1. 1
Resumen—En el presente texto se desarrolla el pronóstico de la
curva cero cupón de un año por medio del modelo Vasicek y el
modelo Cox Ingersoll Ross bajo la plataforma Matlab y el programa
estadístico E-views, así se identifica cuál de las dos metodologías es
más acertada tanto matemática como gráficamente, adicionalmente
se pretende evidenciar la importancia que puede tener un pronóstico
acertado sobre diferentes variables financieras de este tipo.
Palabras clave— Curva de rendimiento, Matlab, Modelo
Cox Ingersoll Ross (CIR), Modelo Vasicek, curva cero cupón,
tasa fija, movimiento browniano, tasa de interés, riesgo,
desviación estándar.
.
Abstract— In this text we develope the one year Zero cupon yield
curve forecast, working on Vasicek model and Cox Ingersoll Ross
Model. Those models were worked on matlab and the statistical
software E-views. On the next pages we are able to show which is
the best metodology argued by mathematical expressions and through
graphs. Additionally, we explain how important could be to get an
accurate forecast on differents unknown finances variables.
Key Words—Yield curve, Matlab, Cox Ingersoll Ross (CIR)
model, Vasicek model, zero coupon yield curve, fixed income,
brownian motion, interest rate, risk, standard deviation.
1. INTRODUCCIÓN
¿Cuál es el mejor método de pronóstico de las tasas Cero
Cupón a un año, entre el modelo Vasicek y el modelo CIR?
La curva cero cupón es de las más usadas en el mercado de
capitales como referencia de mercado de renta fija, por medio
de ella se estiman valoraciones de títulos tanto líquidos como
ilíquidos, adicionalmente, toma una marcada importancia dado
que facilita el desarrollo, la formulación matemática y el
cálculo de valoración de otro tipo de instrumentos. Pronosticar
la curva cero cupón de una manera acertada da la posibilidad
de poder estimar el precio de títulos de renta fija y así trazar
estrategias de inversión más acertadas, aunque no es una curva
replicable exactamente en el mercado su influencia sobre el
1
Ingeniero Financiero, Pertenece al Grupo Riesgo de Mercado con
MATLAB
2
Ingeniero Financiero, Pertenece al Grupo Riesgo de Mercado con
MATLAB
3
Ingeniero Financiero, Pertenece al Grupo Riesgo de Mercado con
MATLAB
4
Magister in Stochastic Enginerring, Economista, Finanzas y Comercio
Exterior.
mismo está dada a que marca el rendimiento mínimo que debe
tener las inversiones en cierta periodicidad.
En un mercado de capitales que ha venido evolucionando
durante los últimos años como en el caso Colombiano, donde
la emisión de títulos de deuda privada es una constante en el
mercado, una proyección aproximada de la tasa cero cupón
permite generar perspectivas directas de las tasas de
negociación. Adicionalmente ofrece expectativas de
indicadores macroeconómicos (tasas de interés) que afectan la
evolución del mercado y directamente con ello la rentabilidad
de este tipo de títulos.
A partir de la tasa cero cupón se pueden hacer comparaciones
del estado de la economía colombiana respecto a otras
economías, así inversionistas apoyados en indicadores
macroeconómicos de cada país, análisis de calificaciones
crediticias, situación política y fiscal podrían dar mayor
rendimiento a sus inversiones ampliando el entendimiento y
análisis de un correcto balance riesgo/ retorno sobre las
inversiones de renta fija en diferentes países.
En el presente texto se pretende principalmente pronosticar la
tas cero cupón a un año por medio del modelo Vasicek que es
una derivación del modelo Black and Scholes aplicado para
las tasas de interés sobre activos de renta fija y el modelo Cox
Ingersoll Ross. Por medio de Matlab se realiza la
demostración matemática de los modelos nombrados
anteriormente y se determina cual es el modelo más acertado
en el pronóstico de la tasa cero cupón llevando a cabo un back
testing de los pronósticos frente la tasa observada publicada en
el caso colombiano por el Banco de la República.
2. MARCO REFERENCIAL
Las investigaciones que se analizaron para este documento
son:
1. Los modelos de valoración de opciones sobre títulos de
renta fija: aplicación al mercado colombiano.
Este proyecto investigativo con el planteamiento de Vasicek
resalta que fue de los primeros modelos de estructura a
plazo, es un modelo de tasa corta unifactorial de equilibrio el
cual asume que la tasa de interés sigue un proceso de
distribución normal incluyendo una reversión a su nivel
medio.
Autores: Gómez Fandiño Carlos Eduardo1
, Escala Ortiz Fabio Herley2
, Barrantes Diago María
Fernanda3
Tutor: Martínez Patiño Manuel Andrés 4
Pronóstico de la curva cero cupón de un año en el
mercado colombiano por medio del modelo Vasicek y
el Modelo Cox Ingersoll Ross.(Nov 2015)

2. 2
La aplicabilidad del modelo de tasa de interés de Vasicek para
opciones call y put en los títulos de renta fija colombianos
efectuando estimaciones econométricas autorregresivas y de
volatilidad.
Los parámetros de entrada se estiman por procedimientos
econométricos, la velocidad de reversión a la media a y la tasa
de largo plazo b se estiman por el proceso AR(1); y para la
volatilidad σ se realizó por GARCH(1,1), también tomando
algunos valores empíricos en a y en b, este último siendo una
variable constante.
El punto de partida es marcado por el trabajo de Itô (1951),
utilizando la ecuación estocástica:
)()()()( tZttttP   (1)
Ecuación 1 (Herrera Cardona & Cardenas Giraldo, 2013)
P(t) es el precio, µ(t) es la media, σ(t) la volatilidad y Z(t) es
un movimiento Browniano. En este teorema se realizan una
extrapolación en las tasas de interés. Para estos modelos se
pueden referenciar los modelos de Vasicek (1977) y Cox,
Ingersoll & Ross (1985).
.
El modelo de Vasicek describe la dinámica de una tasa corta
de interés, satisfaciendo el proceso de Itô:
ztrbar  )( (2)
Ecuación 2 (Herrera Cardona & Cardenas Giraldo, 2013). Dinámica
de las tasas de interés.
Dónde:
a: velocidad de reversión a la media, es decir, la rapidez con
que la tasa de interés de corto plazo tiende a regresar a su
valor de largo plazo, b, una vez que se ha desviado de este.
b : nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a
largo plazo.
z : proceso de Wiener estándar con media 0 y desviación
estándar 1.
σ : volatilidad de los cambios de la tasa de interés de corto
plazo.
dt : intervalo de tiempo que tiende a cero (0).
dz : es un proceso browniano.
Los resultados que obtuvieron a partir de los parámetros
estimados econométricamente no arrojaron resultados
estadísticamente satisfactorios ya que los valores de las
opciones no permitieron realizar del todo análisis objetivos
pero cuando hicieron ajustes manualmente basados en
criterios empíricos, las cifras fueron más satisfactorias.
(Herrera Cardona & Cardenas Giraldo, 2013)
2. An equilibrium characterization of the term structure.
Esta investigación aporta una forma general de la estructura
temporal de tasas de interés, donde tienen en cuenta los
siguientes supuestos:
A. Tasas de interés en el mercado spot;
B. El precio de un bono a descuento depende sólo del
tipo de cambio spot sobre su plazo
C. El mercado es eficiente.
Con estos supuestos se muestra por medio de un argumento de
arbitraje que la tasa de retorno esperada de cualquier bono por
encima del tipo de cambio spot es proporcional a su
desviación estándar.
Se ha dedicado muchos estudios a las condiciones de
equilibrio en mercados de capitales y los precios de los bienes
de capital, pero pocos resultados son directamente aplicables a
la descripción de la estructura de tipos de interés. Los estudios
más representativos y en los cuales hay excepciones son las
obras de Roll (1970, 1971), Merton (1973, 1974), y Long
(1974). El desarrollo del modelo se basó en un arbitraje
similar al planteado por Black & Scholes (1973) para la
valoración de opciones.
Dado que no existe una sola variable de estado, los
rendimientos de los bonos de diferentes vencimientos están
correlacionados y se necesita un estimado de vencimientos
para cumplir con sus objetivos de inversión. Lo anterior se
estructuró con las ecuaciones de plazo:
dztrdttrfdr ),(),(  (3)
))(,,(),( trstPstP  (4)
Ecuación 3 (Wells Fargo Bank and University of California, Berkeley,
CA, U.S.A. , 1977)
Se determina que en el modelo general en primer lugar el
precio del mercado de riesgo ),( rtq es una constante,
independiente del tiempo transcurrido y del tipo de cambio del
en el spot. En segundo lugar el tipo de cambio del spot )(tr
sigue el proceso de Ornstein-Uhlenbeck. (Wells Fargo Bank
and University of California, Berkeley, CA, U.S.A. , 1977).
3. Modelización del tipo de interés a corto plazo con
modelos TAR.
En este estudio se investiga el comportamiento dinámico no-
lineal a corto plazo en el mercado español, donde indican que
la mayoría de los modelos univariantes, como es por ejemplo
Vasicek (1977) no son capaces de capturar patrones de
volatilidad reales ni la estructura de dependencia entre los
tipos de interés a diferentes plazos. Por esta razón el estudio se
basó en los modelos TAR introducidos por Tong (1990) los
cuales han sido utilizados favorablemente para capturar el
comportamiento heterocedástico de los tipos de interés sin
incluir factores extras.
Los modelos descritos se centraron únicamente en modelos de
un factor:
tttt dWrdtrdr )()(   (5)
Ecuación 4 (Vidiella Anguera & Alegre Escolano)

3. 3
Donde )(tr es la tasa instantánea del tipo de interés y tdW un
movimiento browniano estándar. El modelo de Vasicek (1977)
reemplaza el término pendiente )( tr por )( tr  y el
término asociado a la varianza se deja independiente de tr .
El modelo Vasicek tiene una ventaja y es su simplicidad en el
proceso de estimación ya que es como un proceso lineal. Pero
tiene el inconveniente que puede producir escenarios con tipos
de interés negativos frecuentemente. En cambio los modelos
TAR tienen un proceso estocástico }{ tY donde se dice que
sigue un proceso discreto self-exciting threshold
autoregressive, SETAR ),...,( 1 jKK con J regímenes si
satisface la relación.
Este trabajo es la constatación empírica de que al utilizar
modelos sencillos sobre los diferentes niveles de los datos se
pueden modelar mejor las tasas de interés a corto plazo,
generando ventajas al utilizarlos como modelos de predicción
y valoración. (Vidiella Anguera & Alegre Escolano).
3. En el modelo estocástico de Vasicek para la predicción
de tipos de interés.
Este estudio se plantea debido a las variaciones de los tipos de
interés ofrecidos por los bancos y otras entidades financieras
las cuales afectan directamente a los mercados bursátiles,
cuando los tipos de interés suben se producen bajas en las
cotizaciones de las acciones en la bolsa, y por eso busca
justificar la importancia de estudio de modelos apropiados
para modelar la evolución de los tipos de interés. El modelo es
representado por la ecuación:
)()(,()(,()( tdWtrtdttrttdr   (6)
Ecuación 5 (Tamarit Ramos, 2013).
Donde el modelo de Vasicek asume que el comportamiento de
los tipos de interés tiene un comportamiento regresivo hacia
un valor fijo, el asume que el comportamiento de los tipos de
interés tiene un comportamiento regresivo hacia un valor fijo.
Adicionas este trabajo desarrolla la fórmula de Itô la cual
constituye una versión estocástica de la regla de la cadena para
procesos estocásticos )(tX que son solución de una ecuación
diferencial estocástica de la siguiente forma:
)())(,())(,()( tdWtXtgdttXtftdX  (7)
Ecuación 6 (Tamarit Ramos, 2013).
Las propiedades estadísticas que se utilizan en la solución del
modelo de Vasicek son:
 La media
 La varianza
 La covarianza
 Distribución normal
Al aplicar el modelo estocástico de Vasicek para modelar el
tipo de interés interbancario a corto plazo y realizar sus
predicciones probabilidad, demuestran que el modelo de
Vasicek es satisfactorio para esta modelización. Esto con
relación a otros modelos utilizados en los diferentes estudios,
Vasicek permitió proporcionar estimaciones puntuales.
(Tamarit Ramos, 2013)
4. La estructura temporal de los tipos de interés en España.
El modelo de Cox, Ingersoll y Ross.
Con relación al modelo CIR el estudio de la estructura
temporal de los tipos de interés en España. El modelo de Cox,
Ingersoll y Ross de Paz Rico, se trata de estimar la estructura
temporal de los tipos de interés, durante un tiempo
establecido, aplicando el modelo intertemporal estocástico en
tiempo continuo y de equilibrio general de valoración de Cox,
Ingersoll & Ross utilizando los precios de la deuda pública,
este se desarrolla ya que el análisis y la obtención de una
estructura de los tipos de interés es uno de los temas que más
investigación ha abarcado en los últimos años, esta gran
cantidad de investigaciones se deben a la importancia que
tiene la obtención de las ETTI (estructura temporal de los tipos
de interés) en sus aplicaciones en la economía.
Se plantean metodologías de varios autores como
Merton(1973), Vasicek (1977), Dothan (1978), Brennan y
Schwartz (1979, 1980) en estos no se especifican condiciones
suficientes y el riesgo es especificado exógenamente, donde
los precios de los bonos dependen de muchas variables
económicas, las cuales siguen procesos estocásticos. Además
se plantean metodologías de modelos de equilibrio general de
(Cox, Ingersoll y Ross (1985), Longstaff (1989), Longtaff y
Schwartz (1992), Platten (1994).
El modelo CIR se resume de la forma en el cual existe un
número finito de procesos productivos con rendimientos
estocásticos constantes que producen un solo bien que se
destina a consumir o a invertir. Y existen un número finito de
agentes, con preferencias logarítmicas los cuales seleccionan
un plan de consumo e inversión que sean óptimos.
El modelo de CIR que plantea supone que la dinámica del
tipo de interés es dado por la siguiente ecuación estocástica:
rdzdtrkdr  )( (8)
Ecuación 7 (Rico, 1998)
Dado el tipo de interés en un periodo de tiempo, representa el
precio del bono a descuento que vence en cierto tiempo se deja
bajo la expresión:
rTtB
eTtATtrP ),(
),(),,( 
 (9)
Ecuación 8 (Rico, 1998)
Rico realiza la estimación de la estructura temporal de los
tipos de interés bajo los parámetros del modelo CIR donde
existen tres métodos:

4. 4
 Estimar los parámetros del proceso continuo
),,( k mediante una aproximación discreta de la
ecuación diferencial.
 Utilizar un panel de observaciones y estimar
simultáneamente los parámetros ),,,( k al
aplicar el método de los modelos generalizados, esto
ya que los modelos de equilibrio implican que el tipo
de interés instantáneo libre de riesgo tiene
distribución estacionaria.
 Y el último método consiste en la estimación de
corte transversal de los parámetros del modelo
aplicando métodos no lineales. Para esto Brown y
Dybving (1986) hacen el supuesto que el precio de un
bono en un momento de tiempo determinado se
desvía del precio teórico en un error de media cero:
tPBPB   )()(* (10)
Ecuación 9 (Rico, 1998).
La estimación de la ETTI por el modelo CIR realizado con
datos temporales y de corte transversal demuestra que en el
periodo tomado para el estudio existe un cambio estructural
en la dinámica de las tasas de interés de corto plazo afectando
así su valor de largo plazo y su volatilidad.
La estimación puede ser adecuada si el objetivo del modelo es
obtener sus determinantes pero NO si el objetivo es estimar el
precio de un activo financiero en un momento determinado de
tiempo.
Es un modelo complejo respecto al cálculo lo cual lo hace
poco atractivo con relación a otros modelos más sencillos de
estimar y los cuales presentan también un elevado grado de
ajuste. (Rico, 1998).
Para tener una comprensión total del tema expuesto a
continuación se deben tener claros temas conceptuales como
los siguientes:
La curva cero cupón es un vector de tasas de interés
(rendimientos) de bonos sin cupones a diferentes plazos de
vencimientos. Estas son tomadas de los precios de los bonos
soberanos con cupones, emitidos por el gobierno por medio de
modelos financieros. La curva cero cupón hace posible
valorizar títulos de deuda sin precio, en el caso colombiano es
muy útil por medio de la curva cero cupón para estimación de
precio de bonos corporativos. Esta curva está compuesta por
puntos de maduración de un bono cero cupón para la
apropiada tasa de maduración, la metodología usualmente
empleada para determinar la curva cero cupón es
“Bootstrapping”.
La estimación de la curva cero cupón se basa bajo el supuesto
de asumir la relación que hay entre las tasas de interés y el
tiempo de maduración. La tasa forward de un bono cero cupón
está relacionada a un facto de descuento:
𝑑 𝑡,𝑚 = exp(−𝑆𝑡,𝑚 𝑚)𝑦 𝑆𝑡,𝑚 =
−1
𝑚
log 𝑑 𝑡,𝑚 (11)
Ecuación 10 (Bank for International Settlements, 2005).
Por qué tasas de interés Spot dependen del horizonte de
tiempo es natural definir las tasas como 𝑓𝑡,𝑚 como la tasa
espontanea (tasa en la cual la diferencia entre el tiempo de
asentamiento y el tiempo de maduración) se acerca a 0.
Los bonos cero cupón son raramente observados en el
mercado financiero de manera directa, por lo que se han
desarrollado diferentes métodos para extraer la tasa cero cupón
de los precios de títulos libre de riesgos emitidos por el
gobierno. Estos métodos pueden ser divididos entre
categorizados entre métodos paramétricos y la estimación con
Spines cúbicos (Bank for International Settlements, 2005).
Hay diferentes métodos para estimar la curva cero cupón
como el de Nelson y Siegel o el modelo Svensson. El primero
fue creado por Nelson Y Siegel en el año 1987. Por medio de
una función continua describe la trayectoria de las tasas,
atendiendo a la función:
𝑓 = (𝑚, 𝑏) = 𝛽0 + 𝛽1 exp (−
𝑚
𝑇1
) + 𝛽2
𝑚
𝑇1
exp(−
𝑚
𝑇1
) (12)
Ecuación 11 (Pereda, 2009).
Donde exp(x) denota la función 𝑒 𝑥
y los parametros son
b=(𝛽0, 𝛽1, 𝛽2, 𝑇1) dada la siguente relación entre la tasa Spot y la
tasa forward instantánea.
𝑖(𝑡, 𝑡 + 𝑚) =
1
𝑚
∫ 𝑓(𝑡, 𝑡 + 𝑠)𝑑𝑠
𝑚
𝑠=0
(13)
Ecuación 12 (Pereda, 2009).
La forma de la curva bajo este modelo está determinada por el
valor de sus parámetros:
𝛽0. Determina la tasa a largo plazo
𝛽1. Indica que tan lejos se encuentra la tasa del periodo inicial
respecto a la tasa de largo plazo.
𝛽2. Indica si la curva presenta forma de joroba (positivo) o
forma de U (negativo)
𝑇1. Indica la posición de la “joroba“, “U“ y la velocidad a la
que las tasas de corto y mediano plazo convergen a su tasa de
largo plazo (Pereda, 2009).
Así la curva Spot cero cupón tomará las diferentes formas de
acuerdo el valor de sus parámetros, como se muestra a
continuación:

5. 5
Ilustración 1. (Pereda, 2009). Ejemplo de la estimación de la curva
cero cupón por medio del modelo Nelson Y Siegel.
Por otro lado el modelos Svennson es una versión basada en el
modelo de Nelson & Siegel, este modelo integra dos
parámetros adicionales. 𝛽3 𝑦 𝑇3. Según Svensson con este
nuevo término el nuevo termino genera una mayor flexibilidad
a la curva que permite adaptar meor la curva a las
observaciones del mercado.
La forma funcional que define la tasa es la siguiente:
𝑓𝑚(𝛽) = 𝛽0 + 𝛽1 exp (−
𝑚
𝑇1
) + 𝛽2
𝑚
𝑇1
exp (−
𝑚
𝑇1
) +
𝛽3
𝑚
𝑇2
exp (−
𝑚
𝑇2
) (14)
Ecuación 13 (Dotras, 2005)
Para los parámetros (𝛽0, 𝛽1, 𝛽2 𝑦 𝑇1) Es la misma que en el
modelo Nelson & Siegel.
𝑇2. Debe ser positivo, como T1, esta relacionado con la
posición de la segunda curvatura.
𝛽2. Permite una primera curvatura en el corto plazo. 𝛽3.
Analogamente a 𝛽2 determina la magnitud y la direccion de la
segunda curvatura (Dotras, 2005).
Las formas que tomaría esta curva spot bajo el modelo
Svensson con diferentes valores en sus parámetros es la
siguiente:
Ilustración 2. (Pereda, 2009). Ejemplo de la estimación de la curva
cero cupón por medio del modelo Svensson.
Modelos de pronósticos sobre diferentes tipos de variables
económicas y financieras han tomado históricamente como
referencia de movimientos aleatorios el movimiento
Browniano, descubierto en el año 1826 por el botánico
Roberto Brown observó en la naturaleza ciertos movimientos
contantes como por ejemplo el polen de ciertas hierbas en una
solución de agua o la aleatoriedad de los movimientos de
partículas que flotan en el aire. Estos movimientos fueron
catalogados como movimientos aleatorios y completamente
irregulares. El movimiento Browniano había sido objeto de
investigación por diferentes científicos antes de los hallazgos
hechos por Brown y después de éstos fue altamente criticado
por otros científicos en Europa. Norbert Weiner continuó la
investigación de Brown, de allí dedujo que la aleatoriedad de
los movimientos no podía atribuirse a fuerzas externas sino a
movimientos internos de los fluidos (Universidade da Coruña,
2015).
Matemáticamente el movimiento Browniano fue explicado por
Norbert Weiner mediante el teorema de Límite Central
aproximadamente para el año 1918 de la siguiente manera.
Dicho así el movimiento Browniano o proceso de Wiener en
(Ω, F, P) es un proceso Aleatorio, W = (Wt){t≥0} tal que.
 Sus trayectorias son continuas

6. 6
 Sus incrementos son independientes. Si 0 ≤ t1 ≤ . . .
≤ tn, entonces 𝑊𝑡1, 𝑊𝑡2, … 𝑊𝑡𝑛 − 𝑊𝑡𝑛−1 son
variables aleatorias independientes.
 W0 = 0, 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 es una variable gaussiana, con
media cero y varianza t − s, es decir 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 ∼ N
(0, t − s).
X es una gaussiana o Normal (X ∼ N (µ, 𝜎2
)) cuando su
distribución de probabilidad es:
Φ(x) =∫
1
√2πσ
𝑥
−∞
𝑒
(𝑢−𝜇)2
2σ2
𝑑𝑢 (15)
Ecuación 14 (Mordecki, 2013)
La densidad es la campana de Gauss. (Mordecki, 2013)
φ(x) =
1
√2πσ
𝑒
−
(𝑥−𝜇)2
2σ2
(16)
Ecuación 15 (Mordecki, 2013)
El movimiento Browniano es usado en diferente que tienen
movimientos aleatorios, por supuesto la economía y las
finanzas no son la excepción a ello dada la aleatoriedad de
ciertas variables presentes como los precios en el mercado de
capitales, la inflación, las tasas de interés entro otras, como
objetivo de estos modelos es la predicción y control de
modelos para la toma de decisiones de inversión (Lavenda).
El modelo Vasicek es uno de los modelos que contemplan los
movimientos aleatorios (movimiento Browniano) en sus
supuestos. Éste modelo de pronósticos de tasas de interés es
una derivación del modelo Black and Scholes, se diferencia
con este por su posibilidad de trabajar sobre tasas de interés ya
que las dinámicas de tasas de interés es diferente a la de
activos tradicionales como las acciones. La principal ventaja
del modelo Vasicek es la linealidad de su proceso, esto lo hace
más simple de calcular (Haugh, 2010).
El modelo Vasicek se satisface por el proceso de Ito dado de la
siguiente manera:
𝑑𝑟 = 𝑎(𝑏 − 𝑟)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊 (17)
Ecuación 16 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo
Garcìa).
Dónde:
𝑎: Velocidad de reversión a la media (Rapidez con la que la
tasa de interés de corto plazo tarda en regresar a su valor de
largo plazo)
b: nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a
largo plazo.
𝜎: Volatilidad
r: Ultima tasa obtenida
dt: Intervalo de tiempo que tiende a cero.
dW: Proceso Browniano
Las tasas de corto plazo se componen por una tendencia dada
por [a(b-r)dt] y del componente estocástico 𝜎𝑑𝑧
El precio en el tiempo T de un bono cero cupon está dado por:
𝑃(𝑡, 𝑇) = 𝐴(𝑡, 𝑇)𝑒−𝐵 (𝑡,𝑇)𝑟(𝑡)
(18)
Ecuación 17 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa)
Siendo r(T) la tasa de corto plazo en el tiempo T
𝐵(𝑡, 𝑇) =
1−𝑒 𝑚(𝑇−𝑡)
𝛼
(19)
𝐴(𝑡, 𝑇) = 𝑒 (𝑏 −
𝑙𝜎2
𝑙𝛼2) (𝐵(𝑡, 𝑇)) − (𝑇 − 𝑡) −
𝑙𝜎2 𝐵(𝑡−𝑇)2
4𝜎
(20)
Ecuación 18 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa)
Dónde:
. 𝑡 𝑅 𝑇 =
1
𝑇−1
[𝐵(𝑡, 𝑇)𝑟(𝑡) − 𝐿𝑛[𝐴(𝑡, 𝑇)]] (21)
Ecuación 19 (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, & Salcedo Garcìa)
Esta última ecuación sugiere que la curva de rendimientos
completa puede ser obtenida como una función r(t), una vez
especificados os tres parámetros del proceso (velocidad de
reversión, tasa media y volatilidad). Así la estructura generar
de la curva puede presentar pendiente positiva, negativa o
forma de joroba (Herrera Cardona, Cardenas Giraldo, &
Salcedo Garcìa).
Otro modelo sobre el que se pueden pronosticar tasas de
interés es el modelo Cox Ingersoll Ross de ahora en adelantar
denominado CIR. En el modelo CIR los valores estimados
nunca alcanzaran valores negativos, este establece una
sensibilidad de la varianza de los tipos de interés. El modelo
CIR mantiene una distribución normal, (Haugh, 2010).
El modelo CIR asume que la tasa de interés de corto plazo
satisface la siguiente ecuación.
𝑑𝑟𝑡 = 𝛼(𝜇 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎√ 𝑟𝑡 𝑑𝑊𝑡; 𝑟0 > 0 (22)
𝑑 =
4𝛼
𝜎2 > 0 (23)
Ecuación 20 (Analytical Finance)
𝛼 𝑦 𝜇: Son constantes positivas
𝑑𝑊𝑡: Es el proceso de Weiner del movimiento Browniano.
𝛼: Velocidad de reversión a la media (Rapidéz con la que la
tasa de interés de corto plazo tarda en regresar a su valor de
largo plazo)
𝜇: Nivel medio de reversión de r o tasa promedio de interés a
largo plazo.
𝜎√ 𝑟𝑡: Factor de desviación estándar, no permite tener tasas de
interés negativas (Analytical Finance)
3. MARCO LEGAL
El pronóstico de las Tasas Cero Cupón no se encuentra
contemplado en el marco de Basilea, no obstante esta
investigación se basa en la Resolución número 0240 de 2005

7. 7
de la Superintendencia de Valores (llamada Superintendencia
financiera a partir del 2005 en el decreto 4327 del 2005); en la
cual se relacionan las Tasa Cero Cupón resaltando los
siguientes puntos:
De acuerdo a los Anexos de la Resolución se encuentra:
“Método de Estimación de la Curva Cero Cupón para Títulos
TES tasa fija en pesos (CEC en pesos) y la Curva Cero Cupón
para Títulos TES en UVR (CEC en UVR).
En este documento se presenta el método de estimación de las
curvas cero cupón para títulos TES en pesos y UVR calculadas
por La Bolsa de Valores de Colombia S.A.
En el trabajo de determinación de una adecuada metodología
de estimación de la curva cero cupón para los títulos TES,
participaron diferentes investigadores del Banco de la
República, la Superintendencia de Valores de Colombia, la
Superintendencia Bancaria, Crédito Publico y la Bolsa de
Valores de Colombia S.A.
La metodología propuesta para la estimación de las curvas es
la desarrollada por Nelson y Siegel (1987). Esta metodología
presenta numerosas e importantes ventajas sobre otras
metodologías evaluadas, como son:
- Mínima discrecionalidad en su estimación
- Buen ajuste
- Reducida fluctuación
- Parsimonia
- Bajos requerimientos de información
- Estimación de tasas para el corto y el largo plazo, incluso
fuera de la muestra.
2. Procedimiento de cálculo
Este método fue desarrollado por Nelson y Siegel (1987) con
la intención de minimizar el número de parámetros que se
desea estimar suponiendo que la tasa forward instantánea es la
solución a una ecuación diferencial de segundo orden con
raíces iguales y repetidas. De esta forma, la tasa forward
instantánea con maduración en t tiene la siguiente expresión:
𝑓(𝑡) = 𝛽0 + 𝛽1 exp(−𝑡/𝜏) + 𝛽2.
𝑡
𝜏
. exp(−𝑡/𝜏) (24)
Donde (β0 β1 β2 τ) son los parámetros para estimar en el
modelo.
Dependiendo del valor de los parámetros, la ecuación anterior
puede tomar las diferentes formas que más comúnmente toma
la estructura de tasas. Entre las formas que pueden tomar las
curvas se encuentran curvas monótonas crecientes, en formas
de S o en forma de U invertida. Integrando la ecuación que
relaciona la tasa spot y la tasa forward que se presentó
anteriormente se obtiene la siguiente expresión para la tasa
spot (s(t)):
s(t) = β0 + (β1 + β2) [1 −
exp(−
t
τ
)
t
τ
] − β2 exp(−t/ τ) (25)
Este método se lleva a cabo minimizando la suma de los
errores cuadráticos entre los precios observados y estimados
de los precios de la siguiente forma:
argβ.τmin ∑ (POi − PEi
2M
i=1 (26)
El proceso de estimación se lleva a cabo empleando un
método de máxima verosimilitud.
La tasa spot estimada es una tasa continua que se tiene que
convertir a una tasa compuesta anual de forma discreta:
sd(t) = exp(s(t)) − 1 ” (27)
(Superintendencia de Valores de Colombia, 2005)
4. DESARROLLO DEL PROBLEMA DE INVESTIGACIÓN
4.1 Descripción de la información
Para este trabajo de investigación se utilizó series donde
muestran el comportamiento de las tasas de interés de los TES
cero cupón de un año, que data desde el 4 de enero del 2010
hasta 4 de septiembre del 2015 con frecuencia diaria
procedente del Banco de la Republica de Colombia.
(Colombia, 2015)
4.2 Análisis descriptivo
En el gráfico 1 podemos observar gráficamente que la serie de
tiempo no es estacionaria, sin embargo se le aplicaron pruebas
de raíz unitaria para verificar si estadísticamente es o no
estacionaria, La tabla 1 presenta las pruebas de raíz unitaria
que se obtiene desde la herramienta econométrica Eviews 7.
Ilustración 3.Tasas TES cero cupón 1 año, Frecuencia Diaria. Eviews 7.

8. 8
Tabla 1. Prueba de raíz unitaria, Eviews 7.
Como se muestra en el Tabla 1, esta serie de tiempo tiene raíz
unitaria, aceptamos la hipótesis nula lo cual se concluye que la
serie no es estacionaria; observando los valores críticos del
test del 1%, 5%, y 10%, estos son mayores al test estadístico
aumentado de Dickey-Fuller y la probabilidad es mayor al 5%;
si queremos mejorar el problema de raíz unitaria debemos de
aplicar primeras diferencias de la seria y verificar nuevamente
si el modelo es estacionario en primeras diferencias, sin
embargo para la estimación de los parámetros de los modelos
de Vasicek y Cox-Ingersoll-Ross (CIR), se deberá correr un
modelo de regresión lineal simple para poder obtener las
estimaciones de los parámetros a, b, y , es decir que no es
necesario aplicar primeras diferencias.
De igual manera presentamos el histograma de la regresión
realizada, como se muestra en la gráfica 2. Esta muestra una
distribución leptocúrtica, donde los datos se agrupan más en el
centro mostrándose apuntada y con colas menos anchas que la
normal, no cumple con una distribución normal.
Ilustración 4. Histograma, Eviews 7.
4.3 Descripción metodológica
Con la información obtenida del Banco de la Republica y
luego de haber analizado la serie de tiempo, realizamos una
regresión lineal simple con ayuda de la herramienta estadística
Eviews 7.
𝑟𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1 𝑟𝑡−1 + 𝜀𝑡 (28)
Tabla 2. Regresión lineal simple, Eviews 7.
De igual manera es importante verificar si existen o no auto
correlaciones de los errores de la regresión lineal hecha, por
medio de la herramienta Eviews se obtiene la tabla 3, lo cual
muestra que son estadísticamente significativos es decir que
los errores tienen autocorrelación. Sin embargo nosotros
hacemos un supuesto de que en este modelo, los errores no
tienen autocorrelación y continuamos con la estimación de los
parámetros del modelo lo cual es calcular a, b y yasí poder
estimar las tasas cortas por el modelo Vasicek y CIR.
Tabla 3. Correlograma de los residuos, Eviews 7.
Obtenemos en la tabla 2, =0,000393 y =0,991407, con
esta información podremos estimar los valores de las variables
a, b, y 
4.4 Modelación
4.4.1 Estimación de Parámetros del modelo Vasicek:
𝑑𝑟𝑡 = 𝑎(𝑏 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 (29)

9. 9
ab y a
Y la varianza incondicional está dada por
𝑉𝑎𝑟[𝑟𝑡] = 𝜎/(1 − 𝛽1
2
) (30)
Entonces tenemos que,
a= 0.0086; b= 0.0457; = 0.014.
4.4.2 Estimación de parámetros del modelo CIR con
Método generalizado de momentos (MGM):
𝑑𝑟𝑡 = 𝑎(𝑏 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎√ 𝑟𝑡 𝑑𝑊𝑡 , 𝜀𝑡~ (0, 𝜎2
),
∑ 𝜀𝑡
𝑛
𝑡=1 = 0, (31)
∑ 𝜀𝑡 𝜀𝑡−1
𝑛
𝑡=1 = 0, (32)
∑ (𝜀𝑡
2
− 𝑟𝑡 𝜎2
)𝑛
𝑡=1 = 0, (33)
La varianza para el modelo CIR no es incondicional como el
modelo Vasicek, en este caso el cálculo de la varianza se
obtiene con los datos históricos.
ab y a ,
Entonces tenemos que,
a= 0.0086; b= 0.0457; = 0.0054. (Martínez, 2008)
4.5 Análisis de resultados
El modelo de Vasicek presento tasas negativas al momento de
realizar el Simulación las tasas de los TES, lo cual pensamos
que el modelo Vasicek no es óptimo para pronosticar tasas de
los TES cero cupón de 1 año. Sin embargo al pronosticar las
tasas por el modelo de CIR, el comportamiento de estas fueron
positivas debido a que el modelo CIR incorpora dentro de la
ecuación la raíz de rt.
Se realizó dos tipos de Simulación con un rezago de 100
periodos (el número de rezagos fue escogido arbitrariamente,
sin embargo no existe un mínimo o máximo de rezagos). El
primero (Simulación 1) contempló la tasa real de hace 100
días y con esta se proyectó los 100 días siguientes; y el
segundo (Simulación 2) se contempló la misma tasa de hace
100 días, pero la diferencia en relación al primer Simulación,
es que proyecta la tasa real de cada cinco días hasta llegar al
rezago 100.
A pesar de que el modelo de Vasicek presento tasa negativas,
el ejercicio se realizó con ambos modelos, a continuación se
muestran las simulaciones Monte Carlo de cada modelo.
Ilustración 5. Simulación tasas TES cero cupón 1 año por Modelo Vasicek.
Matlab.
Ilustración 6. Simulación tasas TES cero cupón 1 año por Modelo CIR.
Matlab.
En el gráfico 3, se puede apreciar gráficamente que de las
simulaciones realizadas se presentaron tasas negativas por el
modelo Vasicek, muestras que en el CIR (Gráfico 4), estas
simulaciones nunca fueron negativas.
Ilustración 7.Tasa real, Simulación 1, Modelo Vasicek. Matlab.
Ilustración 8.Tasa real, Simulación 1, Modelo CIR. Matlab.

10. 10
Por otro lado, se graficó, la tasa real, el Simulación 1(Línea
Roja) y el Simulación 2 (Línea Negra), para poder determinar
gráficamente que tanto el Simulación 1 y 2 se desvían de la
tasa real, como se muestra en la ilustración 7 y 8. Respeto a la
Ilustración 7, lo cual muestra las estimaciones de las tasas por
el modelo Vasicek, encontramos alta volatilidad para el
Simulación 1, debido a las tasas negativas que se presentan en
el modelo, es aquí donde podemos descartar el modelo
Vasicek para las estimaciones de tasas de interés de corto
plazo de los TES cero cupón de un año del mercado
Colombiano. Sin embargo cuando queremos estimar las tasas
por el modelo CIR, encontramos que la mejor estimación es
cuando hacemos el Simulación 2, debido que este presenta
menos desviación frente a la tasas real, sin embargo no ocurre
lo mismo cuando realizamos el Simulación 1, ya que muestra
una deviación considerable respecto a la tasa real de los TES
de un año.
Ilustración 9.Bloxplot Simulación1. Modelo CIR. Matlab.
Ilustración 10.Bloxplot Simulación2. Modelo CIR. Matlab.
Finalmente, consideramos que el mejor modelo que estima las
tasas de interés de los TES cero cupo de 1 año es el Cox
Ingersoll Ross, sin embargo de los Simulación realizados (dos
pruebas) consideramos que el mejor es el segundo, puesto que
es el que menos desviación tiene frente a la tasas real. Es por
ello que se realizó una última prueba para poder confirmar
nuestra afirmación. Se realizó una gráfica donde muestre el
Simulación 2 en Boxplot (cajas) y la tasa real como línea, lo
que esperamos es que la línea azul pase por la mitad del
Boxplot (Linea Roja) tantas veces sea posible, lo cual nos
estaría diciendo que el modelo no presenta mucha desviación
respecto a la tasa real. En la ilustración 10 se muestra
gráficamente dicha prueba.
Con esta última prueba se puede ver gráficamente que los
primero 46 periodos el Simulación no presento mucha
desviación frente a la tasas real, sin embargo después del
periodo 46, los datos comenzaron a desviarse
considerablemente, estando por encima de la tasas real, sin
embargo a partir de periodo 78 comenzó un alza en la tasas
real y la media del Simulación 2 estuvo muy por debajo de la
tasa real (periodo de alta volatilidad) como se puede ver en la
ilustración 10.
Por otro lado quisimos mostrar gráficamente cual es la
desviación de la tasas real frente al Simulación 1 realizado
para el modelo CIR; podemos ver en la ilustración 9, que el
modelo Simulación 1 para el CIR no fue muy optimo, debido
a las altas desviaciones que se presentaron.
4.6 Utilidad y aplicación financiera de los resultados
El modelo tiene su aplicación, en cualquier institución
financiera, como en áreas de riesgos y de inversión, es
importante y de aclarar que para este trabajo, se realizó una
demostración matemática.
Sin embargo, los modelos trabajados, podrían llegar a estimar
las tasas futuras de los TES cero cupón de 1 año, lo cual
servirá para anteponerse al mercado y realizar operaciones en
donde sus portafolios presenten rentabilidades positivas.
5. CONCLUSIONES
El modelo Vasicek presenta tasas negativas al momento de
estimar las tasas de interés de los TES cero cupón de 1 año lo
cual en los resultados daban tasas que tocaba sumarles un
componente imaginario, lo cual tendríamos que descartar
dicho modelo al momento de estimar estas tasas de interés. Sin
embargo el modelo Cox Ingersoll Ross (CIR), no mostro el
mismo comportamiento de tasas negativas debido al
componente de la raíz de rt.
De igual manera, modelamos dos posibles comportamientos
de tasas las cuales llamamos Simulación 1 y Simulación 2
desde el modelo CIR, y llegamos a la conclusión que el
Simulación 2 presente mejor estimación de tasas cortas y no
presenta tanta desviación respecto a la tasas real en los
primeros 50 periodos, sin embargo luego del periodo 50, la
tasas real presento periodos de alta volatilidad, lo que hizo que
tuviéramos desviaciones considerables en los últimos 30
periodos como se muestra en la Ilustración 10.
6. RECOMENDACIONES
Se recomienda seguir en la investigación para encontrar la
mejor estimación de las tasas de interés de los TES, con
modelos como de Ho y Lee, Hull y White, Longstaff, Brennan
y Schwartz, Black, Derman y Toy y poder así determinar
matemática y estadísticamente que modelo, podríamos

11. 11
implementar en el mercado financiero colombiano, para poder
disminuir el riesgo de mercado, y así tener una buena
estimación y/o predicción de las tasas de interés.
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