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Lección 6
COMPONENTES MAGNÉTICOS
Sistemas Electrónicos de Alimentación
5º Curso. Ingeniería de Telecomunicación
Universidad de Oviedo

COMPONENTES
MAGNÉTICOS ¿Por qué un tema dedicado a los componentes magnéticos?
• Realizan dos funciones importantísimas en la conversión de la
energía eléctrica:
- Transferencia directa de energía eléctrica con posible cambio de
escalas de tensión y corriente y obtención de aislamiento galvánico
entre entrada y salida  transformadores
- Almacenamiento de la energía eléctrica en forma de energía en un
campo magnético para su posterior transferencia bobinas (con
uno o varios devanados)
• Frecuentemente deben diseñarse a medida
• En potencias pequeñas, sí
se encuentran componentes
“estandarizados”

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Partes de un componente magnético
Núcleo de material magnético (ferrita, polvo de
hierro, aleaciones férricas amorfas, Fe, Fe Si, etc.)
Soporte para albergar el
devanado (carrete, “bobbin”)
Devanado o devanados (de hilo de
cobre con barniz aislante, pletinas o cintas
de cobre, pistas de circuito impreso, etc.)

COMPONENTES
• Montaje :
- Se parte del carrete
- Se devanan los devanados o bobinados
- Se introducen los núcleos magnéticos
- Se sujeta todo el conjunto

COMPONENTES
• Puede haber una zona en la que el
circuito magnético esté interrumpido. Es
el entrehierro (“gap”)
Sin entrehierro
Con entrehierro

COMPONENTES
• Distintos tipos de entrehierros
Con núcleos estándar Con núcleos a medida

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de dos partes
• Núcleos en “E”
E
E plano
EFD
Todos estos son de
columnas de base
rectangular (en algunos
casos redondeadas)

COMPONENTES
Son núcleos de columna
central de base circular
EC
ETD

COMPONENTES
Todos estos también son
de columna central de
base circular, pero más
blindados
EQ
ER
EP

COMPONENTES
• Núcleos muy blindados tipo P (“potcores”)
PT
PQ

COMPONENTES
• Núcleos muy blindados tipo RM
RM/I
RM
RM/ILP

COMPONENTES
• Núcleos muy poco blindados
U
En marco y
barra
• Núcleos en U:
- Con separación de los devanados
- Muy interesante para alta tensión

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Tipos de núcleos magnéticos: núcleos compuestos de una parte
• En electrónica de potencia normalmente son toroides

lm
COMPONENTES
MAGNÉTICOS Teoría básica de los componentes magnéticos
• En el estudio de la teoría básica de los componentes
magnéticos, vamos a suponer que el núcleo es toroidal

 





S
l
S
d
)
t
D
j
(
l
d
H





Una de las Ecuaciones de Maxwell

 



S
l
ni
S
d
j
l
d
H




Particularización al componente magnético
H

l
d

S
S

j

n
i
Ley de Ampère

COMPONENTES
• Ahora ya partimos de: ni
l
d
H
l





• Suponemos que el campo magnético fuera del
núcleo es despreciable y que tiene el mismo módulo
en todo él (sección uniforme), de tal forma que:
m
l
Hl
l
d
H 




(lm es la longitud media del toroide)
• Por tanto: ni
Hlm 
n
i
• Llamamos “Fuerza magnetomotriz” (Fmm) a ni:
m
mm Hl
ni
F 

lm
n
i
H

Ley de Ampère para un toroide de
sección uniforme y sin entrehierro

COMPONENTES
• Se ha supuesto que todo el campo magnético
está en el núcleo férrico. Aplicamos las
relaciones entre H y B (sin saturación, es decir,
en zona de comportamiento lineal del núcleo):
H
B
H
B Fe
Fe 






• Por otra parte: rFe
0
Fe 



rFe
0
m
mm
Bl
ni
F




• Sustituyendo en la fórmula de la Ley de Ampère, queda:
• Por tanto:
rFe
0
Fe
B
B
H





lm
n
i
H

Otra forma de expresar la Ley de Ampère para un
toroide de sección uniforme y sin entrehierro
B

,
Fe


COMPONENTES
• Por otra parte, definimos el flujo
magnético f como:
rFe
0
m
mm
A
l
ni
F


f


• Sustituyendo de nuevo en la en la fórmula
de la Ley de Ampère, queda:
 


f
A
BA
A
d
B


Otra forma más de escribir la Ley de Ampère para un toroide
con sección uniforme y sin entrehierro
lm
n
i
B

Fe

A

COMPONENTES
• Esta es la Ley de Ampère aplicada a un núcleo
de sección uniforme y sin entrehierro. ¿Cómo
sería la Ley de Ampère si hubiera entrehierro?
• Para estudiar este caso, hace falta recordar el
comportamiento del campo magnético en un
cambio de medio
B

B

B

Fe
H

g
H

Fe
H

• La densidad de
flujo es la misma
en ambos medios
• La intensidad de
campo magnético
cambia con el
medio
lm
n
i
B

Fe

A

COMPONENTES
n
i
B

Fe
H

B

g
H

lm
g
• Suponemos que hay
entrehierro en el toroide
• Suponemos que el campo
magnético en el entrehierro
sigue la misma trayectoria
que en el núcleo
Ley de Ampère para el toroide con sección uniforme y con entrehierro
g
H
l
H
ni
F g
m
Fe
mm 


g
H
l
H
l
d
H
l
d
H
ni
F g
m
Fe
g
0 g
l
0 Fe
mm
m






 





• Por tanto:
Despreciable

COMPONENTES
n
i
B

Fe
H

B

g
H

lm
g
• Aplicamos las relaciones entre H y B
(sin saturación, es decir, en zona de
comportamiento lineal del núcleo):
H
B
H
B 






• Por otra parte:
rFe
0
Fe
r
0 







 0
g 


y












 g
l
B
ni
F
rFe
m
0
mm
• Sustituyendo en la fórmula de la Ley de Ampère, queda:
• Por tanto:
rFe
0
Fe
Fe
B
B
H





0
g
B
H


y

COMPONENTES
n
i
B

Fe
H

B

g
H

lm
g











f

 g
l
A
ni
F
rFe
m
0
mm
entonces la Ley de Ampère queda:
A
• Como:
 


f
A
BA
A
d
B


Otra forma de escribir la Ley de Ampère para un
toroide con sección uniforme y con entrehierro
• Esta es la Ley de Ampère aplicada a un núcleo de sección
uniforme. ¿Cómo sería la Ley de Ampère si la sección no fuera
uniforme?
• Para estudiar este caso, hace falta recordar una de las
propiedades básicas de los campos magnéticos: son campos de
divergencia nula (adivergentes)

COMPONENTES
2
A
1
A
A
2
2
o
int
rec A
1
1
2
1
A
d
B
A
d
B
A
d
B f

f






 
 






 

o
int
rec
0
A
d
B


• Forma integral de la condición de divergencia nula (el flujo neto
que atraviesa una superficie cerrada es nulo) :
• Como sólo hay flujo distinto de
cero en A1 y A2, la condición
anterior se puede escribir como:
• Por tanto: 2
2
1
1
2
A
1
A A
B
A
B 

f

f

f

f
A2
1
B

2
B

2
A

1
A

A1
1
1
A
B
f

2
2
A
B
f

y El flujo es el mismo en
todas las secciones

n
i
COMPONENTES
g
A1
• Toroide con zonas de distinto área y con entrehierro
rFe
0
1
rFe
0
1
1
Fe
A
B
H


f




A2
l1a
l1b
l2
rFe
f





 g
H
l
H
)
l
l
(
H
ni
F g
2
2
Fe
b
1
a
1
1
Fe
mm
• Aplicando la Ley de Ampère queda:

















f


0
1
rFe
0
2
2
rFe
0
1
b
1
a
1
mm
A
g
A
l
A
l
l
ni
F
rFe
0
2
rFe
0
2
2
Fe
A
B
H


f




0
1
0
1
g
A
B
H

f



x
g
Fe
2
Fe
1
mm )
(
ni
F 

f






f



COMPONENTES
n
i
g
A1
A2
l1a
l1b
l2
rFe
f
x
g
Fe
2
Fe
1
mm )
(
ni
F 

f






f


rFe
0
1
b
1
a
1
Fe
1
A
l
l





• Reluctancia de la zona de
sección A1 en el material férrico:
rFe
0
2
2
Fe
2
A
l




• Reluctancia de la zona de
sección A2 en el material férrico:
0
1
g
A
g



• Reluctancia del entrehierro
(de sección A1):
x
mm ni
F 

f


rx
0
x
x
x
A
l




Ley de Ampère para un toroide

COMPONENTES
n
i
g
A1
A2
l1a
l1b
l2
rFe
f
• Equivalencia magnética-eléctrica
x
mm ni
F 

f


rx
0
x
x
x
A
l




Ley de Ampère para un componente
de un único circuito magnético
VEE
R1
R2
R3
iEE
x
EE
EE
em R
i
V
F 


x
x
x
x
A
l
R


Ley de Ohm para un circuito
de una única malla

COMPONENTES
n
i
g
A1
A2
l1a
l1b
l2
rFe
f
VEE
R1
R2
R3
iEE
• Fuerza magnetomotriz
• Flujo magnético
• Reluctancia
• Permeabilidad absoluta
• Fuerza electromotriz (tensión)
• Corriente eléctrica
• Resistencia
• Conductividad





COMPONENTES
• Equivalencia magnética-eléctrica en circuitos con varias ramas
f1=B1A1 f2=B2A2
f3=B3A3
A2
A3
A1
2
B

3
B

1
B

f1 = f2 + f3
(consecuencia de la
adivergencia de B)
2
j

1
j

3
j

i1=j1A1 i2=j2A2
i3=j3A3
A2
A1
A3
i1 = i2 + i3
(Kirchhoff)
También es válida

COMPONENTES
en circuitos con varias ramas
g
llat
lc/2
Alat
Ac
llat
lc/2
rFe
0
lat
lat
lat
A
l




rFe
0
c
c
c
A
l




0
c
g
A
g



Rlat
Rlat
Rc
Rg
Rlat
Rg
Rc

COMPONENTES
• Equivalencia magnética-eléctrica en circuitos con varias ramas
2
c

g

Rlat
Rlat
Rc
Rg
lat

lat
 2
c

VEE
i
i1
i2
i3
g
c
lat
g
c
lat
lat
EE
1
R
R
R
)
R
R
(
R
R
V
i





g
c
lat
g
c
lat
lat
1
)
(
ni












f
f1
• Ejemplo: cálculo de i1
n

COMPONENTES
• Reducción de un núcleo no toroidal a uno toroidal
Rlat
Rlat
Rc+Rg
VEE
Rc+Rlat/2+Rg
VEE
g

lat

lat
 2
c

i
n
i
g

2
lat
c



n

COMPONENTES
• Datos de un fabricante
Ae
le
E30/15/7
Ve  Aele

COMPONENTES
• Datos de un fabricante
rFe
0
x
x
Fe
A
l






Fe
rFe
0
x
x
A
l






E30/15/7
2
lat
c
Fe






lat

lat
 c

Valor desde el que se puede calcular la reluctancia total del circuito magnético

COMPONENTES
• Datos de un fabricante: Introducción de un entrehierro
gn
gn gn
g g
g
g = 2gn g = gn
g = gn
A2 A2
A1
A1 = 2A2

COMPONENTES
• Concepto de autoinducción (o inductancia)
x
ni



f
- Por la Ley de Ampère sabemos que:
- Definimos autoinducción:
i
n
L
f

2
L
x
2
n
A
n
i
n
L 



f

- Por tanto:
AL recibe el nombre de permeancia. Muchas veces se representa por P

COMPONENTES
• Cálculo de la autoinducción con entrehierro
desde la permeancia AL sin entrehierro, AL0
0
L
g
2
0
L
g
0
L
2
g
Fe
2
x
2
A
1
n
A
A
1
n
n
n
L














- Por tanto:
Fe
0
L
1
A



- Partimos de:
0
L
e
0
2
0
L
A
A
g
1
n
A
L



0
e
g
A
g



- Como , entonces:
Siendo:
AL0: Permeancia sin entrehierro
n: número de espiras
g: longitud del entrehierro
Ae: Área efectiva de la sección del núcleo
0: permeabilidad del vacío (4p10-7 Hm-1)

COMPONENTES
• Relación entre la tensión eléctrica y magnitudes magnéticas

 





T
S
l
S
d
t
B
l
d
E




Una de las Ecuaciones de Maxwell
Particularización al componente magnético
Ley de Faraday
S

B

+
-
v
ST
  
f









T
S S t
n
S
d
t
B
n
S
d
t
B 



v
l
d
E
l






t
n
v

f


Por tanto:
n
f
l
d

E


COMPONENTES
• Relación entre la tensión eléctrica y corriente eléctrica
- Usando la definimos autoinducción, , obtenemos:
i
n
L
f

t
i
L
v



y como i sólo puede cambiar
con el tiempo:
dt
di
L
v 
+
-
v
L
i
Otra forma de expresar la Ley de Faraday

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Teoría básica de los componentes magnéticos Resumen
g
L
Ae
f
n
+
-
v
i
0
L
Fe
A
1



0
e
g
A
g



0
L
g
2
0
L
A
1
n
A
L



dt
di
L
v 
• Los componentes magnéticos se estudian reduciendo el
comportamiento de su núcleo al de un toroide equivalente con
posible entrehierro
• El comportamiento tensión corriente del componente nos lo da la
ley de Faraday:
e
nA
Li
B 
• La inductancia L del componente magnético depende del número de
espiras al cuadrado y de la reluctancia del núcleo y del entrehierro,
según la fórmula:
• La densidad de flujo en
el núcleo magnético vale:

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de componentes magnéticos
g
L
n
+
-
v
i
• Vamos a estudiar tres casos:
L1
n1
+
-
v1
i1
n2
+
-
v2
i2
L2
L1
n1
+
-
v1
i1
n2
+
-
v2
i2
L2
g
- Bobinas con un único devanado
(almacenar energía eléctrica)
- Transformadores
(cambiar la escala de tensión y
corriente y aislamiento galvánico)
- Bobinas con varios devanados
(almacenar energía eléctrica,
cambiar la escala de tensión y
corriente y aislamiento galvánico)

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de bobinas con un único devanado
g
L
n
+
-
v
i
• Datos de partida:
- Valor de la inductancia deseada, L
- Forma de onda de la corriente por la bobina. En particular,
valor máximo de la corriente, imax
- Características del núcleo de partida. En particular, de su
permeancia sin entrehierro, AL0 y sus dimensiones (Ae y lm)
• Datos a obtener:
- Necesidad o no de entrehierro. Si es necesario, su longitud, g
- Número de espiras, n
- Diámetro del conductor del devanado, d
- Verificación de si nos vale núcleo magnético a usar
Diseño no optimizado

COMPONENTES
g
L
n
+
-
v
i
• Proceso de cálculo:
- Realizar el cálculo completo con un tamaño determinado de
núcleo. Su elección se basa en la experiencia previa del
diseñador.
- El cálculo anterior debe incluir la determinación de la longitud
del entrehierro, si éste es necesario (caso más habitual)
- Con el número de espiras calculado, estimación de las
pérdidas en los devanados en función del grosor del hilo
empleado. La sección total de hilo conductor debe caber en el
núcleo
- En caso que el diseño no se juzgue adecuado, cambiar de
tamaño y/o forma del núcleo

COMPONENTES
L
n
i
• Diseño sin entrehierro (habitualmente no es válido):
- Partimos de un núcleo elegido (AL0 y Ae), de L y de imax
0
L
2
0
L
A
L
n
n
A
L 


e
0
L
max
e
max
max
A
L
A
i
nA
Li
B 

Normalmente Bmax > Bsat (300-400 mT),
por lo que el diseño no es válido
(el valor de AL0 no es el supuesto inicialmente
al estar el núcleo saturado y haber perdido,
por tanto, sus propiedades magnéticas)

COMPONENTES
• Diseño con entrehierro:
- Partimos de un núcleo elegido (AL0 y Ae), de L, de imax y de la
Bmax deseada, siempre menor que la de saturación
- Calculamos n:
Diseño no optimizado L
n
i g
max
e
max
e
max
max
B
A
Li
n
nA
Li
B 


(se debe elegir un número
entero, el mayor más próximo)
- Calculamos g:














 1
L
n
A
A
A
g
A
A
g
1
n
A
L
2
0
L
0
L
e
0
0
L
e
0
2
0
L
- Ahora ya conocemos n y g. El siguiente paso es calcular las
pérdidas y reconsiderar el diseño

COMPONENTES
• Las pérdidas se dividen en:
- Pérdidas en el devanado (vulgarmente, pérdidas en el cobre)
- Pérdidas en el núcleo (vulgarmente, pérdidas en el hierro)
• Para calcular las pérdidas en el devanado hace falta:
- Calcular el valor eficaz de la forma de onda de la corriente
- Calcular el valor de la resistencia del devanado
• Para calcular la resistencia del devanado hace falta:
- Calcular la longitud del hilo del devanado
- Calcular la sección del hilo del devanado

COMPONENTES
• Cálculo de la longitud del hilo del devanado
(ejemplo de sección circular):
n
r
2
l m
Cu p

rm
• Cálculo de la sección del hilo del devanado
- Sección total de cobre en la “ventana” del
núcleo:
n
2
d
A
2
Cu 





p
 (d es el diámetro del hilo de cobre)
- Sección total de la “ventana” del núcleo: AW
- Como el hilo de cobre no se ajusta perfectamente en la ventana, hay
parte del área que no es posible llenar y queda vacía. Se define el
“factor de ventana” fW:
W
Cu
W
A
A
f  (típicamente fW 0,3)
AW

COMPONENTES
- Como el devanado debe caber en la ventana,
se debe cumplir:
n
f
A
2
d
f
A
A W
W
W
W
Cu
p



- Supongamos que toda la sección de cobre es
útil para la circulación de corriente. Entonces la
resistencia del devanado vale:
rm
AW
W
W
Cu
2
m
2
Cu
Cu
Cu
f
A
n
r
2
2
d
l
R

p







p


- Pérdidas en el devanado:
2
Lef
Cu
W
W
2
m
2
Lef
Cu
Cu i
f
A
n
r
2
i
R
P

p


Para un núcleo dado, las pérdidas en el devanado crecen con n2

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de bobinas con un único devanado Diseño no optimizado
¿Es útil de verdad toda la sección de cobre para la circulación de
corriente eléctrica? Hay que hablar de los efectos “pelicular” y
“proximidad”
- Efecto pelicular: en un conductor aislado que conduce corriente
eléctrica con una componente de alterna, el campo magnético variable
que ésta genera redistribuye de forma no uniforme la densidad de
corriente en el conductor, produciéndose zonas en las que casi no hay
conducción de corriente
- Efecto proximidad: como el efecto pelicular, pero en presencia de un
campo magnético producido por la conducción de corriente por otros
trozos de conductor
Conductor macizo
en continua
Conductor macizo
único en alterna
Conductor macizo
no único en alterna
Múltiples conductores
paralelos en alterna

COMPONENTES
• Concepto de profundidad pelicular (“skin”) o
profundidad de penetración:
f
1
0
Cu
S

p


s
• A 60 Hz  s= 8,5 mm
• A 100 kHz  s= 0,21 mm
• A 1 MHz  s= 0,067 mm
(esto ocurriría con sólo alterna; en la mayoría
de las bobinas de los convertidores hay una
fuerte componente de continua, por lo que la
situación no es tan grave)
• La mejor manera de aprovechar la sección de cobre
es sustituir el conductor macizo por otro compuesto
por muchos conductores de diámetro menor de 2s.
Esto encarece el devanado.
• El hilo “litz” se basa en este principio
>2s

COMPONENTES
• Pérdidas en el núcleo de un componente magnético
- Por histéresis
 La curva B-H real tiene histéresis. El
funcionamiento del componente describe
un área en la curva B-H que define las
pérdidas por histéresis
- Por corrientes inducidas en el núcleo
(“eddy currents”)
 El flujo magnético variable induce
corrientes en el propio núcleo. La circulación
de estas corrientes provoca pérdidas
 Es importante que el material férrico del
núcleo tenga alta resistividad eléctrica
HFe
BFe

COMPONENTES
• Cálculo analítico de las pérdidas en el núcleo
- Las pérdidas crecen con la componente de alterna de la densidad de
flujo y con la frecuencia. Una fórmula empírica aproximada es:
y
p
x
e
Fe B
f
kV
P  Siendo:
k: una constante
Ve: volumen efectivo del núcleo
f: frecuencia de la componente alterna
Bp: valor de pico de la componente alterna de la
densidad de flujo
x: exponente muy variable
y: exponente de valor próximo a 2
e
p
p
nA
Li
B 
2
e
2
2
p
2
x
e
Fe
A
n
i
L
f
kV
P 
Para un núcleo dado y a una frecuencia fija,
las pérdidas en el núcleo decrecen con n2
Siendo:
Ae: área efectiva del núcleo
ip: valor de pico de la componente alterna de la
corriente

COMPONENTES
- Los valores de k, x e y se pueden obtener
desde curvas de pérdidas suministradas por
los fabricantes de núcleos
y
p
x
e
Fe B
f
kV
P 
y
p
x
e
Fe
B
kf
V
P


COMPONENTES
• Pérdidas totales:
2
e
2
2
p
2
x
e
Cu
W
W
2
2
Lef
m
Fe
Cu
T
A
n
i
L
f
kV
f
A
n
i
r
2
P
P
P 

p



PFe
PT
PCu
n
Pérdidas
- Ahora ya conocemos las pérdidas totales en la bobina. Si éstas son
suficientemente bajas, el diseño es adecuado. En caso contrario
habrá que elegir un núcleo mayor.
- Sin embargo, hay otra forma de enfocar el diseño. Se trata de
intentar trabajar a mínimas pérdidas, partiendo de elegir n para
pérdidas mínimas.
Diseño realizado
Diseño de optimización de pérdidas

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de bobinas con un único devanado Diseño optimizado
2
2
e
2
p
2
x
e
2
Cu
W
W
2
Lef
m
T
n
1
·
A
i
L
f
kV
n
f
A
i
r
2
P 

p

PFe
PT
PCu
n
Pérdidas
- En esta función, el mínimo se alcanza cuando PFe = Pcu. Por tanto:
2
op
2
e
2
p
2
x
e
2
op
Cu
W
W
2
Lef
m
n
1
·
A
i
L
f
kV
n
f
A
i
r
2


p
4
2
e
2
Lef
m
Cu
W
W
2
p
2
x
e
op
A
i
r
2
f
A
i
L
f
kV
n
p


- Sin embargo, este diseño no garantiza que la densidad de flujo esté
por debajo de la de saturación. Por tanto, hay que comprobarlo
nop

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de bobinas con un único devanado Diseño optimizado
PFe
PT
PCu
n
Pérdidas
nop
- Si Bop < Bsat, entonces el
diseño es posible.
e
op
max
op
A
n
Li
B 
- Sabemos que:
- Si Bop > Bsat, entonces el
diseño no es posible. Hay que
elegir otro núcleo o hacer un
diseño no optimizado
B
n
Bsat
nop
Bop
B
n
Bsat
nop
Bop

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de bobinas con un único devanado Inductancia de dispersión
• En todo lo desarrollado hasta ahora se ha
supuesto que no hay flujo disperso por el aire
• Vamos a valorar su influencia en la inductancia
de la bobina
• Para ello, es preciso estudiar la densidad de
energía asociada al campo magnético:
 

v
V B
d
H
w


n
i
B

Fe
H

B

g
H

lm
g
• Si aplicamos esto a un componente
magnético sin flujo disperso, queda:

 



g
g
Fe
Fe
V B
d
H
B
d
H
w




g
Fe
V w
w
w 

rFe
0
2
Fe
2
B
w



0
2
g
2
B
w



COMPONENTES
rFe
m
0
2
e
Fe
Fe
Fe
l
2
B
A
V
w
W




g
2
B
A
V
w
W
0
2
e
g
g
g



m
rFe
Fe
g
l
g
W
W 

• Habitualmente, . Ejemplo:
g 1 mm; lm70 mm; rFe 2200
1
W
W
Fe
g

1
4
,
31
70
2200
W
W
Fe
g



La mayor parte de la energía se
almacena en el entrehierro
i
n
Baja energía
Alta energía
• La energía almacenada vale:

COMPONENTES
i
n
Baja energía
Alta energía
• ¿Es esto extraño?
No, es lo mismo que pasa en el equivalente eléctrico
Siendo Rg >>RFe
VEE
RFe
Rg
Baja potencia
Alta potencia
• Cuanto más pequeña es la suma de reluctancias, más energía se
almacena en el núcleo
• Para una suma de reluctancias dada, cuanto mayor es la del
entrehierro, más se almacena en él

COMPONENTES
• Analicemos ahora lo que ocurre con el flujo disperso
- Representamos la fuerza magnetomotriz Fmm(x)
en la ventana
- Aplicamos la Ley de Ampère a los caminos que
describe el flujo disperso:
ni
ni2/3
ni/3



 )
x
(
l
H
)
x
(
l
H
)
x
(
l
H
)
x
(
F W
1
W
W
1
W
Fe
Fe
mm
Fmm(x)
x
W
1
mm
W
l
)
x
(
F
)
x
(
H 

l1W
- La densidad de energía en la ventana vale:
2
)
x
(
H
2
)
x
(
B
)
x
(
w
2
W
0
0
2
W
W




- Y la energía en el volumen de las ventanas vale:



W
V
W
2
W
0
W dV
2
)
x
(
H
W

COMPONENTES
- Por tanto: 


W
V
W
2
W
0
W dV
)
x
(
H
2
W
- Por otra parte: 2
d
W i
L
2
1
W 
- Por tanto: 2
V
W
2
W
0
d
i
dV
)
x
(
H
L W



siendo Ld la inductancia de dispersión
- En nuestro ejemplo: ni
ni2/3
ni/3
Fmm(x)
x
l1W
l2W l2Wa
l3W
2
W
1
Wa
2
W
2
W
3
0
d n
l
l
3
2
l
l
2
L










COMPONENTES
• Modelo equivalente eléctrico sin dispersión:
VEE
RFe
Rg
• Modelo equivalente eléctrico con dispersión:
RFe
VEE
Rg
i1
RW
i2
iT
i1



g
Fe
EE
1
R
R
V
i
g
Fe
1
ni




f
2
1
L
g
Fe
2
1 n
A
n
L 




Por tanto:
Siendo:
g
Fe
1
L
1
A




ni
A
ni
R
R
V
i 1
L
g
Fe
1
g
Fe
EE
1 




f



ni
A
ni
R
V
i LW
W
2
W
EE
2 


f


ni
)
A
A
( LW
1
L
T 

f
Por tanto: d
1
2
W
1
L
T L
L
n
)
A
A
(
L 




COMPONENTES
• En conclusión, la inductancia total es la suma
de la teórica sin dispersión más la de dispersión:
d
1
T L
L
L 

2
1
L
1 n
A
L 
g
Fe
1
L
1
A




2
LW
d n
A
L 
W
LW
1
A


i
L1 Ld
LT
W
1
Wa
2
W
2
W
3
0
LW
l
l
3
2
l
l
2
A









0
L
e
0
0
L
L
A
A
g
1
A
A



l1W
l2W
l2Wa
l3W
g/2
- En nuestro ejemplo:

+
-
v1
+
COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de transformadores
• En una primera aproximación, vamos a despreciar el flujo disperso.
Analizamos la teoría básica de un transformador
• Relaciones entre n1, n2, L1 y L2:
L1
n1 n2
L2
io1
+
-
v2
io2=0
• Colocamos una fuente de tensión en un
devanado. Ocurren los siguientes fenómenos:
f
- Se produce un flujo magnético fy una corriente io1, de acuerdo con la
Ley de Faraday:
2
1
0
L
1 n
A
L  2
2
0
L
2 n
A
L  2
2
2
1
2
1
n
n
L
L


- Como el otro devanado está
atravesado por el mismo flujo:
2
2
1
1
2
2
n
v
n
v
dt
d
n
v 

f

- Y como está en vacío: 0
i 2
o 
L1
n1 n2
L2
Sin flujo disperso
dt
d
n
v 1
1
f
 




1
0
t
t
1
1
1
o
1
o
1
1 dt
v
L
1
i
dt
di
L
v

COMPONENTES
i2
• Ahora colocamos una resistencia en la salida de tensión v2.
Obligatoriamente circulara una corriente i2:
- Pero, el flujo tiene que estar determinado por la Ley de Faraday.
¿Cómo se compatibilizan ambas “obligaciones”?
2
2
2
R
v
i 
1
2
1
2
2
2 L
n
n
L 
1
1
2
2 v
n
n
v 
+
-
v1
+
i1
+
-
v2
f
L1
n1 n2
L2
Sin flujo disperso
R2
- También obligatoriamente la corriente i2 tiene que generar un
flujo f2:
2
2
2
2 i
n
L

f

COMPONENTES
• El flujo total debe ser f. Asimismo, i2 crea un nuevo flujo f2.
Obligatoriamente se debe crear otro flujo f1 para cancelar el efecto de f2:
i2
1
2
1
2
2
2 L
n
n
L 
1
1
2
2 v
n
n
v 
+
-
v1
+
i1
+
-
v2
f
L1
n1 n2
L2 R2
2
2
2
1
o
1
1
2
1
2
1 i
n
L
i
n
L


f

f

f

f

f

f
- Y también: . Por tanto:
1
1
1
1 i
n
L

f 2
1
2
2
1
1
o
1 i
L
n
L
n
i
i 

- Teniendo en cuenta la relación entre L1 y L2, se obtiene:
2
1
2
1
o
1 i
n
n
i
i 

Sin flujo disperso

COMPONENTES
1
1
2
2 v
n
n
v 
i2
+
-
v1
+
i1
+
-
v2
L1
n1 n2
L2 R2 2
1
2
1
o
1 i
n
n
i
i 

Sin flujo disperso
io2=0
+
-
v1
+
io1
+
-
v2
L1
n1 n2
L2
0
i 2
o 
1
1
2
2 v
n
n
v 



1
0
t
t
1
1
1
o dt
v
L
1
i
2
2
2
R
v
i 



1
0
t
t
1
1
1
o dt
v
L
1
i
Resumen:

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de transformadores Sin flujo disperso
1
1
2
2 v
n
n
v 
2
1
2
1
o
1 i
n
n
i
i 

2
2
2
R
v
i 



1
0
t
t
1
1
1
o dt
v
L
1
i
• Representación:
Transformador ideal
(ni siquiera magnético)
io1
L1
n1:n2
v1
+
-
v2
+
-
i2
i1 i2n2/n1
R2
+
i2
+
nv1
ni2
v1
+
-
v2
+
-
i1i
i2
i1i
1:n
v1
+
-
v2
+
-
v2 = v1n i2 = i1i/n

COMPONENTES
• Terminología habitual:
i1 i2’
Transformador ideal
im
Lm
n1:n2
v1
+
-
v2
+
-
i2
R2
+
1
1
2
2 v
n
n
v 
'
i
i
i 2
m
1 

2
2
2
R
v
i 



1
0
t
t
1
m
m dt
v
L
1
i
2
1
2
2 i
n
n
'
i 
• Lm es la inductancia magnetizante. Aquí se ha “referido” al primario
del transformador, pero se puede referir al secundario o a cualquier
otro devanado (si existe). Interesa que sea lo mayor posible
• Lm caracteriza el hecho de que el transformador electromagnético
transfiere energía creando y compartiendo flujo magnético
• La corriente por Lm es la corriente magnetizante im. En general
interesa que sea lo menor posible

COMPONENTES
• Procedimiento de diseño:
- Partimos de un núcleo elegido (AL0 y Ae), de v1, del intervalo de
tiempo ton = t1 - t0 en el que va a crecer el flujo (tiempo en el que v1 es,
por ejemplo, positiva), del valor de B en t0 (es decir, de B0) y del valor
máximo deseado de B (es decir, de Bmax), siempre menor que la de
saturación
- Calculamos n1 desde la Ley de Faraday:
  
 








1
0
1
0
t
t
1
e
0
max
1
t
t
1
e
1
0
max
e
1
1 dt
v
A
B
B
1
n
dt
v
A
n
1
B
B
B
dt
dB
A
n
v
1
2
1
2
v
v
n
n 
- Calculamos n2 en función de v2:
- Asignamos a cada devanado la mitad de la ventana. Calculamos la
sección de los conductores y las pérdidas como en las bobinas (en el
caso de los transformadores, el efecto proximidad es muy importante)
- Si el diseño no nos satisface, se recalcula con otro núcleo. También
es posible adaptar el diseño optimizado a los transformadores

COMPONENTES
• El transformador tiene como misión transformar, no almacenar, energía
eléctrica. Sin embargo, siempre se almacena una parte de energía
eléctrica en la inductancia magnetizante
• ¿Debe colocarse un entrehierro en el circuito magnético de un
transformador para que su núcleo férrico no se sature? No, si trabaja
como tal
• ¿Por qué un entrehierro soluciona los problemas de saturación en una
bobina y no en un transformador?
• Transformador: el la densidad de flujo la fija la tensión:





2
1
t
t
e
e vdt
nA
1
B
dt
dB
nA
v luego B decrece al crecer n
y
0
L
e
0
2
0
L
A
A
g
1
n
A
L



0
L
e
0
0
L
e A
A
g
1
LA
i
nA
Li
B




luego B decrece
al crecer g
• Bobina: la densidad de flujo la fija la corriente y depende de la
reluctancia del circuito magnético, que se puede modificar con g:

COMPONENTES
i2
+
-
v1
+
i1
+
-
v2
L1
n1 n2
L2 R2
f
0
L
Fe
A
1



if
VEE2n2i2
VEE1n1i1
Fe
Fe
R 


• Modelo equivalente eléctrico de las magnitudes magnéticas en el
transformador

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de transformadores Con flujo disperso
• Hay que valorar el campo
magnético disperso. Para ello
representamos la fuerza
magnetomotriz a lo largo de
una ventana del núcleo
l1W
n1i1
n1i1-n2i2
n1
n2
Fmm(x)
x
l2W1
l2W2
i1
Transformador real
n1:n2
v1
+
-
v2
+
-
i2

l3W
COMPONENTES
• Calculamos la intensidad del campo magnético a lo largo de una
ventana del núcleo para después obtener la inductancia de dispersión
n1i1/l1W
x
H(x) H(x)2
x
W
3
W
1
V
W
2
W
H
l
l
dV
)
x
(
H
A W
2


2
1
W
3
W
1
H
0
2
1
V
W
2
W
0
1
d
i
l
l
A
i
dV
)
x
(
H
L
2
W





l1W
n1
n2
l1W
l1W
l1W
n1
n1
n2
n2
n1i1
n1i1-n2i2
Fmm(x)
x
l2W1
l2W2
n1i1
n1i1-n2i2
n1i1
n1i1-n2i2
n1i1-n2i2
Fmm(x)
x
l2W1
l2W2
Fmm(x)
x
l2W1
l2W2
Fmm(x)
x
l2W1
l2W2

COMPONENTES
Con flujo disperso
• ¿Qué se puede hacer para
disminuir la inductancia de
dispersión? Disminuir los
valores de H en la ventana
l1W
Fmm(x)
x
n2/3 2n1/3 2n2/3 n1/3
H(x)2
x
n1i1-n2i2
n1i1/3
-n1i1/3
W
3
W
1
V
W
2
W
H
l
l
dV
)
x
(
H
A W
2


2
1
W
3
W
1
H
0
1
d
i
l
l
A
L
2


El entrelazado de
devanados disminuye la
inductancia de dispersión

COMPONENTES
n2/3 2n1/3 2n2/3 n1/3
Con entrelazado
n2 n1
Sin entrelazado
H(x)2
x
2
H
A
Alta Ld
Baja Ld
x
H(x)2
2
H
A

n2i2 n1i1
COMPONENTES
• Modelo equivalente eléctrico
de las magnitudes magnéticas
en el transformador
Con flujo disperso
3
Fe

g

2
Fe

1
Fe

1
Fe

VEE2
RFe2 RFe1
RFe1
Rg
RFe3
VEE2
VEE1 VEE1
RFe3
RFe1
RFe1
RFe2
Rg

COMPONENTES
• Simplificamos el equivalente eléctrico
Con flujo disperso
VEE2
RFe2 RFe1
RFe1
Rg
RFe3
VEE2
VEE1 VEE1
RFe3
RFe1
RFe1
RFe2
Rg
VEE2
RFe2 RFe1
Rg
RFe3
RFe1 VEE1
VEE2
RFe2 2RFe1+RFe3
Rg VEE1

COMPONENTES
• Seguimos simplificamos el equivalente eléctrico
Con flujo disperso
• Supongamos que dejamos el devanado secundario en circuito abierto
 n2i2 = 0  sustituimos la fuente de tensión VEE2 del equivalente eléctrico
por un cortocircuito
g
2
Fe
g
2
Fe
1
Fe
1
eq
R
R
R
R
'
R
R



g
2
Fe
1
Fe
g
2
Fe
1
Fe
g
2
Fe
g
2
Fe
1
Fe
1
eq
R
1
R
1
'
R
1
R
1
R
1
'
R
1
R
R
R
R
'
R
1
R
1















VEE2
RFe2 2RFe1+RFe3
Rg VEE1
VEE2
RFe2 RFe1’
Rg
VEE1
RFe2 RFe1’
Rg
Req1

COMPONENTES
• Ahora volvemos al circuito magnético
Con flujo disperso
g
2
Fe
1
Fe
g
2
Fe
1
Fe
1
eq
R
1
R
1
'
R
1
R
1
R
1
'
R
1
R
1












g
2
Fe
1
Fe
g
2
Fe
1
Fe
1
eq
1
1
'
1
1
1
'
1
1



















• Multiplicamos por n1
2 tenemos en cuenta la relación entre
reluctancias e inductancias:
 
1
d
21
Fe
11
Fe
1
d
21
Fe
11
Fe
1
eq
g
2
1
2
Fe
2
1
1
Fe
2
1
g
2
1
2
Fe
2
1
1
Fe
2
1
1
eq
2
1
L
L
L
L
L
L
L
n
n
'
n
n
n
'
n
n
























• Siendo:
1
Fe
2
1
11
Fe
'
n
L


2
Fe
2
1
21
Fe
n
L


g
2
1
1
d
n
L



COMPONENTES
 
2
d
12
Fe
22
Fe
2
d
12
Fe
22
Fe
2
eq
g
2
2
1
Fe
2
2
2
Fe
2
2
g
2
2
1
Fe
2
2
2
Fe
2
2
2
eq
2
2
L
L
L
L
L
L
L
n
'
n
n
n
'
n
n
n
























• Repetimos lo anterior, pero ahora dejando el primario en circuito
abierto  n1i1 = 0  sustituimos la fuente de tensión VEE1 del equivalente
eléctrico por un cortocircuito. Siguiendo idéntico procedimiento, obtenemos:
• Siendo:
2
Fe
2
2
22
Fe
n
L


1
Fe
2
2
12
Fe
'
n
L


g
2
2
2
d
n
L


• Por tanto:
2
1
2
11
Fe
12
Fe
n
n
L
L 








2
1
2
21
Fe
22
Fe
n
n
L
L 








2
1
2
1
d
2
d
n
n
L
L 








 
1
d
11
Fe
21
Fe
1
d
11
Fe
21
Fe
2
1
2
2
eq
L
L
L
L
L
L
n
n
L













COMPONENTES
• Resumen de lo obtenido
Con flujo disperso
Primario Secundario
Leq1 Leq2
 
1
d
21
Fe
11
Fe
1
d
21
Fe
11
Fe
1
eq
L
L
L
L
L
L
L




 
1
d
11
Fe
21
Fe
1
d
11
Fe
21
Fe
2
1
2
2
eq
L
L
L
L
L
L
n
n
L












n1:n2
v1
+
-
v2
+
-
i2
LFe11
LFe21
Ld1
Primario Secundario
i1 i2n2/n1
Transformador ideal
Modelo en “p”

COMPONENTES
n1:n2
LFe1
Ld11
Primario Secundario
Transformador ideal
Ld21
n2
n1
• Con otras estructuras, las inductancias parásitas encajan mejor
con un modelo en “T”
Modelo en “T”

COMPONENTES
n1:n2
Lm1
Ld1
Primario Secundario
Transformador ideal
• El la práctica, se trabaja con un modelo simplificado de ambos. Se
basa en una inductancia de dispersión y en la inductancia magnetizante
• La inductancia de dispersión Ld1 se determina midiendo la impedancia
del primario con la salida en cortocircuito
• La inductancia magnetizante Lm1 se determina midiendo la impedancia
del primario con la salida en circuito abierto y restando a esta medición
el valor de Ld1

COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de bobinas con varios devanados
• Realizan las misiones de las bobinas (almacenar energía) y
de los transformadores (cambiar la escala tensión-corriente y
suministrar aislamiento galvánico)
• Para poder realizar correctamente las funciones de una
bobina, habitualmente necesitan entrehierro.
• Para poder realizar correctamente las funciones de un
transformador, el acoplamiento entre devanados debe ser lo
mejor posible (baja inductancia de dispersión)
• Al contrario que en un transformador, la inductancia
magnetizante referida a un devanado debe tener un valor
concreto: la inductancia deseada para ese devanado
• Las inductancias de todos los devanados están relacionadas
entre sí al estar en el mismo núcleo:
2
n
n
2
3
3
2
2
2
2
1
1
n
L
...
n
L
n
L
n
L





COMPONENTES
MAGNÉTICOS Diseño de bobinas con varios devanados
• Ejemplo de bobina con dos devanados
Entrehierro Con entrelazado

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