1. El documento presenta el Teorema Local de Cauchy, el cual establece que si dos funciones complejas λ y μ son continuas a lo largo de un camino rectificable γ, entonces la función f definida mediante una integral de λ y μ a lo largo de γ es analítica. 2. También introduce conceptos como cadenas, ciclos e índices. Una cadena es una suma formal de caminos, un ciclo es una cadena cerrada, y el índice de una función compleja f respecto a un ciclo Γ sólo toma valores enteros

1. Análisis IV
1Teoremas de Cauchy
Los Teoremas de Cauchy
1.- Teorema Local de Cauchy
1.1. Funciones definidas por integrales
Consideremos dos funciones complejas λµ, definidas en el mismo conjunto Z del plano
complejo:
λ λ: ( )Z w w∋ → ∈ C ,
µ µ: ( )Z w w∋ → ∈ C .
Sea también un camino rectificable [ ]γ: ,a b Z→ . Si suponemos que las funciones λµ, son
continuas en el recorrido γ*
de este camino, entonces la función:
F z w
w
w z
z w( , )
( )
( )
( )* *
=
−
∈ − ∈
µ
λ
λ γ γC
resulta continua.
Z λ
γ*
λ γ( )*
w
γ z
µ
Para cada z ∈ −C λ γ( )*
, la restricción de F dada por:
F w
w
w z
wz ( )
( )
( )
*
=
−
∈
µ
λ
γ
es continua y, en consecuencia, podemos definir:
f z F w dw
w
w z
dw zz( ) ( )
( )
( )
( )*
= =
−
∈ −∫ ∫γ γ
µ
λ
λγC .
Esta función está construida por medio de integrales y demostraremos que es analítica en todos
los puntos de su dominio.

2. Análisis IV
2 Teoremas de Cauchy
El conjunto ( )λγ*
es compacto en virtud de la continuidad del camino γ y de la función
compleja λ. Por ello, se tratará de un conjunto cerrado y acotado y el dominio de la función f z( )
es el abierto A = −C λ γ( )*
. Tomando α ∈ A , su distancia al compacto λ γ( )*
es un número
positivo d , pues si fuera ( )( )dist ,*
λ γ α = 0 , hallaríamos que en todo entorno de α hay puntos de
( )λγ*
y α sería adherente a ( )λγ*
, por lo que ( )α λγ∈ * 1
en contra de lo supuesto.
Tomando un valor real r que verifique 0 < ≤r d , hallaremos que el disco abierto ( )B rα; se
halla contenido en el abierto A . Para todo ( )z B r∈ α; y para todo w ∈ γ*
se cumplirá:
z
w
z
w
r
w
r
d
−
−
=
−
−
<
−
≤ ≤
α
λ α
α
λ α λ α( ) ( ) ( )
1
λ( )w
z
w α
Esta acotación permite asegurar que dados w ∈ γ*
y ( )z B r∈ α; , la serie geométrica:
1
0
λ α
α
λ α( ) ( )w
z
wn
n
−
−
−






=
∞
∑
converge, ya que su razón es precisamente
z
w
−
−
α
λ α( )
.
Si tomamos ( )z B r∈ α; fijo y variamos w en el conjunto γ*
, obtenemos una serie funcional:
1
0
λ α
α
λ α( ) ( )w
z
wn
n
−
−
−






=
∞
∑
que converge uniformemente en dicho conjunto ya que:
( )
( )
1 1
1 1
λ α
α
λ α
α
λ α( ) ( ) ( )w
z
w
z
w
r
d d
r
d
n n
n
n
n
n
−
−
−





 =
−
−
≤ =





+ +
w ∈ γ*
.
La suma de esta serie es:
1
Un conjunto cerrado contiene a todos sus puntos adherentes.

3. Análisis IV
3Teoremas de Cauchy
g w
w
z
w
w
z
w
w
w z
w
w zn
n
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
−
−
−





 =
−
−
−
−
=
−
−
−
=
−=
∞
∑
1
1
1
1
1
0
λ α
α
λ α
λ α
α
λ α
λ α
λ
λ α
λ
por lo que podemos escribir:
f z
w
w z
dw
w z
w dw
w
z
w
w dw
n
n
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )=
−
=
−
=
−
−
−














=∫ ∫ ∑∫ =
∞
µ
λ λ
µ
λ α
α
λ α
µ
γ γ γ
1 1
0
( )
( )
( )
( ) ( )
( )=
−
−








=
−
−
=
−








−+
=
∞
+
=
∞
+
=
∞
∑ ∫∑∫ ∫∑
z
w
w dw
z
w
w dw
w
w
dw z
n
n
n
n
n
n
n
n
n
α
λ α
µ
α
λ α
µ
µ
λ α
α
γγ γ
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1
0
1
0
1
0
.
Esto prueba que para cada ( )z B r∈ α; la función f z( ) puede desarrollarse en serie de potencias
centrada en α , por lo que es analítica en cada α ∈ A y por ello analítica en el abierto A .
1.2. Cadenas y ciclos. Índices.
Supongamos que γ γ γ1 2, ,... m son caminos en el plano complejo iguales o distintos. Definimos
una cadena como la suma formal:
Γ=
=
∑ γi
i
m
1
.
Admitimos que si cada uno de los caminos γi está repetido ai veces la cadena se simboliza por:
Γ=
=
∑ ai i
i
m
γ
1
.
En el caso de que todos los caminos de la cadena sean cerrados se dice que tal cadena es un
ciclo. Si todos los caminos de la cadena son rectificables se dice que la cadena es rectificable. El
recorrido de una cadena Γ=
=
∑ ai i
i
m
γ
1
es el conjunto Γ* *
=
=
γi
i
m
1
U .
Para dos cadenas Γ1 1
1
=
=
∑ γi
i
m
y Γ2 2
1
=
=
∑ γj
j
s
, se define la suma como:
Γ Γ1 2 1
1
2
1
+ = +
= =
∑ ∑γ γi
i
m
j
j
s
y resulta una nueva cadena.
Si tenemos una función compleja f continua en el recorrido de una cadena rectificable
Γ=
=
∑ ai i
i
m
γ
1
, entonces definimos la integral de f en la cadena como:

4. Análisis IV
4 Teoremas de Cauchy
fdz a fdzi
i
m
iΓ
∫ ∫∑=
= γ1
.
A partir de esta igualdad se prueba que si Γ Γ1 2, son dos cadenas rectificables cuyo recorrido se
incluye en el campo de continuidad de f , se tiene:
fdz fdz fdz
Γ Γ Γ Γ1 2 1 2+
∫ ∫ ∫= + .
Supongamos que Γ es un ciclo rectificable formado por un sólo camino rectificable y cerrado:
Γ= γ .
Sean las funciones:
λ:Z w w∋ → ∈ C ,
µ:Z w∋ → ∈1 C .
La continuidad de ambas funciones impone que la función definida por medio de la integral
Ind ( )
( )
( )
*
γ
γ γ
π
µ
λ π
γz
i
w
w z
dw
i w z
dw z=
−
=
−
∈ −∫ ∫
1
2
1
2
1
C
exista y sea analítica en el abierto C − γ*
. Esta función se llama índice respecto al ciclo Γ= γ.
En el caso de que tengamos un ciclo rectificable Γ=
=
∑ ai i
i
m
γ
1
, definimos el índice respecto a dicho
ciclo como la función:
Ind ( )
( )
( )
( )
( )
Ind ( ) *
Γ
Γ
Γz
i
w
w z
dw
i
a
w
w z
dw a
i w z
dw a z zi
i
m
i
i
m
i
i
m
i i
i
=
−
=
−
=
−
= ∈ −∫ ∫∑ ∫∑ ∑= = =
1
2
1
2
1
2
1
1 1 1
π
µ
λ π
µ
λ π
γ γ
γ C
Obsérvese que esta función sólo está definida en el abierto C − Γ*
y resulta analítica en él pues
es suma de funciones analíticas.
Volvamos ahora al caso Γ= γ. Probaremos que la función:
Ind ( ) *
γ
γ
π
γz
i w z
dw z=
−
∈ −∫
1
2
1
C
sólo toma valores enteros en cada una de las componentes conexas del abierto C − γ*
y
es nula en la componente no acotada de dicho abierto.
El conjunto γ*
es cerrado y acotado. La acotación implica que existe al menos un k > 0 para el
que se da la relación: z z k∈ ⇒ <γ*
. Por ello, es cierta la contrarrecíproca de esta relación:
z k z≥ ⇒ ∉ γ*
. En definitiva, hallaremos una componente conexa del abierto C − γ*
no acotada.

5. Análisis IV
5Teoremas de Cauchy
Sea una función f A: → C continua en un abierto del plano complejo y un camino rectificable
[ ]γ: ,a b → C con recorrido en dicho abierto. Para cada ε > 0 siempre podemos hallar un camino
poligonal [ ]P a b: , → C que verifique las condiciones siguientes:
i) El recorrido de P está incluido en el abierto A .
ii) Los extremos de P y γcoinciden.
iii) fdz fdz
Pγ
ε∫ ∫− < .
Por ello, si demostramos que el índice respecto de una poligonal cerrada sólo tiene valores
enteros también probaremos que el índice respecto de un camino cerrado sólo tiene valores
enteros. Por otro lado, toda poligonal es un camino de clase C1
a trozos y si demostramos que el
índice respecto a un camino cerrado de este tipo sólo adopta valores enteros, es evidente que el
índice respecto de una poligonal tendrá esta misma propiedad. Supongamos pues que
[ ]γ: ,a b → C es un camino de clase C1
a trozos. Existirá una partición
{ }∆ = = < < < < < =−a c c c c c bm m0 1 2 1.... del intervalo [ ]a b, tal que:
Ind ( )
( )
( )
*
γ
γ
π π
γ
γ
γz
i w z
dw
i
t
t z
dt z
c
c
i
m
i
i
=
−
=
′
−
∈ −∫ ∫∑ −
=
1
2
1 1
2 1
1
C .
Recordemos que e z k i kz
= ⇔ = ∈1 2 π, Z . Por ello, el índice será un número entero en el caso
de que e
i z2
1
π γInd ( )
= . Definimos la función real:
[ ]g s
t
t z
dt s a b
a
s
( )
( )
( )
, ,=
′
−
∈∫
γ
γ
.
Como el cociente
′
−
γ
γ
( )
( )
t
t z
es continuo salvo en un número finito de puntos (pues ′γ( )t es de
clase C1
en el intervalo [ ]a b, ) la función g está bien definida y es derivable. Además se tiene
que:
Ind ( )
( )
( )
( )
( )
( )γ
π
γ
γ π
γ
γ π
z
i
t
t z
dt
i
t
t z
dt
i
g b
c
c
i
m
a
b
i
i
=
′
−
=
′
−
=
−
∫∑ ∫=
1
2
1
2
1
21
1
,
de donde 2 2
1
2
π π
π
γi z i
i
g b g bInd ( ) ( ) ( )= = y para probar que e
i z2
1
π γInd ( )
= , bastará comprobar que
se da eg b( )
= 1. De esta manera, definimos:
[ ]h s e s a bg s
( ) , ,( )
= ∈
y resulta una función derivable en todos los puntos del intervalo salvo en aquellos donde la
función γno tiene derivada. En efecto:

6. Análisis IV
6 Teoremas de Cauchy
[ ]′ = ′ =
′
−
=
′
−
∈ −h s g s e
s
s z
e
s
s z
h s s a bg s g s
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( ) ,( ) ( )γ
γ
γ
γ
∆ .
De la igualdad anterior se deduce esta otra:
′
=
′
−
h s
h s
s
s z
( )
( )
( )
( )
γ
γ
y multiplicando “en cruz” y agrupando en un solo miembro:
( )′ − − ′ =h s s z s h s( ) ( ) ( ) ( )γ γ 0 .
En particular, para la función derivable:
[ ]j s
h s
s z
s a b( )
( )
( )
,=
−
∈
γ
,
se consigue la igualdad:
( )
( )
[ ]′ =
−






′
=
′ − − ′
−
= ∈ −j s
h s
s z
h s s z s h s
s z
s a b( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
,
γ
γ γ
γ
2
0 ∆
por lo que j s( ) habrá de ser constante en su dominio j s C( ) = . Sabemos que:
h a e e
t
t z
dta
a
( )
( )
( )
= = =
′
−
∫
γ
γ 0
1 y de aquí :
( ) ( ) ( )j s
h s
s z
h s C s z h a C a z h b C b z( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=
−
⇒ = − ⇒ = − = ⇒ = − =
γ
γ γ γ1 1,
pues al ser un camino cerrado γ γ( ) ( )a b= . Esto prueba que el índice solo toma valores enteros.
Como la función índice es analítica será continua en su dominio y por tanto para cada
componente conexa de A = −C γ*
su imagen será conexa. Ahora bien, al adoptar sólo valores
enteros tendrá que ser una imagen constante y, en consecuencia, para cada componente conexa
del abierto A , el índice toma el mismo valor entero.
Acotemos la integral que define el índice:
Ind ( )γ
γ γ γ γ γ
π π π π π π
z
i w z
dw
i w z
dw
w z
dw
w z
dl
d
dl
L
d
=
−
=
−
=
−
≤
−
≤ =∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
1 1
2
,
donde ( )d z= dist , *
γ , [ ]l t L t a ba
t
( ) ( ) ,= ∈γ es la función longitud del camino rectificable y
L l b La
b
= =( ) ( )γ . En la componente no acotada del abierto A se hallan valores de z con
módulos arbitrariamente grandes. De esta manera, podemos tomar valores de distancia d
arbitrariamente grandes por lo que el índice en esta componente no acotada será nulo.
Como el índice para un ciclo rectificable Γ es Ind ( ) Ind ( ) *
Γ Γz a z zi
i
m
i
= ∈ −
=
∑ γ
1
C , podemos
asegurar que sólo tendrá valores enteros ya que es suma de enteros.

7. Análisis IV
7Teoremas de Cauchy
Sea el camino circular de centro γ α π( ) [ , ]t re tit
= + ∈ 0 2 . Para este camino, la función índice se
define como:
Ind ( )γ
γ
π
π π α
z
i w z
dw
i re z
rie dtit
it
=
−
=
+ −∫ ∫
1
2
1 1
2
1
0
2
.
El abierto A = −C γ*
sólo tiene dos componentes conexas, definidas por:
{ } { }A z z r A z z r1 2= − < = − >: :α α .
Sabemos que la componente A2 es no acotada por lo que en ella el índice valdrá cero. En la
componente acotada A1 podemos tomar el centro de la circunferencia z = α para calcular el valor
del índice pues en todos los demás puntos de A1 valdrá lo mismo. De esta forma:
Ind ( )γ
π π π
α
π α α π π
π
π
=
+ −
= =
/
/
= =∫ ∫ ∫
1
2
1 1
2
1
2
1
2
2
1
0
2
0
2
0
2
i re
rie dt
i re
rie dt
i
i
dtit
it
it
it
.
γ*
A2 0
A1
α
1
Estamos en condiciones de demostrar el teorema local de Cauchy.
1.3. Teorema local de Cauchy
Sea f una función analítica en un abierto convexo Ω del plano complejo y supongamos que
γes un camino rectificable con recorrido incluido en el convexo. Entonces para todo z ∈ −Ω γ*
se tiene que:
f z z
i
f w
w z
dw( )Ind ( )
( )
γ
γ
π
=
−∫
1
2
.
Tomamos un z ∈ −Ω γ*
fijo y definimos la función:

8. Análisis IV
8 Teoremas de Cauchy
g w
f w f z
w z
w z w
f z w z
( )
( ) ( )
,
( )
=
−
−
≠ ∈
′ =




Ω
.
Tal función es continua pues:
lim ( ) lim
( ) ( )
( ) ( )
w z w z
g w
f w f z
w z
f z g z
→ →
=
−
−
= ′ =
y resulta analítica en { }Ω − z . Se le puede aplicar entonces el teorema de Cauchy–Goursat para
regiones convexas y concluir que la integral a lo largo de cualquier camino rectificable y cerrado
contenido en Ω es nula. Por ello:
1
2
0
π γ
i
g w dw( )∫ =
y de aquí para z ∈ −Ω γ*
dado:
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1 1
2
= =
−
−
=
−
−
−
=
−
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫π π π π π
γ γ γ γ γ
γ
i
g w dw
i
f w f z
w z
dw
i
f w
w z
dw f z
i w z
dw
i
f w
w z
dw f z z( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )Ind ( ) .
Esto termina nuestra demostración.
En el caso de tener un camino circular con recorrido en la región Ω y un z en el interior del
círculo se da la igualdad:
f z
i
f w
w z
dw z( )
( ) *
=
−
∈ −∫
1
2π
γ
γ
Ω .
Esto permite constatar que toda función analítica es representable por series de potencias. En
efecto, sea f A: → C una función analítica definida en un abierto A (no necesariamente
convexo) y sea α un punto de dicho abierto. Existirá pues una bola abierta ( )B rα; incluida en A
y en dicha bola abierta, que es un abierto convexo, la función f también es analítica. Tomando
un camino circular [ ]γ α ρ( ) ,t e t a bit
= + ∈ , de radio ρ < r , conseguimos un camino rectificable
cerrado contenido en la bola ( )B rα; y por ello, para todo z en el interior de dicho camino es
válida la fórmula de Cauchy:
( )f z
i
f w
w z
dw z B( )
( )
;=
−
∈∫
1
2π
α ρ
γ
.
Para las asignaciones λ µ( ) , ( ) ( )w w w f w= = podemos aplicar los resultados de 1.1 y entonces:
( )
( ) ( )f z
i
f w
w z
dw
i
f w
w
dw z z Bn
n
n
( )
( ) ( )
;=
−
=
−








− ∈∫ ∫∑ +
=
∞
1
2
1
2 1
0
π π α
α α ρ
γ γ
.
Si escribimos:

9. Análisis IV
9Teoremas de Cauchy
( )
a
i
f w
w
dwn n
=
−
+∫
1
2 1
π αγ
( )
la fórmula queda como:
( ) ( )f z a z z Bn
n
n
( ) ;= − ∈
=
∞
∑ α α ρ
0
.
Ahora bien, según las propiedades de las series de potencias, la función f z( ) será derivable
indefinidamente en el punto z = α y los coeficientes an tendrán los valores
( )
a
f
n
n
n
=
( )
!
α
. Por
ello son independientes del radio ρ < r considerado y el desarrollo ha de ser válido para todo
( )z B r∈ α; .
2.- Teorema general de Cauchy
El teorema local de Cauchy es válido para funciones analíticas definidas en abiertos convexos y
para un sólo camino rectificable. Vamos a generalizar estas condiciones utilizando ciclos y
tomando abiertos no necesariamente convexos.
Sea A un abierto del plano complejo. Sean también f una función analítica definida en A y Γ
un ciclo con recorrido en A y tal que Ind ( )Γ z z A= ∀ ∈ −0 C . Entonces se tiene:
a) f z z
i
f w
w z
dw z A( )Ind ( )
( ) *
Γ
Γ
Γ=
−
∈ −∫
1
2π
.
b) f z dz( )
Γ
∫ = 0 .
c) Si Γ Γ1 2, son dos ciclos tales que Ind( ) Ind( )Γ Γ1 2= ∀ ∈ −z AC , entonces la integral de f
es la misma para ambos ciclos: f z dz f z dz( ) ( )
Γ Γ1 2
∫ ∫= .
Para probar el teorema global necesitamos un lema previo, a saber:
Si f es analítica en un abierto A ⊂ C, la función:
g z w
f w f z
w z
z w
f z z w
( , )
( ) ( )
( )
=
−
−
≠
′ =




es continua en su dominio A A× .

10. Análisis IV
10 Teoremas de Cauchy
En efecto, los únicos puntos donde la continuidad no es manifiesta son aquellos de la forma
( , ) :α α α ∈ A . Como f es analítica resultará de clase C ∞
en el abierto A y, en particular, será
′f continua en α ∈ A por lo que para ε > 0 hallaremos un real positivo r tal que
( )w B r f w f∈ ⇒ ′ − ′ <α α ε; ( ) ( ) . Considerando ( )z w B r z w, ; ,∈ ≠α , afirmamos en virtud del
carácter convexo de toda bola que el camino ( ) [ ]γ( ) ,t t z tw t= − + ∈1 01 está incluido en ( )B rα; .
Integrando la función ′ − ′f w f( ) ( )α a lo largo de este camino tenemos:
( ) [ ]( ) ( ) ( )′ − ′ = ′ − ′ − = ′ − − ′ −



=∫ ∫ ∫ ∫f w f dw f t f w z dt f t w z dt f w z dt( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )α γ α γ α
γ
0
1
0
1
0
1
( )[ ] ( )= − − − ′ = − − − ′f f w z f f w f z w z f( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )γ γ α α1 0 .
Por otro lado:
( ) ( )( ) ( )
( )
′ − ′ =
−
′ − ′ − ⇒ ′ − ′ =
−
−
− ′∫ ∫ ∫f t f dt
w z
f t f w z dt f t f dt
f w f z
w z
f( ( )) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )
( ) ( )
( )γ α γ α γ α α
0
1
0
1
0
11
y terminamos escribiendo:
( ) ( )g z w g
f w f z
w z
f f t f dt f t f dt dt( , ) , )
( ) ( )
( ) ( ( )) ( ) ( ( )) ( )− ( =
−
−
− ′ = ′ − ′ ≤ ′ − ′ < =∫ ∫ ∫α α α γ α γ α ε ε
0
1
0
1
0
1
.
Esto prueba la continuidad de g en los puntos ( , )α α .
Retomando la función
g z w
f w f z
w z
z w
f z z w
( , )
( ) ( )
( )
=
−
−
≠
′ =




definida en el abierto A2
, suponemos que el valor z A∈ − Γ*
es fijo, donde Γ es un ciclo tal que
Ind ( )Γ z z A= ∀ ∈ −0 C . La función g w g z wz ( ) ( , )= es continua en todo el abierto A (ya que
hemos probado que g z w( , ) lo es) y podemos definir:
h z
i
g w dw z Az( ) ( )= ∈∫
1
2π
Γ
.
Probaremos que esta función es analítica en todo su dominio. Para ello, probaremos primero que
es continua.
El conjunto Γ*
es un compacto incluido en A , tomando z A∈ y una bola ( )B z r; resulta que
( )B z r; *
×Γ es un compacto incluido en A2
por lo que la función g z w( , ) es uniformemente
continua en este conjunto y dado ε > 0 , hallaremos δ> 0 para el que:
z z w g z w g z w− ′< ∈ ⇒ − ′ <δ ε, ( , ) ( , )*
Γ .
En consecuencia, si tomamos z z w− ′< ∈δ, *
Γ , resulta:

11. Análisis IV
11Teoremas de Cauchy
( )h z h z
i
g z w dw
i
g z w dw g z w g z w dw( ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )− ′= − ′ = − ′ ≤∫ ∫ ∫
1
2
1
2
1
2π π πΓ Γ Γ
( )≤ − ′ ≤ =∫ ∫
1
2
1
2 2π π
ε
ε
π
g z w g z w dl dl La
b
( , ) ( , ) ( )
Γ Γ
Γ , ( La
b
( )Γ es la longitud del ciclo)
y esto implica la continuidad de h . Veamos ahora que es una función analítica.
Sea T un camino triangular incluido en A , entonces:
h z dz
i
g z w dw
T
( ) ( , )
Τ Γ
∫ ∫∫=
1
2π
.
Como la función g es continua en A2
también lo será en ∂T ×Γ*
y podremos intercambiar
el orden de integración:
h z dz
i
g z w dw
i
g z w dw
T T
( ) ( , ) ( , )
Τ Γ Γ
∫ ∫∫ ∫∫= =
1
2
1
2π π
.
También es g wz ( ) continua en todo su dominio y analítica para w z≠ . Esto implica en virtud del
teorema de Cauchy–Goursat que la integral g z w dw
T
( , )∫ es nula y por tanto:
h z dz( )
Τ
∫ = 0 .
Aplicando el teorema de Morera se deduce entonces que h es analítica en A .
Probaremos que la función h es nula. Para ello, observemos que
h z
i
g z w dw
i
f w f z
w z
dw
i
f w
w z
dw f z z z A( ) ( , )
( ) ( ) ( )
( )Ind ( ) *
= =
−
−
=
−
− ∈ −∫ ∫ ∫
1
2
1
2
1
2π π π
Γ Γ Γ
Γ Γ .
Ahora definimos:
h z
i
f w
w z
dw z1
1
2
( )
( ) *
=
−
∈ −∫π
Γ
ΓC
y est asignación es correcta pues la integración se hace una vez fijado z no perteneciente al
recorrido del ciclo Γ.
El valor de h1 puede ser fácilmente acotado mediante:
h z
i
f w
w z
dw
f w
w z
dl
M
d
dl
M
d
La
b
1
1
2
1
2
1
2
1
2
( )
( ) ( )
( )=
−
≤
−
≤ =∫ ∫ ∫π π π πΓ Γ Γ
Γ ,
donde M es una cota superior de f en el conjunto Γ*
, d es la distancia de z a Γ*
y La
b
( )Γ es
la longitud del ciclo. Cuando el módulo de z es suficientemente grande la distancia d se puede
hacer también suficientemente grande por lo que:
lim ( )
z
h z
→ + ∞
=1 0 .

12. Análisis IV
12 Teoremas de Cauchy
Designemos por A0 el conjunto de puntos para los que Ind ( )Γ z = 0 . Tal conjunto es no vacío y
además A0 ⊂ −C Γ*
. Tampoco será vacío el conjunto de los puntos de A que tengan índice cero
respecto al ciclo Γ, es decir, A A A1 0= ∩ ≠ ∅ . Como al anularse el índice el valor de h coincide
con el de h1 es:
h z h z z A( ) ( )= ∈1 1 .
Por hipótesis es C − ⊂A A0 , luego la unión A A∪ 0 es todo el plano complejo. Así podemos tomar
una función analítica φen todo el plano mediante:
φ( )
( )
( )
z
h z z A
h z z A
=
∈
∈


 1 0
.
Esta función entera2
al coincidir con h1 en el conjunto A0 resultará acotada en dicho conjunto y
por su continuidad en A también es acotada en A , resultado acotada en todo el plano complejo.
Entonces lim ( ) lim ( )
z z
h z z
→ + ∞ → + ∞
= ⇒ =1 0 0φ , por lo que aplicando el teorema de Liouville, será
φ( )z z= ∀0 y h z( ) = 0 . Retomando la expresión de h , concluimos:
1
2
0
πi
f w
w z
dw f z z z A
( )
( )Ind ( ) *
−
− = ∈ −∫Γ
Γ Γ
lo que prueba el apartado a).
Sea ahora la función ( )F z f z z A( ) ( ) , *
= − ∈ −α α Γ . Esta función es analítica en el abierto A , por
lo que para todo z A∈ − Γ*
será:
( )
( )
f z z z
i
F w
w z
dw
i
f w w z
w z
dw
i
f w dw( ) Ind ( )
( ) ( )
( )− =
−
=
−
−
=∫ ∫ ∫α
π π π
Γ
Γ Γ Γ
1
2
1
2
1
2
y tomando z = α , es 0
1
2
1
2
= =∫ ∫π πi
f w dw
i
f z dz( ) ( )
Γ Γ
, lo que prueba b). Para probar el apartado
c) consideramos un ciclo Γ Γ Γ= −1 0 y le aplicamos los resultados de a) y b).
Supongamos que Γ= γes un ciclo formado por un solo camino rectificable cerrado. Sea un
punto z ∉ γ*
. La función f w
w z
( ) =
−
1
es continua y analítica en el abierto { }C − z , por lo que si
consideramos una región (abierto y convexo) incluida en { }C − z y que contenga a γ*
, la
aplicación del teorema de Cauchy–Goursat para regiones convexas permite afirmar que:
1
2
1
2
1
0
π πγ γ
γ
i
f w dw
i w z
dw z( ) Ind ( )∫ ∫=
−
= = .

13. Análisis IV
13Teoremas de Cauchy
z
γ*
Esto prueba que todo camino cerrado con recorrido en una región Ω satisface la hipótesis
Ind ( )γ z = 0 para z ∈ −C Ω y, en consecuencia si Γ es un ciclo con recorrido en esta región será
también Ind ( )Γ z = 0 z ∈ −C Ω pues cada uno de los caminos que lo forman tiene índice nulo.
Así, el teorema local de Cauchy puede deducirse a partir del global.
3.- Homología y homotopía
En el teorema global de Cauchy los ciclos considerados son aquellos que cumplen la condición:
Ind ( )Γ z z A= ∀ ∈ −0 C . Esto justifica la siguiente definición:
Dos caminos cerrados γ γ1 2, con recorridos incluidos en un abierto A son A –homólogos si y
sólo si Ind ( ) Ind ( )γ γα α1 2
= ∀α ∈ −C A .
Según esta definición, la condición c) del teorema de Cauchy puede formularse en términos de
homología:
Si γ γ1 2, son dos caminos cerrados A –homólogos entonces la integral de f es la misma para
ambos caminos: f z dz f z dz( ) ( )
γ γ1 2
∫ ∫= .
2
Es decir, analítica en todo el plano complejo

14. Análisis IV
14 Teoremas de Cauchy
Supongamos que α ∈ A y sea el camino rectificable cerrado [ ]γ α( ) ,t t a b= ∈ , entonces es
obvio que { }γ α*
= ⊂ A y además para z A∈ −C se tiene
Ind ( )γ
γ
α
z
w z
dw
z
dt=
−
=
−
⋅ =∫ ∫
1 1
0 0
0
1
.
Todos los caminos que sean A –homólogos a éste se dice que son A –homólogos a cero.
Expondremos otro concepto relacionado con la homología.
Dos caminos cerrados γ γ0 1, con intervalo paramétrico [ ]01, y situados en el mismo abierto A ,
se dice que son A –homótopos cuando existe una aplicación continua:
[ ]h s t h s t A: , ( , ) ( , )0 1
2
∋ → ∈
tal que:
[ ]h t t h t t t( , ) ( ) ( , ) ( ) ,0 1 0 10 1= = ∈γ γ
y además:
[ ]h s h s s( , ) ( , ) ,0 1 0 1= ∈ .
Si fijamos un valor de la variable s , obtenemos un camino en A :
[ ]h t h s t As: , ( , )01 ∈ → ∈
que es cerrado por la hipótesis adicional [ ]h s h s s( , ) ( , ) ,0 1 0 1= ∈ . Esto significa que pasamos del
camino γ0 al camino γ1 por medio de una “deformación continua”a través de un haz de caminos
cerrados dependiente de un parámetro [ ]s ∈ 0 1, .
Exponemos sin demostración los siguientes resultados:
• Todos los caminos cerrados definidos en el mismo intervalo paramétrico [ ]01, , tales que sus
recorridos se hallan en un abierto convexo son homótopos.
• Dos caminos cerrados con recorridos incluidos en un mismo abierto A y A –homótopos son
A –homólogos.
Utilizando los resultados de esta sección daremos una versión homotópica del teorema general
de Cauchy .
Sea A un abierto del plano complejo y sean f una función analítica definida en A y γ un
camino cerrado y rectificable A –homótopo a cero, entonces:
a) f z z
i
f w
w z
dw z A( )Ind ( )
( ) *
γ
γ
π
γ=
−
∈ −∫
1
2
.
b) f w dw( )
γ
∫ = 0 .

15. Análisis IV
15Teoremas de Cauchy
c) Si γ1 y γ2 son dos caminos cerrados, rectificables y A –homótopos, es cierta la igualdad:
f w dw f w dw( ) ( )
γ γ1 2
∫ ∫= .
4.- Abiertos simplemente conexos
Un conjunto Ω abierto y conexo (región) se dice simplemente conexo si toda curva cerrada
contenida en él es Ω –homótopa a cero. Es decir, podemos transformar de manera continua toda
curva cerrada contenida en el abierto a un punto. Para caracterizar a los abiertos simplemente
conexos tenemos la siguiente proposición:
Un abierto A es simplemente conexo si y sólo si es homeomorfo al círculo unidad ( )B 0 1; .
Probaremos sólo que si existe un homeomorfismo entre la región y el círculo unidad, entonces
toda curva cerrada contenida en la región es homótopa a cero. En efecto, supongamos que
( )g B; ;Ω → 0 1 es el homeomorfismo y que [ ]γ: ,0 1 → Ω es una curva cerrada contenida en la
región. Definimos:
[ ] [ ]h s t g s g t s t( , ) ( ( )) , ,= ⋅ ∈− 1
0 1γ .
Como γ( )t ∈ Ω y ( )g B( ) ;Ω = 0 1 , se sigue que ( )g t B( ( )) ;γ ∈ 01 . Al multiplicar por [ ]s ∈ 0 1, los puntos
obtenidos en esa multiplicación se hallan también en el círculo unidad. La continuidad de todas
las funciones empleadas implica la continuidad de h .
Por otro lado, es:
h t g g t t h t g( , ) ( ( ( ))) ( ) ( , ) ( )1 0 01 1
= = = = ∈− −
γ γ α Ω
y esto prueba que la homotopía se establece entre el camino cerrado y un punto. Para terminar,
dado [ ]s ∈ 0 1, , vemos que:
[ ] [ ]h s g s g g s g h s( , ) ( ( )) ( ( )) ( , )0 0 1 11 1
= ⋅ = ⋅ =− −
γ γ
y esto prueba que los caminos “intermedios” son cerrados.
Una aplicación del teorema general de Cauchy en los dominios simplemente conexos nos
permite concluir que en ellos toda función analítica admite primitiva. Con más precisión:

16. Análisis IV
16 Teoremas de Cauchy
Sea Ω un dominio simplemente conexo no vacío y sea f una función analítica definida en él.
Si tomamos dos caminos rectificables γ γ1 2, cualesquiera contenidos en Ω y que unan dos
puntos de éste, se tiene que f z dz f z dz( ) ( )
γ γ1 2
∫ ∫= .
En efecto, tomando el camino γ γ1 2− , obtenemos un camino cerrado rectificable que se
encuentra contenido en un dominio simplemente conexo y que por ello es Ω –homótopo a cero.
Aplicando el teorema de Cauchy, se deduce que f z dz( )
γ γ1 2
0
−
∫ = y de esta fórmula se sigue la
igualdad.
Como el valor de la integral no depende del camino concluimos que la función analítica f tiene
primitiva en dicha región y además será de la forma:
F z f w dw
z
z
( ) ( )= ∫0
donde z0 es un punto de Ω y la integral se supone a lo largo de cualquier camino rectificable.