O documento apresenta uma sequência de exercícios em 8 etapas para ensinar propriedades dos determinantes de matrizes. Cada etapa explora uma propriedade diferente através de exemplos, como determinantes nulos, igualdade de determinantes quando linhas e colunas são trocadas, e como multiplicar elementos afeta o valor do determinante. Os alunos devem calcular os determinantes e identificar a propriedade em cada caso.

1. Prof. Célio Roberto Januário
CRIANDO PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES COM EXERCÍCIOS
Matriz faz parte da proposta curricular e vem como assunto do segundo bimestre para a
segunda série do ensino médio na proposta curricular de São Paulo. Dentre os tópicos
estão os determinantes e para que a resolução de determinantes não fique de forma
maçante, nada melhor que conhecer as propriedades dos determinantes. Para isso criei
esta sequência em oito etapas para que os alunos deduzissem cada propriedade e a
descrevessem com suas palavras, analisando os resultados, a posição de cada elemento,
de cada linha e de cada coluna, individualmente ou em relação a outra matriz. Neste ponto
os alunos já sabem calcular determinantes, usando o método de Sarrus.
Descrição de cada etapa:
Na etapa I os cinco determinantes são nulos. A matriz A tem uma linha igual a zero assim
como a matriz E1 que tem uma coluna igual a zero. A matriz B tem duas linhas iguais. A
segunda linha da matriz C é proporcional a primeira. A terceira coluna da matriz D é
combinação linear das duas primeiras e a matriz E que teve os elementos da coluna 1
multiplicado por 3 e somado com a segunda coluna.
Na etapa II, o que era linha virou coluna e o determinante da matriz F será igual ao da
matriz G.
Na etapa III, abaixo ou acima da diagonal principal todos os elementos são zeros, assim
o determinante será igual ao produto da diagonal principal.
Na etapa IV, as matrizes K e L tem os mesmos elementos com colunas em lugares
diferentes o mesmo acontecendo com as matrizes M e N com linhas trocadas.
Na etapa V, os elementos da segunda coluna da matriz P foi multiplicado por 3 formando
a segunda coluna da matriz Q e repetindo os demais elementos da matriz P. Assim o
determinante de Q será o determinante de P multiplicado por 3.
Já na etapa VI, todos os elementos da matriz R foi multiplicado por 5, com isso o
determinante da matriz S será 5 elevado a 3 (ordem da matriz) multiplicado pelo
determinante da matriz R e o mesmo processo acontece na matriz R1 e S1 de ordem 2.
Na etapa VII, a conclusão é que não precisamos da matriz inversa para saber seu
determinante. E na etapa VIII, não precisamos multiplicar uma matriz pela outra para
saber o determinante da matriz resultante.

2. Prof. Célio Roberto Januário
Calcule os determinantes das matrizes em todas as etapas.
ETAPA I.
Cada matriz possui uma singularidade que justifica seu resultado, identifique cada uma
delas.
ETAPA II
Os determinantes de F e G são justificados por uma simples alteridade de F para G ou de
G para F. Identifique-a.

3. Prof. Célio Roberto Januário
ETAPA III
Devido a uma particularidade presente em todas matrizes desta etapa, a regra de Sarrus
pode ser dispensada. Descubra esta particularidade e o novo método de resolução. Para
isso, resolva uma matriz usando o método de Sarrus e analise o resultado.
ETAPA IV
Mudanças sutis acontecem de K para L, de M para N e também nos resultados.
Descreva estas mudanças.

4. Prof. Célio Roberto Januário
ETAPA V
A relação existente de P para Q será a mesma no determinante de P para o determinante
de Q.
ETAPA VI
A matriz S é a matriz R alterada por um valor e seu determinante envolverá o produto,
potência, o determinante de S e a ordem da matriz. O mesmo acontece para S1. Organize
essa ideia.

5. Prof. Célio Roberto Januário
ETAPA VII
Dados os determinantes de R e Z e os determinantes de suas inversas, que conclusão
podemos obter?
ETAPA VIII
A partir das informações dadas, como você calcularia o determinante da matriz P, tal que
P = D × E
ETAPA IX
Analise cada etapa e descreva em cada uma delas um meio de resolução com base nos
resultados obtidos e nas informações dadas.

6. Prof. Célio Roberto Januário
Todas as matrizes foram criadas e conferidas com o geogebra.
Para as matrizes serem melhor representada usei a janela CAS, nela a representação 0,25
tem o registro ¼, por exemplo.
A matriz na janela CAS pode ser copiada para a área de transferência, porém não pode
ser editada. Para edita-la copie como LaTex e cola com as teclas Ctrl v na área de texto.

7. Prof. Célio Roberto Januário
Do lado direito e esquerdo da linha de comando pode ser editado, por exemplo colocando
A= (linha de comando) = 7

8. Prof. Célio Roberto Januário
Assim que digitamos a matriz no campo entrada ela já sai com parêntesis, mas pode -se
mudar para barras. Basta ir na aba LaTex, parêntesis e escolher barras.

9. Prof. Célio Roberto Januário
E com o cursor no meio da linha de comando vá até matrizes e escolha a ordem, depois é
só trocar as letras pelo valor desejado e editar com = no início e no final da linha de
comando.

10. Prof. Célio Roberto Januário
DIGITANDO A MATRIZ NO CAMPO DE ENTRADA
Resulta nas matriz1, matriz2...
Clique com o direito para renomear

11. Prof. Célio Roberto Januário