1. Cálculo del rango de una matriz:
Vamos a calcular el rango de las siguientes matrices:
1 4 -1 1 3 -1
A = -1 3 2 B = 2 -1 5
2 2 0 1 10 - 8
1 0 2 1 -1
1 -2 0 -3
0 2 -1 1 2
C = -1 3 1 4 D=
-1 1 3 2 0
2 1 5 -1
0 8 7 9 4
F2 + F1 F3 - 2F2
1 4 -1 1 4 -1 1 4 -1
A = -1 3 2 → 0 7 1 → 0 7 1 → rango(A) = 3
2 2 0 0 -6 2 0 - 20 0
F3 - 2F1
F2 - 2F1 F3 + F2
1 3 -1 1 3 -1 1 3 -1
B = 2 -1 5 → 0 -7 7 → 0 - 7 7 → rango(A) = 2
1 10 - 8 0 7 -7 0 0 0
F3 - F1
F2 + F1 F3 - 5F2
1 -2 0 -3 1 -2 0 -3 1 -2 0 -3
C = -1 3 1 4 → 0 1 1 1 → 0 1 1 1 → rango(C) = 2
2 1 5 -1 0 5 5 5 0 0 0 0
F3 - 2F1
F3 + F1 2F3 – F2
1 0 2 1 -1 1 0 2 1 -1 1 0 2 1 -1
0 2 -1 1 2 0 2 -1 1 2 0 2 -1 1 2
D= → → →
-1 1 3 2 0 0 1 5 3 -1 0 0 - 11 - 5 4
0 8 7 9 4 0 8 7 9 4 0 0 11 5 - 4
F4 – 4F2

2. F4 + F3
1 0 2 1 -1
0 2 -1 1 2
→ → rango(D) = 3
0 0 - 11 - 5 4
0 0 0 0 0
Estudiar el rango de una matriz según los valores de un parámetro:
Vamos a calcular el rango de las siguientes matrices según los valores del
parámetro k:
1 -1 -1 2 -1 4
M = 1 -1 2 N = -2 1 3
2 1 k 1 k 2
1 3 2 -1 -1 1 0 2
P= 2 6 4 k Q= 1 3 1 0
4 12 8 - 4 2 10 3 k
F2 - F1
1 -1 -1 1 -1 -1
M = 1 -1 2 → 0 0 3 → rango(M) = 3 ∀k ∈ R
2 1 k 0 3 k+2
F3 - 2F1
F2 + F1
2 -1 4 2 -1 4
1
N = -2 1 3 → 0 0 7 → 1+2k = 0 → k = -
2
1 k 2 0 1+ 2k 0
2F3 - F1
Por tanto tenemos que:
1
Si k = - rango(N) = 2
2
1
Si k ≠ - rango(N) = 3
2

3. F3/4 F2 – F1
1 3 2 -1 1 3 2 -1 1 3 2 -1
P= 2 6 4 k → 1 3 2 - 1 → 0 0 0 0 → k+2=0→ k = – 2
4 12 8 - 4 2 6 4 k 0 0 0 k+2
F2 F3 F3 – 2F1
Por tanto tenemos que:
Si k = – 2 rango(P) = 1
Si k ≠ – 2 rango(P) = 2
F2 + F1 F3 – 3F2
-1 1 0 2 -1 1 0 2 -1 1 0 2
Q= 1 3 1 0 → 0 4 1 2 → 0 4 1 2 → k–2=0→k =2
2 10 3 k 0 12 3 k + 4 0 0 0 k-2
F3 + 2F1
Por tanto tenemos que:
Si k = 2 rango(Q) = 2
Si k ≠ 2 rango(Q) = 3