O documento resume conceitos básicos de geometria plana e medidas, incluindo áreas de figuras planas e sólidas como retângulos, quadrados, triângulos, hexágonos, círculos, prisma e cubos. Também apresenta fórmulas para calcular áreas, volumes e diagonais destas figuras.

3. Relembrando
Antes de começar a aula de hoje, precisamos
rever alguns pontos de geometria plana e
unidades de medidas:
Área do retângulo: Área do quadrado:
hbA . 2
lA

4. Relembrando
Diagonal do quadrado: Área do triângulo:
2ld
2
.hb
A

5. Relembrando
Triângulo Equilátero:
Altura
Área
2
3l
h
4
3.2
l
A

6. Relembrando
Hexágono:
Apótema:
Área:
2
3.
.3
4
3.
.6
22
ll
A
2
3l
a

7. Relembrando
Comprimento da
circunferência
2
.rArc ..2
Área do círculo

8. Relembrando
Sendo o metro (m) a unidade de medida,
temos:
1 m = 10 dm = 100 cm
1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm2
1 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3
Observação: 1 dm3 = 1 litro

9. Prismas e Cilindros
Cilindros
retos
Volume
Área lateral
Área da base
áreas
Cilindro
equilátero
Caso
particular
elementos
definição
Área total
Prismas
retos
áreas
volume
Área da base
Área lateral
elementos
definição
Área total

10. Prismas
Prisma é uma sólido geométrico delimitado
por faces planas, no qual as duas bases se
situam em planos paralelos.
Exemplos:

11. prismas
Duas bases paralelas
Limitado por faces planas
sólido
definição

12. Prismas
Podemos classificar um prisma quanto ao
número de arestas da base.
Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal

13. prismas
Base é um triângulotriangulares
Nº de arestas
da base
classificação
Duas bases paralelas
Limitado por faces planas
sólido
definição
Base é um quadriláteroquadrangulares
Base é um pentágonopentagonal
Base é um hexágonohexagonal

14. Prismas
Podemos classificar um prisma quanto à
inclinação das arestas laterais.
Oblíquos: arestas
laterais oblíquas às
bases.
Retos: arestas laterais
perpendiculares às
bases.

15. prismas
Base é um triângulotriangulares
Nº de arestas
da base
classificação
Duas bases paralelas
Limitado por faces planas
sólido
definição
Base é um quadriláteroquadrangulares
Base é um pentágonopentagonal
Base é um hexágonohexagonal
retos
Arestas laterais
oblíquas à base
oblíquos
Inclinação das
arestas laterais definição
Arestas laterais
perpendiculares à base

16. Prismas
Os elementos de um prisma reto são:

17. Prismas
Note que
todas as
faces laterais
dos prismas
retos são
retângulos

18. prismas
Base é um triângulotriangulares
Nº de arestas
da base
classificação
Duas bases paralelas
Limitado por faces planas
sólido
definição
Base é um quadriláteroquadrangulares
Base é um pentágonopentagonal
Base é um hexágonohexagonal
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
retos
Arestas laterais
oblíquas à base
oblíquos
Inclinação das
arestas laterais definição
Arestas laterais
perpendiculares à base
base
lateral
arestas
base

19. Paralelepípedos
Paralelepípedos são prismas quadrangulares,
cuja base é um paralelogramo. Quando as bases
são retângulos, chamamos de paralelepípedo
retângulo.

20. Paralelepípedos
Podemos calcular a diagonal do paralelepípedo
através do Teorema de Pitágoras ou pela
fórmula:
222
cbaD

21. Paralelepípedos
Exemplo: Dado um paralelepípedo retângulo
de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcule a
medida da sua diagonal.

22. 41
2516
54
2
2
222
d
d
d
2550
419
3
2
2
222
DD
D
dD
Exemplo
Pelo Teorema de Pitágoras:

23. Exemplo
Pela Fórmula: 222
cbaD
2550
25169
543 222
DD
D
D

24. Paralelepípedos
Caso particular: Cubo
O cubo é um paralelepípedo reto retângulo,
no qual todas as faces são quadrados, ou seja
todas as arestas apresentam a mesma medida.
3aD

25. Paralelepípedos
Exemplo: Calcule a diagonal de um cubo,
cujo perímetro de uma face é 24 cm.
Se o perímetro da é 24cm, então a
aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm
36
3
D
aD

26. Tente fazer sozinho
A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos
centímetros deve ser aumentada a medida da
diagonal desse cubo, de modo a obter-se um
novo cubo cuja aresta meça 6 cm.

27. Tente fazer sozinho
A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos
centímetros deve ser aumentada a medida da
diagonal desse cubo, de modo a obter-se um
novo cubo cuja aresta meça 6 cm.

28. Solução
3234363634 xxx

29. Áreas do Prisma
 Área da base: é a área do polígono que
constitui a base.
A) No prisma triangular.
4
3.
2
. 2
l
Aou
hb
A bb

30. Áreas do Prisma
Exemplo: Calcule a área da base de um prisma
triangular regular, sabendo que a altura do
triângulo da base mede .34
316
4
38
4
3
834
2
3
22
l
A
l
l
h
b

31. Áreas do Prisma
B) No prisma quadrangular.
hbAb . 2
lAb

32. Áreas do Prisma
Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de
1,80 m de profundidade, foi instalada em um
buraco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m.
Calcule a área da base da piscina.
2
155.3
.
cmA
hbA
b
b

33. Áreas do Prisma
C) No prisma hexagonal.
2
3.3 2
l
Ab

34. Áreas do Prisma
Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediram
uma pizza que veio em uma caixa de base
hexagonal, calcule á área da base da caixa,
sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm.
2
2
2
3216
2
3.12.3
2
3.3
cmA
l
A
b
b

35. Prismas
retos
áreas
Área da base Área do polígono da base
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
definição
Arestas laterais
perpendiculares à base
base
lateral
arestas
base

36. Áreas do Prisma
 Área lateral: é a soma das áreas das faces
laterais.
A) No prisma triangular
Como temos 3 faces laterais,
então .hbAl ..3

37. Áreas do Prisma
Exemplo: O monumento de uma praça no norte
da Croácia tem forma de um prisma triangular
regular de altura igual a 7m. Calcule a área
lateral do monumento, sabendo que a área da
base mede .34
2
2
847.4.3
434
4
3
mA
ml
l
A
l
b

38. Áreas do Prisma
B) No prisma quadrangular
hbAl ..4bcacAl 22

39. Áreas do Prisma
Exemplo: Para reformar o móvel abaixo, um
designer colocará 2 portas e pintará todas
as faces laterais. Calcule toda superfície
que será pintada?

40. Áreas do Prisma
2
3
48,052,2
6,0.4,0.26,0.1,2.2
mA
A
A
l
l
l

41. Áreas do Prisma
C) No prisma hexagonal regular.
hbAl ..6

42. Áreas do Prisma
Exemplo: Um instrumento de base hexagonal
regular está sendo testado por uma banda de
reagge. Sabendo que as bases desse prisma
devem ser vermelhas. Calcule a área, em m2 a
ser pintada de amarelo e verde.
22
9,09000
30.50.6
..6
mcmA
A
hbA
l
l
l

43. Prismas
retos
áreas
Área da base Área do polígono da base
Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
definição
Arestas laterais
perpendiculares à base
base
lateral
arestas
base

44. Áreas do Prisma
 Área total: é a área de toda a superfície
do prisma, portanto, é a soma das áreas das
bases com a área lateral.
lbt AAA .2

45. Prismas
retos
áreas
Área da base Área do polígono da base
Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
definição
Arestas laterais
perpendiculares à base
base
lateral
arestas
base
Área total 2Ab + Al

46. Áreas do Prisma
Exemplo: Seja um prisma reto de 20 cm de
altura, cuja base é um triângulo retângulo com
catetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área total
do prisma.

47. Áreas do Prisma
17289
64225
815
2
2
222
xx
x
x
2
920340160300120
20.1720.820.15
2
8.15
.2
.2
cmA
A
AAA
t
t
lbt

48. Tente fazer sozinho
Calcule a medida do lado da base de um
prisma hexagonal regular, sabendo que a
sua área total é dm2 e que a sua
altura é igual ao apótema da base.
3216

49. Tente fazer sozinho
Calcule a medida do lado da base de um
prisma hexagonal regular, sabendo que a
sua área total é dm2 e que a sua
altura é igual ao apótema da base.
3216

50. Solução
dmll
ll
l
l
l
hb
l
AA
A
lb
t
6321636
32163333
3216
2
3
..6
2
3.3
.2
3216..6
2
3.3
.2
3216.2
3216
2
22
2
2

51. Tente fazer sozinho
(Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,
cuja base é um triângulo equilátero de cm
de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o
ponto médio da aresta DF, calcule o seno do
ângulo .
210
EMB

52. Tente fazer sozinho
(Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,
cuja base é um triângulo equilátero de cm
de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o
ponto médio da aresta DF, calcule o seno do
ângulo .
210
EMB

53. Solução
65
2
3210
2
3
EM
EM
l
EM
75
175
25150
565
2
2
222
BM
BM
BM
BM
7
7
75
5
xsen
xsen

54. Áreas do Prisma
Caso particular: cubo
Como o cubo apresenta todas as faces com
a mesma área, então:
2
.6 lAt

55. Áreas do Prisma
Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm.
Calcule a área total.
34123 ll
2
2
2
288
346
.6
cmA
A
lA
t
t
t

56. Volume do Prisma
O volume de todo prisma é o produto entre
a área da base e a altura.
hAV b.

57. Volume do Prisma
Exemplo: Determine o volume da piscina
ilustrada abaixo:
ldmV
cmhAV b
22502250
225000050.150.300.
3
3

58. Volume do Prisma
Caso particular: cubo
Como o cubo apresenta todas as arestas
com a mesma medida, então:
32
.
.
aVaaV
hAV b

59. Volume do Prisma
Exemplo: Um tanque cúbico sem tampa será
revestido internamente com uma massa
impermeabilizante. Calcule o volume do tanque,
sabendo que a área da superfície a ser
revestida é 125m2.
área revestida = área do cubo – tampa
125 = 6l2 – l2  125 = 5l2  l = 5 m
Logo, V = l3 = 53 = 125m3

60. Prismas
retos
áreas
volume
Área da base Área do polígono da base
Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
vértices
Lateral = altura
faces
elementos
definição
Arestas laterais
perpendiculares à base
base
lateral
arestas
base
Área total 2Ab + Al
V = Ab . h

61. Tente fazer sozinho
(Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96
m2 de material para se montar uma caixa
cúbica. O volume dessa caixa é:
a) 64 dm3
b) 40 cm3
c) 96 dm3
d) 160 cm3
e) 55 dm3

62. Tente fazer sozinho
(Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96
m2 de material para se montar uma caixa
cúbica. O volume dessa caixa é:
a) 64 dm3
b) 40 cm3
c) 96 dm3
d) 160 cm3
e) 55 dm3

63. Solução
Letra A
3
3
3
3
64
064,0
4,0
dmV
mV
V
aV
ma
a
a
At
4,0
16,0
96,06
96,0
2
2

64. Tente fazer sozinho
(UFPI) A base de um prisma reto é um
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5
cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a
medida da altura desse prisma é 10 cm, seu
volume, em centímetros cúbicos, mede:
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

65. Tente fazer sozinho
(UFPI) A base de um prisma reto é um
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5
cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a
medida da altura desse prisma é 10 cm, seu
volume, em centímetros cúbicos, mede:
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

66. Solução
Letra A
416
925
35
2
2
222
xx
x
x
6010.
2
4.3
.
2
.
. h
hb
hAV b

67. Cilindros
Cilindros retos são sólidos de revolução,
obtidos através do giro de um retângulo.

68. Cilindros
retos
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidos
definição

69. Cilindros
Os elementos do cilindro reto são:

70. Cilindros
retos
Geratriz = altura
base
elementos
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidos
definição

71. Cilindros
Caso particular: cilindro equilátero.
O cilindro equilátero apresenta altura com
a mesma medida do diâmetro da base.

72. Cilindros
retos
h= 2r
Cilindro
equilátero
Caso
particular
Geratriz = altura
base
elementos
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidos
definição

73. Áreas do Cilindro
 Área da base: é a área do círculo que
constitui a base.
2
.rAb

74. Áreas do cilindro
Exemplo: Determine a área da base de
um cilindro cujo raio do círculo da base
mede 4cm.
2
2
2
16
4.
.
cmA
A
rA
b
b
b

75. Cilindros
retos
Área do círculo da baseÁrea da base
áreas
h= 2r
Cilindro
equilátero
Caso
particular
Geratriz = altura
base
elementos
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidos
definição
Ab = πr2

76. Áreas do Cilindro
 Área lateral: é a área da superfície lateral
planificada.
hrAl ...2

77. Áreas do Cilindro
Exemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixo
tem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde é
construído, a base cilíndrica não é de madeira
e a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 a
área da superfície revestida de madeira.
2
18684,17
70.40.14,3.2
...2
cmA
A
hrA
l
l
l

78. Cilindros
retos
Área lateral
Área do círculo da baseÁrea da base
áreas
h= 2r
Cilindro
equilátero
Caso
particular
Geratriz = altura
base
elementos
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidos
definição
Al = 2πrh
Ab = πr2

79. Áreas do Cilindro
 Área total: é a área de toda a superfície
do prisma, portanto, é a soma das áreas das
bases com a área lateral.
lbt AAA .2

80. Áreas do Cilindro
Exemplo: Determine a área total de um
cilindro reto, cujo perímetro da base mede
10π cm, igual a medida da altura.
cmrr 510..2
2150
25050
25025.2
.2
2
2
t
t
t
lbt
A
A
A
AAA
2
2
250
10.5..2
...2
25.
l
l
l
b
A
A
hrA
rA

81. Cilindros
retos
Área lateral
Área do círculo da baseÁrea da base
áreas
h= 2r
Cilindro
equilátero
Caso
particular
Geratriz = altura
base
elementos
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidos
definição
Al = 2πrh
Área total
Ab = πr2
At = 2Ab + Al

82. Tente fazer sozinho
(UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de
diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos
centímetros quadrados de material são
usados, aproximadamente, para fabricar essa
lata? (Considere π = 3,14)
a) 396 b) 126 c) 285
d) 436 e) 578

83. Tente fazer sozinho
(UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de
diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos
centímetros quadrados de material são
usados, aproximadamente, para fabricar essa
lata? (Considere π = 3,14)
a) 396 b) 126 c) 285
d) 436 e) 578

84. Solução
Letra A2
2
2
39664,395
14,3.126.126
.108.18
18.3..23..2
...2..2
2
1836
cmA
A
A
A
hrrA
AAA
cmhcmrcmd
t
t
t
t
t
lbt
e

85. Áreas do Cilindros
Caso particular: cilindro equilátero.
Como o cilindro equilátero apresenta altura
com a mesma medida do diâmetro da base,
então:
222
..2..4
2..2
rrA
rrA
t
l
2
2
..6
..4
rA
rA
t
l

86. Áreas do Cilindros
Exemplo: Calcule a área lateral e a área
total de um cilindro reto equilátero, cujo
raio da base mede 5 cm.
1505..6..6
1005..4..4
22
22
rA
rA
t
l

87. Volume do Cilindro
O volume de todo cilindro é o produto entre
a área da base e a altura.
hAV b.

88. Volume do Cilindro
Exemplo: Calcule o volume da piscina abaixo,
em litros, sabendo que é um cilindro reto, o
diâmetro mede 1m e a altura mede 50 cm.
litrosV
V
hAV b
125
5.5.
.
2
dmcm
dmrdmm
550
5101

89. Volume do Cilindro
Caso particular: cilindro equilátero
Como o cilindro equilátero apresenta a
altura com a mesma medida do diâmetro da
base, então:
32
..2.2.
.
rVrrV
hAV b

90. Volume do Cilindro
Caso particular: cilindro equilátero
Exemplo: Um cilindro equilátero de volume
128π litros, tem diâmetro de quantos
centímetros?
cmdmrr
rr
hAV b
40464
2128..2128
.
3
33

91. Cilindros
retos
V = Ab . hVolume
Área lateral
Área do círculo da baseÁrea da base
áreas
h= 2r
Cilindro
equilátero
Caso
particular
Geratriz = altura
base
elementos
Gerados pela rotação de um retângulo
sólidos
definição
Al = 2πrh
Área total
Ab = πr2
At = 2Ab + Al

92. Tente fazer sozinho
(UFPI) Um reservatório com capacidade para
6280 litros tem a forma de um cilindro
circular reto. Se o raio da base do reservatório
mede 1 metro, sua altura, também em metros,
mede: (Considere π = 3,14)
a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3

93. Tente fazer sozinho
(UFPI) Um reservatório com capacidade para
6280 litros tem a forma de um cilindro
circular reto. Se o raio da base do reservatório
mede 1 metro, sua altura, também em metros,
mede: (Considere π = 3,14)
a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3

94. Solução
Letra Dmh
hm
hAV
mr
mdmlV
b
2
14,3
28,6
.1.14,3280,6
.
1
280,662806280
23
33

95. Tente fazer sozinho
(UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com
aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um
copo cilíndrico vazio, com raio da base
também igual a 3cm. Após o gelo derreter
completamente, a altura da água no copo
será de aproximadamente:
a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

96. Tente fazer sozinho
(UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com
aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um
copo cilíndrico vazio, com raio da base
também igual a 3cm. Após o gelo derreter
completamente, a altura da água no copo
será de aproximadamente:
a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

97. Solução
Letra Acmh
h
hrV
cmV
cmaV
cilindro
cilindro
cubo
5,859,8
14,3
27
.3.14,39.27
..
9.27
273
2
2
3
333

98. Tente fazer sozinho
(UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de
altura e área da base igual a 1200 cm2, está
com água até a metade da sua capacidade.
Colocando-se pedras dentro desse aquário, de
modo que fiquem totalmente submersas, o
nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das
pedras, em centímetros cúbicos, é:
a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

99. Tente fazer sozinho
(UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de
altura e área da base igual a 1200 cm2, está
com água até a metade da sua capacidade.
Colocando-se pedras dentro desse aquário, de
modo que fiquem totalmente submersas, o
nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das
pedras, em centímetros cúbicos, é:
a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

100. Solução
Letra C
3
3
3
3
2
18001800019800
198005,16.1200
18000
2
36000
2
3600030.1200.
120030
cmV
cmV
cm
V
cmhAV
cmAcmh
pedras
pedrascomaquário
aquário
baquário
be

101. Bibliografia
• http://pessoal.sercomtel.com.br/matemati
ca/geometria/prisma/prisma.htm
• Matemática – Volume Único: Iezzi,
Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David;
Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª
edição – 2007 – Páginas: 456 até 464.
• Figuras: google imagens