1. เมตริกซ์
ความหมายและสัญลักษณ์ของเมตริ กซ์
เมตริกซ์ หมายถึง การนาจานวนมาเขียนในรู ปแถวและหลัก ซึ่งถูกล้อมรอบด้วย ( ) หรื อ [ ]
เช่น
หลักที่ 1 หลักที่ 2 หลักที่ 3
 
 
แถวที่ 1  
 
แถวที่ 2  
 

 

เมื่อ m, n เป็ นจานวนเต็มบวก เรี ยกเมตริ กซ์ที่มี m แถว n หลัก ว่า m × n เมตริ กซ์ หรื อ
เมตริ กซ์ที่มีมิติ m × n และเรี ยกจานวนแต่ละจานวนในเมตริ กซ์ว่า สมาชิกของเมตริ กซ์ เรานิยมใช้
ตัวอักษรใหญ่ A, B, C, … แทนชื่อของเมตริ กซ์ เรี ยก aij แทนสมาชิกของ A ในแถวที่ i หลักที่ j
หมายเหตุ 1. ตั้งแต่น้ ีในการเขียนเมตริ กซ์ จะใช้วงเล็บ [ ]
2. การระบุตาแหน่งของสมาชิกที่ชดเจนและถูกต้องจะต้องระบุว่าอยูในแถวใด
ั ่
และหลักใดทั้ง 2 อย่าง
โดยทัวไปจะเขียนแทนสมาชิกของเมตริ กซ์ดวยอักษรภาษาอังกฤษตัวเขียนเล็ก และมีเลข
่ ้
ห้อยระบุตาแหน่ง 2 ตัว เช่น
a13 หมายถึงสมาชิกซึ่งอยูในแถวที่ 1 และหลักที่ 3
่
a25 หมายถึงสมาชิกซึ่งอยูในแถวที่ 2 และหลักที่ 5
่
aij หมายถึงสมาชิกซึ่งอยูในแถวที่ i และหลักที่ j
่
ตัวเลขตัวแรกระบุลาดับที่ของแถว และตัวเลขตัวหลังระบุลาดับที่ของหลัก ในกรณี ทวไป ั่
นิยมเขียน A = aij mn แทนเมตริ กซ์ซ่ ึงมี m แถว n หลัก และสมาชิกซึ่งอยูแถวที่ i และหลักที่ j
่
คือ aij
ในกรณี ที่ A เป็ นเมตริ กซ์ซ่ ึงมี m แถว n หลัก อาจเขียน
 a11 a12 a13 ... a1n 
a a 22 a 23 ... a 2 n 
 21 
 a31 a32 a33 ... a3n 
A . . . . .  หรื อ A = [aij]m×n
 
 . . . . . 
 . . . . . 
 
a m1 am2 a m3 ... a mn 

2. ในกรณี ที่มิติของ A เป็ นที่ชดเจนหรื อเข้าใจตรงกันอาจเขียน A = [aij]m×n
ั
เช่น กาหนด
 1  1 0 5
A 2
 3 4 7 
 3  4  2 9 
 
จะได้ว่า A เป็ นเมตริ กซ์ซ่ ึงมี 3 แถว 4 หลัก
a11 = 1 a21 = 2 a31 = -3
a12 = -1 a22 = 3 a32 = -4
a13 = 0 a23 = 4 a33 = -2
a14 = 5 a24 = 7 a34 = 9
บทนิยาม สาหรับจานวนเต็มบวก m และ n ใด ๆ ถ้า A เป็ นเมตริ กซ์ซ่ึงมี m แถวและ n หลัก
จะกล่าวว่า A เป็ น m × n เมตริ กซ์ (m × n matrix) และกล่าวว่า A มีมิติ (order)
เท่ากับ m × n
 1  1 0 5
เช่น 1. A 2
 3 4 7  เป็ น 34 เมตริ กซ์ และมีมิติเท่ากับ 34
 3  4  2 9 
 
2. 1 0 2 3 เป็ น 14 เมตริ กซ์ และมีมิติเท่ากับ 14
0 
3. 1  เป็ น 31 เมตริ กซ์ และมีมิติเท่ากับ 31
 
0 
 
4. [5] เป็ น 11 เมตริ กซ์ และมีมิติเท่ากับ 11
ข้ อสังเกต 1) เรากล่าวว่าเมตริ กซ์ใน ข้อ 1 เป็ น “สามคูณสี่เมตริ กซ์” มีมิติเท่ากับ “สามคูณสี่ ”
2) เมตริ กซ์ [5] เป็ นเมตริ กซ์ที่มี 1 แถวและ 1 หลัก
3) จากมิติของเมตริ กซ์สามารถระบุจานวนแถว และจานวนหลักของเมตริ กซ์ เช่น
A มีมิติ 75 แสดงว่า A มี 7 แถว และ 5 หลัก
บทนิยาม 1. เรี ยกเมตริ กซ์ซ่ ึงมีจานวนแถวเท่ากับจานวนหลักว่า เมตริ กซ์จตุรัส ั
(square matrix)
2. เรี ยกเมตริ กซ์ซ่ ึงสมาชิกทุกตัวเป็ น 0 ว่า เมตริ กซ์ 0 (zero matrix)

3. บทนิยาม กาหนด A = [aij]m×n เป็ นเมตริ กซ์จตุรัส จะกล่าวว่า A เป็ นเมตริ กซ์เอกลักษณ์
ั
ก็ต่อเมื่อ
1) aij = 1 สาหรับทุก i = 1, 2, 3, . . ., m และ
2) ถ้า i  j แล้ว aij = 0
ถ้า A = [aij]m×m เป็ นเมตริ กซ์เอกลักษณ์ นิยมเขียนแทน A ด้วย Im
ตัวอย่าง เมตริ กซ์เอกลักษณ์
1 0
0 1   I 2
 
1 0 0
0 1 0   I
  3
0 0 1 
 
การเท่ากันของเมตริ กซ์
บทนิยาม กาหนดเมตริ กซ์ A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n ; A = B ก็ต่อเมื่อ aij = bij สาหรับทุก ๆ
J = 1, 2, 3, . . ., n
จากบทนิยามนี้จะเห็นว่าเมตริ กซ์ A จะเท่ากับเมตริ กซ์ B ก็ต่อเมื่อเมตริ กซ์ท้งสองมีมิติ
ั
เท่ากันและสมาชิกในตาแหน่งเดียวกันเท่ากัน
 4 
 1 2 0  1 3  3
เช่น A  และ B 2

  1 2 3 
2
2 2  1
 2 
จะได้ว่า A = B เพราะว่า A และ B มีมิติเท่ากันคือ 23 และ
b11 = 1 = a11
4
b12 = = 2 = a12
2
b13 = 3-3 = 0 = a13
2
b21 =  = -1 = a21
2
b22 = 2 = a22
b23 = 2+1 = 3 = a23

4. การบวกลบเมตริ กซ์
บทนิยาม ถ้า A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n แล้ว A+B =[aij+bij]mn
จากบทนิยามจะเห็นว่าเมตริ กซ์ 2 เมตริ กซ์ จะบวกกันได้ก็ต่อเมื่อมีมิติเท่ากัน และผลบวก
จะเป็ นเมตริ กซ์มิติเดิมซึ่งได้จากการเอาสมาชิกตาแหน่งเดียวกันบวกกัน
ตัวอย่าง กาหนดให้
0 1  1  1 0 1 
A  และ B 
1 0 2   2 0  2
จงหา A+B
0  (1) 1  0  1  1   1 1 0
วิธีทา A B   
 1 2 0  0 2  (2)  3 0 0
  
บทนิยาม ถ้า A = [aij]m×n และ B = [bij]m×n แล้ว A-B =[aij+(-bij)]mn หรื อ A-B =[aij-bij)]mn
ตัวอย่าง กาหนดให้
0 1  1  1 0 1 
A  และ B 
1 0 2   2 0  2
จงหา A-B
0 1  1  1 0 1
วิธีทา A B   
1 0 2   2 0  2

0  (1) 1  0 11 

 1 2 00 2  (2)

 1 1  2
 
 1 0 4 
สมบัติการบวกเมตริ กซ์
กาหนด A, B, C เป็ นเมตริ กซ์ที่มี m × n
1. สมบัติปิดการบวก A และ B เป็ นเมตริ กซ์ A+B เป็ นเมตริ กซ์ดวย
้
2. สมบัติสลับที่ A+B=B+A
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้ A+(B+C) =(A+B)+C

5. 4. สมบัติการมีเอกลักษณ์การบวก
A+0 = A = 0 + A
เรี ยก 0 ว่า เอกลักษณ์การบวก
5. สมบัติการมีอินเวอร์สการบวก
A+(-A) = 0 = (-A)+A
เรี ยก –A ว่า อินเวอร์สการบวกของ A