U7 t3-sistema-de-ecuaciones

1. M
A
T
E
M
Á
T
I
Tema 3. Modelización C
A
S
Modelar un problema es emplear algún tipo de ecuación para
expresar las relaciones entre las variables y conocer su
comportamiento, por ejemplo:
María tiene un terreno rectangular con un área total de 1 250
metros cuadrados, no se acuerda de las medidas, pero sabe
que de frente mide la mitad de lo que mide de fondo. Realizó
una tabla como la siguiente:
Medida de:
Área obtenida (m2) Comentario
Frente (m) Fondo (m)
40 80 3 200 Se pasa.
30 60 1 800 Se pasa.
20 40 800 Le falta.
25 50 1 250 Éstas sí cumplen.
La duda de María es si éstas serán las únicas soluciones, así que
representó el frente con la letra “a” y en consecuencia el fondo
lo simbolizó por “2a”, la representación algebraica del área es
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2. (2a)(a) = 1 250, es decir, 2a2 = 1 250. Resolvió dividiendo y
calculando la raíz cuadrada:
2a2 = 1 250
a2 = 625
a = 25, al tomar sólo la raíz positiva.
Obtuvo las mismas cantidades 25 y 50, pero al llenar la tabla se
tardó más y ahora está segura que son las únicas soluciones.
Se debe recordar que en un sistema de dos ecuaciones, al
buscar su solución, se encuentran los valores de las incógnitas
que satisfagan ambas ecuaciones.
x + y = 4
Por ejemplo, sea el sistema de ecuaciones  .
x − y = 0
La solución es x = 2, y = 2 , ya que
x+y =2 x−y =0
2+2=4 2−2 =0
Gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales representa
dos rectas:
Si se cruzan en un punto el Ejemplos:
sistema tiene solución, este
punto común representa la 2 x + y = 4

solución del sistema.  x − y = −1
Si éstas son paralelas, es
6 x − 6y = 0
decir, no tienen puntos en 
 x − y = −1
común, no existe solución.
Si éstas coinciden en todos
 5x + y = 1
sus puntos, entonces existen 
− 10 x − 2y = −2
una infinidad de soluciones.
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3. Existen varios métodos elementales para resolver sistemas de
ecuaciones, la solución es independientemente del método
que se emplee.
1. Método gráfico
Este método consiste en despejar la variable “ y ” de las dos
ecuaciones y trazar las gráficas en el mismo sistema cartesiano.
Sea el sistema 3 x − 4y = 12 despejando la  3x
 M
de ecuaciones:  x + 2y = 4 variable “ y ” y = 4 − 3 A
 −x T
y = +2
 2 E
al tabular y trazar su gráfica se tiene: M
a) b) Á
3x −x T
x y= −3 x y= +2
4 2 I
C
-4 -6 -4 4
A
    S
0 -3 0 2
   
4 0 4 0
La solución es x = 4, y = 0 .
2. Método de suma y resta
Se realizan los siguientes pasos:
Ejemplo:  x + y = −2

2 x + 3y = 1
1. Se multiplica por una
constante una de las Se multiplica la primera
ecuaciones llevándola a ecuación por -2
una ecuación equivalente,
esta ecuación debe ser tal − 2(x + y) = −2(−2) − 2 x − 2 y = 4
 ⇒
que una de las variables  2 x + 3y = 1  2 x + 3y = 1
tenga coeficiente simétrico.
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4. 2. Se suman las dos Ahora se suman
ecuaciones, esto ocasiona
que la ecuación resultante − 2 x − 2y = 4
 2x + 3y = 1
será una ecuación lineal 
con una incógnita.  y=5

3. Se despeja a la variable En este caso, ya está
de la ecuación resultante. despejada la variable.
y=5
4. Finalmente, se calcula el Se toma la primera ecuación
valor de la incógnita y se sustituye y = 5
faltante sustituyendo el valor x + y = −2
de la incógnita conocida en
x + 5 = −2
alguna de las ecuaciones.
x = −2 − 5 = −7
x = −7
La solución es x = −7, y=5
Ejemplos:
1. Si el área de un terreno cuadrado es 144 m2. Hace tiempo le
quitaron dos metros de frente y dos metros de fondo, ¿cuál era
su superficie antes?
R. Tomando a “x” como la longitud del lado antes del recorte, la
ecuación de la superficie actual es (x – 2)2 = 144, resolviendo:
(x − 2)2 = 144
(x − 2)2 = (±12)2 Se tomó la distancia positiva.
x − 2 = 12 Si x = 14 m el área era x2 = 196 m2
x = 14
2. ¿Cuál es el área sombreada en la figura?
R. El área sombreada será igual al área del
cuadrado menos el área del círculo. x
A = (2x)2 – 3.1416 x2
A = 4x2 – 3.1416 x2 = 0.8584 x2
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5. 3. Un tercio de la capacidad de un recipiente más la
capacidad total equivale a 80 litros, ¿cuál es la capacidad del
recipiente?
1
R. Sea C la capacidad total, entonces C + C = 80 , resolviendo:
3
4
C = 80 , es decir, 4C = 240 , entonces C = 60 litros.
3
M
4. ¿Cuáles números sumados dan 22 y su diferencia es dos?
A
R. Tomando a “x” e “y” como los números a encontrar, entonces T
el sistema de ecuaciones a resolver es: E
 x + y = 22 M
 x + y = 22  Á
 , sumando las ecuaciones:  x − y = 2 es decir x = 12 .
 x−y = 2 T
2x = 24 I
C
Sustituyendo en la segunda ecuación:
A
12 − y = 2 , y = 10 . S
Los números son 10 y 12.
5. ¿Cuáles son las ecuaciones que modelan el
x
siguiente sistema de ángulos?
R. El ángulo x es opuesto por el vértice al x+y
ángulo que mide 60°, entonces x = 60°. El 60°
ángulo x + y es opuesto por el vértice al ángulo
suplementario de 60°, es decir x + y = 180° – 60° = 120°. Las
ecuaciones son x = 60° y x + y = 120°.
6. Ana pretende hacer unas cajas con cartones cuadrados de
30 cm de lado, recortando las esquinas como se muestra en la
figura. Sabe que el volumen de la caja resultante variará
dependiendo del tamaño del corte.
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6. a) ¿Cuál es la ecuación que modela el volumen que tendrán
en función de “x “?
R. El lado de la base de la caja es 30 – 2x y la altura es x.
Volumen = área de la base x la altura, luego V = x (30 – 2x)2.
b) ¿Cuándo se obtendrá mayor volumen en la caja con x = 1 ó
x = 3?
R. Se tiene que sustituir los valores para comparar los volúmenes
V (3) = x(30 – 2x)2 = 3(30 – 2(3))2 = 3(30 – 6)2 = 3(242) = 1 728 cm3.
V (1) = x(30 – 2x)2 = 1(30 – 2(1))2 = (30 – 2)2 = 282 = 784 cm3.
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