1. T o s h i b a
A r q . R o b e r t o S a l d i v a r
O l a g u e .
C é d u l a P r o f e s i o n a l
N o . 2 5 3 8 1 5 0 i n s c r i t a a
f o j a s 1 6 4 - 0 1 d e l l i b r o
A 2 5 3 D . G . P . d e l a
S . E . P . M é x i c o .
G r a d u a d o e n I C S ,
E s c u e l a d e
A r q u i t e c t u r a , S c r a n t o n
P e n n s y l v a n i a , U S A . 1 9 7 6
T i t u l a d o e n
A r q u i t e c t u r a e n e l
I n s t i t u t o T e c n o l ó g i c o
d e Z a c a t e c a s , M é x i c o
M a y o d e l 2 0 1 3
rso@prodigy.net.mx
0 1 . 4 9 2 . 9 2 . 7 . 6 2 . 9 5
Z a c a t e c a s M é x i c o ,
M é x c o [ E s c r i b i r e l
n ú m e r o d e f a x ]
ROBERTO
GEOMETRIA Y
TRIGONOMETRIA
SIMPLIFICADAS
PARA
ESTUDIANTES DE
PREPARATORIA Y
ARQUITECTURA
2. Arquitecto Roberto Saldivar Olague, Cédula Profesional 2538150, fojas-164-01 del libro A253-DGP.SEP.MX
GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA APLICADA FACIL E INTERESANTE PARA ESTUDIANTES DE PREPARATORIA Y ARQUITECTURA
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2
Geometría y Trigonometría
G&T
GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA SIMPLIFICADAS PARA
ESTUDIANTES DE
PREPARATORIA Y ARQUITECTURA.
A r q u i t e c t o R o b e r t o S a l d i v a r O l a g u e
Cédula Profesional No. 2538150 fojas 164-01 libro A253
Graduado en ICS Scranton Pa, USA, Escuela de Arquitectura, 1976.-
Titulado en el Instituto Tecnológico de Zacatecas, Arquitectura, 1992.
Compilación de las materias de Geometría y Trigonometría de las Instituciones anteriores
Y de G.M. Bruño y de El Instituto de Ciencias de Zacatecas 1962.-Simplificadas por el Autor.
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3
INDICE.-
GEOMETRÍA.-
RECTAS Y ANGULOS…………………………………………………………………. 2
FIGURAS PLANAS……………………………………………………………………… 9
EL TRIANGULO…………………………………………………………………………. 12
EL CIRCULO…………………………………………………………………………….. 20
TRIGONOMETRIA.-
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS……………………………………………………31
TABLAS TRIGONOMETRICAS……………………………………….………………..39
SOLUCION DE TRIANGULOS…………………………………………………………46
TRIANGULOS OBLICUOS…………………………………………………………….. 51
MEDICIONES……………………………………………………………………………. 59
MEDICION DE SUPERFICIES PLANAS……………………………………………… 59
EL TRIANGULO………………………………………………………………………….. 59
EL CUADRILATERO…………………………………………………………………….. 60
EL CIRCULO………………………………………………………………………………63
POLIGONOS REGULARES……………………………………………………………….68
LA ELIPSE…………………………………………………………………………………..69
MEDICION DE SOLIDOS………………………………………………………………….73
EL PRISMA Y EL CILINDRO……………………………………………………………..73
LA PIRAMIDE Y EL CONO……………………………………………………………….75
EL TRONCO DE UNA PIRAMIDE O CONO…………………………………………….77
LA ESFERA…………………………………………………………………………………80
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4
EL ANILLO CILINDRICO…………………………………………………………………..81
PROYECCIONES…………………………………………………………………………..84
FIGURAS SIMETRICAS Y SIMILARES…………………………………………………86
GEOMETRIA.-
1. Geometría es la rama de las matemáticas que trata de las propiedades de las líneas,
ángulos, superficies y volúmenes.
RECTAS Y ÁNGULOS
2. Un punto indica única posición. No tiene ni longitud, anchura, ni espesor.
.
3. Una línea tiene una sola dimensión: longitud.
4. Una línea recta, Fig. 1, que es una unidad no cambia su sentido, durante toda su
longitud. Una línea recta es también frecuente llamarla recta.
5. Una línea curva, Fig. 2, cambia de dirección en cada punto.
6. Línea quebrada, es un línea que cada tramo, Fig. 3 cambian de dirección en cada
tramo que la compone.
7. Las líneas paralelas son las que son igualmente distantes el uno del otro a lo largo de
toda su longitud, ambas líneas siendo consideradas indefinidas en extensión. Cuando
cada punto de una línea es la misma distancia FIG-4 de otra línea (o de superficie) se dice
que está es paralela a la línea (o superficie).
8. Una línea es perpendicular a otro cuando se encuentra con esa línea no se inclina
hacia ella a ninguno de sus lados, Fig. 5.
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5
9. Una línea horizontal es un perpendicular toda El hasta el horizonte, o el nivel de agua,
Fig. 6.
10. Una línea vertical, Fig. 6, es una línea perpendicular a una línea horizontal; por
consiguiente, tiene la dirección de una plomada o a plomo con la Horizontal, o a 90
grados con la horizontal.
11. Cuando dos líneas se cruzan o se cortan entre sí, como en la Fig. 7,
se dice que se cruzan, y el punto
Una en la que se cruzan se denomina punto o intersección, como en A.
12. Un ángulo, Fig. 8, Es la apertura entre dos líneas que se cruzan o
cumplir; el punto de reunión es llamada es llamado vértice del ángulo.
13. A fin de distinguir una línea de otra, desde sus puntos se dan si se trata de una línea
recta, y como muchos más que se consideren necesarios si es una línea rota o curvada.
Por lo tanto, en la Fig. 9, la línea A B significaría la línea recta comprendida entre los
puntos A y B. Del mismo modo, la línea recta entre C y D se llamaría la línea CD. La línea
quebrada formada por las líneas AB y BD se llamadas líneas discontinuas ABD o DBA,
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6
según el punto donde comienza. La línea C D puede ser considerada como una sola línea
o como compuestos de dos líneas CB y BD.
BD puede ser considerado como CB extendido, en cuyo caso sería
llamado CB producto de D, o, simplemente, CB 'producida. Del mismo modo, CB es DB
producido. Una línea, sin embargo, no puede decirse que es otra línea produce, a menos
que sea una extensión de la línea en una dirección constante; A B no puede ser referido
como CB produce o produce como DB.
14. Distinguir los ángulos, nombrar un punto en cada línea y el punto de su intersección, o
vértice del ángulo. Por lo tanto, en la Fig. 9, el ángulo formado por las líneas AB y CB
se llama el ángulo ABC o el ángulo ACB, la letra al vértice se coloca entre los otros dos.
El ángulo formado por las líneas AB y BD se llama el ángulo ABD o DBA el vértice se
coloca entre los otros dos. El ángulo formado por las líneas AB y BD se llama el ángulo
ABD o DBA.
Cuando un ángulo se encuentra solo de modo que no puede ser confundido
para cualquier otro ángulo, sólo la letra del vértice se necesita;
Por lo tanto, el ángulo E, Fig. 20, el ángulo B ', Fig. 21, etc.
15. Dos ángulos que tienen el mismo vértice y un lado común se llaman ángulos
adyacentes. Los ángulos ABC y ABD, Fig. 9, son ángulos adyacentes.
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7
16. Cuando una línea se encuentra con otra de modo que los ángulos adyacentes
formados son iguales, como AB C y ABD, Fig. 10, los ángulos D se denominan ángulos
rectos.
17. Un ángulo agudo es menor que un ángulo recto. A B C, Fig. 11, es un ángulo agudo.
18. Un ángulo obtuso es mayor que un ángulo recto. A 5D, Fig. 12, es D un ángulo
obtuso.
19. Cuando dos rectas se intersecan o cortan forman cuatro ángulos sobre el punto de
intersección. Por lo tanto, en la Fig. 13, las líneas A B y CD, que se cortan en el punto 0,
forman cuatro ángulos BOD y DOA, AOC y COB sobre el punto O. Los ángulos que se
encuentran en el mismo lado de una línea recta, como DOB y DOA son ángulos
adyacentes. En la figura 13 los ángulos que se encuentran uno frente al otro se llaman y
se llaman opuestos.
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Ángulos. Por lo tanto, AOC y D08, también DOA y BOC, son ángulos opuestos.
20. Cuando una línea recta corta a otra recta línea, como en la Fig. 13, los ángulos
opuestos son iguales. Por lo tanto, DOB = AOC and DOA = BOC.
21. Cuando una línea recta se reúne con otra línea recta en un punto entre sus extremos,
la suma de los dos adyacentes ABD and ABC, Fig. 14, los dos ángulos rectos son iguales.
22. Si una serie de líneas rectas en el mismo lado de una línea dada se encuentran
directamente en el mismo punto, la suma de todos los ángulos formados es igual a dos
ángulos rectos. Entonces en la Fig. 15, COB + DOC + EOD + FOE + AOF son iguales a
dos ángulos rectos.
23. si una línea recta interseca o corta a otra línea recta, de modo que los ángulos
adyacentes sean iguales, las líneas se dice que son perpendiculares entre sí y en tal
caso, se forman cuatro ángulos rectos sobre el punto de intersección. Por lo tanto, en la
Fig. 16, BOC, COA, AOD, son ángulos rectos. A partir de este se ve que cuatro ángulos
rectos son todo lo que se puede formar alrededor de un punto dado.
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24. A través de un punto dado cualquier número de líneas rectas se puede dibujar; y la
suma de todos los ángulos formados sobre el punto de intersección son iguales a cuatro
ángulos rectos. Por lo tanto, en la Fig. 17, HOF + FOC + COA + AOG +GOE + EOD +
DOB + BOH son igual a cuatro ángulos rectos.
Ejemplo.- en un volante con 12 brazos que parten de un ángulo recto y que se incluyen
entre las líneas centrales a los dos brazos adyacentes, y si estos brazos están espaciados
por igual, cuantos ángulos rectos forman?
Solución.- Puesto que hay 12 brazos hay 12 ángulos. La suma de todos los ángulos es
igual a cuatro ángulos rectos.
25. “A “una línea perpendicular trazada desde un punto por encima o por debajo de una
recta dada es la más corta distancia desde este punto de la línea, o a línea perpendicular
Por lo tanto, si A, Fig. 18, es el punto y C D la línea dada entonces la línea perpendicular
A B es la distancia más corta desde A hacia la línea C D.
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10
26. Un ángulo se dice que es el complemento de otro cuando la suma de los dos ángulos
es un ángulo recto.
En la Fig. 17, si FE es perpendicular a A B, F O H es el complemento de B O H y B O H
es el complemento de F O H. Cuando se hace referencia a los dos ángulos se dice que
son complementarias. Por lo tanto, B O H y F O H son ángulos complementarios.
27. Cuando la suma de dos ángulos es igual a dos ángulos rectos, los ángulos se dice
que son suplementarios, y cada uno es el complemento del otro. En la figura 14, ABC es
el suplemento de ABD y AB D es el suplemento de ABC.
Los ángulos adyacentes se forman por dos líneas de intersección, como en la Fig. 13, son
suplementarios. Si un lado de un ángulo, como BD, Fig. 14, se produce a través del
vértice, el ángulo entre el lado producido y el otro lado, por ejemplo el ángulo CBA, es el
suplemento del ángulo original DBA.
28. Si dos ángulos tienen sus lados paralelos y ambos los lados correspondientes se
encuentran en la misma dirección o en direcciones opuestas, son iguales.
Por lo tanto, si el lado A B, Fig. 19, es paralela al lado DE, y si el lado BC es
paralela al lado EF, entonces el ángulo E es igual al ángulo B Pero si uno de los lados o
un ángulo tiene la misma dirección y el otro en la dirección opuesta al lado
correspondiente del ángulo los ángulos son suplementarios
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11
Por lo tanto, en la figura 20 GH es paralela a y está en la misma dirección que DE HI y es
paralelo a, pero se encuentra en la dirección opuesta a EF, por lo tanto, el ángulo de GHI
es suplemento de DEF.
EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR.
1. En una polea con cinco brazos, ¿qué parte de un ángulo recto está incluido
entre las líneas centrales de los dos brazos?
Respuesta: ¿De un ángulo recto.
2. Si una línea recta se encuentra con otra línea recta a fin de formar una
ángulo igual a 12/3 de ángulo recto, que parte de un ángulo recto hace su adyacente a un
ángulo igual?
Respuesta. De un ángulo recto
3. si una serie de líneas rectas, se reúnen una recta dada en un punto dado, siendo todos
del mismo lado de la línea dada, a fin de formar seis ángulos iguales, ¿qué parte de un
ángulo recto está contenido en cada ángulo?
Respuesta; 1/2 de un ángulo recto.
FIGURAS PLANAS.-
30. Una superficie sólo tiene dos dimensiones: largo y ancho, ó longitud y amplitud, Una
superficie plana generalmente es llamada plano, es una superficie plana.
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Si una regla se coloca sobre una superficie plana, cada punto a lo largo del borde de la
regla va a tocar la cara de la superficie no importa en qué dirección este.
31. Una figura plana es en cualquier parte una superficie plana delimitada por líneas
rectas o curvas.
32. Cuando una figura plana está limitada por líneas rectas solamente, se llama un
polígono. Las líneas que limitan se llaman los lados, y la línea quebrada que delimita él (o
toda la distancia alrededor) se llama el perímetro del polígono
Los ángulos formados por los lados son llamados los ángulos del polígono. Por lo tanto,
A B C D E, Fig. 21, es un polígono. A B, B C. etc., son los lados; E A B, A B C, etc., son
los ángulos; y la línea discontinua o quebrada A B C D E A es el perímetro.
33. Los polígonos se clasifican de acuerdo con el número de
sus lados: Uno de los tres lados se denomina triangulo, uno
de cuatro lados, un cuadrilátero uno de cinco lados, un pentágono uno de los seis lados,
un hexágono; uno de los siete lados, un heptágono; uno de ocho lados, un octágono; uno
de los diez lados, un decágono; uno de doce lados, un dodecágono; etcétera.
34. polígonos equiláteros son aquellos en que los lados son todos iguales.
Por lo tanto, en la Fig. 22, AB = BC = CD = DA; por lo tanto, ABCD es un
polígono equilátero.
35. Un polígono equiángulo es uno en el que todos los ángulos son iguales. Por lo tanto,
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en la Fig. 23, el ángulo A = ángulo B = ángulo D = ángulo C; por lo tanto, ABDC es un
polígono equiángulo.
36. Un polígono regular es uno en el cual todos los lados y todos los ángulos son iguales.
Por lo tanto, en la Fig. 24, AB = BD = DC = CA, y el ángulo A = ángulo B = ángulo D =
ángulo C; por lo tanto, A RDC es un polígono regular.
37. Algunos polígonos regulares se muestran en la Fig. 25.
Fig. 25
38. La suma de todos los ángulos interiores de cualquier polígono es igual a dos ángulos
rectos, multiplicado por un número que es dos menos que el número de lados del
polígono. Por lo tanto, ABCDEF, Fig. 26, es un polígono de seis lados (hexágono), y la
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suma de todos los ángulos interiores de A + B + C + D +
E + F = 2 ángulos rectos multiplicado 4 (= 6-2), o 8 ángulos rectos.
Ejemplo.-Si la figura de arriba es un hexágono regular (tiene igual lados y ángulos
iguales), ¿cuántos ángulos rectos hay en cada ángulo interior?
Solución. 6 - 2 = 4. Dos ángulos rectos x 4 = 8 ángulos rectos = el número total de
ángulos rectos en el polígono; y como hay ángulos iguales, que tienen 8 -: - 6 = 11/2
ángulos rectos = el número de ángulos rectos en cada ángulo interior.
EL TRIÁNGULO
39. Los triángulos se denominan según sus lados como isósceles, equiláteros y triángulos
escalenos, y de acuerdo con sus ángulos se llaman triángulos rectángulos y triángulos
oblicuos
40. Un triángulo isósceles, Fig. 27, es uno que tiene dos de sus lados iguales
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15
FIG. 27
41. Cuando los tres lados son iguales, como
en la Fig. 28, que se llama triangulo equilátero y un triángulo equilátero es también un
triangulo isósceles.
Fig. 28
42. Un triángulo escaleno, Fig. 29, es un triangulo que no tiene dos de sus lados iguales.
43. Un triángulo rectángulo, Fig. 30, es un triángulo que tiene un ángulo recto. El lado
opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Por razones de brevedad, un triángulo
rectángulo es denominado un triángulo rectángulo.
44. Un triángulo oblicuo, Fig. 31, es un triangulo que no tiene ángulo recto.
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45. La base de cualquier triángulo es el lado sobre el cual el triángulo se supone que se
apoya; cualquiera de los lados puede considerarse como la base. En las Figs. 32, 33 y
34, A C es la base.
46. La altura de cualquier triángulo es una línea trazada desde el vértice del ángulo frente
a la perpendicular a la base, o a la base producida. Por lo tanto, en las Figs. 32 y 33, BD
es la altura de los triángulos A B C
47. En un triángulo isósceles, los ángulos opuestos a los lados iguales son iguales. Por lo
tanto, en la Fig. 34, AB = BC; por lo tanto, el ángulo C = al ángulo A. Por lo tanto, si dos
ángulos de cualquier triángulo son la iguales, el triángulo es isósceles.
En cualquier triángulo isósceles, si una línea perpendicular se dibuja desde el vértice
opuesto al lado desigual, que biseca (o lo corta en mitades) a uno de los lados. Entonces
A C, fig. 34 es el lado desigual del triángulo isósceles ABC; Por lo tanto, la perpendicular
B D desde el vértice opuesto A C biseca A C, o A D = DC
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En cualquier triángulo isósceles, si una perpendicular parte desde el vértice opuesto a la
lado desigual a ese lado, se divide en dos (recortes en mitades) al lado. Por lo tanto, A C,
Fig. 34, es el lado desigual del triángulo isósceles A B C; entonces la línea BD es
perpendicular desde el vértice opuesto AC y divide CA, o A D = D C.
48. En cualquier triángulo, la suma de los tres ángulos es igual a dos ángulos rectos. Por
lo tanto, en la Fig. 35, la suma de los ángulos en A, B, y C = dos ángulos rectos; es decir,
A + B + C = dos ángulos rectos.
Por lo tanto, si se dan cualquiera de los dos ángulos de un triángulo, el tercero se puede
encontrar restando la suma de los dos ángulos de la suma de dos ángulos rectos.
Supongamos que A + B = 1+7/10 ángulos rectos; entonces, C debe ser igual a 2 - 1+7/10
= 3/10 de un ángulo recto.
49. En cualquier triangulo recto puede haber un ángulo recto, y puesto que la suma de
todos los ángulos es igual a dos ángulos rectos, es evidente que la suma de dos ángulos
agudos deben ser igual a un ángulo recto. Por lo tanto, si en cualquier triángulo un ángulo
agudo es conocido, el otro pueden encontrarse restando el ángulo conocido del ángulo
recto. Por lo tanto, en la Fig. 36, ABC es un triángulo rectángulo, en ángulo recto en C.
Entonces, el ángulo A + B = es un ángulo recto. Si A = 3/7 de un ángulo recto, B = 1- 3/7
= 4/7 de un ángulo recto. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo son por lo
tanto ángulos complementarios.
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50. En cualquier triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos lados. Si AB C, Fig. 37, es un triangulo recto
Ángulo recto en B y luego el cuadrado descrito sobre la hipotenusa AC es igual a la suma
de los cuadrados que se describen en los lados AB y BC; En consecuencia, si las
longitudes de la parte AB y BC son conocidos, la longitud de la hipotenusa se puede
encontrar mediante la adición de los cuadrados de las longitudes de los lados AB y BC y,
a continuación, la extracción de la raíz cuadrada de la suma.
O es lo mismo decir; la longitud de la hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma
del cuadrado de los catetos
Ejemplo.- Si A B es igual a 3 metros y B C es igual a 4 metros, cual es el valor de la
hipotenusa?
Solución:
51.- si la hipotenusa y uno de los lados son dados, el otro lado puede ser encontrado
restando el cuadrado del lado dado desde el cuadrado de la hipotenusa y luego restando
la raíz cuadrada del resto.
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Ejemplo;
Si, a partir de una torre de la iglesia que está a 15 metros de altura, una cuerda se va a
fijar en la parte superior, y la otra parte en el suelo a una distancia de 8,5 metros al suelo
que se supone que debe estar al mismo nivel, cual debe ser la longitud de la cuerda?
Fig.38
Solución: en la fig. 38, AB representa el campanario de 15 metros de altura; C, una
participación de 8,5 metros desde el pie de la torre; y AC, la cuerda. Aquí tenemos un
triángulo rectángulo, en ángulo recto en B, y AC es la hipotenusa.
Solución.-
52. Dos triángulos son iguales cuando los lados de uno son iguales a los lados del otro
triangulo.
53. Dos triángulos son semejantes cuando los ángulos de uno son iguales a los ángulos
del otro triangulo. Los lados correspondientes de triángulos semejantes son
proporcionales
Por ejemplo: En los triángulos A B C y a b c, Fig.39, el lado a c es perpendicular al lado A
C, el lado a b es perpendicular al lado A B, y el lado b c es perpendicular al lado B C.
20. Arquitecto Roberto Saldivar Olague, Cédula Profesional 2538150, fojas-164-01 del libro A253-DGP.SEP.MX
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Fig. 39
Entonces, el ángulo A = al ángulo “a” y los lados de uno son perpendiculares al otro. De la
misma manera, el ángulo B = al ángulo “b”, y el ángulo C: al ángulo “c”. Los dos triángulos
son, por tanto, semejantes y sus correspondientes lados son proporcionales. Es decir,
cualquiera de los dos lados de un triángulo son entre sí como los dos lados
correspondientes del otro triángulo; o, un lado de un triángulo es el lado correspondiente
al otro lado del primer triángulo que es correspondiente al lado del segundo triangulo. Los
siguientes son ejemplos de muchas proporciones que pueden escribirse. En este caso,
los lados correspondientes de los dos triángulos son los que son perpendiculares entre sí:
A B: B C = a b: b c,
A B: A C = a b: a c,
B C: b c = A B: a b,
A C: a c = B C: b c, etc.
Ejemplo. -Los Lados de un triángulo son 18 centímetros y 21 centímetros, y
la base es de 24 centímetros de largo; ¿cuáles son las longitudes de los lados de un
triángulo semejante cuya base es 8 centímetros de largo?
SOLUCIÓN. –Si Los lados son proporcionales, tenemos las proporciones
24: 8 = 21: x, y 24: 8 = 18: x. En el primer caso podemos leer 24 es a 8 Como 21 es a x,
multiplicamos 8 x 21 y el producto resultante lo dividimos entre 24 y el resultado es x = 7 y
en el segundo caso, hacemos lo mimo y obtenemos como resultado x = 6.
54. Si una línea recta se dibuja a través de dos lados de un triángulo paralelo al tercer
lado, se divide en lados proporcionales. Por lo tanto, en la Fig. 40, la línea D E se dibuja
paralela al lado B C en el triángulo A B C.
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Fig. 40
Entonces, AD: DB = AE: EC Es de hacerse notar, también, que el triángulo ADE y el
triangulo ABC son triángulos semejantes y sus lados son proporcionales. La proporción
AD: DE = AB: BC es una proporción semejante.
Ejemplo 1.-En la última figura, si AE = 14 y A D = 12, E C= 9, que hace al lado D B igual?
Solución.
De la proporción AD: D B = AE: EC tenemos; 12: DB = 14: 9, de donde D B = 7.7
Ejemplo 2.-La base de un triángulo rectángulo es de 12 centímetros y su
altura de 40 centímetros. ¿Cuánto mide la base de un triángulo 24 centímetros de base?
Solución.-Dado que el triángulo es rectángulo, la longitud del
lado perpendicular es igual a la altura, o 40 centímetros. Al dibujar una línea
paralela a la base, y 24 centímetros por encima de él, el segundo triangulo semejante
encontraremos que el lado correspondiente es igual ó = 40 a 24 o 16 centímetros y la
longitud del a base es la anchura requerida. Por lo tanto, 40: 12 =
16: x o x = 4,8
EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR
1. ¿Cuántos ángulos rectos hay en uno de los ángulos interiores de
un heptágono regular? 1.43 ángulos rectos.
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2. El ángulo en el vértice de un triángulo isósceles es igual a 0.5 (1/2) de un ángulo recto.
¿Cuánto suman los otros ángulos iguales? 0.75 (3/4)de un ángulo recto.
3. Uno de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo es igual a 0.55 (5/9) de un
ángulo recto. ¿Cuál es el medida del otro ángulo agudo? (4/9) 0.44 de un ángulo recto.
4. Si dos lados de un ángulo recto en un triángulo rectángulo son 52 centímetros
y 39 centímetros de largo, ¿cuánto mide la hipotenusa? = 65 centímetros.
5. Una escalera de 6.5 metros de largo sube a la parte superior de una casa cuando su
desplante es de 2.5 metros. ¿Qué tan alto es la casa, suponiendo que el desplante sea a
nivel del suelo? 6.96 metros.
6. En un triángulo ABC, el lado AB es igual a = 32 centímetros, BC es igual a = 34
centímetros, y A C = 48 centímetros.. Si el AB de un triángulo semejante es de 72
centímetros de largo, cuales son las longitudes de los otros dos lados?
A C: 108 centímetros y B C = 76.5 centímetros.
7. La base de un triángulo rectángulo es de 24 centímetros, y su altura, 72 centímetros.
¿A qué distancia de la parte superior esta el triángulo de 16 centímetros de ancho? a 48
centímetros.
EL CÍRCULO
55. Un círculo, figura. 41, es una figura plana delimitada por una línea curva, llamada
circunferencia, cada punto que esta equidistante del siguiente punto y que es equidistante
de otro punto dentro de la circunferencia llamado centro.
Fig. 41
56. El diámetro de un círculo A B, de la Fig. 42, es una línea recta que pasa por el centro
y termina en ambos extremos de la circunferencia.
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Fig. 42
57. El radio de un círculo, O A, Fig. 43, es una línea recta trazada desde el centro a la
circunferencia. Es igual en longitud a la mitad del diámetro. El plural de radio es radios.
Todos los radios de cualquier círculo son iguales en longitud.
Fig. 43
58. Un arco de un círculo como a c b, Fig. 44 es cualquier parte de su circunferencia.
Fig. 44
59. Una cuerda es una línea recta que une cualquiera de dos puntos en una
circunferencia; o, es una línea recta que une los extremos de un arco.
en la Fig. 45, la cuerda a e b.
Fig. 45
60. Un segmento de un círculo es el espacio comprendido entre un arco y su cuerda, en la
Fig. 45, la parte del círculo comprendido entre la cuerda a b y el arco a e b que es un
segmento.
61. Un sector de un círculo es el espacio incluido entre un arco y dos radios dibujados en
las extremidades del arco.
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en la Fig. 46, el espacio incluido entre el arco A B y el radio O A y O B es un sector del
circulo.
Fig. 46
62. Dos círculos son iguales cuando el radio o diámetro de uno es igual al radio o al
diámetro del otro.
Dos arcos son iguales cuando el radio y la cuerda es igual al radio y la cuerda del otro.
63. Si HADBC, Fig. 47, es un círculo ''en el que dos diámetros AB y CD se dibujan en
ángulos rectos entre sí, entonces, A O D, D O B, B O C, y C O A, son ángulos rectos. La
circunferencia es por lo tanto dividida en cuatro partes iguales; cada una de estas partes
se llama un cuadrante.
FIG. 47
64. En la geometría, los ángulos se miden por el número de ángulos rectos, o partes de
un ángulo recto, que contienen; ya que, en el círculo, un ángulo recto intercepta un
cuadrante, un ángulo se mide también por el número de cuadrantes, o partes de de un
cuadrante, que intercepta. La palabra "intercepción", como que aquí se utiliza, significa
que los arcos son cortados por los lados del los ángulos.
65. Un ángulo en el centro se mide por su arco interceptado.
Ejemplo.- Si un círculo se divide en seis sectores iguales, el número de cuadrantes, o
partes de un cuadrante, están contenidos en el ángulo de cada sector?
Solución.- En la Fig. 48, A C F B D E es un círculo dividido en seis sectores iguales. La
suma de todos los cuadrantes en el círculo es 4.
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Fig. 48
Por lo tanto, 4 / 6 = 0.66 (2/3) de un cuadrante en cada Sector.
66. Un ángulo inscrito es uno cuyo vértice se encuentra en la circunferencia de un círculo,
y cuyos lados son cuerdas.
y se mide por una mitad del arco interceptado, en la Fig. 49, A B C es un ángulo inscrito, y
se mide por la mitad del arco la A D C.
F1G.49
Ejemplo.- Si en la figura del arco ADC es igual 2/5 de la circunferencia, ¿cuál es la
medida del ángulo inscrito A B C?
Solución.- el ángulo es un ángulo inscrito, que se mide por la mitad del arco interceptado,
o de la circunferencia. toda la circunferencia contiene cuatro cuadrantes; de ahí. 4 X 1/5 =
4/5 de un cuadrante o 4/5 de un ángulo recto. Por lo tanto, la medida del ángulo A B C es
4/5 de un cuadrante.
67. Si un círculo se divide en dos mitades, cada medio se llama un semicírculo, y cada
media circunferencia se denomina semicircunferencia.
68. Cualquier ángulo que se inscribe en un semicírculo e intercepta a una
semicircunferencia, como A B C o A D C, Fig. 50, es un ángulo recto, ya que es medido
por la mitad de una semicircunferencia que es, un cuadrante.
Fig. 50
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69. Un polígono inscrito es uno cuyos vértices se encuentran en la circunferencia de un
círculo, y cuyos lados son acordes, como A B CDE, Fig. 51.
FIG. 51
7 0. Si, en cualquier círculo, se dibuja un radio perpendicular a cualquier cuerda, se
divide (recorta en mitades) la cuerda a la línea que biseca se le llama bisectriz. Por lo
tanto, si el OC radio, Fig. 52, es perpendicular al acorde AB, AD = DB
Fig. 52
Ejemplo.-Si un pentágono regular está inscrito en un círculo y un radio se traza
perpendicular a uno de los lados. ¿Cuáles son las longitudes
de los lados, si el perímetro del pentágono es de 27 centímetros?
Solución.-Un pentágono tiene cinco lados, y ya que es un pentágono regular, todos los
lados tienen la misma longitud;
el perímetro del pentágono, que es la distancia alrededor de ella, es igual a la suma de
todas las lados, o 27 centímetros. Por lo tanto, la longitud de un lado = 27 / 5 = 5.4
centímetros. Y puesto que el pentágono es un pentágono inscrito, sus lados son cuerdas
y como un radio perpendicular a una cuerda lo biseca o divide, tenemos
5.4 / 2 = 2.7 centímetros de longitud en cada una de los lados, de cortados
por un radio perpendicular a la mismo.
71. Si una línea recta se dibuja perpendicular a cualquier cuerda en su punto medio, esta
debe pasar a través del centro del círculo.
A través de los tres puntos que no están en la misma línea recta, una circunferencia se
puede dibujar. Sean A, B y C, Fig. 53 se dibujaran tres puntos. Al unirse A y B, y B y C,
por las líneas rectas. Y en el punto medio de AB, se dibuja H K perpendicular a; A B; en el
punto medio de BC y se dibujar EF perpendicular a BC. Estas dos líneas perpendiculares
se cortan en O.
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Todos los puntos en H K son igualmente distantes de A y B, y todos los puntos en E F son
igualmente distante de B y C; su intersección O es igualmente distante de A, B, y C.
Luego, con O como centro, y OB como un radio, que describe al círculo; este pasara a
través de A, B, y C.
Fig. 53
72. Una tangente a un círculo es una recta línea que toca el círculo en un punto
solamente; y es siempre perpendicular al radio señalando a ese punto. Por lo tanto, en la
Fig. 54, A B se dibuja la perpendicular al radio O E en su extremidad E es la tangente del
circulo. Si una recta es perpendicular a un radio en su extremidad, también es tangente al
círculo. Por lo tanto, en la Fig. 54, si AB es perpendicular al radio OE en E, AB es
tangente al círculo.
Fig. 54
7 3. Si dos círculos se cruzan entre sí, la línea que une sus centros bisecta en ángulo
recto a la línea que une los dos puntos de intersección.
Si los dos círculos, cuyos centros son 0 y P, Fig. 55, se cortan en A y B, la línea OP
bisecta a los ángulos rectos en la línea A B; o AC = BC, AB is entonces perpendicular a
OP.
Fig. 55
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74. Un círculo se dice que es tangente a otro círculo cuando se tocan en un punto
solamente, como en la Fig. 56. Este punto es llamado el punto de tangencia, o el punto de
contacto.
FIG. 56
75. Cuando dos o más círculos son descritos desde el mismo centro, como en Fig. 57,
que son los llamados círculos concéntricos.
Fig. 57
76. Si, desde cualquier punto de la circunferencia de un círculo, se dibuja una
perpendicular sobre un diámetro dado, esta perpendicular será una media proporcional
entre las dos partes en que se divide el diámetro.
Si A B, Fig. 58, es el diámetro dado y C cualquier punto de la circunferencia,
entonces la perpendicular C D es una línea proporcional entre A D y D B, o
FIG. 58
Ejemplo. si HK = 30 centímetros y IB = 8 centímetros, ¿cuál es el diámetro del círculo,
siendo HK perpendicular a AB?
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Solución.-
Ejemplo 2.-El diámetro del círculo A B es 36.12 centímetros y la distancia BI es 8
centímetros. IA es igual a 36.12 y la distancia BI es 8 centímetros, cual es la longitud de la
línea HK?
Solución.- como el diámetro del círculo es 36.12 centímetros, y como B! es 8
centímetros, IA es igual al 36.12 centímetros - 8 =28.12 centímetros. Por lo tanto, B I : IH
= IH : IA o también;
8 : IH = IH : 28.12 entonces tenemos;
EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR
1. Es un círculo se divide en diez sectores iguales, ¿qué parte de un cuadrante está
contenida en el ángulo de cada sector?
Respuesta. 0.40 un cuadrante.
2. Un ángulo inscrito en un círculo intercepta una cuarta parte de la circunferencia. ¿Cuál
es el tamaño del ángulo? Respuesta: 0.50 De un ángulo recto.
3. El perímetro de un octógono regular inscrito es de 100 centímetros de largo.
Si el radio se traza perpendicular a uno de los lados, ¿cuáles son las longitudes de las
dos partes del lado?
Respuesta. 6.25 centímetros.
4. Si, en la Fig. 58, el diámetro AB = 32.5 centímetros y la distancia
BI es de 8 centímetros, ¿cuál es la longitud de la cuerda HK?
Respuesta. 28 centímetros.
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5. En la Fig. 58, si la distancia BI es 6 centímetros y H K 18 centímetros.
¿Cuál es el diámetro del círculo? Respuesta: 19.5 centímetros.
TRIGONOMETRÍA
77. Trigonometría es la rama de las matemáticas que trata de la solución de triángulos.
Cada triángulo tiene seis partes: tres lados y tres ángulos. Si se dan cualquiera de las
partes, siendo uno de ellos un lado, los otros se pueden encontrar.
El proceso para encontrar las partes desconocidas de las partes conocidas se llama la
solución del triángulo.
78. En la trigonometría, la circunferencia de cada círculo se supone que se divide en 360
partes iguales, llamado grados;
cada grado se divide en 60 partes iguales, llamado minuto; y cada minuto se divide
nuevamente en 60 partes iguales, llamado segundos. Grados, minutos y segundos se
denotan
por los símbolos °, ',”. Por lo tanto, la expresión 37 °14 '44 ", se lee 37 grados 14 minutos
44 segundos.
Un grado es la 360va.parte o 1/360 de cualquier circunferencia, se deduce que la longitud
de un arco de un grado será diferente en círculos de diferentes diámetros, pero la
proporción de la longitud de un arco de un grado en toda la circunferencia siempre será el
mismo, o sea 1/360 de la circunferencia.
Por lo tanto, en dos círculos conocida la longitud de un arco de 1° será proporcional a los
dos radios.
Por lo tanto, si AOB es un ángulo de 1 grado en el círculo más grande, también es 1
grado en el en el círculo concéntrico más pequeño, y la longitud del arco AB es la longitud
del arco CD como el radio OB es al radio OD;
Por lo tanto, si AOB es un ángulo de 1 grado en el círculo más grande, también es 1
grado en el en el círculo concéntrico más pequeño, y la longitud del arco AB es la longitud
del arco CD como el radio OB es al radio OD; o,
Arco: AB: arco CD = OB : OD.
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Ejemplo.-Si el arco CD = a 2 centímetros, y el radio OD = 5 centímetros, y el radio O B =
9 centímetros, ¿cuál es la longitud del arco AB?
Solución.-
79. En trigonometría, los arcos de círculos se utilizan para medir ángulos. En todos los
ángulos se supone que tienen sus vértices en el centro del circulo Fig. 60, un lado del
triangulo gira a la derecha del punto O coincidiendo con la línea horizontal del diámetro
OB.
Fig. 60
El punto B en el arco es la partida en la medición de un ángulo, el ángulo se supone que
aumentará moviéndose alrededor de la circunferencia en la dirección indicada por la
flecha hasta que el número de grados, minutos y segundos en el ángulo sean medidos
por afuera del arco.
Supongamos que se detiene en el punto H; dibujando OH, y HOB será el ángulo. Si K es
el punto de parada, KOB será el ángulo.
En la práctica, los ángulos son medidos más convenientemente mediante el uso de un
transportador, que es generalmente graduado en grados y medios grados, siendo los
minutos estimados a ojo.
80. un cuadrante es una cuarta parte de un círculo, el número de grados en un cuadrante
es una cuarta parte de 360°, o
90°. Por lo tanto, un ángulo recto siempre será de 90°.
Ejemplo.- La Tierra gira completamente alrededor de su eje una vez cada
día; a través de cuántos grados da vuelta en l hora?
SOLUCIÓN .-- En 1 día hay 24 horas, y puesto que las vueltas de la tierra son de
360° en 24 horas, en 1 hora se convertirá en 360°/ 24 =15°. Grados.
81. En la suma de dos ángulos juntos, se agregan segundos a segundos, minutos a
minutos, y grados a grados; así,
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También, restando dos ángulos, se restan segundo de segundos, minutos de minutos, y
grados de grados.
EJEMPLOS PARA PRACTICAR.-
1.- Sumar 43° 0 '59 "a 10 ° 59' 40". Respuesta. 54° 0´ ‘39”.
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2.- De 180°12´ 20 "restar 3° 12 '56". Respuesta. 176 ° 59´ 24”.
3.-De 84° reducir a 83°14´ 10 ", y al resultado sumar 14' 10".
Respuesta. 1 °
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.-
82. Una función de una cantidad es otra cantidad dependiendo de la primera para su
valuación. La circunferencia de un círculo, por ejemplo, está en función del diámetro,
porque la longitud de la circunferencia depende de la longitud del diámetro.
83. En el triángulo rectángulo A C B, Fig. 61, el ángulo recto en C, el tamaño de el ángulo
A y consecuentemente, también del ángulo B dependen de la relativa longitud de los
lados A C, A B, y B C, por consiguiente, Ninguno de los lados puede ser cambiado sin
alterar la longitud de al menos otro lado, y en consecuencia cambiar los ángulos A y B, el
ángulo C restante es un ángulo recto. Por esta razón los lados están en función de los
ángulos.
Fig.- 61
84. En la Fig. 62, A C B, es triángulo, recto con ángulo en C. Los lados
A B y A C se han producido por B 'y C', respectivamente, siendo B ' C' perpendiculares a,
A C ' y por lo tanto paralela a BC. Los dos triángulos A C B, y A C´B´ son similares porque
sus correspondientes ángulos son iguales; por lo tanto, sus correspondientes
lados son proporcionales, y tenemos las proporciones siguientes:
Fig.- 62
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Es evidente que, no importan las longitudes de los lados de estos triángulos semejantes
puedan ser, las relaciones
Siempre tendrá el mismo valor, siempre y cuando los ángulos sigan siendo los mismos.
Por lo tanto, si supiéramos los valores de todos los ángulos, podríamos obtener a
cualquier ángulo.
Supongamos que el radio BC/AB sea conocido por ser 1/3 BC/AB = 1/3 AB.
Si decimos AB, 1, entonces BC = 1/3 y el ángulo puede ser construido como se muestra
en la Fig. 63
Si tomamos A B como un radio y describimos un círculo; dibujando los dos diámetros D H
y E F con los ángulos rectos entre sí. Dejemos A G = 1/3 (A B es igual a 1) y dibujamos G
B paralelo a D C, que corta el círculo en B, a continuación, dibujamos A B. Vemos que B
A C es el ángulo requerido, ya que BC = AG = 1/3 AB.
De una manera similar podemos construir un ángulo cuando el radio BC/AC o cuando
B´C´/ AC´ se conocen.
Fig. 63
Suponiendo que el radio es 2/5 y que AC se toma igual a 1 grado con AC como radio,
Fig. 64, describir un circulo y levantar una línea perpendicular a C. Hacer CB = 2/5 (AC
siendo 1 grado) y dibujamos AB. Entonces BAC, es el ángulo requerido.
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Fig. 64
85. Supongamos, en la Fig. 62, que las distancias A C 'y B' C ' sean conocidas, pero que
fuesen tan grandes que era imposible contenerlos en un dibujo
de manera que A B ' no podría dibujarse y medirse; también, que sería
necesario conocer la dirección de la línea A B', y el ángulo A. Por supuesto, un dibujo
podría hacerse a una escala reducida; de tal forma que el ángulo A se pudiera medir con
un transportador; y la longitud de B 'podría ser medida con una escala.
Los resultados obtenidos de esta manera no serían, en general, muy precisos; el método
sería largo y muy incómodo,
y las instalaciones para hacer esto podrían no estar a la mano.
Si, sin embargo, tuviéramos un cuadro con los valores de la relación BC / AC para todos
los ángulos, podríamos encontrar el valor de la relación B'C' / AC' (que es igual al valor de
la relación AC / AC), y luego revisando en la tabla, encontrar qué ángulo que tuviera este
valor. Este ángulo podría ser el ángulo A.
La longitud de AB´ puede encontrarse sumando el cuadrante A C´ con el cuadrante de,
B´ C´ y extrayendo la raíz cuadrada (ver el No. 50);
Una manera más fácil sería buscar en una tabla de valores los valores de la relación BC /
AB y dividir B'C' por la proporción correspondiente al ángulo A.
Representando los valores del radio BC/AB por R, tenemos:
BC/AB = B¨C´/A B´= R o AB´= B´C´/R,
De lo anterior, se percibe que las relaciones mencionadas son muy importantes;
constituyen, de hecho, los fundamentos de la trigonometría. Estas razones, junto con
varias otras aún no descritas, se llaman las funciones trigonométricas.
86. Hay ocho funciones trigonométricas, las cuatro principales son el seno, el coseno, la
tangente, y la cotangente,
Las otras cuatro son la secante, la cosecante, verseno y coverseno.
En algunas obras en la trigonometría y la ingeniería, las funciones trigonométricas se
tratan como líneas, mientras que en otras se tratan como ratios. Debemos por lo tanto,
definir las dos maneras o formas, por lo que el estudiante no tendrán dificultad en la
comprensión de cualquiera de los métodos. Estas funciones se definen como sigue.
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87. En cualquier triángulo rectángulo, como O C A, Fig. 65, en ángulo derecho
en C, teniendo en cuenta el ángulo de O, el lado A C se llama el lado opuesto el lado O C,
el lado adyacente; O A es
Por supuesto, la hipotenusa. Del mismo modo O C, el lado opuesto y lado A C
es el lado adyacente para el ángulo A.
Fig. 65
La relación de la lado opuesto a la hipotenusa se llama seno; es decir, para el ángulo A O
C,
Que es igual a AC, cuando se toma como igual a 1. En otras palabras, si un círculo cuyo
centro es O se describe con un radio de unidad de longitud, la perpendicular se deja caer
desde el punto en un lado del ángulo (cuyo vértice está en el centro del círculo) corta el
círculo hacia el otro lado es el seno.FIG. 65
88. El coseno de un ángulo, como O, Fig. 65, es la relación entre el lado adyacente a la
hipotenusa; por lo tanto,
Que es igual a OC, cuando el radio es igual a 1. En otras palabras, el coseno es la
distancia desde el pie del seno al centro del círculo, cuando el radio es la unidad.
89. La tangente de un ángulo, como A O B, Fig. 66, es la relación del lado opuesto al lado
adyacente; por lo tanto,
Cuando el radio OB = 1. En otras palabras, si la tangente se dibuja en el extremo derecho
del diámetro horizontal de un círculo (Descrito con una unidad de radio), que forma uno de
los lados de un ángulo, y el otro lado del ángulo se prolonga a su encuentro, la distancia
interceptada por los dos lados del ángulo en el perpendicular se llama la tangente de ese
ángulo.
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90. La cotangente de un ángulo, como A O B, Fig. 66, es el proporción del lado adyacente
al lado opuesto; por lo tanto,
Fig. 66
La cotangente está representado por línea EF, que es tangente al círculo en E, por los
triángulos F E O y D B O que son similares, ya que ambos tienen un ángulo recto; los
ángulos E F O y D O B son iguales (ver Art. 28), y los ángulos F O E y O D B también son
iguales, son complementos del mismo ángulo D O B (ver arts. 26 y 49). Por lo tanto.
Pero E O es el radio, que asumimos que sea 1 y es la
cotangente de D O B; de ahí,
Cotangente ,
cuando el radio OE = 1. En otras palabras, si una tangente es dibujada desde el extremo
superior de un diámetro vertical de un círculo, cuyo diámetro horizontal forma un lado de
un ángulo, y el otro lado del ángulo se produce hasta que se encuentra
esta tangente, la distancia interceptada en esta tangente entre la extremidad del diámetro
vertical y la línea producida
se llama la cotangente de ese ángulo, cuando el radio = 1.
91. La secante de un ángulo es la relación de la hipotenusa al lado adyacente; por lo
tanto, en referencia a la Fig. 67,
Cuando el radio O B = 1. En otras palabras, la secante es la línea comprendida entre el
punto de intersección de la tangente con el lado inclinado del ángulo y el centro de un
círculo, cuando el radio es igual a 1. OD es también la secante en la Fig. 66.
92. La cosecante es la relación de la hipotenusa al lado opuesto. Por lo tanto, en
referencia a la Fig. 67,
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Pero, desde O R N y O C A son triángulos rectos semejantes. el lado O R es
correspondiente a lado A C,
Cuando el radio OB = 1. En otras palabras, la
cosecante es la línea comprendida entre el punto de intersección de la cotangente con la
cara inclinada del ángulo y el centro de un círculo, cuando el radio = 1. Fig.66, O F es la
cosecante.
93. El verseno y coverseno no se tratan generalmente como relaciones.
El verseno se define como 1 menos el coseno. En la Fig. 67,
Fig. 67
verseno = 1 - coseno = 1- = 1- OC=CB, cuando el radio O A = 1.
El verseno podría ser definido como la proporción de CB de OA (Fig. 67), siendo C B en
todos los casos la distancia del pie C del seno a la extremidad derecha B del diámetro
horizontal. El coverseno es igual a
1- seno = 1- = 1- AC = 1 – EO = ER, cuando el radio OA es igual a 1.
94. Las cuatro funciones últimamente de finidas son poco utilizado
excepto para fines especiales; si es necesario, pueden ser fácilmente
encontradas en un cuadro en el que los valores de los senos, cosenos,
tangentes, y cotangentes; por lo tanto, vamos a tratar aquí sólo las cuatro funciones
primeramente nombradas.
En el art. 87, el seno fue definido como o igual
a en el Articulo 92, la cosecante fue definida como
se nota que estas dos relaciones son reciprocas
una de la otra. . En otras palabras, la cosecante = 1/seno, y para
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encontrar la cosecante de un ángulo todo esto es necesario dividirlo entre 1 por el seno
del ángulo
De esto se deduce que la división por el seno es el mismo que multiplicar por la
cosecante.
Del mismo modo, la secante es el recíproco del coseno; esto es,
secante = 1/coseno. Por lo tanto, si es necesario encontrar la secante de un cierto
ángulo, la secante puede encontrarse dividiendo 1 por el coseno del ángulo. Por lo tanto,
dividir por el coseno es equivalente a multiplicar por la secante.
El recíproco de un número es 1 dividido por el número. El recíproco de 4 es 1/4, y 4 y 1/4
se dice que son recíprocos uno del otro. El recíproco de una fracción es la fracción
invertida; Por lo tanto, el reciproco de 7/8 es 8/7.
Para encontrar el verseno del ángulo, encuentre su coseno y se le resta 1.
Para hallar la coverseno, encuentre el seno del ángulo y restarle 1.
Mediante la comparación de las proporciones de la tangente y cotangente, se observará
que la cotangente es el recíproco de la tangente; Asimismo, la tangente es el recíproco de
la cotangente.
Se puede demostrar fácilmente que, dividiendo la relación por el seno por que para el
coseno, la tangente es igual que
Seno/coseno del mismo modo la cotangente es igual al coseno/seno
Por lo tanto, después de conocer el seno y el coseno de cualquier ángulo, su
tangente y cotangente son fáciles de encontrar.
95. El coseno palabras, cotangente, cosecante, y coverseno son abreviaturas para
complementar el seno y complementar la, tangente, etc., que a su vez son las siglas para
las
expresiones "complemento de seno", "complemento tangente," etc. En otras palabras, el
coseno de un ángulo es igual al seno del complemento de ese ángulo; la cotangente de
un ángulo es igual a la tangente de su complemento; etcétera
Que el coseno es igual al seno del complemento es visto fácilmente por referencia a la
Fig. 67. Aquí, A O B es el
el ángulo dado y A O R es su complemento (véase el artículo 26.);
A C es su seno y O C es su coseno. Es evidente, a partir de la definición del seno, que
EA es el seno del ángulo
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A O R. Pero E A es igual a O C, ya que E A C O es un ángulo recto; Por lo tanto, el
coseno de A O B es igual al seno de
su complemento A O R.
Del mismo modo, R N es la tangente de A O R y la cotangente de A O B, y O N es la
secante A O R de y la cosecante de
A O B. El coseno de A O R es O E, que es igual a A C, el seno de un A O B. Por lo tanto,
la verseno de A O R es E R, el coverseno de A O B. En otras palabras, el coverseno de
AOB es igual al verseno de A O R, y el complemento de A O B.
96. Con el fin de ahorrar tiempo y espacio en la escritura, los nombres
de las funciones se abrevian de la siguiente manera: sen de seno; cos para coseno; tang
para tangente; cot para cotangente; sec para secante; cosec para cosecante; vers para
verseno; y cover para coverseno. Estas abreviaturas se utilizan sólo cuando se refiere
directamente a los ángulos; cuando los nombres se utilizan en un sentido general, están
escritos en su totalidad. Sea A representa un ángulo; entonces, si se deseara consultar el
seno, tangente, etc. de este ángulo, sería sen A, tan A, etc. Estas expresiones se pueden
leer como seno de A, tangente de A, etc.
Estas abreviaturas siempre deben ser pronunciadas en su totalidad.
Por lo tanto, cos 14 ° 22 '46 "se pronuncia coseno catorce grados
veintidós dos minutos y cuarenta y seis segundos; tan 45 ° se pronuncia
tangente de cuarenta y cinco grados.
97. Para facilitar los cálculos, se emplean las tablas de las funciones trigonométricas.
Estas tablas dan el seno, coseno, tangente y cotangente de los grados y minutos en un
círculo cuyo radio es 1. Hay dos tipos de tablas
de las funciones trigonométricas; a saber., las tablas de las funciones naturales y las
tablas de las funciones logarítmicas. La tabla de las funciones naturales da los valores
reales de las relaciones, mientras que la tabla de funciones logarítmicas da los logaritmos
de las funciones naturales. Sólo la tabla de funciones naturales se describe en el presente
texto.
98. A partir de las definiciones de las distintas funciones trigonométricas
se derivan las siguientes reglas muy útiles para triángulos rectángulos:
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TABLAS TRIGONOMETRICAS
99. Ahora explicaremos cómo hallar el seno, coseno, tangente y cotangente de un ángulo
por medio de la tabla
de las funciones trigonométricas naturales que acompaña a este texto.
Puede que aquí se observa que los valores de las funciones no son
calculados directamente (excepto haciéndolo en la tabla y en la calculadora), porque el
proceso es tan largo y laborioso que requeriría un tiempo considerable para calcular
incluso el valor de una función de un solo ángulo, y no hay ningún método sencillo de
determinar el ángulo correspondiente a una función dada, excepto por ayuda de una tabla
o en una calculadora. Como no son necesarios, las secantes,
cosecantes, versenos, y coversenos se omiten por completo.
100. Teniendo en cuenta, un ángulo, para encontrar su seno, coseno,
tangente y cotangente:
Ejemplo 1.-Que se requiere para hallar el seno, coseno, tangente, y cotangente de un
ángulo de 37 ° 24’.
SOLUCION.-Buscando en la tabla de seno natural: a lo largo de la parte superior de las
páginas hasta encontrar 37°. La columna de la izquierda está marcado (´), lo que significa
que los minutos hay que buscarlas en la columna, y comienzan con O, l, 2, 3,
etc., hasta 60. Al mirar hacia abajo esta columna hasta que se encuentra el 24',
encontramos el opuesto de 24´en la columna marcada seno, y nos dirigimos a 37 °, el
número .60738; entonces, 0,60738 = seno de 37 ° 24 '. Exactamente de la misma manera
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encontramos el opuesto 24' en la columna marcada coseno, y nos dirigimos hacia 37°, el
número 0.79441,
que corresponde a coseno 37° 24'; o coseno de 37 ° 24 '= 0,79441. Así, también se
encuentra en la columna marcada tangente, y nos dirigimos hacia 37°, y frente a 24',
encontramos el número 0,76456; de donde, tan 37° 24'= 0,76456. Finalmente, encuentre
en la
columna marcada cotangente, y nos dirigió hacia 37°, y en sentido opuesto a 24´, el
número 1,30795; de donde, cotangente de 37° 24' = 1,30795.
En la mayoría de las tablas publicadas, los ángulos sólo se encuentran desde
0° a 45°,ver al final de la página y siguiendo hacia arriba, usando la columna de la
derecha extrema para encontrar minutos, que comienzan con 0 en la parte inferior y correr
hacia arriba, 1,2,3, etc., hasta 60
Ejemplo 2.-Hallar el seno, coseno, tangente, y cotangente de 77° 43'.
SOLUCION.-desde que este ángulo es mayor de 45 °, vemos a lo largo de la
parte inferior de las tablas, hasta que la columna marcada en la parte inferior, con 77 °
bajo ella. se encuentra. viendo hacia arriba la columna de minutos en la tabla /, hasta 43
'se encuentra, frente 43' en la columna marcada coseno en la parte inferior, y que tiene 77
° debajo de ella, el número .97711; esto es
el seno de los 77 ° 43 ', o el sen de 77 ° 43' = 0,97711. Del mismo modo, en la columna
marcada coseno, y vemos "77 ° y frente 43 ', en la columna derecha, el número .21275;
este es coseno de 77 ° 43 ', o cos 77 ° 43 ': .21275. Así, también, encontramos que
4.59283 es la tangente de 77 ° 43 ', o tan 77 ° 43' = 4.59283. Finalmente, de la misma
manera, encontramos que la cotangente de 77 ° 43 ', o cot de 77° 43' = .21773.
101. Encontrar el seno de 14° 22' 26 ".
EXPLICACIÓN.-- El seno de 14° 22' 26´´ "se encuentra entre el seno de 14° 22'y el seno
de 14° 23'. Por una diferencia de
1 minuto o menos entre dos o más ángulos, es correcto asumir que las diferencias en los
valores de seno, coseno, etc., de los ángulos son proporcionales a las diferencias en el
número de segundos en estos ángulos. La diferencia en el número de segundos entre 14°
22 'y 14° 22' 26 "es de 26",
y entre los 14° 22 'y 14° 23' es de 60". El seno de 14° 22 ' es 0.24813; el seno de 14° 23'
es 0,24841. La diferencia entre
el valor del seno de 14° 22 'y el seno de 14 ° 22' 26 "es desconocido; por lo tanto,
representar por x. La diferencia entre el valor del seno de 14° 22 'y el seno de
14° 23' es .24841 hasta .24813 = 0,00028, o 28 partes. Por lo tanto, tenemos la
proporción 26 ": 5 piezas
26 ": 60" = x partes: 28 partes, o 26´´/60´´ = x partes/28 partes, de los cuales x: partes =
26/60 x 28 = 12,1 partes.
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Descuidar la 0.1, ya que 0.1 es inferior a 0,5, hay que añadir 12 piezas o .00012, a .24813
para obtener el seno de 14° 22´ '26 ".Por lo tanto, el seno de 14° 22 '26 "= 0.24818 +
.00012 = .24825.
102. Al referirse a la tabla de senos, cosenos, tangentes, y cotangentes, se observará
que, como los ángulos
aumentan el tamaño, los senos y tangentes aumentan, mientras que los
cosenos y cotangentes disminuyen.
En el ejemplo anterior, entonces, para encontrar el coseno o la cotangente de
14° 22' 26 ", la corrección para el 26" habrían sido restar del coseno o la cotangente de
14° 22' en lugar
de sumarlo. La razón para esto se hace evidente en referencia a la Fig. 67. Aquí se verá
que, como el aumento de seno y la tangente, y la disminución el coseno y cotangente, y
viceversa. De lo anterior tenemos, podemos encontrar el seno, coseno, tangente, o
cotangente de un ángulo que contiene segundos, en la siguiente regla:
REGLA 7.- Encontrar en la tabla el seno, coseno, tangente o cotangente correspondiente a los
grados y minutos de un ángulo.
Para encontrar los segundos, encontrar la diferencia entre este valor y el valor del seno, coseno,
tangente, o cotangente de un ángulo mayor a 1 minuto; multiplicando esta diferencia por la
fracción cuyo numerador es el número de segundos en el ángulo dado y cuyo denominador es 60.
Si el seno o tangente es buscado, sumar esta corrección al primer valor encontrado; si el coseno o
la cotangente es buscado, restar la corrección.
EJEMPLO. – Encontrar el seno, coseno, tangente, y cotangente de 56° 43' 17".
SOLUCION.-Seno de 56° 43' = 0,83597. Seno de 56° 44'= .836l3. y 56°43' l7 "
es mayor que 56° 43' y menos de 56° 44', el valor del seno del ángulo está entre 0.83597
y 0.836l3; y la diferencia = .836l3 - 0,83597 = .000l6. Multiplicando esto por la fracción
17/60. 0. 000l6 X 17/60, = .00005, cerca de lo que debe ser añadido a 0,83597, el valor
primero se encontró, o 0,83597 + 0,00005
= 0,83602. Por lo tanto, el seno de 56° 43 '17 " es igual a= 83602.
Cos 56° 43' = 0,54878; cos 56° 44' = 54854; la diferencia = 0.54878 - 0,54854 = .00024 y
00024 X 17/60 = 0,00007. Ahora, dado el coseno que se busca, debemos restar esta
corrección de cos 56° 43' o .54878; restando 0.54878 – 0.00007, = 0.54871.
Por lo tanto, cos 56° 43'17" = 0.54871.
Tan 56° 43' = 1.52332; tan 56° 44' = 1.52429; la diferencia es de = .00097,
y 0,00097 X 17/60 = 0.00027, casi. Dado que se buscó la tangente, debemos sumar,
dando 1.52332 + 0,00027 = 1.52359. Por lo tanto, tan 56° 43'17"=
1.52359.
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Cot de 56° 43' = 0,65646; cot de 56° 44' = 0,65604; la diferencia = 0,00042, y
0.00042 x 17/60 = 00012, cerca. Dado que se buscó la cotangente, debemos restar,
dando 0.65646 - 0.00012 = 0,65634. Por lo tanto, cot de 56° 43'17 "=
0.65634.
103. Teniendo, el seno, coseno, tangente, o cotangente, encontrar el ángulo
correspondiente:
Ejemplo 1.-El seno de un ángulo es 0.47486; ¿cuál es el ángulo?
SOLUCION.-Consultando la tabla de senos naturales, miramos hacia abajo la
columnas marcadas con seno hasta 0.47486 se encuentra frente 21', en la columna de la
izquierda, y bajo la columna titulada 28°. Por lo tanto, el ángulo cuyo seno es igual a =
0.47486 es de 28° 21', o el seno de 28 ° 21' es igual a = 0.47486.
Ejemplo 2.-- Encuentra el ángulo cuyo coseno es 0.27032.
SOLUCION. Buscando en las columnas marcadas coseno, en la parte superior de la
página, que no se encuentra; Por lo tanto, el ángulo es mayor que 45 °. Por consiguiente,
mirando en las columnas marcadas coseno en la parte inferior de la página, que se
encuentra enfrente de 19 ', en la columna de los minutos de la derecha, y en la columna
que tiene 74° en la parte inferior. Por lo tanto, el ángulo
cuyo coseno es 0.27032 es de 74° 19', o cos 74° 19' = 0.27032.
Ejemplo 3. -Encontrar el ángulo cuya tangente es 2,15925.
SOLUCIÓN.- buscando en la tabla de tangentes naturales, la tangente dada se encuentra
es mayor y pertenece a un ángulo mayor de 45°, por lo que debe
que buscarla en la columna marcada tangente en la parte inferior. Se encuentra enfrente
de 9 ', en la columna de minutos de la derecha, y en la
columna que tiene 65° en la parte inferior. Por lo tanto, tan 65° 9'= 2,15925.
Ejemplo 4. ~ Encuentra el ángulo cuya cotangente es 0,43412.
SOLUCIÓN.- En la tabla de cotangentes naturales, se encuentra que este valor es menor
que la cotangente de 45°, por lo que se debe encontrar en la columna marcada
cotangente en la parte inferior. Buscando allí, se encuentra en la columna que tiene 66°
en la parte inferior, y al contrario 32', en la columna de minutos a la derecha. Por lo tanto,
el ángulo cuya cotangente es 0.43412 es 66° 32', o cot de 66° 32' = 0,43412.
104. Encontrar el ángulo cuyo seno es 0.42531.
EXPLICACION.-Refiriendo a la tabla de senos, este número se encuentra entre 0,4252,
del seno de 25° 10', y 0.42552, del seno de 25° 11'. La diferencia entre estos dos números
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es 0.42552 -0.42525 = .00027 o 27 partes; la diferencia entre 0.42525, del seno de 25°
10', y 0.42531,
el seno del ángulo dado, es 0.42531-,42525 = 00006, o 6 partes. Representando por x el
número de segundos que las ángulo cuyo seno es 0,42531 sobrepasa los 25° 10',
tenemos la proporción, x ": 60" = 6 piezas 27 partes,
X´´/60´´ = 6 partes/ 27 partes;
de los cuales X = 60 x = 6 partes /27 partes 13,3% ". Por lo tanto el ángulo cuyo
seno es 0.42531 es 25°10' 13.3”.
El ángulo se encuentra desde el coseno, tangente, y cotangente exactamente de
la misma manera.
105. Para hallar el ángulo correspondiente a un seno dado,
coseno, tangente, o cotangente, cuyo valor exacto no está contenido en la tabla:
Regla 8. -Encontrar la diferencia de dos números en la tabla entre los cuales el
seno dado, coseno, tangente, cotangente, utilizando el numero de partes en esta
diferencia como el denominador de una fracción.
Encontrar la diferencia entre el número que pertenece al menor ángulo dado y el
seno, coseno, tangente, o cotangente, utilizando el número de partes en la
diferencia encontrando el numerador de la fracción mencionada anteriormente.
Multiplicando esta fracción por 60, y el resultado será el número de segundos que
se suman al ángulo más pequeño.
Ejemplo 1.-Encontrar el ángulo cuyo seno es 0.57698.
Solución.- Buscando en la tabla de senos naturales, en las columnas marcadas
senos, se encuentra entre 0.5769l = sen 35° 14' y 0.577l5 = sen de 35° 15'. La
diferencia entre ellos es 0.57715 -0.57691 = 00024, o 24 partes.
La diferencia entre el seno del ángulo más pequeño, o seno de 35° 14'= 0.57691 y
el seno dado, o 0.57698, es 0.57698 – 0.57691 = 0,00007 o 7 partes. Entonces,
7/24 x 60 = 17.5", y el ángulo requerido es de 35° 14' 17.5", o el seno de 35° 14'
17.5" = 0.57698.
Ejemplo 2. -Encontrar el ángulo cuyo coseno es 0.27052.
SOLUCIÓN. –Buscando en la tabla de cosenos, se encuentra un ángulo mayor de 45 ° y,
por lo tanto, debe buscarse en las columnas macadas coseno, en la parte inferior de la
página. Se encuentra entre el números 0.27060 = cos 74° 18' y 0,27032 = cos 74° 19'. La
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diferencia
entre los dos números es 0.27060 -0.27032 = 0.00028 o 28 partes. El
coseno del ángulo pequeño, o 74° 18' es 0.27.060, y la diferencia entre este y el coseno
dado es 0.27060 – 0.27052 = 0,00008, o 8 partes.
Por lo tanto, 8/28 x 60 = 17.1", casi, y el ángulo cuyo coseno es 0.27052
= 74° 18' 17.1", o cos 74° 18' l7.1" = 0.27052.
Ejemplo 3.-Encontrar el ángulo cuya tangente es 2.15841.
SOLUCIÓN. - 2.15841 cae entre 2,15760 = tan 65° 8' y 2,15925 = tan 65° 9'. La diferencia
entre estos números es 2.15925 – 2.15769 = 0.00165, o 165 partes. 2.15841 – 2.15760 =
0,00081, o 81 partes. Por lo tanto,
81/165 x 60 = 29.5", casi, y el ángulo cuya tangente es 2.15841 = 65° 8' 29.5", o tan 65° 8'
29.5" = 2,15841.
Ejemplo 4.-Encontrar el ángulo cuya cotangente es 1.26342.
SOLUCION.- 1,26342 se encuentra entre 1.26395 = cot 38° 21' y 1.26319 = Cot 38° 22'.
La diferencia entre estos números es 1.26395 -1.26319 = 0.00076. 1.26395 a 1.26342 =
0.00053. 53/75 x 60 = 41.8´´, casi, y el ángulo cuya cotangente es l.26342 = 38° 21' 41.8
", o cot 38° 21' 41.8"= 1.26342.
EJEMPLOS PARA LA PRÁCTICA
1. Busque el (a) seno, (b) coseno, y (c) la tangente de 48° 17’.
(a) 0,74644.
(b) 0,66545.
(c) 1,12172.
2. Busque el (a) seno, (b) del coseno, y (c) la tangente de 13° 11' 6 ".
(a) 22.810.
(b) 0,97364.
(c) 23.427.
3. Busque el (a) seno, (b) coseno, y (c) la tangente de 72 ° 0‘ 1.8”.
(a) 0.95106.
(b) 0.30901.
(c) 3.07777,
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48
37º 0,602 0,799 0,754 83º 0,993 0,122 8,144
38º 0,616 0,788 0,781 84º 0,995 0,105 9,514
39º 0,629 0,777 0,810 85º 0,996 0,087 11,430
40º 0,643 0,766 0,839 86º 0,998 0,070 14,300
41º 0,656 0,755 0,869 87º 0,999 0,052 19,081
42º 0,669 0,743 0,900 88º 0,999 0,035 28,640
43º 0,682 0,731 0,933 89º 1,000 0,018 57,289
44º 0,695 0,719 0,966 90º 1,000 0,000
45º 0,707 0,707 1,000
SOLUCION DE TRIANGULOS
Triángulos rectángulos
106. Como se indicó anteriormente, cada triángulo tiene seis partes, tres lados y tres
ángulos, y si se dan cualquiera de las tres partes. Siendo una de ellos un lado, los otros
tres se pueden encontrar.
En los triángulos rectángulos, sólo es necesario conocer dos partes
Además del ángulo recto, uno de los cuales debe ser un lado.
Reglas 1-8 y las definiciones de seno, coseno, tangente, y cotangente son suficientes
para resolver todos los casos de triángulos rectos. El método se ilustra mejor mediante
ejemplos. Y son dos casos.
107. Caso 1. – Cuando se dan dos partes dadas y un ángulo:
Ejemplo 1.-En la Fig. 68, la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo A C B,
con un ángulo recto en C es
de 24 centímetros, y el ángulo A es de 29° 31'; encuentra los lados A C y B C y el ángulo
B.
Fig. 68
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NOTA. -Cuando trabajamos ejemplos de este tipo, construimos la figura y marcamos las
partes conocidas. Esta es una gran ayuda para resolver el ejemplo. Por lo tanto, en la
figura, dibujar el ángulo A para representar para representar el ángulo de 29° 31', y
completar el triángulo rectángulo A C B, con un ángulo recto en C, como se muestra.
Marque el ángulo A y la hipotenusa, como se muestra en la figura.
SOLUCION.-En relación con el art. 49, el ángulo B = 90° - 29° 31' = 60° 29'.
Para encontrar a C, usar = 24 x coseno de la regla 3; a saber., A C, o lado adyacente =
hipotenusa x coseno = 24 x coseno de 29° 31'= 24 x = 0.8702l = 20.89 centímetros, casi.
Para hallar B C, utilice la misma norma; por lo tanto, BC = 24 x cos 60° 29'= 24
0.49268 = 11,82 centímetros, casi.
Para hallar B C, regla 1 también podría haber hecho, a saber., lado opuesto = hipotenusa
x seno, o B C = 24 x seno de 29° 31' = 24 x 0.49268 = 11.82 centímetros.
Angulo B = 60° 29'
Lado A C = 20.89 cm.
Lado B C = 11.82 cm.
Ejemplo 2. -Un lado de un triángulo rectángulo A C B, con ángulo recto en C,
B Fig. 69. Es de 37 centímetros y 7 milímetros de largo; el ángulo opuesto de 25° 33' 7",
cuales son las longitudes de la hipotenusa y el lado adyacente, y ¿cuál es el otro ángulo?
Fig. 69
SOLUCIÓN. -Angulo B = 90° - 25° 33' 7´´
= 64° 26' 53"
Para hallar la hipotenusa, se utiliza la regla 2, hipotenusa = lado opuesto / seno
Como el lado opuesto se da en centímetros y milímetros, ambos deben estar reducidos a
centímetros, o ambos a milímetros. 7 milímetros = 7/10 centímetros = 0.70 + 37
centímetros; Por lo tanto, B C = 37.70 centímetros. Por lo tanto, la hipotenusa es igual a
37.70/ seno de 25° 33' 7´´ = 37.70/ 0.43133 = 87.40 centímetros.
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Para hallar el lado A C, uso la regla 3; lado adyacente = hipotenusa x
coseno = 87.40 x coseno de 25° 33' 7 " = 87.40 x 0,90219 = 78.61 pies = 78.85
centímetros = 78 centímetros y 85 milímetros.
Ángulo B = 64° 26' 53".
A C = 78.85 centímetros.
A B= 87.40 centímetros.
El trabajo realizado para encontrar el seno y el coseno de 25° 33' 7", en el
el ejemplo anterior, es el siguiente: seno de 25° 33' = 0.43130; seno de 25° 34' =
0,43156; la diferencia = 0,00026; 0,00026 X 7/10 = .00003. Por lo tanto, el seno de 25° 33'
7" = 0.43130 + 0,00003 = 0.43133.
Coseno de 25° 33' = 0,90221; coseno de 25° 34' = 0.90208; la diferencia = 0,00013;
0,00013 x 7/60 = .00002, casi. Por lo tanto, coseno de 25° 33' 7" = ,90221-0,00002
0 .902l9.
108. Caso II. – Cuando se conocen dos lados.
Ejemplo 1.-En el triángulo rectángulo
A C B, Fig. 70, es ángulo recto en C, A C
= 18 y B C = 15; encontrar el lado A B y los ángulos A y B.
SOLUCION.- como ninguno de los dos ángulos agudos se da, uno de los ángulos deben
ser encontrado, haciendo uso de la definición de una de las funciones del ángulo.
Considerando el ángulo A, tenemos: lado opuesto igual a 15 y el lado adyacente es igual
a 18; por lo tanto, podemos utilizar la definición de cualquiera de la tangente o cotangente.
Utilizando la definición de la tangente,
Tan A = seno opuesto/lado adyacente = 15/18 = 0.83333.
Para hallar el ángulo cuya tangente es 0,83333, tenemos: Tangente del
siguiente ángulo menos 0,83317 = tan 39° 48'; la tangente del siguiente ángulo mayor es
0.83366; la diferencia es 0,00049. La diferencia entre 0,83317, la
tangente del ángulo más pequeño, y 0,83333, la tangente dada es 0.83333
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0.833l7 = .000l6. Por lo tanto, 16/49 x 60 = 19.6 ", y el ángulo cuya tangente
es 0.83333 = 39° 48' 19.6"= ángulo A.
Ángulo B = 90°- 39° 48' 19.6" = 50° 11' 40.4".
Para hallar la hipotenusa A B, utilizando la regla 2 o 4; usando la regla 2,
hipotenusa = lado opuesto / seno. = 15 / seno de 39° 48' 19.6" = 15 / 0.64018 = 23.43.
Angulo A = 39° 48‘ 19.6”.
Ángulo B = 50° 11' 40.4”.
A B = 23,43.
Ejemplo 2.-En el triángulo rectángulo A CB, Fig. 71, en ángulo recto en C, A C =
0,024967 millas y A B = 0,04792 millas; hallar las otras partes.
SOLUTION.-Aquí la hipotenusa y el lado adyacente se dan; Por lo tanto, utilizando el
definición del coseno, lado adyacente
Coseno de A = lado adyacente / hipotenusa = 0.024967 / 0.04792 =
0.52l01.
El ángulo cuyo coseno es 0.52101 = 58° 36 ' = Ángulo A. y el Angulo B = 90° - 58° 36 '=
31° 24'.
Para encontrar el lado B C utilizando la regla 5.
Lado opuesto A = lado adyacente x tan A, o B C = 0.024967 x 1.63826 = 0.0409 = 0.409
millas.
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Angulo A = 58° 36'.
Angulo B = 31° 24’.
B C = 0,0409 millas.
Ejemplo 3.- En el triángulo rectángulo A C B, Fig. 72, en ángulo recto en C, A, B, = 308
pies y B C = 234 pies; encontrar las otras partes.
SOLUCION.-Aquí la hipotenusa y el
lado opuesto se dan; Por lo tanto, utilizando la definición de seno,
Coseno de A = lado opuesto / hipotenusa = 234/308 = 0.75974.
El ángulo cuyo seno 0,75974 = 49° 26' 28 ", cerca, = ángulo A.
El Angulo B =90°- 49° 26' 28" = 40° 33' 32”. Para encontrar una A C, la regla 1, 3, 5, ó 6
pueden ser utilizadas. Usando la regla 6, lado adyacente ángulo A = lado opuesto x
cotangente de A o A C = 234 x 0.85586 = 200.27 pies.
Angulo A = 49° 26' 28".
Ángulo B = 40° 33´ 32 ".
A C = 200,27 ft.
EJEMPLOS PARA PRÁCTICAR.
1. En el triángulo rectángulo A C B, en ángulo recto en C, la hipotenusa
AB = 40 centímetros y ángulo A = 28°14‘ 14”. Resolver el triángulo.
Ángulo B = 61° 45 ' 46 ".
A C = 35,24 centímetros
B C = 18,92 centímetros.
2. En un triángulo rectángulo ACB, en ángulo recto en C, el lado BC = 10 metros 4
centímetros. Si el ángulo es = 26° 59' 6", lo que hacen las otras partes iguales?
Ángulo B = 63° 0' 54".
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A B = 22 metros. 9.25 centímetros.
A C = 20 metros 3.75 centímetros
3. En un triángulo rectángulo A C B, la hipotenusa AB = 60 metros y el lado A C = 22
metros.
Resolver el triángulo.
Angulo A = 68° 29' 22.2".
Ángulo B = 21° 30 '37.8".
B C = 55.82 metros.
4. En un triángulo rectángulo A C B, en ángulo recto en C, lado A C = 0.364
metros y el lado A C = 0,216 metros. Resolver el triángulo.
Angulo A = 30° 41' 7.5”
Angulo 6 '= 0,59 "18" 52.5 ".
A B = 0,423 metros.
TRIÁNGULOS OBLICUOS
109. Cuando se dan tres partes de cualquier triángulo, uno de ellos es un lado, las partes
restantes se pueden encontrar dibujando una perpendicular desde un ángulo hacia el lado
opuesto, por lo tanto formando dos triángulos rectángulos. Las partes de estos triángulos
rectángulos puede ser calculadas, y de ellas las partes de la
triángulo buscados puede ser encontrados.
110. Atención.- Cuando se divide el triángulo en dos triángulos rectos, se debe tener
cuidado de que el, perpendicular debe ser dibujado que uno de los triángulos rectángulos
tendrá dos partes conocidas, además del ángulo recto; d otra manera el triángulo no
puede ser resuelto.
111. Caso I. – Cuando tres partes son conocidas pueden ser un lado y dos ángulos, o dos
lados y el ángulo incluido:
Ejemplo 1.-E n la Fig. 73, El ángulo A = 46° 14', el ángulo B = 88° 24' 11", y el lado A B =
21 metros; encontrar A C, B C, y el ángulo C.
SOLUCION.-Dado que la suma de todos las ángulos de cualquier triángulo es igual a 2
ángulos rectos, o 180 ° (Art. 48), podemos hallar el ángulo C mediante la adición de los
dos ángulos conocidos y restando la suma de 180°.
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88° 24´11" + 46° 14' = 134° 38' 11"
180° - 134° 38' 11 " = 45° 21' 49" = ángulo C.
Desde el vértice B, dibujar B D perpendicular a AC. El triángulo
A B C está ahora dividida en dos triángulos rectángulos A D B y B D C, ambos ángulos
rectos son en D.
En el triángulo rectángulo A D B, el ángulo A, es el ángulo recto D, y
la hipotenusa A B son conocidos;
Encontrar B D y A D. Usando la regla 1,
lado opuesto, o B D, = 21 x seno de 46° 14 '= 21 x 0.722l6 = 15.17 metros.
Utilizando la regla 3, lado adyacente, o A D, = 21 x coseno 46° 14' = 21 = 0.69172,
o A D = 14.53 metros, casi.
En el triángulo rectángulo B D C, el lado ángulo C y el lado opuesto, o B D, son
conocidos; Encontrara B C y D C.
Utilizando la regla 2, la hipotenusa, o
B C = B D / seno de 45° 21' 49" = 15.17 / 0.71158
Utilizando la regla 3, lado adyacente, o C D, = 21.32 x coseno de 45° 21' 49" = 21.32 x
0.70261 = 14.98 metros.
Desde A D + D C = A C, tenemos 14.53 + 14.98 = 29.51 metros = A C.
A C = 29,51 metros.
B C = 21.32 metros
Ángulo C = 45° 21' 49".
Si, en el ejemplo anterior, el ángulo C se había dado en lugar del ángulo A, la línea
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divisoria debería haber sido
trazada desde el ángulo A hacia el lado BC, como en el siguiente ejemplo:
Ejemplo 2.-En el triángulo A B C, Fig. 74, A B = 18 metros, ángulo B = 60°, y el ángulo C
= 38° 42'; encontrar las otras tres partes.
SOLUCION.- En el triángulo A B C, tenemos un ángulo A = 180°- (60°+ 38° 42 ') = 81 °
18'. Desde el vértice A, trazar la línea A D perpendicular a B C, formando así los
triángulos rectos A D B y A D C.
En el triángulo A D B, dos partes (el lado A B y ángulo B) son conocidos además del
ángulo recto. Para conocer B D, utilizaremos la regla 3. B D = 18 x coseno de 60° = 18 x
0.5 coseno = 9 metros.
Encontrar A D, utilizando la regla 1. A D = 18 x seno de 60° = 18 x 0.86603 = 15.59
metros.
En el triángulo rectángulo A D C, se conocen A D y el ángulo C.
Para encontrar C, utilizaremos la regla 2.
A C = A D / seno de C = 15.59 / 0.62524 = 24.93 metros.
Para obtener D C, utilizando la regla 3.
D C = A C / coseno de C = 24,93 x 0,78043 = 19.46 metros.
Desde B C = B D) + D C, BC = 9 + 19,46 = 28,46 metros.
A C = 24,93 metros.
B C = 28,46 metros.
Angulo A = 81° 18'.
Ejemplo 3.-En la Fig. 75, A B = 19 metros, A C = 23 metros, y se incluye el ángulo A =
36° 3' 29"; encuentra los otros dos ángulos y el lado B C.
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SOLUCIÓN. - Desde el vértice B, dibujar B D perpendicular a A C, formando los
dos triángulos rectángulos A D B y B D C. En el triángulo rectángulo A D B, A B es
conocido, y también el ángulo A. Por lo tanto, por la regla 1,
BD = 19 x seno de 36° 3´ 29" = 19 x 0.58861 = 11.18 metros, casi.
Por la regla 3, AD = 19 X coseno de 36° 3´ 29" = 19 x 0.80842 = 15.36 metros.
En el triángulo rectángulo B D C, las dos partes B D y D C, sobre el ángulo recto, son
conocidos; por lo tanto, a partir de la definición de la tangente,
Tangente de C = BD/DC = 11.18/7.64 = 1. 46335, y el ángulo C = 55 ° 39 '10 ".
La aplicación de la regla 2,
B C = B D/ D C = 1118 / 0.82564 = 13.54 metros.
Angulo B = 180°-(36° 3' 29"+ 55° 39 '10") = 180°- 91° 42' 39 "= 88° 17' 21”.
Angulo C = 55° 39´ 0”.
Ángulo B = 88° 17' 21".
Lado B C=13.54 metros.
112. Caso II. – Cuando en las tres partes son conocidos dos lados y un ángulo opuesto a
uno de ellos. Para este caso son, en general, dos soluciones. Esto se ve fácilmente
haciendo referencia a la Fig. 76.
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Supongamos que las partes son los lados AB y BC y el ángulo A opuesto al lado B C.
Construimos el triángulo primero dibujando las líneas A E y A F
de tal manera que el ángulo A será del tamaño requerido y, a continuación, dibujamos la
distancia A B a lo largo de A E para representar la longitud del lado A B. Para dibujar el
lado B C, tomamos el punto B como centro, y con un radio igual a la longitud de B C, se
describe el arco de C C´ y dibujamos A C y B C´.
El triángulo que se busca puede ser A B C o A B C´. En la práctica, las condiciones nos
indicaran que triángulo seleccionar; pero cuando los dos lados y el ángulo opuesto a uno
de ellos solamente se da y no hay otra condición, es necesario resolver los dos triángulos,
que se realizan fácilmente de la siguiente manera:
Primero resolver el triángulo A B C. Para ello, determine la longitud de B D perpendicular
mediante la aplicación de la regla del 1 al ángulo A
(BD = A B X seno A); encontrar el ángulo B C D aplicando definición de seno para ángulo
B C D (seno de BCD = BD/CB) encontrar C D aplicando la regla 3 (C D = C B x coseno B
C D); encontrar A D aplicando la regla 3 (A D = A B x coseno de A).
Ahora sabemos todo lo que es necesario para determinar las partes desconocidas de
ambos triángulos.
Por lo que el ángulo A C B es el suplemento (ver Art. 27) de el ángulo B C D, y es por lo
tanto igual a 180° - ángulo B C D; el ángulo A B C = 180 ° - ángulo BA C + ángulo A C
B); el lado A C = AD – C D; desde C B C' es un triángulo isósceles, el ángulo B C D = BC'
D y
C' D = C D; A C '= A D + C' D; y, finalmente, el ángulo A B C'= 180° - (ángulo A + ángulo
C').
113. Si bien, en general, hay dos soluciones a ejemplos incluidos en el caso 11, puede
haber ninguna solución o
sólo una solución, dependiendo de la longitud del lado 8 C.
a. Si B C es menor que la perpendicular B D, el arco C C' no tocaremos el lado A F lado
del ángulo, y el triángulo no puede
ser formado; Por lo tanto, en este caso no existe una solución.
b. Si B C es exactamente igual a la B D, el arco C C' tocara a A F
en un solo punto; sólo un triángulo puede formarse, un triangulo recto y hay una solución.
c. Si B C es mayor que B D y menos de A B, el arco C C' cortará A F entre A y D, y
también a la derecha D; esto da dos triángulos y dos soluciones.
d. Si A B es exactamente igual al A B, el arco C C' cortará A F en A y en un punto a una
distancia A D a la derecha de D; este da un triángulo y una solución.
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e. Si BC es mayor que AB, el arco CC 'no va a cortar AF entre A y D, pero se corte AF en
un punto a la derecha de D; Por lo tanto, un triángulo, se puede formar y
no hay más que una solución.
Ejemplo.- en la Fig. 76, AB = 88 metros y 6 centímetros, B C =: 57 metros, y un ángulo A
= 35° 0' 38"; encontrar las otras partes.
Solución.- La aplicación de las distintos pasos en el orden indicado en Art.112, tenemos
por regla 1, BD = 88 metros y 6 centímetros x seno de 35° 0' 38"
= 88.5 X 0.57373 = 50.78 metros.
Seno de BCD = BD/BC = 50.78/57 = 0.89088; de donde, el ángulo BCD = 62° 59' 4.3".
Por la regla 3, CD = 57 X coseno de 62° 59' 4.3" = 57 x 0.45423 = 25.89 metros.
Por regla 3 tenemos, AD = 88,5 x coseno de 35° 0' 38" = 88,5 x 0,81905 = 72,49 metros.
Ahora tenemos los datos necesarios para la encontrar las partes necesarias del triángulo
A B C. Para el ángulo BCD = 62° 59' 4.3", el ángulo adyacente
ACB = 180° - 62° 59' 4.3" = 117° 0' 55,7". Además, el ángulo A B C = 180° - (35° () '38
"+117° 0' 55.7") =180°-152° 1' 33.7 "= 27° 58' 26.3".
Para AD = 72.49 metros y CD = 25.89 metros, AC = 72,49-25,89 = 46.6 metros.
Para el triángulo ABC ', el ángulo C' = 62° 59´43" y el ángulo AB C '
= 180° - (35° 0' 38"+ 62° 59' 4.3") = 82° 0' 17.7”. A C '= 72,49 + 25,89 = 98,38 metros.
Ángulo C = 117° 0' 55,7".
Ángulo B = 27° 58' 26.3".
Lado AC = 46.6 metros.
Angulo A B C' = 82° 0' 17.7".
Angulo C '= 62° 59' 4.3".
Lado AC '= 98,38 metros.
114. Caso III.- Cuando se dan tres lados, encontrar los ángulos:
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Este caso se resuelve al trazar una línea desde el vértice del ángulo opuesto
el lado más largo, perpendicular a ese lado, como BD en la Fig. 77. Las partes m y n del
lado AC son determinadas con la siguiente proporción. m + n (o AC): a + b = a – b; m –
n. Esto nos da el valor de m – n. El valor de m + n = AC es ahora conocido, y para los dos
valores m y n puede determinarse por los principios de la aritmética, como explicamos
abajo.
Teniendo encontrado el valor de m – n y conociendo el valor de m + n, los valores de m y
n pueden ser determinados de la siguiente forma: Es un principio de aritmética si la suma
dos miembros y su diferencia dada, el mayor de los números es igual a la mitad de la
suma de su suma y su diferencia, y el menor de dos números es igual a la mitad de la
diferencia entre su suma y su diferencia.
Por ejemplo, suponiendo que la suma de dos números es 22 y su diferencia es 8
entonces, el numero más grande es (22+8) / 2 = 15, y el menor es (22 – 8) / 2 = 7.
Entonces, se deja menor, m + n representa su suma y m – n su diferencia; de donde,
m = (m + 22) + (m –n) / 2,
n = (m + n) – (m - n) / 2,
Ejemplo-Dado, un triángulo cuyos lados son 17 metros y 3 centímetros, 21 metros y 32
metros de largo. Encontrar los ángulos.
Solución.- m + n, el lado más largo, = 32 metros, a +b , la suma de los dos lados más
cortos, = 91 + 17,25 = 38,25 metros.
a – b , la diferencia de los dos lados más cortos, = 3.75 metros. Por lo tanto,
32 : 38.25 = 3.75 : m - n, o´ m - n = 38.25 x 3.75/ 32 = 4.48 metros.
Luego, m = (m + n) + (m - n)/2 = 32 + 4.48 / 2 = 18.24 metros
Y luego, n = (m + n) - (m – n)/2 = 32 – 4.48 / 2 = 13.76 metros
Ahora, en referencia a la última cifra, tenemos, en el triángulo ADB
lado a = 21 metros y m = 18,24 metros; de donde, por definición de coseno,
60. Arquitecto Roberto Saldivar Olague, Cédula Profesional 2538150, fojas-164-01 del libro A253-DGP.SEP.MX
GEOMETRIA Y TRIGONOMETRIA APLICADA FACIL E INTERESANTE PARA ESTUDIANTES DE PREPARATORIA Y ARQUITECTURA
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coseno de A = 18.24/21 = 0,86857, o´ A = 29° 42' 25.7".
En el triángulo CB D, lado b = 17.25 metros y n = 13,76 metros; de donde,
coseno C= 13.76 / 17.25 = 0.79768, o´ C =: 37° 5' 26.7".
El ángulo A B C = 180° - (29° 42' 25.7"+ 37° 5' 26.7") = 113° 12' 7.6'´.
El ángulo A = 29° 42' 25,7".
El ángulo B = 113° 12´ 7.6".
El ángulo C: 37° 5' 26.7".
EJEMPLOS PARA PRACTICAR.-
1. Teniendo en cuenta, un triángulo oblicuo A B C, en el que la cara A B = 21 metros,
ángulo A = 22° 10' 16", y ángulo lo B = 78° 24' 24". Encontrar las otras partes.
Ángulo C = 79° 25´ 20´´.
Lado A C = 20.93 metros
Lado B C = 8.06 metros.
2. Teniendo en cuenta, un triángulo A B C, en la que AB = 32 metros, el ángulo B = 54°
l6', y el ángulo C: 58° 18' 9”.
Encontrar las otras partes.
Angulo A = 67° 25' 51",
Lado A C: 30.53 centímetros.
Lado B C = 34,73 centímetros.
3.- En un triángulo A B C, AB = 20 metros y 6 centímetros, BC: 16 metros, y
el ángulo B = 46° 10' 42". Encontrar los valores de las otras partes.
Ángulo A = 50° 12' 5”.
Ángulo C = 82° 36' 27”.
Lado A C = 15,04 metros.
4. En un triángulo A BC, A C = 100 metros, y el ángulo A = 20°.
Resolver el triángulo.
Ángulo B = 34° 45' 7.5", o´
ángulo B = 145° 14' 52.5".
ángulo C = 125° 14´52.5",
o´ el ángulo C = 14° 45' 7.5".