En nuestra vida cotidiana usamos la matemática, en cada momento y donde estemos necesitamos saber algo de la matemática, por lo menos saber las cuatro operaciones básicas que son la adición, sustracción, multiplicación y división; ya que cuando compramos algo tenemos que sacar la cuenta, cuando vendemos tal cosa, y así. Es por eso que aquí les presento un poco de la teoría de la potenciación y radicación en números reales con algunos ejemplos, ya que hay muchos personas que tienen la necesidad de aprender algo acerca del tema, es básico pero es muy importante conocer y hacer el uso adecuado de las propiedades. Este tema es el comienzo de álgebra básica, para saber los temas posteriores es necesario saber este tema, ya que tenemos que identificar y saber reconocer adecuadamente las teoremas, saber leer de una manera adecuada

1. ESCUELA PROFESIONAL DE MATEMÁTICA Y FÍSICA
TEORÍA DE EXPONENTES
REALIZADO POR: Santiago Rivadeneiro,
Bailon Eloy

2. Exponentes Y RADICALES EN ℝ
LEYES DE EXPONENTES
Es la cantidad de teoremas y definiciones que estudian diferentes relaciones,
operaciones y transformaciones que se realizar con los exponentes.
𝑛 𝒗𝒆𝒄𝒆𝒔
De donde, si:
𝒙𝒏
= P
Exponente
Potencia
Base
Por ejemplo: 26
= 2.2.2.2.2.2 = 64
EXPONENTE NATURAL
Se define : 𝒙𝒏
= 𝒙. 𝒙. 𝒙. 𝒙. 𝒙. 𝒙 ; 𝒏 ∈ ℕ

3. EXPONENTE NEGATIVO:
𝑥−𝑛
=
1
𝑥𝑛 ; 𝑥 ≠ 0
1
0
= ∄ , 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒊𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒄𝒆𝒓𝒐
𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒏𝒐 𝒆𝒔𝒕á 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒅𝒐.
𝐎𝐁𝐒𝐄𝐑𝐕𝐀𝐂𝐈Ó𝐍
𝑿
𝒚
−𝒏
=
𝒚
𝒙
𝒏
𝒙 ≠ 𝟎
𝒚 ≠ 𝟎
Ejemplo: 𝟎, 𝟓 −𝟐 =
𝟏
𝟐
−𝟐
= 𝟐𝟐 = 𝟒
EXPONENTE FRACCIONARIO
𝐱
𝐧
𝐦 =
𝒎
𝒙𝒏
Ejemplo: −𝟑𝟐
𝟐
𝟓=
𝟓
−𝟑𝟐 𝟐 = −𝟐 𝟐
= 𝟒

4. PRODUCTO DE BASES IGUALES
𝒙𝒎
× 𝒙𝒏
= 𝒙𝒎+𝒏
, 𝒙 ≠ 𝟎
Ejemplo:
RESOLUCIÓN
𝟐𝟑
× 𝟐𝟐
× 𝟐𝟒
= 𝟐𝟑+𝟐+𝟒
= 𝟐𝟗
= 𝟓𝟏𝟐
COCIENTE DE BASES IGUALES
𝒙𝒎
𝒙𝒏 = 𝒙𝒎−𝒏
, 𝒙 ≠ 𝟎
Ejemplo:
𝟔𝟏𝟖
𝟔𝟏𝟔
= 𝟔𝟏𝟖−𝟏𝟔
= 𝟔𝟐
= 𝟑𝟔

5. 𝒙𝟎
= 𝟏 𝒙 ≠ 𝟎
00 𝑒𝑠 𝑰𝑵𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹𝑴𝑰𝑵𝑨𝑫𝑶
Ejemplo:
𝟑𝟒𝟓𝟔𝟕𝟖𝟎 = 𝟏
𝟑𝟐𝟓𝟔𝟎
=1
POTENCIACIÓN DE UNA MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
𝒙 × 𝒚 𝒎
= 𝒙𝒎
× 𝒚𝒎
𝒙
𝒚
𝒏
=
𝒙𝒏
𝒚𝒏 , 𝒚 ≠ 𝟎
Ejemplo:
𝟐 × 𝟑 𝟐
× 𝟑 × 𝟓 −𝟐
= 𝟐𝟐+(−𝟐)
× 𝟑𝟐+(−𝟐)
× 𝟓−𝟐
= 𝟐𝟎
× 𝟑𝟎
× 𝟓−𝟐
=
𝟏
𝟐𝟓

6. 𝒙𝒎 𝒏
= 𝒙𝒎×𝒏
𝒙𝒎
× 𝒙𝒔 𝒏
= 𝒙 𝒎+𝒔 𝒏
𝒙𝒎
× 𝒚𝒏 𝒔
= 𝒙𝒎×𝒔
× 𝒚𝒏×𝒔
𝒙𝒎𝒏
≠ 𝒙𝒎 𝒏
Ejemplos:
𝟑𝟐
𝟏
𝟐 = 𝟑𝟐×
𝟏
𝟐 = 𝟑𝟏
=3
𝟕𝟐
× 𝟕𝟑
𝟏
𝟓 = 𝟕 𝟐+𝟑
𝟏
𝟓 =7
𝟐𝟐
× 𝟑𝟑 𝟐
= 𝟐𝟐×𝟐
× 𝟑𝟑×𝟐
𝒏
𝒙 × 𝒚 = 𝒏
𝒙 × 𝒏
𝒚
𝐄𝐉𝐄𝐌𝐏𝐋𝐎:
𝟑
𝟖 × 𝟐𝟕 =
𝟑
𝟖 ×
𝟑
𝟐𝟕 = 𝟐 + 𝟑 = 𝟓
𝟖 × 𝟔 = 𝟖 × 𝟔 = 𝟒 𝟑

7. RADICACIÓN DE UNA DIVISIÓN
𝒏 𝒙
𝒚
=
𝒏
𝒙
𝒏
𝒚
, 𝒚 ≠ 𝟎
Ejemplo:
𝟓 625
𝟑𝟐
=
𝟓
625
𝟓
𝟑𝟐
=
5
2
POTENCIA DE UNA RAIZ
𝒏
𝒙
𝒎
= 𝒏
𝒙
𝒎
OBSERVACIONES:
1.
𝒏×𝒔×𝒒
𝒙
𝒎×𝒔
=
𝒏×𝒒
𝒙
𝒎
2. 𝒏
𝒙
𝒎
= 𝒏×𝒂
𝒙
𝒎×𝒂
Ejemplos:
2
5
4
×
3
5
3
=
2×3
5
3×4
=
6
5
12
2
10
3
=
2×5
10
3×5
=
10
10
15

8. ECUACIONES EXPONENCIALES
Son aquellas en las cuales la incógnita está en el exponente o en la base.
CASOS DE LEYES DE EXPONENTES
• 𝑥𝑏
= 𝑥𝑎
↔ 𝑎 = 𝑏; ∀ 𝑥 ≠ 0 ∧ 1
Ejemplo:
92𝑛+5
= 99
⟶ 2𝑛 + 5 =9 ∴ 𝑛 = 2
• 𝑥𝑎
= 𝑦𝑎
↔ 𝑥 = 𝑦; ∀ 𝑎 ≠ 0
Ejemplo:
𝑥10
= 322
RESOLUCIÓN: 𝑥10
= 25 2
⟶ 𝑥10
= 210
∴ 𝑥 = 2

9. • 𝑥𝑥
= 𝑎𝑎
⇔ 𝑎 = 𝑏 ; ∀ 𝑥 ≠ 0
Llamado también el caso de analogías, pero no es genérico( no
siempre se cumple)
También: 𝒙
𝒙 = 𝒂𝒂
⇔ 𝒙 = 𝒂; ∀𝒙 ≠ 𝟎
Ejemplo:
𝒙𝒙𝟑
= 𝟑𝟔, hallar “x”
RESOLUCIÓN:
𝒙𝒙𝟑 𝟑
= 𝟑𝟔𝟑
, elevamos a ambos miembros al exponente 3 y luego
permutamos, como se observa
𝒙𝟑 𝒙𝟑
= 𝟔𝟐 𝟑
⟶ 𝒙𝟑 𝒙𝟑
= 𝟔𝟔
∴ 𝒙𝟑
= 𝟔 y 𝒙 =
𝟑
𝟔

10. BIBLIOGRAFÍA
• Lecciones de álgebra
Autor: Carlos Marcelo Sánchez
• Álgebra PEARSON
• ÁLGEBRA - BALDOR
FIN