P(A|F1) = 0,2, P(A|F2) = 0,05 e P(A|F3) = 0,02. F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral. Usando o Teorema de Bayes, calcula-se P(F1|A) = 0,4, ou seja, há 40% de chances da amostra adulterada ter vindo da fazenda F1.
2. Exemplo
• Na tabela temos dados referentes a alunos matriculados
em quatro cursos de uma universidade no ano passado:
Sexo Homens Mulheres
Curso (H) (F) Total (cursos)
Matemática Pura (M) 70 40 110
Matemática Aplicada (A) 15 15 30
Estatística (E) 10 20 30
Computação (C.) 20 10 30
Total (sexo) 115 85 200
3. • Dado que um estudante, escolhido ao
acaso, esteja matriculado no curso de
Estatística, qual a probabilidade de que
seja mulher?
• Do total de 30 alunos que estudam
Estatística, 20 são mulheres. Escrevemos:
20 2
P (mulher | Estatística )
30 3
Probabilidade condicional
4. Probabilidade condicional
• Em muitas situações práticas, o fenômeno
aleatório com o qual trabalhamos pode ser
separado em etapas.
• A informação do que ocorreu em determinada
etapa pode influenciar nas probabilidades de
ocorrências das etapas sucessivas.
• Neste casos, dizemos que ganhamos
informação e podemos “recalcular” as
probabilidades de interesse.
5. Probabilidade condicional
• DEF: Dados dois eventos quaisquer A e B, a
probabilidade condicional de A dado que
ocorreu B é representada por P(A|B) e é dada
por:
P( A B)
P( A | B) , P( B) 0
P( B)
• Se P(B) = 0 usaremos P(A|B) = P(A)
6. Voltando ao exemplo
• Se B indicar o evento: aluno matriculado
em estatística, e A o evento: aluno é
mulher, então:
P( A B) O aluno estar matriculado
P( A | B) em estatística e o aluno é
P( B) mulher.
P( A B) 20 / 200 2
P( A | B)
P( B) 30 / 200 3 Como havíamos
obtido !
7. Inferência Bayesiana
• Observe que P(A) = P(mulher) = 85/200, e com a
informação de que B ocorreu (o aluno é
matriculado em Estatística), obtém-se: P(A|B)=2/3.
• Podemos dizer que P(A) é a probabilidade a priori
de A e, com a informação adicional de B ocorreu,
obtemos a probabilidade a posteriori , P(A|B).
• P(A|B)>P(A), logo a informação de que B ocorreu
aumentou a chance de A ocorrer.
8. Regra do produto de
probabilidades
• Da definição de probabilidade condicional
deduzimos a regra do produto de probabilidades:
• DEF: Sejam A e B eventos de Ω. Então,
P( A B) P( A | B) P( B), com P( B) 0
9. Exemplo
• Uma grande região de 100km2 tem um aqüífero
subterrâneo com área igual a 2 km2 cuja localização é
desconhecida. Para determinar a posição do aqüífero,
perfurações são feitas ao acaso.
Ω = Região (100 km2)
10. • Considere o evento H: Encontrar água:
2
P( H ) 0,02
100
• Após um ano de pesquisas, uma área de 20 km2 já foi
perfurada sem encontrar água e pode ser descartada.
Representamos esse evento por I
11. • Qual é agora a probabilidade de um furo, feito ao
acaso, atingir o aqüífero? P(H|B)=2/80 = 0,025
• Considere como evento B: a nova região de procura.
Essa região é igual a área inicial menos a área perfurada
= 100km2 -20km2 = 80 km2.
• Portanto a probabilidade do evento B é
P(B) = 80/100 = 0,8
• O evento HB representa a ocorrência de, sem
informação auxiliar, encontrarmos água num furo feito na
região B.
P(HB)=P(H)=0,02.
12. • Então a probabilidade de encontrar água
dado que a região é 80 km2 é:
P( H B ) 0,02
P( H | B) 0,025
P( B) 0,8
13. Exemplo
• Uma questão de múltipla escolha tem 5
alternativas. Dos alunos de uma turma,
50% sabem resolver a questão, enquanto
os demais “chutam” a resposta. Um aluno
da turma é escolhido ao acaso.
1. Qual é a probabilidade de que ele tenha
acertado a questão?
14. Resposta 1
• Se o aluno sabe resolver a questão, ele tem probabilidade
1 de acertá-la, enquanto, se ele não sabe, sua
probabilidade de acerto é 1/5 = 0,2.
P(acerta|sabe) = 1, enquanto P(acerta|não sabe) = 0,2.
• Podemos então obter as seguinte probabilidades:
P(sabe e acerta) = P(sabe)·P(acerta|sabe) = 0,5 · 1 = 0,5
P(não sabe e acerta) = P(não sabe)·P(acerta|não sabe) =
= 0,5 · 0,2 = 0,1
• Finalmente,
P(acerta) = P(sabe e acerta) + P(não sabe e acerta)
= 0,5 + 0,1 = 0,6.
15. Cont. Exemplo
2. Dado que o aluno acertou a questão, qual é a
probabilidade de que ele tenha ”chutado”?
• O que desejamos calcular é a probabilidade condicional
de que o aluno não saiba resolver a questão, dado que
ele a acertou.
Temos:
P(não sabe e acerta ) 0,1 1
P(não sabe | acerta )
P(acerta ) 0,6 6
16. Independência de eventos
• Um conceito muito importante é o de independência de
eventos:
DEF: Dois eventos A e B são independentes se a
informação da ocorrência ou não de B não altera a
ocorrência de A, ou seja,
P(A|B)=P(A), para P(B)>0
Ou de forma equivalente: Não confundir
com eventos
P(AB)=P(A).P(B) disjuntos!!!!
17. Exemplo
• Uma empresa produz peças em duas máquinas
I e II, que podem apresentar desajustes com
probabilidade 0,05 e 0,10.
• No início do dia de operação um teste é
realizado e caso a máquina esteja fora de ajuste
ela ficará sem operar nesse dia. Para cumprir o
nível mínimo de produção pelo menos uma das
máquinas deve operar. Você diria que a
empresa corre o risco de não cumprir com suas
metas de produção?
18. • Seja Oi o evento da máquina i estar operando, i=1,2.
• Pelas informações disponíveis temos:
P(O1)=0,95 e P(O2)=0,90
0,90 O2
Árvore de probabilidades,
O1 0,10 representa os eventos e as
0,95
O2 c probabilidades condicionais
associadas às realizações.
Cada um dos caminhos da
O2
0,90 árvore representa uma
0,05 possível ocorrência
O1 c
0,10 O2 c
Assumimos independência entre O1 e O2, pois acreditamos
que a eventual falta de ajuste em uma máquina não
interfere no comportamento da outra P (O2 | O1 ) P(O2 )
19. • Então as possíveis ocorrências são:
Eventos Probabilidades
O1 O2 0,95 x0,90 0,855
O1 O2c
0,95 x0,10 0,095
O1c O2 0,05 x0,90 0,045
O1c O2
c
0,05 x0,10 0,005
• Para obter o nível mínimo de produção diária, precisamos
ter pelo menos uma máquina operando. Isto corresponde
a união dos três primeiros eventos:
P (O1 O2 ) (O1 O2 ) (O1c O2 ) P (O1 O2 ) P (O1 O2 ) P (O1c O2 ),
c c
= 0,995
Realizações disjuntas!!!
20. Teoria da confiabilidade
• Esta teoria estuda sistemas e seus componentes, ex.
sistemas mecânicos (automóvel) e eletrônicos (computador).
• O objetivo da teoria é estudar a relação entre o
funcionamento dos componentes e do sistema.
• A figura (a) ilustra um sistema composto de dois
componentes ligados em série e a figura (b) um sistema em
pararelo.
1
1 2
a) b)
2
21. Figura (a)
• O sistema funcionará se os componentes 1 e 2
funcionarem simultaneamente. Se um dos componentes
falhar, o sistema também falhará.
• Supondo que os componentes funcionem
independentemente, e se pi for a probabilidade de o
componente i (i=1,2) funcionar, então a probabilidade de
o sistema funcionar será:
P ( F ) P( A1 A2 ) P ( A1 ) P( A2 ) p1 p2
• Onde indicamos por F o evento “o sistema funciona” e
Ai o evento “o componente i funciona”.
22. • A probabilidade pi é a chamada confiabilidade do
componente i e P(F) é a confiabilidade do sistema.
Figura (b)
• Se os componentes 1 e 2 estiverem em paralelo, como
na figura (b), então o sistema funcionará se pelo menos
um dos dois componentes funcionar. Ou seja,
P ( F ) P ( A1 A 2 ) P ( A1 ) P ( A 2 ) P ( A1 A 2 )
p1 p 2 p1 p 2
• E a confiabilidade do sistema é p1+p2-p1p2.
23. Independência para três
eventos
• Dizemos que os eventos A, B e C são
independentes se, e somente se,
P( A B ) P ( A) P( B)
P( A C ) P( A) P (C )
P( B C ) P( B) P (C )
P( A B C ) P( A) P ( B ) P(C )
• Se apenas as três primeiras equações forem
satisfeitas, os eventos A, B e C são mutuamente
independentes.
24. Teorema de Bayes
• Uma das relações mais importantes envolvendo
probabilidades condicionais é dada pelo
teorema de Bayes. A versão mais simples é:
P( A B) P( A) P( B | A)
P( A | B)
P( B) P( B)
• Temos a probabilidade a priori, P(A), e dada a
informação de B ocorreu, obtemos a
probabilidade a posteriori P(A|B).
Atualizamos a probabilidade inicial multiplicando-a por
P(B|A)/P(B)
25. Partição do espaço amostral
• Os eventos C1, C2, ... Cn formam uma partição
do espaço amostral se eles NÃO tem
intersecção entre si e se a sua união é igual ao
espaço amostral.
n
Ci C j para i j e C i
i 1
C1
Partição do espaço C3 C5
amostral (n=5)
C2
C4
Ω
26. Teorema de Bayes
• Suponha que os eventos C1, C2, ... Cn formem uma
partição do espaço amostral e que suas probabilidades
sejam conhecidas. Suponha ainda que para um evento
A, se conheçam as probabilidades P(A|Ci) para todo i.
• Então, para qualquer j,
P( A | C j ) P(C j )
P(C j | A) , j 1,2,..., n
n
i 1
P( A | Ci ) P(Ci )
27. Exemplo
Um fabricante de sorvetes recebe 20% de todo o leite
que utiliza de uma fazenda F1, 30% de outra fazenda
F2 e 50% da fazenda F3. Houve uma fiscalização e
observou-se que 20% do leite produzido por F1 está
com adição de água, enquanto que para F2 e F3 a
proporção era de 5% e 2%. Na indústria de sorvetes
os galões de leite são armazenados em um
refrigerador sem identificação das fazendas.
Qual a probabilidade de que a amostra adulterada tenha
sido obtida do leite fornecido pela fazenda F1?
P(F1|A)?
28. • Considere o evento A: Leite está adulterado.
• Temos que:
P(A|F1)=0,20, P(A|F2)=0,05 e P(A|F3)=0,02.
• F1, F2 e F3 formam uma partição do espaço amostral.
F3
F1 A
F2
P ( A) P ( A F1 ) P ( A F2 ) P( A F3 )
29. • Pela regra do produto temos:
P( A) P( F1 A) P( F2 A) P( F3 A)
P( A) P( A | F1 ) P( F1 ) P ( A | F2 ) P( F2 ) P( A | F3 ) P( F3 )
• E pelo teorema de Bayes
P ( A | F1 ) P( F1 )
P( F1 | A)
P ( A | F1 ) P( F1 ) P( A | F2 ) P( F2 ) P ( A | F3 ) P( F3 )
0,2 x0,2
P( F1 | A) 0,615
0,2 x0,2 0,3 x0,05 0,5 x0,02
• Portanto a probabilidade de que a amostra de leite tenha
sido produzida pela fazenda F1 é de 0,615.
30. Inferência Bayesiana
• O teorema de Bayes, que aparentemente
poderia ser encarado como mais um
resultado na teoria de probabilidades, tem
importância fundamental, pois fornece a
base para uma abordagem da inferência
estatística conhecida como inferência
Bayesiana.
