Trabajo de funciones, ejemplos y gráficas

1. Funciones Trascendentes.
1. Introducción
No siempre se puede modelar con funciones del tipo algebraico; esto ha
dado lugar al desarrollo de otro tipo de funciones, las funciones
trascendentes, las cuales se clasifican en: las trigonométricas y sus
inversas, relacionadas con el triángulo rectángulo; y las logarítmicas y
exponenciales, más asociadas a una variación en progresión geométrica
(crecimiento poblacional, por ejemplo).
2. Definición:
Se llama función trascendente, aquella cuya variable y contiene expresiones
trigonométricas, exponenciales o logarítmicas. Ejemplos de funciones trascendentes
son las siguientes:
Algebraicas
Funciones
Logarítmicas
Trascendentes
Trigonométricas
Exponenciales
3. Funciones Trigonométricas Directas.
Función trigonométrica Directas: Las funciones trigonométricas son el resultado del
cociente de dos números (cateto sobre hipotenusa, hipotenusa sobre cateto, cateto sobre
cateto). Esto hace necesario, para el dominio de definición, restringir el eje en aquellos
números que anulen el denominador.

2. Seno
La función seno es la asociación entre un
f (x) = sen x
Coseno
ángulo dado x y el valor de su seno
La función coseno es la asociación entre un
f(x) = cos x
Tangente
ángulo dado x y el valor de su coseno.
La función tangente es la asociación entre un
f(x) = tg x
Cotangente
ángulo dado x y el valor de su tangente.
La función cotangente es la asociación entre
f(x) = cotg x
Secante
un ángulo dado x y el valor de su cotangente.
La función secante es la asociación entre un
f(x) = sec x
Cosecante
ángulo dado x y el valor de su secante.
La función cosecante es la asociación entre
f(x) = cosec x
un ángulo dado x y el valor de su cosecante.
La función seno y cosecante son inversas, así como lo son coseno y
secante, y tangente con cotangente.
También, tenemos que:
tan α =
senα
cos α
cot gα =
cos α ;
senα
3.1. Dominio de las Funciones Trigonométricas Directas
Función
f(x) = sen x
Dominio
Todo eje real
Contradominio.
El denominador es la hipotenusa, la cual
-∞<x<∞
siempre es diferente de cero, no así los
catetos del triángulo
f(x) = cos x
f(x) = tg x
f(x) = cotg x
f(x) = sec x
Todo eje real.
-∞ < x < ∞
π 3π 5π
x ≠±
2
;±
2
;±
2
Se restringe el dominio de manera que el
;......
denominador debe ser cos x ≠ 0.
x ≠0;± ;± π ± π Se restringe el dominio de manera que el
π 2 ; 3 ;.........
denominador debe ser sen ≠ 0.
π 3π 5π
Se restringe el dominio de manera que el
x ≠ ± ;±
;±
;......
2
f(x) = cosec x
La misma razón que el primer caso.
2
2
denominador cos x ≠ 0.
x ≠0;± ;± π ± π Se restringe el dominio de manera que el
π 2 ; 3 ;......
denominador sen ≠ 0.

3. 3.2. Gráficas de las Funciones Trigonométricas Directas
•
Gráfica de y = sen x

4. •
Gráfica de y = cos x
•
Gráfica de y = tg x

5. •
Gráfica de y = cotg x
PERÍODO: π
DOMINIO: Todos los números reales,
con excepción de los de la forma kπ,
siendo k un entero.
RANGO: R
• Función impar (simétrica con
respecto al origen).
• Función decreciente entre las
asíntotas.
• Discontinua para kπ, siendo k
entero.

6. •
Gráfica de y = sec x
PERÍODO: 2π
DOMINIO: Todos los números
reales, con excepción de los de la
forma π/2 + kπ, siendo k un entero.
RANGO: (-∞, -1] U [1, ∞)
• Función par (simétrica con
respecto al eje y).
• Discontinua en π/2 + kπ, siendo
k entero.
•
Gráfica de y = cosec x
PERÍODO: 2π
DOMINIO: Todos los números reales,
con excepción de los de la forma kπ,
siendo k un entero.
RANGO: (-∞, -1] U [1, ∞)
• Función impar (simétrica con
respecto al origen).
• Discontinua para kπ, siendo k
entero.

7. 4. Función Exponencial.
4.1. Definición:
a un número real positivo y distinto de 1. Definimos la
función exponencial de base a como aquella que tiene la forma:
Función exponencial: sea
f ( x) = a x
en donde x es cualquier número real.
“Los términos exponenciales son en sí aquellas potencias cuya base es
un número fijo y el exponente es una variable”. En la siguiente tabla se
presentan algunos ejemplos de funciones exponenciales.
Función
f(x) = 10x
f(x) = 2x
Título
Función exponencial de base 10
Función exponencial de base 2
4.2. Gráficas Exponenciales Típicas
x
1 
Es útil comparar las gráficas de y = 2 , y =   = 2−x , trazando ambas
2
x
en el mismo sistema coordenado (figura 34.a). La gráfica de:
a > 1 (Figura 34.b)
f ( x) = a x
se parece mucho a la gráfica de y = 2x y la gráfica de:
0 < a < 1 (Figura 34.b)
f ( x) = a x
x
1
se perece mucho a la gráfica de y =   . Nótese en ambos casos que el eje x
2
es una asíntota horizontal que nunca toca las gráficas.

8. y
Tipo básico 1
y
8
x
 1
y =   = 2− x
 2
4
y = ax
a>1
y = ax
0< a< 1
6
1
y = 2x
2
-2 -1 0 1 2
Tipo básico 2
Contradominio = (0,∞)
Dominio = R
a
b
4.3. BSERVACIONES:
a
b
Note que cuando la base a es mayor que 1, la función
exponencial
(figura a) no está acotada superiormente. Es decir,
crece sin límite al aumentar la variable x. Además, ésta función tiene al cero
como extremo inferior. Esto es,
tiende a cero (0), cuando x toma valores
grandes pero negativos.
Igualmente, cuando la base 0 < a < 1, la función exponencial
(figura b) no está acotada superiormente, pero su comportamiento para valores
grandes de x, en valor absoluto, es diferente. Así,
crece sin límite, al tomar

9. x valores grandes, pero negativos y
tiende a cero, cuando la variable x toma
valores grandes positivos.
El hecho de ser la función exponencial
con a > 1, estrictamente
creciente (estrictamente decreciente cuando 0 < a < 1), significa que la función
exponencial es inyectiva en su dominio. Este hecho y la continuidad de la
función son las condiciones que se exigen para garantizar la existencia de la
función inversa (función logarítmica), que se presentan en la próxima sección.
Cuando a = e, donde e es el número irracional cuya representación
decimal con sus primeras cifras decimales, es e = 2.7182818284…., la función
exponencial
, se llama: función exponencial de base e y, frecuentemente,
se denota por
Exp(x) =
. Se llaman funciones exponenciales a las
funciones de la forma f(x) = ax o y = ax, donde la base de la potencia "a" es
constante (un número) y el exponente la variable x.
4.4. Dominio y Contradominio de la Función Exponencial.
Función exponencial de
Dominio
Contradominio
Todo número real -∞ < x < ∞
0< y < ∞
base a
f ( x) = a x

10. Funciones exponenciales
Df: - ∞<x<∞
Cf: 0<y<∞
Función exponencial:
,
,
Donde
. Esta función es creciente en todo
su dominio si
y decreciente si
.
• La imagen de
x
f(x) = a (0<a<1)
es
.
x
f(x) = a (a>1)
4.5. Propiedades:
• ax > 0 para todo x є R.
• La función exponencial de base a>1 es estrictamente creciente, mientras
que la de base a<1 es estrictamente decreciente.
• La función exponencial de base mayor que 1 no está acotada
superiormente aunque si lo está inferiormente en R.
• Si 0 < a < 1 la función exponencial de base a no está acotada
superiormente aunque si lo esta inferiormente en R.
• Si 0 < a < b entonces: ax < bx si x > 0
y bx < ax si x < 0.
Cualquiera que sea el número real positivo y existe un único número real x tal
que ax = y. El número x se llama logaritmo en base a de y y se representa
4.6. Estudio local de la función:
se deben distinguir dos casos bien diferenciados.
 CASO I: a > 1

11.  Dominio de definición: Dom( f ( x ) ) = ℜ = ( − ∞, ∞) ya que por ser a
> 0, a x existe siempre y está bien definida.
 Recorrido: Im( f ( x ) ) = ℜ+ = ( 0, ∞)
 Signo de la función por zonas: siempre es positiva en el dominio.
 Puntos de corte con los ejes:
 OX, nunca lo corta


 OY, lo cortan todas en el punto y = 1

−x
 Simetrías: no tiene, f ( x ) = a x y f ( − x ) = a =
1
, luego no se
ax
define ni par ni impar.
 Periodicidad: no es periódica.
 Asíntotas:
 Horizontales y = 0

 Verticales no tiene
 Oblícuas, no tiene

x
−∞
• Ya que xlím f ( x ) = xlím a = a =
→−∞
→−∞
•
1
1
=
=0
∞
∞
a
lím f ( x ) = lím a x = a ∞ = ∞
x →∞
x →∞
 Continuidad: es continua en todo el dominio.
 Monotonía: es creciente en todo el dominio.
•
p > q ⇒ a p > a q ⇒ f ( p) > f ( q) ,
∀p , q reales.
 Máximos y mínimos relativos: no tiene, es siempre creciente.
 Concavidad: es siempre cóncava hacia arriba en su dominio.
 Puntos de inflexión: no tiene.
Gráfica de
a>1
a
1
1
 CASO II: 0 < a < 1

12.  Dominio de definición: Dom( f ( x ) ) = ℜ = ( − ∞, ∞) ya que por ser a
> 0, a x existe siempre y está bien definida.
 Recorrido: Im( f ( x ) ) = ℜ+ = ( 0, ∞)
 Signo de la función por zonas: siempre es positiva en el dominio.
 Puntos de corte con los ejes:
 OX, nunca lo corta


 OY, lo cortan todas en el punto y = 1

−x
 Simetrías: no tiene, f ( x ) = a x y f ( − x ) = a =
1
, luego no se
ax
define ni par ni impar.
 Periodicidad: no es periódica.
 Asíntotas:
•
 Horizontales y = 0

 Verticales no tiene
 Oblícuas, no tiene

∞
1
1
1 
Ya que lím f ( x ) = lím a x = a ∞ ≅   = ∞ = = 0 , por ser a < 1, es
x →∞
x →∞
b
∞
b

como si a =
•
1
con b > 1.
b
−∞
1 
lím f ( x ) = lím a ≅  
x →−∞
x →−∞
b
x
= b∞ = ∞
 Continuidad: es continua en todo el dominio.
 Monotonía: es decreciente en todo el dominio.
•
p
q
1
1
p > q ⇒ a < a ya que ≅   <   , ya que fracciones de igual
b
b
p
q
numerador es mayor la que menor denominador tenga, ∀p , q
reales.
 Máximos y mínimos relativos: no tiene, es siempre creciente.
 Concavidad: es siempre cóncava hacia arriba en su dominio.
 Puntos de inflexión: no tiene.
Gráfica de
0<a<1
1
a
1

13.  Las gráficas de
x
1 
−x
y de g( x ) =   = a
son simétricas
a 
f (x) = ax
respecto del eje de ordenadas.
 La función exponencial es una aplicación biyectiva: admite pues función recíproca, veremos que la recíproca de la exponencial es justo la
función logarítmica.
 Ecuaciones exponenciales: hay varios tipos.
 Monómicas: son aquellas que solo constan de un término exponencial.
 Ejemplo: 4 ⋅ 23x = 16384
a>1
a
1
1/a
1
 Trinómicas: son aquellas que poseen dos términos exponenciales.
 Ejemplo: 32 x −1 − 8 ⋅ 3x −1 = 3
 Polinómicas: son aquellas que tienen más de tres términos
exponenciales.
 Limitadas: si el número de términos es finito.
• Ejemplo: 4 x + 4 x −1 + 4 x −2 = 336
 Ilimitadas: si el número de términos es infinito.
• Ejemplo: 1 + 2 + 3 +  + 2 x = 1023
 Sistemas de ecuaciones: son sistemas formados por dos o más
ecuaciones exponenciales de cualquier tipo. Nos limitaremos solo a
tres.
 Sistemas de dos ecuaciones exponenciales Monómicas.
 Sistemas de dos ecuaciones exponenciales Trinómicas.
 Sistemas de dos ecuaciones exponenciales, una de cada tipo.
•
 32 x + y = 37
Ejemplo_1: 
 3x − 2 y = 3

14. •
 5 ⋅ 3x + 1 − 2y = 127
Ejemplo_2: 
 4 ⋅ 3x − 1 + 2 ⋅ 2y = 28
 Métodos de resolución:
 Monómicas:
 Descomponer en factores primos todos los números que aparezcan
y escribir todas las potencias en la misma base, si es posible.
 Aplicar todas las propiedades de las potencias que se consideren
oportunas.
 Aplicar la propiedad fundamental de la bisección.
 Resolver la ecuación de primer, segundo o tercer grado que nos
aparezca.
 Comprobar en la ecuación original si las soluciones de dicha
ecuación la cumplen, en dicho caso esas serán las soluciones
buscadas.
• Ejemplo:
4 ⋅ 23x = 16384 ⇒ 2 2 ⋅ 23 x = 214 ⇔ 23x +2 = 214 ⇒ 3x + 2 =
= 14 ⇒ x = 4
 Comprobamos: 4 ⋅ 23⋅4 = 22 ⋅ 212 = 22+12 = 214 = 16384
 Trinómicas:
 Escribir todas las potencias que nos aparezcan en la misma base,
pero evitando que en el exponente aparezcan sumas o restas de la
variable con números, si se admiten productos o cocientes. Para
arreglarlo aplicar las propiedades oportunas de las potencias.
 Por lo general, los exponentes que nos van a quedar van ha ser de
x
2


la forma ( x ,2 x ); ( 2 x ,4 x ); ( 4 x ,8x );  , x  , etc. …
 Procedemos a hacer un cambio de variable. Llamaremos a, b, p, q,
etc. … a la potencia de menor exponente y de ese modo la de
mayor exponente pasará a ser de la forma
a 2 , b2 , p2 , q 2 ,
etc. …
 Nos quedará, por lo general, una ecuación de segundo grado o
bicuadrada en la nueva variable. Resolvemos dicha ecuación.

15.  Deshacemos el cambio
de variable hecho, con lo que nos
quedarán una serie de ecuaciones monómicas, las cuales
resolveremos una a una.
 Comprobamos las soluciones así obtenidas, sustituimos esos
valores en la ecuación original y vemos si se cumple.
•
32 x −1 − 8 ⋅ 3x −1 = 3 ⇒
32 x 8 ⋅ 3 x
−
= 3 ⇒ 32 x − 8 ⋅ 3 x − 9 = 0 ⇒
3
3
8 ± 64 + 36  a1 = 9
⇒ Cambio 3 = a ⇒ a − 8a − 9 = 0 ⇒ a =
= ⇒
2  a2 = − 1
x
2
 3x = 9 ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2 solución
⇒ deshacemos el cambio
 3x = − 1 ⇒ Im posible
 Comprobamos 34 −1 − 8 ⋅ 32 −1 = 27 − 24 = 3
 Polinómicas:
 Limitadas: hacemos como con las Trinómicas, salvo que en estos
casos nos va a quedar por lo general una sola función exponencial,
con lo que no va a ser necesario que hagamos cambios de
variable.
•
4 x + 4 x −1 + 4 x − 2 = 336 ⇒ 4 x +
⇒
4x 4x
 1 1
+
= 336 ⇒ 4 x ⋅ 1 + +  = 336 ⇒
4 16
 4 16 
21 x
16 ⋅ 336
⋅ 4 = 336 ⇒ 4 x =
= 256 ⇒ 4x = 44 ⇒ x = 4
16
21
 44 + 44 −1 + 44 −2 = 256 + 64 + 16 = 336
 Ilimitadas: ahora es fundamental tener claros los conceptos de
progresiones, sobre todo geométricas, y aplicarlos de modo
conveniente.
• 1 + 2 + 4 + 8 +  + 2 x = 1023

16.  1 + 2 + 4 + 8 +  es una progresión geométrica ilimitada cuya
suma vale
20 ⋅ 2 x − 20
= 2 x − 1 = 1023 ⇒ 2 x = 1024 = 210 ⇒ x = 10 .
2 −1
 Sistemas de ecuaciones: dependiendo de cada sistema, el proceso
es muy similar a todo lo expuesto hasta ahora.
 Si las ecuaciones son las dos monómicas habrá que buscar
potencias de igual base a la base exponencial y pasaremos a un
sistema en dos variables de primer grado o lineal normal.
 Si las ecuaciones son las dos trinómicas habrá que hacer un par de
cambios de variable y pasar de ese modo a un sistema lineal
normal, luego vendrá la parte de deshacer los cambios.
 En cualquiera de los casos recordar, las soluciones como los curas
de Pastrana, siempre de dos en dos.
•
 32x+ y = 37  2x + y = 7
 x − 2 y ⇒  ⇒ 5 x = 15 ⇒ x = 3 ⇒ y = 1
 3 = 3  x − 2y = 1

 32⋅ 3+ 1 = 37
Comprobamos 
 33− 2⋅1 = 3

17. •
 335 x −⋅⋅ 2y = 127
x 15a − b = 127
 ⋅ 35 + 1x − 2y = 127 
a = 3  ⇒ 94a = 846 ⇒ a = 9 ⇒ b = 8 ⇒
x ⇒ cambios y ⇒ ⇒ 
 − 1x y ⇒  3 y
b = 2  4a + 6b = 84
 ⋅ 34 22 =⋅+ 28  4⋅ 22 =⋅+ 28
3
deshacemos los
 3x = 9 ⇒ 3x = 32 ⇒ x = 2
cambios efectuados 
, solución ( 2,3) .
y
y 3
 2 = 8 ⇒ 2 = 2 ⇒ y = 3

 5 ⋅ 32+ 1 − 23 = 5 ⋅ 27 − 8 = 127
Comprobamos 
 4 ⋅ 32− 1 + 2 ⋅ 23 = 12 + 16 = 28