2. ÍNDICE
En el presente tema estudiaremos:
• Vectores fijos del plano
• Vectores libres
• Operaciones con vectores
• Puntos y vectores
• Ecuación de la recta
• Problemas métricos:
Distancia entre dos puntos
Mediatriz de un segmento
• Ecuación de la circunferencia
3. VECTORES FIJOS DEL PLANO
Un vector es un segmento orientado en el plano.
En un vector distinguiremos:
• Módulo (su longitud)
• Dirección (la dirección de la recta que lo contiene)
• Sentido (orientación del vector: un vector solo podrá tener
dos orientaciones posibles)
A
B
En un vector distinguimos un origen (punto desde el que parte el
vector: A) y un extremo (punto al que llega el vector: B)
4. Si 𝐴 = 𝑎1, 𝑎2 y 𝐵 = 𝑏1, 𝑏2 , entonces
A
B
VECTORES FIJOS DEL PLANO
Las coordenadas de un vector 𝐴𝐵 las calculamos restando las
coordenadas del punto final menos las coordenadas del punto
inicial:
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 𝑏1 − 𝑎1, 𝑏2 − 𝑎2
Ejemplo: Si 𝐴 = −2,3 y 𝐵 = 1,4 , entonces
𝐴𝐵 = 𝐵 − 𝐴 = 1 − −2 , 4 − 3 = 3,1
5. VECTORES FIJOS DEL PLANO
Si conocemos las coordenadas de un vector, podemos calcular su
módulo aplicando el teorema de Pitágoras:
Si 𝑢 = 𝑎, 𝑏 , entonces:
𝑢 = 𝑎2 + 𝑏2
Ejemplo: Si 𝑢 = 3,1 , entonces:
𝑢 = 32 + 12 = 9 + 1 = 10
6. VECTORES FIJOS DEL PLANO
Dos vectores tienen la misma dirección si sus coordenadas son
proporcionales.
Si 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 y 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 entonces:
𝑢 ∥ 𝑣 ⇔
𝑢1
𝑣1
=
𝑢2
𝑣2
Ejemplo: Si 𝑢 = 6,8 y 𝑣 = 9,12 entonces:
𝑢 ∥ 𝑣 ⇔
6
9
=
8
12
7. VECTORES LIBRES
Dos vectores son equivalentes si tienen las mismas coordenadas.
Si 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 y 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 entonces:
𝑢 = 𝑣 ⇔
𝑢1 = 𝑣1
𝑢2 = 𝑣2
Un vector libre es el conjunto de todos los vectores fijos que son
equivalentes. Un representante de un vector libre será cualquier
vector de dicho conjunto: tomaremos como representante el
vector que “libremente” nos interese en cada caso.
8. OPERACIONES CON VECTORES
Se definen las operaciones:
• Suma de vectores.
Si colocamos los vectores libres de manera que ambos tengan
un origen común, gráficamente será un vector que tiene por
origen dicho origen común y su extremo al final de la diagonal
del paralelogramo que definen.
También, si colocamos un vector a continuación del otro, el
vector suma irá desde el origen del primero hasta el extremo
del segundo.
9. OPERACIONES CON VECTORES
En coordenadas, si 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 y 𝑣 = 𝑣1, 𝑣2 entonces
𝑤 = 𝑢 + 𝑣 = 𝑢1, 𝑢2 + 𝑣1, 𝑣2 = 𝑢1 + 𝑣1, 𝑢2 + 𝑣2
Ejemplo: si 𝑢 = 3,1 y 𝑣 = −2,3 entonces:
𝑤 = 𝑢 + 𝑣 = 3,1 + −2,3 = 3 + −2 , 1 + 3 = 1,4
10. OPERACIONES CON VECTORES
• Producto por un escalar.
Al multiplicar un vector por un número obtenemos un vector
de la misma dirección que el vector original. Según el valor de
t, el vector resultante podrá ser de mayor o menor longitud y
de la misma orientación o la opuesta:
En coordenadas, si 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 y t ∈ ℝ, entonces
𝑣 = 𝑡 · 𝑢 = 𝑡 · 𝑢1, 𝑡 · 𝑢2
Ejemplo: si 𝑢 = 3, −4 y 2 ∈ ℝ, entonces
𝑣 = 2 · 𝑢 = 2 · 3,2 · −4 = 6, −8
t > 1 0 < t < 1 −1 < t < 0 t < −1
11. OPERACIONES CON VECTORES
Para restar vectores, sumaremos al primero el opuesto del
segundo:
𝑢 − 𝑣 = 𝑢 + −𝑣
Gráficamente:
Una combinación lineal de vectores es un vector resultado de
una operación de la forma:
𝑤 = 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣
Siendo a y b números reales cualesquiera.
12. PUNTOS Y VECTORES
Para cada punto P del plano, podemos asociar a dicho punto el
vector 𝑂𝑃, (vector de posición del punto P)
Para cada vector con origen en el origen de coordenadas,
podemos asociar a dicho vector el punto extremo del mismo.
De este modo podemos operar puntos con vectores: diremos
que
𝑄 = 𝑃 + 𝑢
Si se cumple que
𝑂𝑄 = 𝑂𝑃 + 𝑢
Esto resultará útil para algunos de los siguientes ejercicios
13. PUNTOS Y VECTORES
Traslación de un punto a lo largo de un vector:
Trasladar un punto 𝑃 a lo largo de un vector 𝑢, es calcular 𝑄
𝑄 = 𝑃 + 𝑢
Dividir un segmento en partes iguales:
Para dividir el segmento 𝑃𝑄 en partes iguales, calculamos en
primer lugar el vector 𝑃𝑄 y a continuación trasladamos el punto
𝑃 a través del vector
1
𝑛
𝑃𝑄 las veces necesarias.
Por ejemplo, si se trata de dividir el segmento 𝑃𝑄 en cuatro
partes iguales calculamos los puntos
𝑃1 = 𝑃 +
1
4
𝑃𝑄 𝑃2 = 𝑃 +
2
4
𝑃𝑄 𝑃3 = 𝑃 +
3
4
𝑃𝑄
14. PUNTOS Y VECTORES
Veamos ejemplos.
• Trasladar el punto 𝑃 = 2,3 un vector 𝑢 = 6,1
𝑄 = 2,3 + 6,1 = 8,4
15. PUNTOS Y VECTORES
• Dividir el segmento de extremos 𝑃 = −1,1 y 𝑄 = 5,4 en
tres partes iguales.
𝑃𝑄 = 5 − −1 , 4 − 1 = 6,3
𝑃1 = 𝑃 +
1
3
𝑃𝑄 = −1,1 +
1
3
6,3 = −1,1 + 2,1 = 1,2
𝑃2 = 𝑃 +
2
3
𝑃𝑄 = −1,1 +
2
3
6,3 = −1,1 + 4,2 = 3,3
16. PUNTOS Y VECTORES
Punto medio de un segmento.
El punto medio de un segmento 𝑃𝑄 lo calculamos haciendo
𝑀𝑃𝑄 = 𝑃 +
1
2
𝑃𝑄 =
𝑃 + 𝑄
2
Simétrico de un punto respecto de otro.
El simétrico 𝐴′ de un punto 𝐴 respecto de un punto 𝑃 cumple
que 𝑃 = 𝑀𝐴𝐴′
Más concretamente, si 𝐴 = 𝑎1, 𝑎2 , 𝑃 = 𝑥0, 𝑦0 y 𝐴′ = 𝑥, 𝑦 ,
entonces
𝑥0, 𝑦0 =
𝑎1 + 𝑥
2
,
𝑎2 + 𝑦
2
⇒
𝑥0 =
𝑎1 + 𝑥
2
𝑦0 =
𝑎2 + 𝑦
2
17. PUNTOS Y VECTORES
Veamos otros ejemplos:
• Hallar el punto medio del segmento de extremos 𝑃 = 2,3 y
Q = 6,5
𝑀𝑃𝑄 =
2,3 + 6,5
2
= 4,4
18. PUNTOS Y VECTORES
• Hallar el punto simétrico 𝐴′ de 𝐴 = 2,3 respecto del punto
𝑃 = 8,4 .
8,4 =
2 + 𝑥
2
,
3 + 𝑦
2
⇒
8 =
2 + 𝑥
2
⇒ 𝑥 = 14
4 =
3 + 𝑦
2
⇒ 𝑦 = 5
⇒ 𝐴′ = 14,5
19. PUNTOS Y VECTORES
Puntos alineados
Tres puntos 𝑃, 𝑄 y 𝑅 están alineados si los vectores 𝑃𝑄 y 𝑃𝑅
tienen la misma dirección; es decir, si las coordenadas de ambos
son proporcionales.
Si 𝑃 = 𝑥0, 𝑦0 , 𝑄 = 𝑥1, 𝑦1 y 𝑅 = 𝑥2, 𝑦2 , entonces los
vectores son
𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 = 𝑥1 − 𝑥0, 𝑦1 − 𝑦0
𝑃𝑅 = 𝑅 − 𝑃 = 𝑥2 − 𝑥0, 𝑦2 − 𝑦0
y los puntos están alineados si:
𝑥2 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
=
𝑦2 − 𝑦0
𝑦1 − 𝑦0
20. PUNTOS Y VECTORES
Un último ejemplo
• Comprobar si los puntos 𝑃 = −1,1 , 𝑄 = 3,3 y 𝑅 = 5,4
están alineados
𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 = 3 − −1 , 3 − 1 = 4,2
𝑃𝑅 = 𝑅 − 𝑃 = 5 − −1 , 4 − 1 = 6,3
Los puntos están alienados puesto que
6
4
=
3
2
21. ECUACIÓN DE LA RECTA
Una recta viene dada por un punto por el que pase la recta y por
un vector que indique su dirección.
Escribir la ecuación de una recta es escribir la ecuación de los
puntos que forman una recta.
Si 𝑃 = 𝑥0, 𝑦0 y 𝑢 = 𝑢1, 𝑢2 , partimos de la ecuación vectorial
𝑋 = 𝑃 + 𝑡 · 𝑢
Y a partir de ahí se sigue
La primera de las ecuaciones consiste en sustituir el punto y el
vector por sus coordenadas. Es la ecuación vectorial.
𝑥, 𝑦 = 𝑥0, 𝑦0 + 𝑡 · 𝑢1, 𝑢2
22. ECUACIÓN DE LA RECTA
Si desarrollamos y operamos en la ecuación anterior,
obtendremos las ecuaciones paramétricas:
𝑥, 𝑦 = 𝑥0, 𝑦0 + 𝑡 · 𝑢1, 𝑢2 ⇒
⇒ 𝑥, 𝑦 = 𝑥0 + 𝑡 · 𝑢1, 𝑦0 + 𝑡 · 𝑢2 ⇒
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡 · 𝑢1
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡 · 𝑢2
La siguiente ecuación la obtenemos al eliminar el parámetro t de
estas ecuaciones, cosa que hacemos despejando en cada
ecuación e igualando. Obtendremos la ecuación continua.
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡 · 𝑢1
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡 · 𝑢2
⇒
𝑡 =
𝑥 − 𝑥0
𝑢1
𝑡 =
𝑦 − 𝑦0
𝑢2
⇒
𝑥 − 𝑥0
𝑢1
=
𝑦 − 𝑦0
𝑢2
23. ECUACIÓN DE LA RECTA
La última ecuación de la diapositiva anterior, tendrá sentido
siempre que las dos coordenadas del vector sean distintas de
cero. En caso de que alguna de las coordenadas sea cero,
veremos más adelante como debemos continuar.
Si partimos ahora de la ecuación continua de la recta, lo que
podemos hacer es quitar los denominadores y trasponer los
términos para tener todo en el primer miembro. Obtendremos la
ecuación general de la recta:
𝑥 − 𝑥0
𝑢1
=
𝑦 − 𝑦0
𝑢2
⇒ 𝑢2 · 𝑥 − 𝑥0 = 𝑢1 · 𝑦 − 𝑦0 ⇒
⇒ 𝑢2 · 𝑥 − 𝑢1 · 𝑦 + 𝑢1 · 𝑦0 − 𝑢2 · 𝑥0 = 0 ⇔ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0
Mirando las coordenadas, observamos que 𝑢 = −𝐵, 𝐴
24. ECUACIÓN DE LA RECTA
Si partimos de la ecuación anterior, ahora podemos despejar la
incógnita y de la ecuación. Así obtenemos la ecuación explícita
de la recta:
𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 ⇒ 𝑦 = −
𝐴
𝐵
𝑥 −
𝐶
𝐵
⇔ 𝑦 = 𝑚 · 𝑥 + 𝑛
Observamos ahora que
𝑚 =
−𝐴
𝐵
=
𝑢2
𝑢1
A este coeficiente de x lo llamaremos
pendiente de la recta y observamos que
coincide con la tangente del ángulo que
forma el vector con el eje x.
= tan 𝛼
25. ECUACIÓN DE LA RECTA
Partiendo de nuevo de la ecuación continua de la recta, si
despejamos los términos en y, obtendremos la ecuación punto-
pendiente:
𝑥 − 𝑥0
𝑢1
=
𝑦 − 𝑦0
𝑢2
⇒ 𝑦 − 𝑦0 =
𝑢2
𝑢1
· 𝑥 − 𝑥0
Observa que el número que multiplica al paréntesis de x es lo
que antes habíamos llamado pendiente:
𝑦 − 𝑦0 = 𝑚 · 𝑥 − 𝑥0
Por último, si en una recta conocemos dos puntos, 𝑃 = 𝑥0, 𝑦0
y 𝑄 = 𝑥1, 𝑦1 , elegiremos un punto (𝑃 = 𝑥0, 𝑦0 ) y el vector
𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 = 𝑥1 − 𝑥0, 𝑦1 − 𝑦0 Así, la ecuación continua es:
𝑥 − 𝑥0
𝑥1 − 𝑥0
=
𝑦 − 𝑦0
𝑦1 − 𝑦0
26. ECUACIÓN DE LA RECTA
Como comentarios de estas ecuaciones:
• En las tres primeras ecuaciones, se identifica claramente el
punto y el vector.
• En las dos últimas ecuaciones, la pendiente m es el cociente
de las componentes del vector.
• En la cuarta, los coeficientes de x e y son las componentes del
vector de dirección 𝑢 cambiadas de orden y de signo.
Vamos a ver en las próximas diapositivas, un ejemplo de como se
calcularán las ecuaciones de una recta:
28. ECUACIÓN DE LA RECTA
En la ecuación continua, quitamos denominadores:
𝑥 − 2
2
= −𝑦 + 3 ⇒ 𝑥 − 2 = 2 · −𝑦 + 3 ⇒ 𝑥 − 2 = 6 − 2𝑦 ⇒
𝑥 + 2𝑦 = 8
En la ecuación continua, despejamos la expresión 𝑦 − 𝑦0
𝑥 − 2
2
= 3 − 𝑦 ⇒
𝑦 − 3 =
−1
2
𝑥 − 2
Desde la ecuación general, despejamos la incógnita y:
𝑥 + 2𝑦 = 8 ⇒ 2𝑦 = −𝑥 + 8 ⇒
𝑦 =
−𝑥
2
+ 4
29. ECUACIÓN DE LA RECTA
Veamos gráficamente la recta de la ecuación anterior:
𝑥, 𝑦 = 2,3 + 𝑡 · 2, −1 ⇔ 𝑥 + 2𝑦 = 8
30. ECUACIÓN DE LA RECTA
Rectas paralelas a los ejes de coordenadas.
• Si la recta tiene vector de dirección 𝑢 = 𝑢1, 0 , la recta será
paralela al eje x. Tendremos las ecuaciones paramétricas
𝑥 = 𝑥0 + 𝑡 · 𝑢1
𝑦 = 𝑦0
Con lo cual, aquí nos quedamos con la ecuación que no tiene
parámetro 𝑦 = 𝑦0
• Si la recta tiene vector de dirección 𝑢 = 0, 𝑢2 , la recta será
paralela al eje y. Tendremos las ecuaciones paramétricas
𝑥 = 𝑥0
𝑦 = 𝑦0 + 𝑡 · 𝑢2
Con lo cual, aquí nos quedamos con la ecuación que no tiene
parámetro 𝑥 = 𝑥0
33. ECUACIÓN DE LA RECTA
Si 𝑢 = 𝑎, 𝑏 , entonces un vector perpendicular a este vector es
𝑣 = −𝑏, 𝑎
Recordemos que la ecuación general era 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 y el
vector de dirección de esta recta era 𝑢 = −𝐵, 𝐴
Definimos el vector normal de la recta 𝑛 = 𝐴, 𝐵 que será
perpendicular al vector de dirección, y por tanto perpendicular a
la recta. De este modo:
• Para una recta 𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , la ecuación de
cualquier recta paralela será
𝑟′ ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝑘 = 0
• Para una recta 𝑟 ≡ 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 , la ecuación de
cualquier recta perpendicular será
𝑟′′ ≡ −𝐵𝑥 + 𝐴𝑦 + 𝑘 = 0
34. ECUACIÓN DE LA RECTA
Vemos ahora un ejemplo de recta paralela:
• Si se tiene la recta 𝑟 ≡ 𝑥 + 2𝑦 = 8, calculamos la ecuación de
la recta paralela a r que pase por el punto 𝑃 = −3,4
Una paralela tiene por ecuación 𝑥 + 2𝑦 = 𝑘, y calculamos k
para que la recta pase por 𝑃 = −3,4
−3 + 2 · 4 = 𝑘 ⇒ 𝑘 = 5 ⇒ 𝑥 + 2𝑦 = 5
35. ECUACIÓN DE LA RECTA
Vemos ahora un ejemplo de recta perpendicular:
• Si se tiene la recta 𝑟 ≡ 𝑥 + 2𝑦 = 8, calculamos la ecuación de
la recta perpendicular a r que pase por el punto 𝑃 = −3,4
Una perpendicular tiene por ecuación −2𝑥 + 𝑦 = 𝑘 , y
calculamos k para que la recta pase por 𝑃 = −3,4
−2 · −3 + 4 = 𝑘 ⇒ 𝑘 = 10 ⇒ −2𝑥 + 𝑦 = 10
36. PROBLEMAS MÉTRICOS
Distancia entre dos puntos
La distancia entre dos puntos es el módulo del vector que los
une. Concretamente:
Si 𝐴 = 𝑎1, 𝑎2 y 𝐵 = 𝑏1, 𝑏2 , entonces
𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝐴𝐵 = 𝑏1 − 𝑎1
2 + 𝑏2 − 𝑎2
2
Si 𝐴 = 2,3 y 𝐵 = 6,5 , entonces
𝑑 𝐴, 𝐵 = 𝐴𝐵 = 6 − 2 2 + 5 − 3 2 = 20 ≈ 4,47
37. PROBLEMAS MÉTRICOS
Mediatriz de un segmento
La mediatriz de un segmento se define como la recta
perpendicular al segmento que pasa por su punto medio.
Si 𝑃 = 𝑥0, 𝑦0 y 𝑄 = 𝑥1, 𝑦1 , podemos calcular la ecuación de
la mediatriz del segmento 𝑃𝑄, hallando su punto medio
𝑀𝑃𝑄 =
𝑃 + 𝑄
2
=
𝑥0 + 𝑥1
2
,
𝑦0 + 𝑦1
2
Y un vector perpendicular al segmento.
𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 = 𝑥1 − 𝑥0, 𝑦1 − 𝑦0
𝑢 = − 𝑦1 − 𝑦0 , 𝑥1 − 𝑥0
De manera que la mediatriz tendrá por ecuación:
𝑥 −
𝑥0 + 𝑥1
2
− 𝑦1 − 𝑦0
=
𝑦 −
𝑦0 + 𝑦1
2
𝑥1 − 𝑥0
38. PROBLEMAS MÉTRICOS
Mediatriz de un segmento
Halla la mediatriz del segmento de extremos 𝑃 = 2,3 y
𝑄 = 6,5
El punto medio es
𝑀𝑃𝑄 =
𝑃 + 𝑄
2
=
2 + 6
2
,
3 + 5
2
= 4,4
Y el vector de dirección de la mediatriz.
𝑃𝑄 = 𝑄 − 𝑃 = 6 − 2,5 − 3 = 4,2 ⇒ 𝑢 = −2,4
De manera que la mediatriz tendrá por ecuación:
𝑥 − 4
−2
=
𝑦 − 4
4
⇒ 4𝑥 + 2𝑦 = 24 ⇔ 2𝑥 + 𝑦 = 12
39. PROBLEMAS MÉTRICOS
Mediatriz de un segmento
Los puntos de la mediatriz cumplen que están a la misma
distancia de los extremos. Por tanto, también se define la
mediatriz como el lugar geométrico de los puntos que equidistan
de los extremos del segmento.
Así, un punto 𝑋 = 𝑥, 𝑦 está en la mediatriz si:
𝑑 𝑃, 𝑋 = 𝑑 𝑄, 𝑋 ⇔
⇔ 𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑥 − 𝑥1
2 + 𝑦 − 𝑦1
2
En el ejemplo anterior, si 𝑃 = 2,3 y 𝑄 = 6,5
𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 𝑥 − 6 2 + 𝑦 − 5 2 ⇒
⇒ 8𝑥 + 4𝑦 = 48 ⇔ 2𝑥 + 𝑦 = 12
41. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos que
equidistan de un punto fijo llamado centro. A dicha distancia la
llamamos radio.
Si el centro es el punto 𝑂 = 𝑥0, 𝑦0 y el radio es r, se tiene que
𝑋 = 𝑥, 𝑦 es un punto de la circunferencia si
𝑑 𝑂, 𝑋 = 𝑟 ⇔ 𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟 ⇔
⇔ 𝑥 − 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2 = 𝑟2
Si desarrollamos la ecuación, llegamos a la ecuación general
𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0
Siendo
𝐷 = −2𝑥0 𝐸 = −2𝑦0 𝐹 = 𝑥0
2 + 𝑦0
2 − 𝑟2
42. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Veamos un ejemplo:
Halla la circunferencia de centro 𝑂 = 2,3 y de radio 4:
𝑑 𝑂, 𝑋 = 4 ⇔ 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 4 ⇔
⇔ 𝑥 − 2 2 + 𝑦 − 3 2 = 42
Desarrollando:
𝑥2 − 4𝑥 + 4 + 𝑦2 −
−6𝑦 + 9 − 16 = 0 ⇒
⇒ 𝑥2
+ 𝑦2
− 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0
43. ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
Veamos otro ejemplo:
En la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 − 4𝑥 − 6𝑦 − 3 = 0, halla el centro
y el radio.
Observando los coeficientes se tiene que:
−4 = −2𝑥0 ⇒ 𝑥0 = 2
−6 = −2𝑦0 ⇒ 𝑦0 = 3
−3 = 22
+ 32
− 𝑟2
⇒
⇒ 𝑟2 = 4 + 9 + 3 = 16 ⇒ 𝑟 = 4
