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1. Matrizes

2. Ao final dessa aula você
saberá:
 O que é matriz e suas representações.
 Igualdade de matrizes.
 A definição de: matriz nula, matriz linha, matriz
coluna, matriz quadrada, matriz diagonal, matriz
triangular, matriz oposta, matriz identidade e
matriz inversa.
 O que é diagonal principal e diagonal secundária.
 Soma, subtração e multiplicação de matrizes.

3. O que é matriz?
É uma tabela de números que pode ser
representada entre chaves ou entre
colchetes.
São matrizes com 2
linhas e 3 colunas.
Então dizemos que é
uma matriz 2 x 3.
Exemplos:
 1 2 3  1 2 3
A= 4 0 1  ou A = 4 0 1 

   

4. Como é a representação
genérica de uma matriz?

5. O que é índice de um
elemento?
É a representação da posição que o
elemento ocupa dentro da matriz.
Exemplo:
 a11 a12  2 3 
A =  =
a a   1 0  
 21 22   
O 3 é o elemento a12, ou seja, está
na 1ª linha e na 2ª coluna.

6. Quando duas matrizes A
e B são iguais?
Quando os elementos de mesmo índice são
correspondentes.
Exemplo:
 a11 a12   b11 b12 
A =
a a   = B = a b  
 21 22   21 22 
Logo, a11 =b11 , a12 =b12 ,
a21 = a21 , a22 =b22

7. Tente fazer sozinho!
(PUC-MG)A matriz A = (aij)2x3 é tal que:
 3i + j , se i ≠ j
aij = 
2i − 3 j , se i = j
É correto afirmar que:
 −1 − 5  −1 7 
   
a ) A =  6 7  b) − 5 2 
 2 9  6 −9
   
 −1 7 5   −1 5 6 
c)
 6 2 9  d )
 7 − 2 9

   

8. Solução
 3i + j , se i ≠ j  a11 a12 a13 
aij =  
a a a  
2i − 3 j , se i = j  21 22 23 
a11 = 2.1 – 3.1 = 2 – 3 = -1
a12 = 3.1 + 2 = 3+ 2 = 5
a13 = 3.1 + 3 = 3 + 3 = 6
a21 = 3.2 + 1 = 6 + 1 = 7
a22 = 2.2 – 3.2 = 4 – 6 = -2
a23 = 3.2 + 3 = 6 + 3 = 9
Resposta: D

9. O que é matriz linha?
É uma matriz formada por apenas uma linha.
Exemplo: A = ( 2 4 3 0 7 )
O que é matriz coluna?
É uma matriz formada por apenas uma coluna.
2 
Exemplo:  
B =0 
9 
 

10. O que é matriz nula?
É uma matriz que apresenta todos os
elementos iguais a zero.
Exemplos:
0 0 0 0
  0 0 0 
C = 0 0 0 0 D= 
0 0 0 0 0 0 0 
 

11. O que é matriz
quadrada?
É a matriz que apresenta o mesmo número
de linhas e colunas.
Dizemos que a
matriz A é de ordem
3 e que a matriz B é
Exemplos: de ordem 2.
2 4 3 
  0 1 
A =0 4 1  B =
9 4 

3 0 7   
 
Matriz 3 x 3 Matriz 2 x 2

12. O que é diagonal
principal?
É a diagonal formada pelos elementos aij,
sendo i=j de uma matriz quadrada.
diagonal secundária diagonal principal

13. Tente fazer sozinho!
(Ufop-MG) Observe a matriz:
1 2 3 
0 x 4 
 
0 0 y 
 
Chama-se traço de uma matriz a soma dos
elementos de sua diagonal principal. Determine
x e y na matriz acima de tal forma que seu
traço valha 9 e x seja o triplo de y.

14. Solução
1 2 3 
 x 4
0
 
 0 y
0 
x = 3y
1 + 3y + y = 9  4y = 8  y = 2
x = 3.2  x = 6

15. O que é matriz
diagonal?
É a matriz quadrada na qual todos os
elementos que não pertencem a diagonal
principal são iguais a zero. A diagonal
principal deve apresentar pelo menos um
elemento diferente de zero.
Exemplos: 2 0 0 
 
A =0 1 0 
0 0 7 
 

16. O que é matriz
triangular?
É a matriz quadrada na qual os elementos
abaixo ou acima da diagonal principal são
iguais a zero.
Exemplos:
2 0 0 0 
2 2 4   
  5 1 0 0  2 7 
B =0 1 3  C =
0170  D =0 1 
 
0 0 7     
  9 3 7 6 
 

17. O que é matriz oposta?
É a matriz cujos elementos são os
opostos de uma matriz dada.
Exemplos:
 0 1 − 4 0 −1 4 
A=  − A = 2 − 3 − 7 
− 2 3 7   
 −1 8  1 − 8
B=  −B= 
− 2 5  2 − 5

18. O que é matriz
transposta?
É a matriz cujas colunas são iguais às
linhas de uma matriz dada.
 0 − 2
Exemplo:  0 1 − 4 t  
A=  A =  1 3
− 2 3 7  − 4 7 
 
Note que o número de linhas
de A é o número de colunas
de At. O mesmo acontece
com o número de colunas
A é 3x2 e At=2x3

19. Tente fazer sozinho!
(UF-AM) Uma matriz quadrada é simétrica se, e
somente se, At = A. Se a matriz
 2 x2 x 
 
A =  1 0 5 − y
− 1 y − 3 1 
 
x+ y
É simétrica, então o valor de é:
3
a) – 1 b) 3 c) 1 d) 4 e) 0

20. Solução
 2 x2 x   2 1 −1 
   2 
 1 0 5 − y = x 0 y − 3
− 1 y − 3 1   x 5 − y 1 
   
x 2 = 1 ⇒ x = ±1
x = −1
5 − y = y − 3 ⇒ −2 y = −8 ⇒ y = 4
x + y −1+ 4 3
= = =1
3 3 3
Resposta: letra c

21. O que é matriz
identidade?
É a matriz quadrada que apresenta
todos os elementos da diagonal principal
iguais a 1 e os outros elementos iguais a
zero.
Exemplo:
1 0 0 
  1 0 
I 3 = 0 1 0  I 2 =
0 1 

0 0 1   
 

22. Como somamos ou
subtraímos matrizes?
Basta somar ou subtrair os elementos
correspondentes. As matrizes devem ser
do mesmo tipo (m x n).
Exemplos:
 1 5 4   − 4 0 − 1  − 3 5 3 
a )
 3 0 − 1 +  2 − 3 6  =  5 − 3 5 
    
     
 9   − 1 10 
     
b) 8  −  5  =  3 
7  3   4 
     

23. Como multiplicamos uma
matriz por um número real?
Basta multiplicar todos os elementos
da
matriz por esse número real.
Exemplo: 2
 5   − 6 −15 
   
− 3 1 −1 =  − 3 3
− 2 0   6 0
  

24. Como o tipo da matriz
influencia na multiplicação
de duas matrizes?
Matriz A Matriz B
4x3 3x2
Devem ser iguais
O resultado é do tipo 4 x 2

25. Como efetuamos o
produto de duas
matrizes?
Dada uma matriz A = (aij)mxn e uma matriz
B = (bij)nxp , o produto é uma matriz C = (cij)mxp,
onde o elemento cij é calculado multiplicando
ordenadamente os elementos da linha i, da
matriz A, pelos elementos da coluna j, da
matriz B, e somando os produtos obtidos.

26. Exemplo 1:
3 2
   3 1
A = 5 0 e B = 
6 2
 1 4  
 
 3.3 + 2.6 3.1 + 2.2   21 7 
   
AB =  5.3 + 0.6 5.1 + 0.2  =  15 5 
 1.3 + 4.6 1.1 + 4.2   27 9 
   

27. Exemplo 2:
2 1   4 2 0
C=  e D= 
 1 3 5 1 3 
2.4 + 1.5 2.2 + 1.1 2.0 + 1.3
CD =  
1.4 + 3.5 1.2 + 3.1 1.0 + 3.3 
13 5 3
CD =  
19 5 9

28. Tente fazer sozinho!
1) (Mackenzie-SP) Se o produto de matrizes
x
 1 0  0 1 − 1 

 − 1 1  1 0 2  y 
 
  1 
 
é a matriz nula, x + y é igual a:
a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) -2

29. Solução
x 
 1 0  0 1 −   0 
 1 

− 1  1 0 2  y  =0 

   
 1   1   

 
 1 0 0 1 −1 0 1 −1

−1 1  1 0 2  = 1 −1 3 
   
    

30. x 
0 1 −1  0 

 1 −1 3  y  =0 
  
 1   
 
 0.x +1. y +1.( −1)   0 

1.x + ( −1). y + 3.1 =  0 
  
   
 0 + y −1   0 

 x − y + 3 = 0 
  
   
y −1 = 0 ⇒ y = 1
x − y + 3 = 0 ⇒ x − 1 + 3 = 0 ⇒ x = −2
x + y = −2 + 1 = −1
Letra C.

31.  1 b
2) (Fatec-SP) Seja a matriz A =   , tal que
a 1 
− 19 − 8 
A =
2
 10 − 19 . É verdade que a+b é igual a:

a) 0
b) 1
c) 9
d) -1
e) -9

32. Solução
 1 b   1 b  − 19 − 8 
a 1  a 1  =  10 − 19
    
1 + ab 2b  − 19 − 8 
 2a ab + 1 =  10 − 19
   
2b = −8 ⇒ b = −4
ab + 1 = −19 ⇒ −4a = −20 ⇒ a = 5
Resposta: Letra B
a + b = −4 + 5 = 1

33. O que é matriz inversa?
É matriz X de ordem n, cujo produto com
a matriz A é igual a matriz identidade de
ordem n.
A matriz inversa
de A É indicada
por A-1.
Ou seja,
A.X = X.A = In,
onde X = A-1

34. Exemplo:
2 1  3 − 1
A=  e B=
 5 3  − 5 2

   
 2 1  3 − 1 
AB =  
 5 3  − 5 2  
  
 2.3 + 1.( − 5) 2.( − 1) + 1.2 
AB = 
 5.3 + 3.( − 5) 
 5.( − 1) + 3.2 

 1 0
AB =  
0 1 
  Logo, B = A-1

35. Tente fazer sozinho!
(Unifor-CE) Se a matriz b(ij) de ordem 2, é a
 0 2
matriz inversa de A =   , então:
− 1 1 
a) b11 = - ½
b) b12 = -1
c) b21 = 1
d) b22 = -1
e) b22 = - ½

36. Solução
 0 2 a b   1 0
 − 1 1   c d  = 0 1 
    
 2c 2d   1 0
 − a + c − b + d  = 0 1  Resposta:
   
Letra B
1
2c = 1 ⇒ c =
2
2d = 0 ⇒ d = 0
1 1
− a + c = 0 ⇒ −a + = 0 ⇒ a =
2 2
− b + d = 1 ⇒ −b + 0 = 1 ⇒ b = −1

37. Bibliografia
 Dante, Luiz Roberto – Matemática Contexto
e Aplicações. 3ª edição – 2008. Editora Ática
– SP. Páginas: 118 a 145.
 Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 287 a 302.
 Bianchini, Edwaldo; Paccola, Herval – Curso
de Matemática. 3ª edição – 2003. Editora
Moderna – SP. Páginas: 283 a 308.