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LEI DE BENFORD
Digamos que tenhamos que analisar um conjunto de números e analisaremos usando o primeiro
dígito de cada número. Por exemplo, analisando o primeiro dígito de cada número da sequência
de 1 a 99 quantos números 1 aparecerão, quantos números 2, quantos 3 e assim até o número 9.
Com qual probabilidade aparecerá cada número?
Com certeza você já concluiu que cada número aparece 11 vezes, portanto com probabilidade
igual para cada primeiro dígito. Até 999 por exemplo, teremos a mesma probabilidade com
cada dígito aparecendo 111 vezes, até 100 teremos o dígito 1 aparecendo 11,2% o mesmo
acontecendo com a sequência até 1000, até 10000 e assim por diante.

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Dadas as afirmações acimas, outra pergunta pode ser feita e provavelmente responderá
facilmente: se analisarmos outros conjuntos de números pelo primeiro dígito assim como foi
feito de 1 a 99, continuaremos com probabilidade igual para cada dígito? Vamos analisar outra
sequência, a sequência de Fibonacci. A sequência de Fibonacci é 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
onde o próximo termo é sempre a soma dos dois anteriores, usando o Excel analisei os 400
primeiros números dessa sequência e os resultados são completamente diferentes dos obtidos
usando os 99 primeiros números naturais.
Dos 400 primeiros números analisados o dígito 1 apareceu mais vezes 29,75% e o dígito 9,
menos vezes 4,5%.
Primeiro dígito Percentual
1 29,75%
2 17,50%
3 12,75%
4 9,25%
5 8,00%
6 6,75%
7 5,75%
8 5,25%
9 4,50%

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Nos dois casos foram analisadas duas sequências, a dos números naturais e a de Fibonacci e se
analisarmos uma distribuição qualquer, o que teríamos? Um gráfico parecido com o primeiro,
com o segundo ou um terceiro tipo. Para análise escolhi uma lista de valores de contratos
firmado entre o governo do Estado e empresas terceirizadas, disponível no portal da
transparência.
Foram 7000 valores de contratos analisados e o percentual de distribuição do primeiro dígito é
muito próximo dos valores encontrados na sequência de Fibonacci.

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Essas duas últimas distribuições encontradas tende a manter esse padrão para diversos tipos de
distribuição aleatória, como PIB, população, densidade demográfica, área territorial, dados da
CVM, (Comissão de Valores Mobiliários) lista de compras de supermercados, taxa de
mortalidade, comprimentos de rios, eleições entres outros. Existe uma lei matemática que
sustenta essa tese, a Lei de Benford conhecida também como lei do primeiro dígito, definida
em escala logarítmica.
Frank Benford definiu que a probabilidade de cada dígito aparecer numa distribuição aleatória
é: log (1 + 1/d), com d igual a 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

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Comparações:
Trabalho dos alunos
Tabelar e criar gráficos com a probabilidade de distribuição do primeiro dígito referente a
população, área territorial, densidade demográfica e PIB dos municípios de vários estados
brasileiros. Os dados utilizados foram retirados do site do IBGE Cidades.

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Densidade demográfica dos municípios da Bahia
Densidade demográfica dos municípios de Goiás

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Densidade demográfica dos municípios da Paraíba
Áreas territoriais dos municípios do Paraná

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Densidade demográfica dos municípios de Minas Gerais
Densidade demográfica dos municípios de São Paulo

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PIB dos municípios de Santa Catarina
PIB dos municípios de Minas Gerais
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Valor Real
Valor Esperado

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PIB dos municípios da Paraíba
População dos municípios do Rio Grande do Sul

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Pontos importantes, a lei de Benford não é aplicável a qualquer conjunto numérico, por
exemplo, para os números primos, para os números naturais, para jogos de loterias entre outros.
É uma lei matemática, não jurídica, ou seja, a constatação de fraude usando a lei de Benford
não justifica prisão ou condenação, mas abre procedentes para análise, para investigação.
Veja o vídeo com um exemplo de análise nas eleições de 2010 nos municípios de Minas Gerais.