1. ANALIZA TOKA RACIONALNE FUNKCIJE I CRTANJE GRAFIKA
Ispitati tok i nacrtati grafik funkcije :
1) 2
3
)1(2
x
x
y , 2) 2
3
)2(
2
x
x
y , 3)
4
2
2
3
x
x
y , 4)
122
3
x
x
y , 5) 2
3
2
)1(
x
x
y
,
6) 2
3
)2(3
)2(
x
x
y , 7) 2
3
1
x
x
y
, 8)
32
3
x
x
y , 9)
2
96 2
x
xx
y , 10)
4
3 2
x
xx
y ,
11)
4
32
x
xx
y , 12)
1
442
x
xx
y , 13)
3
1032
x
xx
y , 14)
3
542
x
xx
y ,
15)
2
652
x
xx
y , 16)
2
22
x
xx
y , 17)
2
32 2
x
xx
y , 18)
1
65 2
x
xx
y ,
19)
2
22
x
xx
y , 20)
1
12
x
xx
y , 21) 2
2
1
4
x
x
y
, 22)
12
86
2
2
xx
xx
y ,
23) 2
2
2
32
xx
xx
y
, 24) 2
2
)4(
3
x
xx
y , 25) 2
2
)1(
12
x
x
y , 26) 2
2
)1(
3
x
xx
y ,
27)
1
1
2
2
x
x
y , 28) 2
2
)2(
2
x
x
y , 29)
1
12
2
2
x
xx
y , 30) 2
2
)1(
x
x
y , 31)
xx
x
y
35
1
2
2
,
32)
32
2
x
x
y , 33) 2
2
)2(
2
x
x
y , 34) 3
2
)1(
)1(
x
x
y , 35) 3
2
)1(
)1(
x
x
y 36)
32
2
2
xx
x
y
37)
3
3
2
xx
x
y , 38) 2
9
5
x
x
y
, 39) 3
2
13
x
x
y
, 40) 2
3
)1(
)1(
x
x
y , 41) 3
2
)1(
)1(
x
x
y ,
42) 3
2
)1(
)1(
x
x
y
2. REŠENI ZADACI
1.
3
542
x
xx
y . 1) Oblast definisanosti: Kako deljenje nulom nije definisano, racioanlna
funkcija nije definisana za one vrednosti za koje je izraz u imeniocu (ispod razlomačke crte) jednak
nuli. x – 3 = 0 za x = 3. Dakle ),3()3,(3 xRxDf .
2) Nule funkcije i presek sa y osom. Vrednosti argumenta x za koje je funkcija jednaka nuli,
nazivaju se nule funkcije (presek sa x osom). Racionalna funkcija je jednaka nuli za one vrednosti
za koje je izraz u brojiocu (iznad razlomačke crte) jednak nuli. 0540 2
xxy . Izraz u
brojiocu je kvadratna funkcija. Nule kvadratne funkcije se dobijaju rešavanjem kvadratne jednačine.
Opšti oblik kvadratne jednačine je 02
cbxax . Rešenja se dobijaju po sledećem obrascu
a
acbb
x
2
42
2,1
. Ako je diskriminanta acbD 42
0, jednačina ima dva rešenja, ako je
D = 0, jednačina ima jedno rešenje, a ako je D 0, jednačina nema rešenja.
U ovom primeru je D = 16 + 20 = 36, pa jednačina ima dva rešenja
2
364
2,1
x .
,1
2
64
1
x a 5
2
64
2
x . To znači da ova funkcija ima dve nule, odnosno dva preseka
sa x osom N1(1, 0) i N2(5, 0).
Presek sa y osom se dobija kad se za vrednost argumenta x uzme nula i izračuna vrednost funkcije.
3
5
3
5
0
yx . Presek sa y osom je tačka M(0, 5/3).
3) Znak funkcije. Znak kvadratne funkcije cbxaxy 2
zavisi od znaka konstante a.
Ako je a 0 i D 0, y 0 za ),(),( 21 xxx , a y 0 za ),( 21 xxx .
+ + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + +
x1 x2
Ako je a 0 i D = 0, jednačina ima samo jedno rešenje i kvadratna funkcija je pozitivna za svako x
iz oblasti definisanosti, osim za rešenje x1 = x2.
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x1 = x2
3. Ako je a 0 i D 0, jednačina nema rešenje, pa kvadratna funkcija cbxaxy 2
nema presek
sa x osom i y 0 za svako x iz oblasti definisanosti.
Ako je a 0 i D 0, y 0 za ),( 21 xxx , a y 0 za ),(),( 21 xxx .
- - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + - - - - - - - - - - - - - - -
x1 x2
Ako je a 0 i D = 0, jednačina ima samo jedno rešenje i kvadratna funkcija ima negativan znak za
svako x iz oblasti definisanosti, osim za rešenje x1 = x2.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
x1 = x2
Ako je a 0 i D 0, jednačina nema rešnje, pa kvadratna funkcija cbxaxy 2
nema presek
sa x osom i y 0 za svako x iz oblasti definisanosti.
U našem primeru znak određujemo na sledeći način:
+ + + + + + + _ _ _ _ _ _ _ _ + + + + + + + +
x2
+ 4x – 5
-5 1
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ + + + + +
x – 3
3
3
542
x
xx
- - - - - - - + + + + + + - - - + + + + +
-5 1 3
Dakle y 0 za ),3()1,5( x , a y 0 za )3,1()5,( x .
4) Asimptote.
Ako funkcija nije definisana u tački a, funkcija ima u toj tački vertikalnu asimptotu ukoliko važi
)(lim xf
ax
i/ili
)(lim xf
ax
.
U našem slučaju funkcija nije definisana u a = 3. Ispitaćemo kakve vrednosti funkcija dobija u
okolini te tačke.
.
h
hh
h
hhh
h
hh
h,h
hx
x
xx
limlim
limlim
hh
hx
0
161610541269
33
5343
00
3
3
54
2
0
2
0
2
0
2
3
4. Za određivanje granične vrednosti upotrebili smo smenu x = 3 + h, gde je h mala pozitivna veličina
koja teži nuli. Na osnovu dobijene granične vrednosti, zaključujemo da kad x teži ka 3 sa desne
strane funkcija teži +.
.
0
161610
541269
33
5)3(4)3(
0,0
3
3
54
2
0
2
0
2
0
2
3
lim
limlimlim
h
hh
h
hhh
h
hh
hh
hx
x
xx
h
hhx
Sada smo upotrebili smenu x = 3 – h, gde je h mala pozitivna veličina koja teži nuli. Na osnovu
dobijene granične vrednosti, zaključujemo da kad x teži ka 3 sa leve strane funkcija teži -. Dakle
prava x = 3 je vertikalna asimptota funkcije i sa leve i sa desne strane grafika.
Ukoliko važi bxf
x
)(lim i/ili bxf
x
)(lim , onda je prava y = b, horizontalna asimptota.
Granična vrednost racionalne funkcije kad x , određuje se na sledeči način:
Opšti oblik racionalne funkcije je
mm
mm
nn
nn
bxbxbxb
axaxaxa
1
1
10
1
1
10
.
U našem primeru je n =2, m = 1, pa je
3
542
x
xx
lim
x
Što znači da vertikalna asimptota ne postoji. Vertikalna i kosa asimptota se uzajamno isključuju,
ako postoji jedna ne postoji druga. U ovom primeru ne postoji horizontalna asimptota, pa ćemo
ispitati da li postoji kosa asimptota.
Opšti obrazac za kosu asimptotu je y = ax +b, gde je
x
)x(f
a lim
x
, a )ax)x(f(b lim
x
.
U našem primeru je
1
3
54
3
543
54
2
22
2
xx
xx
xx
xx
x
x
xx
a limlimlim
xxx
0 0 00
0 0 0
5. 7
3
57
3
354
3
54 222
x
x
x
xxxx
x
x
xx
b limlimlim
xxx
pa je kosa asimptota y = x + 7. Da bi nacrtali kosu asimptotu, dovoljne su nam bilo koje dve njene
tačke. y(0) = 7, y(7) = 0. Kosa asimptota prolazi kroz tačke K1(0, 7) i K2(-7, 0).
5) Monotonost funkcije i ekstremne vrednosti.
Da bi odredili ekstremne vrednosti i intervale monotonosti, potrebno je da nađemo prvi izvod
funkcije i nule prvog izvoda.
Za nalaženje izvoda racionalne funkcije upotrebićemo formulu za izvod količnika.
2
v
vuvu
v
u
. U našem slučaju je 542
xxu , 1,42,3 vxuxv .
2
2
2
22
2
2
2
222
)3(
76
)3(
5412462
)3(
1)54()3)(42(
)3(
)3)(54()3()54(
3
54
x
xx
x
xxxxx
x
xxxx
x
xxxxxx
x
xx
y
221
2,1
2
)3(
)1)(7(
1
2
2
,7
2
14
2
86
2
646
2
28366
0760
x
xx
yxx
xxxy
Dakle, nule prvog izvoda su x1 = 7 i x2 = 1. Sada treba odrediti znak prvog izvoda. Kako je u
imeniocu funkcije y, izraz (x – 3)2
koji je pozitivan za svaki realan broj (zbog toga što je izraz na
kvadrat), znak funkcije y zavisi samo od znaka kvadratne funkcije u brojiocu
)1)(7(762
xxxx .
y 0 za x(-, -1)(7, -), pa je funkcija monotono rastuća na tim intervalima;
y 0 za x(1, 7), pa je funkcija monotono opdajuća na tom intervalu. U tački x = 1, funkcija
menja svoju monotonost, iz monotono rastuće prelazi u monotono opadajuću, pa u toj tački funkcija
ima lokalni maksimum. U tački x = 7 iz monotono opadajuće, funkcija prelazi u monotono rastuću,
pa u toj tački ima lokalni minimum. y koordinatu maksimuma dobijamo kad za vrednost argumenta
u funkciji zamenimo x = 1.
1 7
+ + + + + + - - - - - - - - - + + + + + + +
6. 2
4
8
31
5)1(4)1(
)1(
2
max
yy , Pmax(1, 2) - koordinate maksimuma
,18
4
72
37
5747
)7(
2
min
yy Pmin(7, 18) – koordinate minimuma
7) konveksnost, konkavnost i prevojne tačke
3
3
32
x
y ; drugi izvod funkcije nema nule, pa
funkcija nema prevojne tačke; funkcija je konkavna za 3,x , konveksna za ,x 3
(x – 3)3
+ + + + + +
3
7. 2. 2
2
)3(
2
x
xx
y , Rešenje: 1) oblast definisanosti ),3()3,( ;
2) nule funkcije N1(2,0), N2(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,2/9);
3) znak funkcije 0),1,2(zaa,0,),1()2,(za yxyx ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 3; horizomtalna asimptota y = 1;
5) monotonost i ekstremne vrednosti 3
)3(
75
x
x
y ; ),5/7()3,(za x funkcija je
monotono rastuća, )5/7,3(zaa x , funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u
tački Pmin(-7/5,-9/16);
6) konveksnost i prevojne tačke 4
)3(
)35(2
x
x
y , funkcija je konveksna za )5/3,( x ,
konkavna za ),5/3( x i ima prevojnu tačku P(-3/5,-17/8).
8. 3.
3
1682
x
xx
y , Rešenje: 1) oblast definisanosti ),3()3,( ;
2) nule funkcije N(4,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,16/3);
3) znak funkcije 0),,3(zaa,0,)3,(za yxyx ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 3; kosa asimptota y = x – 5;
5) monotonost i ekstremne vrednosti 2
2
)3(
86
x
xx
y ; ),4()2,(za x funkcija je
monotono rastuća, )4,2(zaa x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(4, 0) i maksimum u tački Pmax(2, 4);
6) konveksnost i prevojne tačke 3
)3(
2
x
y , funkcija je konkavna za )3,(x , konveksna za
),3( x i nema prevojnu tačku.
9. 4.
4
2
2
3
x
x
y , Rešenje:
1) oblast definisanosti ),2()2,2()2,( ;
)(
4
2
4)(
)(2
)( 2
3
2
3
xf
x
x
x
x
xf
, funkcija je
neparna što znači da je grafik simetričan u odnosu na
koordinatni početak;
2) nula funkcije i presek grafika funkcije sa y-osom je ista
tačka N(0,0);
3) znak funkcije
0202zaa,0202za y),,(),(xy),(),(x 4) asimptote: funkcija ima dve
vertikalne asimptote
x = 2 i x = 2 i kosu asimptotu y = 2x;
5) monotonost i ekstremne vrednosti 22
22
)4(
)12(2
x
xx
y ; ),32()32,(za x funkcija je
monotono rastuća, )32,32(zaa x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u
tački 3632 ,Pmin i maksimum u tački )36,32(max P ;
6) konveksnost i prevojne tačke 32
2
)4(
)12(16
x
xx
y , funkcija je konkavna za )2,0()2,( x ,
konveksna za ),2()0,2( x i ima prevojnu tačku P(0,0);
10. 5.
1
12
x
xx
y , Rešenje: 1) oblast definisanosti ),1()1,( ;
2) kvadratna jednačina 12
xx nema realna rešenja, pa funkcija nema nule; presek grafika funkcije
sa y-osom M(0,1);
3) znak funkcije 0),,1(zaa,0,)1,(za yxyx ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 1; kosa asimptota y = x ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti 2
2
)1(
2
x
xx
y ; ),2()0,(za x funkcija je monotono
rastuća, )2,0(zaa x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(2, 3) i
maksimum u tački Pmax(0, 1);
6) konveksnost i prevojne tačke 3
)1(
2
x
y , funkcija je konkavna za )1,(x , konveksna za
),1( x i nema prevojnu tačku.
11. 6.
3
3
2
xx
x
y , Rešenje: 1) kvadratna jednačina 032
xx nema realna rešenja, pa je oblast
definisanosti ),( ;
2) nula funkcije N(3,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1);
3) znak funkcije 0),,3(zaa,0,)3,(za yxyx ;
4) asimptote: funkcija nema vertikalne asimptote jer je definisana na celom skupu realnih brojeva;
horizontalna asimptota y = 0 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti 22
)3(
)6(
xx
xx
y ; ),0()6,(za x funkcija je
monotono rastuća, )0,6(zaa x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(0, 1) i maksimum u tački Pmax(6, 1/11);
6) konveksnost i prevojne tačke 32
23
)3(
)99(2
xx
xx
y , teško je izračunati nule drugog izvoda pa
samim tim i odrediti njegov znak. grafik može da se nacrta i bez ovih elemenata.
12. 7.
22
1
4
12 2
2
2
xx
x
x
xx
y ,
Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 2222 ;
2) nula funkcije N(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1/4);
3) znak funkcije 022zaa,0,2,2za y,,xy,x ; 4) asimptote: funkcija ima
dve vertikalne asimptote x = 2 i x = 2; horizontalna asimptota y = 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti
22
2
4
8102
x
xx
y ; nule prvog izvoda x = 1 i x = 4;
,,x 41za funkcija je monotono rastuća, 41zaa ,x funkcija je monotono
opadajuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(4, 3/4) i maksimum u tački Pmax(1, 0);
6) konveksnost i prevojne tačke
32
23
4
20241522
x
xxx
y , teško je izračunati nule drugog
izvoda pa samim tim i odrediti njegov znak. Grafik može da se nacrta i bez ovih elemenata.
13. 8.
82
1
2
2
xx
x
y
Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 4422 ;
2) nula funkcije N(1,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1/8);
3) znak funkcije 042zaa,0,4,2za y,,xy,x ; 4) asimptote: funkcija ima
dve vertikalne asimptote x = -2 i x = 4; horizontalna asimptota y = -1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti
22
82
118
xx
x
y ; nula prvog izvoda x = 1;
122za ,,x funkcija je monotono opadajuća, ,,x 441zaa funkcija je
monotono rastuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(1, 0);
6) konveksnost i prevojne tačke
32
2
82
4254
xx
xx
y , jednačina 422
xx nema realna rešanja,
pa drugi izvod nema nule. Znak drugog izvoda
konveksnajefunkcija042zaakonkavna,jefunkcija,0,4,2za ,y,,xy,x
14. 9.
3
45 2
x
xx
y , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 33 ;
2) nule funkcije N1(-1,0), N2(5, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0, 5/3);
3) znak funkcije 0513zaa,0,51,3za y,,,xy,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = -3; kosa asimptota y = x + 7;
5) monotonost i ekstremne vrednosti
2
2
3
76
x
xx
y ; 17za ,,x funkcija je
monotono opadajuća, 1337zaa ,,x funkcija je monotono rastuća; funkcija ima
minimum u tački Pmin(7, 18) i maksimum u tački Pmax(1, 2);
6) konveksnost i prevojne tačke
3
3
32
x
y , funkcija je konveksna za 3 ,x , konkavna za
,x 3 i nema prevojne tačke.
15. 10.
6
2
2
2
xx
x
y ,
Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 3322 ;
2) nula funkcije N(2,0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,-2/3);
3) znak funkcije 032zaa,0,3,2za y,,xy,x ;
4) asimptote: funkcija ima dve vertikalne asimptote x = -2 i x = 3; horizontalna asimptota y = 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti:
2222
2
6
1432
6
22203
xx
xx
xx
xx
y ; nule prvog izvoda
x = 2 i x = 14/3; ,/,x 3142za funkcija je monotono rastuća, 3412zaa /,x
funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački Pmin(14/3, 16/25) i maksimum u
tački Pmax(2, 0);
6) konveksnost i prevojne tačke:
32
23
6
88843032
xx
xxx
y , teško je izračunati nule drugog
izvoda pa samim tim i odrediti njegov znak. Grafik može da se nacrta i bez ovih elemenata.
16. 11.
2
762
x
xx
y , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 22 ;
2) nule funkcije N1(1, 0), N2(7, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0; 3,5);
3) znak funkcije 0217zaa,0,217za y,,,xy,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 2; kosa asimptota y = x + 8 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti:
2
2
2
54
x
xx
y ; 51za ,,x funkcija je
monotono rastuća, 51zaa ,x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(5, 16) i maksimum u tački Pmax(1, 4);
6) konveksnost i prevojne tačke
3
2
18
x
y , funkcija je konkavna za 2,x , konveksna za
,x 2 i nema prevojnu tačku.
17. 12.
54
2
2
2
xx
x
y ,
Rešenje: 1) oblast definisanosti ,,, 1155 ;
2) nula funkcije N(2, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(0,4/5);
3) znak funkcije 015zaa,0,1,5za y,,xy,x ;
4) asimptote: funkcija ima dve vertikalne asimptote x = 5 i x = 1; horizontalna asimptota y = 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti:
22
54
218
xx
x
y ; nula prvog izvoda x = 2 ;
2-55za ,,x funkcija je monotono rastuća, ,,x 112zaa funkcija je
monotono opadajuća; funkcija ima maksimum u tački Pmax(2, 0);
6) konveksnost i prevojne tačke:
32
2
54
7454
xx
xx
y , jednačina 0742
xx nema realna
rešenja, pa funkcija nema prevojne tačke; funkcija je konveksna za ,,x 15
konkavna.jefunkcija15zaa ,x
18. 13.
2
2
1
12
x
x
y , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,), 11 ;
2) nule funkcije
0
2
1
0
2
1
21 ,N,,N , presek grafika funkcije sa y-osom M(0,1);
3) znak funkcije 0
2
1
2
1
zaa,0,
2
1
2
1
za
y,,xy,,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 1; horizomtalna asimptota y = 2;
5) monotonost i ekstremne vrednosti
3
1
122
x
x
y ; 121za ,/,x funkcija je
monotono opadajuća, 121zaa ,/x , funkcija je monotono rastuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(1/2,2);
6) konveksnost i prevojne tačke
4
1
142
x
x
y , funkcija je konkavna za 41/,x , konveksna
za ,/x 41 i ima prevojnu tačku P(1/4,-14/9).
19. 14.
2
3
2
1
x
x
y , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 22 ;
2) nule funkcije N(1, 0); presek grafika funkcije sa y-osom M(-1/2, 0);
3) znak funkcije 01zaa,0,1za y,,xy,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 2; kosa asimptota y = x + 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti:
3
2
2
41
x
xx
y ; 42za ,,x funkcija je
monotono rastuća, 42zaa ,x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima minimum u tački
Pmin(6, 27/4);
6) konveksnost i prevojne tačke
4
2
16
x
x
y , funkcija je konkavna za 1,x , konveksna za
,x 1 i ima prevojnu tačku P(1, 0).
20. 15.
2
3
12
x
x
y , Rešenje: 1) oblast definisanosti ,, 11 ;
2) nula funkcije i presek grafika funkcije sa y-osom je ista tačka N(0, 0);
3) znak funkcije 00zaa,0,0za y,,xy,x ;
4) asimptote: vertikalna asimptota x = 1; kosa asimptota y = x/2 1 ;
5) monotonost i ekstremne vrednosti:
3
2
12
3
x
xx
y
; 13-za ,,x funkcija je
monotono rastuća, 1-3zaa ,x funkcija je monotono opadajuća; funkcija ima maksimum u
tački Pmax(3, 27/8);
6) konveksnost i prevojne tačke
4
1
3
x
x
y
, funkcija je konkavna za 0,x , konveksna za
,x 0 i ima prevojnu tačku P(0, 0).
