Estas notas tiene como fin orientar al estudiante para resolver derivadas de forma a^(x) asi como derivadas de orden superior.

1. NOTAS SOBRE DERIVADAS
Elaborado por: Camilo Andrés Ortiz Daza
Derivadas de Funciones Trascendentales de la forma 𝒚 = 𝒂 𝒙
.
Hasta el momento se ha visto que
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥
⟹ 𝑓´(𝑥) = 𝑒 𝑥
Ec.1.
El problema radica entonces en encontrar las derivadas de funciones tales como
2 𝑥
, 3 𝑥
,8 𝑥
,10 𝑥
, entre otras. Así que, con el ánimo de calcular las derivadas de todas
ellas, debemos considerar en representar dichas funciones en forma generalizada,
así que debe seguir la misma estructura matemática de cada una de las funciones
antes mencionadas o de nada nos servirá la estrategia.
Por esta razón, llamaremos de forma generalizada a esta clase de funciones
trascendentales de la forma 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
, con el fin de que encontrar una regla que
permita calcular sus derivadas. En ese orden de ideas:
¿Cuál será la derivada de las funciones 2 𝑥
, 3 𝑥
, 8 𝑥
y 10 𝑥
?
Para responder a la pregunta iniciaremos con nuestra forma generalizada que se
escribe como sigue:
𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑥
Ec.2.
Recuerde que
𝑎 = 𝑒ln 𝑎
Ec.3.
Reemplazando Ec. 3 en Ec.2 obtenemos
𝑓(𝑥) = (𝑒ln 𝑎
)
𝑥
Aplicando propiedades de los exponentes
𝑓(𝑥) = 𝑒 𝑥 ln 𝑎
Derivando
𝑓′(𝑥) = 𝑒 𝑥 ln 𝑎(ln 𝑎)

2. Finalmente, simplificando
𝑓′(𝑥) = 𝑎 𝑥
(ln 𝑎) Ec.4.
Gracias a esta última ecuación podremos responder fácilmente a la pregunta inicial,
puesto que si 𝑎 = 1,2,3, … … … 𝑛 entonces
 𝐷𝑥[1 𝑥] = 0
 𝐷𝑥[2 𝑥] = 2 𝑥
(ln 2)
 𝐷𝑥[3 𝑥] = 3 𝑥
(ln 3)
 𝐷𝑥[4 𝑥] = 4 𝑥(ln 4)
 ………………….
 𝐷𝑥[8 𝑥] = 8 𝑥(ln 8)
 𝐷𝑥[10 𝑥] = 10 𝑥
(ln 10)
Entre otras1. Con esto concluimos en que Ec.4 puede ser aplicable a cualquier
función exponencial permitiendo encontrar sus derivadas de forma rápida y eficaz.
Derivadas de Orden Superior
Antes de empezar el lector debe recordar la forma de representar derivadas de
orden distinto a la unidad, vamos a indicar como representar desde la primera
derivada hasta la enésima derivada:

𝑑𝑓
𝑑𝑥
= 𝑓′ representa en términos generales la primera derivada.

𝑑2 𝑓
𝑑𝑥2 = 𝑓′′ representa la segunda derivada.

𝑑3 𝑓
𝑑𝑥3
= 𝑓′′′ representa la tercera derivada.

𝑑4 𝑓
𝑑𝑥4
= 𝑓(4)
representa la cuarta derivada.

𝑑5 𝑓
𝑑𝑥5 = 𝑓(5)
representa la quinta derivada.
……………………………………………………………….

𝑑 𝑘 𝑓
𝑑𝑥 𝑘
= 𝑓(𝑘)
representa la k-ésima derivada.
1
Hacer los arreglos algebraicos posibles de ser necesario y conveniente.

3. 
𝑑 𝑛 𝑓
𝑑𝑥 𝑛
= 𝑓(𝑛)
representa la enésima derivada.
Estos símbolos expresan en orden de la derivada según corresponda. El orden en
derivadas se refiere a la cantidad de veces que derivo la función, a continuación
mostraremos un ejemplo:
1) Encontrar la tercera derivada de la función 𝑥5
Solución:
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑥5
, al derivar la primera vez, la derivada se escribe como
𝑓′(𝑥) = 5𝑥4
Derivando otra vez
𝑓′
′(𝑥) = 20𝑥3
Nuevamente al derivar
𝑓′′′(𝑥) = 60𝑥2
Este proceso da como resultado la tercera derivada de la función antes
indicada.
2) Encontrar la derivada enésima de 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
Solución:
𝑓′(𝑥) = 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑓′′(𝑥) = 𝑛 ∙ (𝑛 − 1)𝑥 𝑛−2
𝑓′′′(𝑥) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)𝑥 𝑛−3
𝑓(4)
(𝑥) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)𝑥 𝑛−4
.
.
.

4. 𝑓(𝑛)
(𝑥) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3)(𝑛 − 4) ⋯ 3 ∙ 2 ∙ 1
Este resultado corresponde 𝑛! = ∏ 𝑘𝑛
𝑘=1 , que significa una sucesión de
productos enésima. De tal madera que la enésima derivada de esta función
se escribe como
𝑓(𝑛)
(𝑥) = 𝑛!
3) Encontrar la derivada k-ésima de 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛
Solución:
De acuerdo con el ejercicio anterior
𝑓(𝑛)
(𝑥) = 𝑛!
Análogamente
𝑓(𝑘)
(𝑥) = 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ (𝑛 − 𝑘 + 1)𝑥 𝑛−𝑘
Ahora
𝑛! = (𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ (𝑛 − 𝑘 + 1))((𝑛 − 𝑘) ⋯ 3 ∙ 2 ∙ 1)
El segundo factor corresponde a (𝑛 − 𝑘)!, despejando
𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2)(𝑛 − 3) ⋯ (𝑛 − 𝑘 + 1) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
De esta manera
𝑓(𝑘)
(𝑥) =
𝑛!
(𝑛 − 𝑘)!
𝑥 𝑛−𝑘
4) Encontrar la k-ésima derivada de 𝑝 = 𝑓 ∙ 𝑔
Solución:
𝑝′
= 𝑓′
∙ 𝑔 + 𝑓 ∙ 𝑔′
𝑝′′
= 𝑓′′
∙ 𝑔 + 2𝑓′
∙ 𝑔′
+ 𝑓 ∙ 𝑔′′
𝑝′′′
= 𝑓′′′
∙ 𝑔 + 3𝑓′′
∙ 𝑔′
+ 3𝑓′
∙ 𝑔′′
+ 𝑓 ∙ 𝑔′′′
⋮
En general

5. 𝑝(𝑛)
= (
𝑛
0
) 𝑓(𝑛)
∙ 𝑔 + (
𝑛
1
) 𝑓 𝑛−1
∙ 𝑔′
+ ⋯ + (
𝑛
𝑛
) 𝑓 ∙ 𝑔(𝑛)
El binomial puede ser escrito como sigue:
(
𝑛
𝑘
) =
𝑛!
𝑘! (𝑛 − 𝑘)!
Utilizando el binomio de Newton y usando convenientemente las siguientes
identidades 𝑓(0)
= 𝑓, 𝑔(0)
= 𝑔, 𝑓(1)
= 𝑓′
, 𝑔(1)
= 𝑔′
, 𝑓(2)
= 𝑓′′
, 𝑔(2)
=
𝑔′′
⋯ 𝑓(𝑛)
= 𝑓(𝑛)
, 𝑔(𝑛)
= 𝑔(𝑛)
, entonces
𝑝(𝑘)
= ∑ (
𝑛
𝑘
) 𝑓(𝑛−𝑘)
∙ 𝑔(𝑘)
𝑛
𝑘=0
Donde (𝑛 − 𝑘) y (𝑘) representan el orden de las derivadas las funciones
respectivamente.
Ejercicios
¿Cuál es la derivada de la función 23 𝑥
? Sugerencia. Use la forma generalizada 𝑦 =
𝑎 𝑥
a. 2 𝑥
(23 𝑥
) ∙ ln[2] ∙ ln[3]
b. 3 𝑥
(2 𝑥
) ∙ ln[2] ∙ ln[3]
c. 3 𝑥
(23𝑥
) ∙ ln[2] ∙ ln[3]
d. (23 𝑥
) ∙ ln[2] ∙ ln[3]
e. 2 𝑥
(8 𝑥
) ∙ ln[2]
f. 3 𝑥
∙ ln[2] ∙ ln[3]
g. 3 𝑥
(23 𝑥
) ∙ ln[2] ∙ ln[3]
Repuesta “g”
Calcular la décima derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥5000
a) 𝑓(10)
(𝑥) = 9678073481456549436528438162585690000x4990
b) 𝑓(10)
(𝑥) = 9678073481456849436528438162585600000x4990
c) 𝑓(10)
(𝑥) = 9678073481456549436528438162585600000x4900
d) 𝑓(10)
(𝑥) = 9678073481456549536528438162585600000x4990
e) 𝑓(10)
(𝑥) = 9678073482456549436528438162585600000x4990

6. f) 𝑓(10)
(𝑥) = 9678073481456549436528438162585600000x4990
g) 𝑓(10)
(𝑥) = 9778073481456549436528438162585600000x4990
Respuesta “f”
¿Cuál es la tercera derivada de 𝑓(𝑥) = (𝑥3
− 1)2
?
a) 𝑓′′′(𝑥) = 12(10𝑥3
− 1)
b) 𝑓′′′( 𝑥) = 120𝑥
c) 𝑓′′′(𝑥) = 12(10𝑥3
+ 1)
d) 𝑓′′′(𝑥) = 12
e) 𝑓′′′(𝑥) = 10
f) 𝑓′′′(𝑥) = −12
g) 𝑓′′′(𝑥) = 0
Respuesta “a”
Encontrar la quinta derivada de 𝑓(𝑥) =
(𝑥2+1)
5
(1−𝑥2)7
a)
960𝑥
(𝑥2−1)12
(7𝑥14
+ 294𝑥12
+ 3153𝑥10
+ 12760𝑥8
+ 22185𝑥6
+ 16350𝑥4
+
4159𝑥2
+ 228)
b)
960𝑥
(𝑥2−1)12
(7𝑥14
+ 294𝑥12
+ 3153𝑥10
+ 12760𝑥8
+ 22185𝑥6
+ 16350𝑥4
+
4159𝑥2
+ 228)
c)
960𝑥
(𝑥2−1)12
(7𝑥14
+ 294𝑥12
+ 3153𝑥10
+ 12760𝑥8
+ 22185𝑥6
+ 16350𝑥4
+
4159𝑥2
+ 228)
d)
960𝑥
(𝑥2−1)12
(7𝑥14
+ 294𝑥12
+ 3153𝑥10
+ 12760𝑥8
+ 22185𝑥6
+ 16350𝑥4
+
4159𝑥2
+ 228)
Respuesta “d”