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Intervalo de Confiança

 Profa. Dra. Juliana Garcia
         Cespedes
Intervalo de Confiança


Quando o interesse é um determinado
 parâmetro de uma população:

  – Retira-se uma amostra alea...
Intervalo de Confiança

A partir de amostras aleatórias de tamanho n
 estima-se os parâmetros populacionais  e 2
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Intervalo de Confiança

Um estimador T do parâmetro  é qualquer
 função das observações da amostra. (É uma
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Intervalo de Confiança
Contudo, o valor estimado geralmente não será
 exatamente igual ao valor verdadeiro.

Seria inter...
Intervalo de Confiança
Esses limites são chamados de limites de
 confiança e determinam um intervalo de
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Intervalo de Confiança
Seja (X1,X2,...,Xn) uma amostra aleatória de
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Interpretação - Intervalo de Confiança

Um intervalo de confiança de 95% fornece um
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Intervalo de confiança para média 
 Como encontrar os limites de confiança?
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Intervalo de confiança para média 

O intervalo de confiança para X é dado por:
                                       ...
Intervalo de confiança para média 
Se n  30
Sabe-se que:       X 
                 t      ~ t  n 1
              ...
Exemplo 1

Considere uma amostra de 9 elementos de uma
 população:
            10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13, 9

Determina...
Exemplo 1
              10  4  8  ...  9
         X                         10
                       9
            ...
Conclusões
• Um estimador pontual para  é dado pela média
  amostral.
                X 1  X 2  ...  X n
             ...
Conclusões
 A partir do teorema do limite central, se X tem distribuição
  Normal com média  e variância 2, então X tem...
Exercício 1

Uma amostra de 9 elementos de uma população
 forneceu os seguintes valores:
               1, 2, 4, 4, 5, 5,...
Exercício 2

 Seja X uma v.a. com distribuição normal de média e
  variância desconhecidas, considere que a variância
  a...
Exercício 3

 O intervalo [34,81 ; 36,38], com confiança 95%
  foi construído a partir de uma amostra de
  tamanho 25, pa...
Exercício 4
 O tempo de permanência de contadores recém
  formados no primeiro emprego, em anos, foi estudado
  considera...
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Aula 12 intervalo de confiança

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Aula 12 intervalo de confiança

  1. 1. Intervalo de Confiança Profa. Dra. Juliana Garcia Cespedes
  2. 2. Intervalo de Confiança Quando o interesse é um determinado parâmetro de uma população: – Retira-se uma amostra aleatória dessa população – E, através desta amostra, estima-se o parâmetro populacional.
  3. 3. Intervalo de Confiança A partir de amostras aleatórias de tamanho n estima-se os parâmetros populacionais  e 2 através de estimadores: n 1 n  ( xi  x) 2 x   xi S2  i 1 n i 1 n 1 que produzem, para a amostra selecionada, as estimativas pontuais. São chamadas pontuais, pois são únicas para cada amostra selecionada.
  4. 4. Intervalo de Confiança Um estimador T do parâmetro  é qualquer função das observações da amostra. (É uma estatística T, porém associada a um parâmetro populacional) Estimativa é o valor assumido pelo estimador em uma particular amostra.
  5. 5. Intervalo de Confiança Contudo, o valor estimado geralmente não será exatamente igual ao valor verdadeiro. Seria interessante medir o possível erro cometido na estimação. Uma maneira de expressar a precisão da estimação é estabelecer limites, que com certa probabilidade incluam o verdadeiro valor do parâmetro.
  6. 6. Intervalo de Confiança Esses limites são chamados de limites de confiança e determinam um intervalo de confiança que forneça um intervalo de valores plausíveis para o parâmetro baseado nos dados amostrais. Como obter estimativas intervalares para o parâmetro de interesse, isto é, como determinar intervalos com limites que abranjam o valor do parâmetro populacional, com uma margem de segurança prefixada?
  7. 7. Intervalo de Confiança Seja (X1,X2,...,Xn) uma amostra aleatória de tamanho n de uma população e  o parâmetro de ^ ^ interesse. Sejam 1 e 2 estatística tais que: =1-  é chamado de ˆ ˆ P(1     2 )  1   coeficiente de confiança Então o intervalo (1; 2) é chamado intervalo de ^ ^ 100(1-)% de confiança para o parâmetro . Usualmente assume-se 1- = 0,95 ou 0,99
  8. 8. Interpretação - Intervalo de Confiança Um intervalo de confiança de 95% fornece um intervalo no qual estaríamos 95% confiantes da cobertura do verdadeiro valor do parâmetro Tecnicamente, 95% de todos os intervalos de confiança que construirmos conterão o verdadeiro valor do parâmetro (dado que todas as suposições envolvidas estejam corretas).
  9. 9. Se obtivermos um intervalo de confiança para o parâmetro  para cada uma dentre 100 amostras aleatórias da população, somente 5, em média destes intervalos de confiança não conterão . X  1 2 3 4 ..... 100 amostras
  10. 10. Intervalo de confiança para média   Como encontrar os limites de confiança? Se n > 30 Do Teorema do limite central sabe-se que:  2  X  X  X ~ N  ,  Z  ~ N 0,1  n   S   n n
  11. 11. Intervalo de confiança para média  O intervalo de confiança para X é dado por:   ˆ    P X 1  X  X 2  P  z / 2  X  S   z / 2      n   S S  P X  z / 2    X  z / 2   1  n n  S S  IC   X  z / 2 ; X  z / 2   n n
  12. 12. Intervalo de confiança para média  Se n  30 Sabe-se que: X  t ~ t  n 1 S n O IC para a média é dado por:  S S  P X  tn1    X  tn1   1  n n  S S  IC   X  tn1 ; X  tn1   n n
  13. 13. Exemplo 1 Considere uma amostra de 9 elementos de uma população: 10, 4, 8, 11, 14, 12, 9, 13, 9 Determinar: A estimativa da média populacional A estimativa da variância populacional O intervalo de 95% de confiança para a média populacional.
  14. 14. Exemplo 1 10  4  8  ...  9 X  10 9 (10  10) 2  (4  10) 2  ...  (9  10) 2 S2  9 8   9  1  8  t  2,306  S  IC ,95%  X  t  1-p  n p p 3 2 2  10  2,306 3 -t 0 t IC ,95%  (7,69 ; 12,31)
  15. 15. Conclusões • Um estimador pontual para  é dado pela média amostral. X 1  X 2  ...  X n X n • Um estimador intervalar, ou intervalo de confiança, para  tem a forma: X   ; X   • Sendo  chamado de erro amostral calculado a partir da distribuição de probabilidade de X .
  16. 16. Conclusões  A partir do teorema do limite central, se X tem distribuição Normal com média  e variância 2, então X tem distribuição normal exata para todo n com média  e variância 2/n, chamado de erro padrão da média.  Conhecendo-se o coeficiente de confiança  = 1- obtém- se o valor de z.  Então, da equação do intervalo de confiança para a média  tem-se a equação do erro amostral:  z n
  17. 17. Exercício 1 Uma amostra de 9 elementos de uma população forneceu os seguintes valores: 1, 2, 4, 4, 5, 5, 7, 8, 9 Determinar: A estimativa da média populacional A estimativa da variância populacional Os intervalos de 90%, 95% e 99% de confiança para a média populacional e interprete o resultado.
  18. 18. Exercício 2  Seja X uma v.a. com distribuição normal de média e variância desconhecidas, considere que a variância amostral é igual a 36. a) Para uma amostra de tamanho 50, obtivemos média amostral 18,5. Construa um intervalo de confiança com coeficientes de confiança 91%, 94% e 99% para a média populacional. b) Para uma confiança de 96%, construa intervalos de confiança supondo três tamanhos de amostra 25, 50 e 100 (admita que todos forneceram média amostral igual a 18,5). c) Comente sobre a precisão dos intervalos construídos em (a) e (b).
  19. 19. Exercício 3  O intervalo [34,81 ; 36,38], com confiança 95% foi construído a partir de uma amostra de tamanho 25, para a média de uma população. O desvio padrão amostral foi igual a 2. a. Qual o valor encontrado para a média dessa amostra? b. Se utilizássemos essa mesma amostra, mas com uma confiança de 90%, qual seria o novo intervalo de confiança?
  20. 20. Exercício 4  O tempo de permanência de contadores recém formados no primeiro emprego, em anos, foi estudado considerando um modelo normal com média e variância desconhecidas.  Deseja-se estimar a média populacional. Para uma amostra de 15 profissionais, a média obtida foi de 2,7 anos e o desvio padrão foi de 1,4 anos. a. Encontre um intervalo para o tempo médio populacional de permanência com uma confiança de 90%. b. Refaça o item a. considerando que a amostra era formada por 150 profissionais.

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