 16
Si multiplicamos por 3 : 3 6 12 24 48
Luego el número es el 12.
Sus divisores son: 1, 2, 3, 4, 6, 12 y suman 28.
2. 4º ESO
1º-) Encontrar un número de 3 dígitos que es 11 veces la suma de sus
dígitos.
Solución:
( )
1981c;9;81089
010891110010
esnúmeroelbaabc
abccbacbacbaesnúmeroEl
⇒=⇒=⇒=⇒+=
=−−⇒++=++⇒
2º-) Si la solución de la inecuación 2x2
+ px + q < 0 es el intervalo
4,
2
1
, calcular p + q
Solución: 4y
2
1
21 == xx son las soluciones de la ecuación
02 2
=++⋅ qpxx ; luego
=+⋅+⋅
=+⋅+
⋅
0442
0
2
1
2
1
2
2
2
qp
qp
→
=++
=++
0432
0
22
1
qp
q
p
→
−=+
−=+
324
12
qp
qp
Resolviendo el sistema sale: 54;9 −=+⇒=−= qpqp
3º-) Los lados de un triángulo ABC son: a = 10 cm ; b = 14 cm ;
c = 15 cm. En el lado AB se tiene el punto M tal que AM = 4 cm, y en el AC
el punto N tal que AN = 6 cm. Siendo P el punto de intersección de las
rectas MN y BC, encontrar la razón
PC
PB
y la medida de BP.
Solución:
Aplicando el teorema de Tales →
3
16
6
324
8
6
==⇒= MR
MR
3. 3
17
3
16
11 =−=RB → Aplicando Tales otra vez →
17
160
3
16
3
17
10
=⇒= PC
PC
16
33
17
160
17
160
10
17
330
17
160
10 =
+
=⇒=+=+=
PC
PB
CBPCBP
Bachillerato
1º-) Hallar el mayor número natural n tal que 8n
divide a 4444
Solución:
( )
( )
kkNksiendok nnn
=
⋅
⇒=
⋅
⇒∈= 3
4488
3
44244
2
112
2
112
8
44
293880388112 44388
=>⇒>−⇒∈=⋅−
nesestocumplequenmayorelnnluegoNkn
2º-) Un polinomio p(x) dividido por (x + 1) da de resto -45; dividido
por (x − 3) da de resto -165. ¿Qué resto dará al dividirlo por (x + 1)(x − 3)?.
Calcular p(x) sabiendo, además, que es de 4º grado y divisible por x(x2
− 4).
Solución:
a) Aplicando el teorema del resto p(-1) = - 45 → p(3) = - 165
El polinomio p(x) será: p(x) = t(x)·(x + 1)·(x − 3) + r(x) donde r(x) es un
polinomio de primer grado → r(x) = mx + n → p(x) = t(x)·(x + 1)·(x − 3) + mx + n
+=−⇒−=
+−=−⇒−=−
nmp
nmp
165165)3(
4545)1(
→ Resolviendo el sistema → m = -30 → n = -75
El resto es r(x) = −30x − 75
b) El polinomio de 4º grado es: p(x) = ax4
+ bx3
+ cx2
+ dx + e =
A(x)·x·(x2
− 4)
=
−=
−=
=
⇒⇒
−=+++⇒=
−=−+−⇒−=
=−+−⇒−=
=+++⇒=
=⇒=
56
4
14
1
Re
1653927813
451
0248162
0248162
00
d
c
b
a
solviendo
dcbaxSi
dcbaxSi
dcbaxSi
dcbaxSi
exSi
El polinomio es: p(x) = x4
− 14x3
− 4x2
+ 56x
3º-) Uno de los ángulos de un trapecio es 30º, y las prolongaciones de
los lados no paralelos se cortan en ángulo recto. Encuentra el lado más
pequeño del trapecio si su paralela media mide 10 cm y una de las bases mide
8 cm.
4. Solución: 4
8
º3034
82
3
8
x
º60sen =⇒=⇒=⇒=⇒= y
y
senx
x
Aplicando la semejanza de triángulos
10
8
4
4
34
34
=
+
=
+ ba
=⇒+=
=⇒+=
38332340
183240
aa
bb
→ 2
22
322
2
2
1
=⇒⇒
==
==
lsolución
bl
al
Sudoku para todos los niveles
Completar todos los espacios vacíos con los números
1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 y 12, de tal forma que ningún número se repite en cada
una de las 6 circunferencias, en cada una de las 6 zonas del mismo color y en
cada sector circular y su opuesto.
