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Números-Realess.pptx

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  1. 1. Alumno: Brandon Sánchez C.I: 31.162.171 Sección: IN0104 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ÁNDRES ELOY BLANCO BARQUISIMETO, ESTADO – LARA
  2. 2. Definición De Conjuntos • En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos considerada en sí misma como un objeto. Los elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, fi guras, etc. Se dice que un elementos (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él. Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es: P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
  3. 3. Operaciones Con Conjunto • Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento. Unión o reunión de conjuntos: Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión. Ejemplo 1. Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: AuB = También se puede graficar del siguiente modo: AuB =
  4. 4. Intersección de conjuntos: • Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: Ejemplo 2: Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: A n B
  5. 5. Diferencia de conjuntos: • Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: Ejemplo: Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: A B A - B Diferencia de simetrica de conjuntos: Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento. Ejemplo: Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente: U
  6. 6. Números Reales: • Son cualquier número que se encuentre o corresponda con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito. Las principales características de los números reales son: Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 … Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño. Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito. Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal infinita. Clasificación de los números reales La clasificación de los números reales incluye los siguientes números. Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero. Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero. Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando números naturales y enteros. Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número pi un ejemplo de este tipo de números.
  7. 7. Operaciones de los números reales Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades: Propiedad Interna Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real. Lo mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado otro número real. Propiedad Asociativa El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado será siempre el mismo a + (b + c) = (a + b) + c a x (b x c) = (a x b) x c Propiedad Conmutativa Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad conmutativa que indica que el orden no varía el resultado. a + b = b + a a x b = b x a • Elemento neutro y elemento opuesto • En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número. • a + 0 = a • Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números son opuestos (e - e = 0). • En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número. • a x 1 = a • 0.453 x 1 = 0.453 • En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como resultado la unidad: • a x 1/a = 1 • 3.4 x 1/3.4 = 1 Propiedad Distributiva El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos. a x (b + c) = a x b + a x c Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común. a x b + a x c = a x (b + c) La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números reales por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está formado por otros números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos. Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho más de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad para organizar, contar y realizar cálculos.
  8. 8. Desigualdades: • La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera) y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza. • Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número de palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos sujetos matemáticos expresan valores diferentes. Signos de desigualdad matemática Podemos sintetizar los signos de expresión de todas las desigualdades matemáticas posibles en los cinco siguientes: Desigual a: ≠ Menor que: < Menor o igual que: ≤ Mayor que: > Mayor o igual que: ≥ Ejemplos Las desigualdades matemáticas están formadas, en la mayoría de ocasiones, por dos miembros o componentes. Un miembro se encontrará a la izquierda del símbolo y el otro a la derecha. Un ejemplo sería expresar: 4x – 2 > 9. Lo leeríamos diciendo que “cuatro veces nuestra incógnita menos dos es superior a nueve”. Siendo el elemento 4x-2 el elemento A y 9 el elemento B. La resolución nos mostraría que (en números naturales) la desigualdad se cumple si x es igual o superior a 3 (x≥3).
  9. 9. Valor Absoluto: • El valor absoluto de un número real es la magnitud de este, independientemente del signo que le preceda. • El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el signo correspondiente a este. • Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones que deben cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor absoluto de x: • |x|=x si x≥ 0 Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el valor absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo negativo delante. Es decir, multiplicado por -1. Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el valor absoluto siempre es positivo. Propiedades del valor absoluto Entre las propiedades del valor absoluto destacan las siguientes: El valor absoluto de un número y de su opuesto es el mismo. Es decir, el valor de -19 y 19 es el mismo: 19. El valor absoluto de una sumatoria es igual, o menor, que la sumatoria de los valores absolutos de los sumandos. Es decir, se cumple que: |x+y|≤|x|+|y| Podemos comprobar lo anterior con algunos ejemplos: |8+9|≤|8|+|9| |17|≤8+9
  10. 10. Desigualdades Con Valor Absoluto: • Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una variable dentro. La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4. Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es: Cuando se resuelven desigualdes de valor absoluto, hay dos casos a considerar. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa. La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos. En otras palabras, para cualesquiera numéros reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
  11. 11. Bibliografía: • Definición De Conjuntos: https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto • Operaciones Con Conjuntos: https://www.conoce3000.com/html/espaniol/Libros/Matematica01/Cap10- 03-OperacionesConjuntos.php • Números Reales: https://www.sdelsol.com/glosario/numeros- reales/#:~:text=utilizando%20n%C3%BAmeros%20reales.- ,Qu%C3%A9%20son%20los%20n%C3%BAmeros%20reales,menos%20infinit o%20y%20m%C3%A1s%20infinito. • Desigualdades: https://www.sdelsol.com/glosario/desigualdad-matematica/ • Valor Absoluto: https://economipedia.com/definiciones/valor-absoluto.html • Desigualdades Con Valor Absoluto: https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absol ute-value-inequalities

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