Este documento apresenta conceitos fundamentais sobre o círculo trigonométrico, suas propriedades, unidades de medida de ângulos, arcos congruentes, e razões trigonométricas como seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

1. Ciclo Trigonométrico e
Razões Trigonométricas

2. Conceitos anteriores

3. Círculo Trigonométrico
O ciclo trigonométrico é representado por um
círculo que apresenta raio igual a 1 e cuja
circunferência é orientada.
y
x

4. Procuramos a localização de um ângulo, em
ordem crescente, no sentido anti-horário.
y
90º
180º 0º x
360º
270º

5. O que significa a representação
de um ângulo negativo?
Significa que a localização dele deve ser
procurada no sentido contrário (horário).
Exemplos: y
30º
x
− 30º

6. Determinação de quadrantes
As retas x e y dividem o círculo trigonométrico
em 4 partes, chamadas quadrantes.
2º Q 1º Q
3º Q 4º Q
Os quadrantes apresentam
sempre a mesma posição
no círculo trigonométrico.

7. círculo r=1
Propriedades circunferência orientada
sentido
4 quadrantes anti-horário
Ciclo
Trigonométrico

8. Unidades de medidas de um
ângulo
 Grau
Exemplos: 30º, 60º, 180º
 Radiano
Exemplos:
3π 4π π
rad, rad, rad
4 5 2

9. Como passar de grau para
radiano?
y
π
90º ≅
2
Basta fazer uma
regra de três,
180º ≅ π 360º ≅ 2π
x
sabendo que:
180º ≅ π
3π
270º ≅
2

10. Exemplo:
Passar 30º para radianos.
π 180º
x 30º
180º x = 30π
30º π π
x= =
180º 6
π
Logo, 30º ≅
6

11. Como passar de radiano para
grau?
Ou fazemos uma regra de três, ou procedemos
como no exemplo abaixo:
3π
Passar rad para grau.
2
90º
3 . 180 3 . 180
= = 270º
2 2

12. círculo r=1
Propriedades circunferência orientada
sentido
4 quadrantes anti-horário
grau º
Ciclo
unidade
Trigonométrico
radiano rad
arcos

13. Exercício
1) Apresente o quadrante onde estão localizados
os seguintes arcos:
7π
a) 138º b) c) - 280º
5

14. Solução
a) 138º ⇒ 2º quadrante
7π 7 .180
b) ⇒ = 252º ⇒ 3º quadrante
5 5
c) - 280º ⇒ 1º quadrante
y
90º − 280º
138º
180º 0º
360º x
7π
5 270º

15. Arcos ou Ângulos Côngruos
(Congruentes)
Ângulos côngruos são ângulos que apresentam a
mesma extremidade e número de voltas diferentes.
Exemplo:
120º ≅ 480º ≅ 840º ≅ ... 60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ...
240º ≅ 600º ≅ 960º ≅ ... 300º ≅ 660º ≅ 1020º ≅ ...

16. Os ângulos côngruos que distam 60º
do ângulo de 0º, são:
60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ...
ou
K .360º +60º

17. Fórmula Geral
Para medidas em graus.
360º.K + α
Para medidas em radianos.
2π .K + α
K  número de voltas
α  menor determinação positiva

18. círculo r=1
Propriedades circunferência orientada
sentido
4 quadrantes anti-horário
grau º
Ciclo
unidade
Trigonométrico
radiano rad
mesma
extremidade
definição
número de
arcos congruência voltas diferentes
fórmula 2π .K + α
geral 360º.K + α

19. Menor Determinação
Positiva
Menor determinação positiva é o ângulo que
apresenta o menor módulo em um conjunto de
arcos côngruos.
Exemplo:
60º ≅ 420º ≅ 780º ≅ ...
A menor determinação positiva é 60º.

20. Para calcular a MDP de um
ângulo, basta
dividir esse ângulo por 360º. O resto dessa
divisão é a MDP.
1117 360
Exemplo: 37 3
A MDP de 1117º é 37º.
Logo, a fórmula geral desses arcos é
360º K + 37º

21. Menor determinação
negativa
MDN = MDP – 360º
Exemplo:
Menor determinação negativa de 1117º
MDP = 37º
MDN = 37º - 360º = -323º

22. Exercício
2) Apresente a fórmula geral, em graus,
35π
dos arcos côngruos a :
5

23. Solução
35π 35 . 180
= = 1260º
5 5
1260 360
⇒ 360º.K + 180º
180 3

24. Lembrando:

25. Seno de um arco
sen
cateto oposto Mx'
sena = = = Mx' = Oy '
hipotenusa 1

26. Dependendo do quadrante, o
sinal do seno
pode ser positivo ou negativo.

27. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º
sen
1 1
sen 150º = 150º 30º
sen 30º =
2 2
1 1
sen 210º = − 210º 330º sen 330º = −
2 2

28. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º
sen
2 2
sen 135º = 135º 45º sen 45º =
2 2
2 2
sen 225º = − 225º 315º sen 315º = −
2 2

29. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º
sen
3 3
sen120º = sen60º =
2 120º 60º
2
3 3
sen240º = −
240º 300º sen300º = −
2 2

30. Exercício
3) (EEAR-SP) O seno de 122π é igual a:
5π 9
a) sen
9
4π
b) sen
9
5π
c) - sen
9
4π
d) - sen
9

31. Solução
y
122π 122 .180 90º
= = 2440º
9 9
MDP 2440º = 280º 180º 0º
x
360º
2440 360
280 6 270º 280º
5π 5 . 180
= = 100º 122π 4π
9 9 Logo, sen = −sen
4π 4 . 180 9 9
= = 80º Letra D.
9 9

32. Cosseno de um arco
cos
cateto adjacente Ox'
cos a = = = Ox'
hipotenusa 1

33. Dependendo do quadrante, o sinal do
cosseno
também pode ser positivo ou negativo.

34. Exemplo 1: 30º , 150º , 210º , 330º
sen
3 3
cos150º = − 150º 30º cos 30º =
2 2
cos
3 3
cos 210º = − 210º 330º cos 330º =
2 2

35. Exemplo 2: 45º , 135º , 225º , 315º
sen
2 2
cos135º = − 135º 45º cos 45º =
2 2
cos
2 2
cos 225º = −
225º 315º
cos 315º =
2 2

36. Exemplo 3: 60º , 120º , 240º , 300º
sen
1 1
cos120º = − 120º 60º cos 60º =
2 2
cos
1 1
cos 240º = − 240º 300º cos 300º =
2 2

37. Importante saber!
y
π
90º ≅
2 sen 0º = 0 sen 180º = 0
cos 0º = 1 cos 180º = − 1
180º ≅ π 360º ≅ 2π
x
sen 90º = 1 sen 270º = - 1
3π
cos 90º = 0 cos 270º = 0
270º ≅
2

38. Exercício
29π
4) (Unit - SE) A soma sen 3720º + cos é igual a :
6
a) - 2
b) - 3
c) 0
3 −1
d)
2
3+
e)
2

39. Solução
3
3720 360 ⇒ sen 120º = sen 60º =
2
120 10
29π 29 . 180
= = 870º
6 6
870 360 3
⇒ cos 150º = - cos 30º = -
150 2 2
29π 3 3
sen 3720º + cos = − = 0 ⇒ letra c
6 2 2

40. Exercício
5) (Unifor - CE) O número real m que satisfaz a sentença
m +1
= cos 3015º é :
m-2
a) 3 2 + 4
b) 4 - 3 2
c) 3 2 − 4
d) 3 - 4 2
e) 4 2 + 3

41. Solução
2
3015 360 ⇒ cos 135º = - cos 45º = - 2
135 8
m +1 2 m=
(
−2+2 2 2− 2
=
)
m−2
=−
2 (
2+ 2 2− 2 )
2m + 2 = − m 2 + 2 2 −4+2 2 +4 2 −4
m= =
2m + m 2 = −2 + 2 2 4−2
( )
m 2 + 2 = −2 + 2 2
m=
6 2 −8
=3 2 −4
−2+2 2 2
m=
2+ 2 Letra c.

42. Tangente de um arco
sena cateto oposto
tga = =
cos a cateto adjacente
y
sen + sen +
cos - cos +
tg - tg +
x
sen - sen -
cos - cos +
tg + tg -

43. Exercício
6) Se x não é do 1º quadrante e
tg x = 1,5 , quanto vale o cos x?

44. Solução
y = 15 + 10
2 2 2
15 y
tg x = 1,5 = ⇒ 15 ⇒ y = 225 + 100
2
10
10
x y 2 = 325
y = 5 13
10
cos x =
5 13
10 13 10 13 2 13
cos x = = =
5 13 13 5.13 13

45. Cotangente de um arco
1 cos a
cotg a = =
tg a sena
Apresenta o mesmo sinal da tangente!
Exemplo:
4
Sendo um arco x do 2º quadrante. Se tg x = − ,
3 3
então tg x = −
4

46. Secante de um arco
1
sec a =
cos a
Apresenta o mesmo sinal do cosseno!
Exemplo:
3
Sendo um arco x do 3º quadrante. Se cos x = − ,
5 5
então sec x = −
3

47. Cossecante de um arco
1
cossec a =
sen a
Apresenta o mesmo sinal do seno!
Exemplo:
4
Sendo um arco x do 4º quadrante. Se cos x = ,
5 5
então cos sec x =
4

48. círculo r=1
Propriedades circunferência orientada
sentido
4 quadrantes anti-horário
grau º
Ciclo
unidade
Trigonométrico
radiano rad
mesma
extremidade
definição
número de
arcos congruência voltas diferentes
fórmula 2π .K + α
geral 360º.K + α
sen
cos
Razões
tg
Trigonométricas
cotg
sec
cossec

49. Exercício
3π 60
7) Se π < α < e cotg α = ,
2 11
quanto vale cossec α ? E tg α ?

50. Solução
60 11
cotg α = ⇒ tg α =
11 60
1
cossec α =
sen α 2
x = 11 + 60
2 2
11 x
⇒ x = 121 + 3600
2
tg x = ⇒ 11
60 α x 2 = 3721
60
x = 61
11 61
sen α = ⇒ cossec α =
61 11

51. Bibliografia
 Dante, Luiz Roberto – Matemática
Contexto e Aplicações. 3ª edição – 2008.
Editora Ática – SP. Páginas: 28 a 51.
 Iezzi, Gelson; Dolce, Osvaldo; Périgo,
Roberto; Degenszajn, David – Matemática
(volume único). 4ª edição – 2007. Editora
Atual – SP. Páginas: 236 a 241.
 Imagens: google imagens