1. เอกสารประกอบการบรรยาย
คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP
◙ โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด
2 ประกอบสาระการเรียนรู้ พื้นฐาน
ระดับมัธยมศึกษาปีที่ 3
พื้นที่ผิว และ ปริมาตร
(Surface Area and Volume)
อ.วัฒนา เถาว์ทิพย์
◙ ภาควิชาคณิตศาสตร์
มหาวิทยาลัยขอนแก่น

2. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีท3
ี่ หน้า 1
1 พื้นทีผิว และปริมาตร (Surface Area and Volume)
่
เป้าหมาย
 ?
Why ? เข้าใจที่มาอย่างชัดแจ้ง..นาไปใช้อย่างถูกต้อง...ฝึกทักษะให้แม่นยา......หมั่นนาไปวิเคราะห์
โจทย์ปัญหา.... และในที่สุดจะรู้เองว่า ....คณิตศาสตร์ง่ายกว่า ... ทีเ่ คยคิด ...
ความรู้พื้นฐาน (Basic Background)
ให้เขียนสูตรพื้นฐานต่อไปนี้ พร้อมทั้งทาความเข้าใจที่มาของแต่ละสูตรอย่างชัดแจ้ง
 พื้นที่สี่เหลี่ยมผืนผ้า (Rectangle) = .....................................................
…………………
…………………  พื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน(Parallelogram) = …………………………
…………………
…………………
…………………
…………………  พื้นที่สี่เหลี่ยมจัตรัส (Square) = ………………………………………
ุ
…………………
…………………
………………....  พื้นที่สามเหลี่ยมใดๆ (Triangle) = …………………………………
 พื้นที่สามเหลี่ยมด้านเท่า (Equilateral Triangle) = ……………………
Some of the most
beautiful mathematical
 เส้นรอบวงของวงกลม (Circumference of a Circle) = ………………
formulas:
1 The area of a rectangle
is equal to the product of
its sides.
2 The area of a triangle is  พื้นที่วงกลม(Area of a Circle) = …………………………………
equal to one-half the
product of its height and
base
3 The circumference of a  ผลบวกของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมรวมกันได้ .........................องศา
circle equals 2 r
4 The area of a circle
equals  r
2
 ผลบวกของมุมภายในของรูป n เหลี่ยมรวมกันได้ ............................องศา
5 The sum of the interior
angles of a triangle equals
180
6 The Pythagorean  ˆ
ให้  ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก (Right Triangle) โดยมี C เป็นมุมฉาก ถ้า
Theorem: a 2  b2  c 2 ˆ ˆ ˆ
a, b, c เป็นด้านตรงข้าม A, B, C ตามลาดับ แล้ว a 2  b2  c 2
เรื่อง พื้นที่ผิว และปริมาตร [Surface Area and Volume] 1 บรรยายโดย ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

3. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีท3
ี่ หน้า 2
☻Warning! 1.1 รูปเรขาคณิตสามมิติ (Solid)

22 . ให้อธิบายความหมายของรูปเรขาคณิตสามมิติต่างๆ พร้อมทั้งเขียนภาพประกอบ
7
Archimedes (287-212 BC)  ปริซึม (Prism) หมายถึง รูปเรขาคณิตสามมิติที่ ...........................................
found that  is more than ............................................................................................................................. .........
223
.................................................................................................................................. ....
(3.14085)
71
but less than
22
(3.14286)
7
◙ Remember:
- The sum of the interior
angles of an n-sided
convex polygon is
 ทรงกระบอก (Cylinder) หมายถึง รูปเรขาคณิตสามมิติที่ ............................
(n  2) 180
- The sum of the exterior ......................................................................................................................................
angles of an n-sided
............................................................................................................................. .........
convex polygon is 360
☺Fill in the blanks:
 พีระมิด (Pyramid) หมายถึง รูปเรขาคณิตสามมิติที่ .....................................
............................................................................................................................. .........
……………. ........................................................... ...........................................................................
…………….
 กรวย (Cone) หมายถึง รูปเรขาคณิตสามมิติที่ ................................................
................................................................................... ...................................................
............................................................................................................................. .........
……………..
 ทรงกลม (Sphere) หมายถึง รูปเรขาคณิตสามมิติที่ ......................................
………………
............................................................................................................................. .........
....................................................................................................... ...............................
……………..
เรื่อง พื้นที่ผิว และปริมาตร [Surface Area and Volume] 2 บรรยายโดย ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

4. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีท3
ี่ หน้า 3
1.2 ปริมาตรของปริซึมและทรงกระบอก (Volume of Prism and
Cylinder)
◙ Note that …
พิจารณาปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม และ ปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก จากรูป
Right Oblique
Cylinder Cylinder
A right cylinder and an
oblique cylinder with the
same base and the same
height have the same
volumes.
ปริมาตรของปริซึมสี่เหลี่ยมมุมฉาก = ……………………………………..
……………………………………..
ปริมาตรของปริซึมสามเหลี่ยม = ……………………………………..
……………………………………..
ปริมาตรของปริซึมใดๆ = ………………………………
พิจารณาปริมาตรของปริซึมรูป n เหลี่ยม เมื่อ n มีค่ามากขึ้น โดยเปรียบเทียบกับปริมาตร
ของทรงกระบอก
◙ True or False ?
ปริมาตรของปริซึมรูป n เหลี่ยม = ……………………………………..
……………………………………..
Volume of cone
= 1  Volume of cylinder
ปริมาตรของทรงกระบอก = ……………………………………..
3 ……………………………………..
ปริมาตรของรูปทรงกระบอก = ………………………………
เรื่อง พื้นที่ผิว และปริมาตร [Surface Area and Volume] 3 บรรยายโดย ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

5. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีท3
ี่ หน้า 4
1.3 ปริมาตรของพีระมิดและกรวย (Volume of Pyramid and Cone)
A pyramid is a
solid whose
พิจารณาปริมาตรของพีระมิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส เปรียบเทียบกัน ปริซึมบนฐานเดียวกัน
base can be และมีส่วนสูงเท่ากันจากรูป
any polygon
but all the
other faces are
…………….
โดยการทดลอง เราจะพบว่า
1
ปริมาตรของพีระมิด = ของปริมาตรของปริซึมที่มีฐานเดียวกัน และส่วนสูงเท่ากัน
3
…………. ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า
1
ปริมาตรของพีระมิด =  ……………….  ……………...
3
พิจารณาปริมาตรของพีระมิดฐาน n เหลี่ยม เมื่อ n มีค่ามากขึ้น โดยเปรียบเทียบกับ
ปริมาตรของกรวย ที่มีฐานเป็นวงกลมรัศมี r หน่วย และสูง h หน่วย
r
ปริมาตรของพีระมิดฐานรูป n เหลี่ยม = ………………………………
ปริมาตรของกรวย = ……………………………………..
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า
ปริมาตรของกรวย = …………………………………….
เรื่อง พื้นที่ผิว และปริมาตร [Surface Area and Volume] 4 บรรยายโดย ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

6. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีท3
ี่ หน้า 5
1.4 ปริมาตร และพื้นที่ผิวของทรงกลม (Volume and Surface Area of
Sphere)
What is a
hemisphere?
การพิสูจน์สูตรการหาปริมาตรของทรงกระบอก สามารถทาได้อย่างง่ายในวิชา แคลคูลัส
(Calculus) ที่นักเรียนจะได้ศึกษาในระดับมหาวิทยาลัย แต่ในระดับนี้เราสามารถ
แสดงให้เห็นจริงได้โดยการทดลองที่พบในหนังสือเรียนทั่วไป ดังรูป
=
………… พิจารณาครึ่งทรงกลมรัศมี r และทรงบอกรัศมี r และสูง 2r
…………
…………
จากการทดลองจะพบว่า
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
………………………………………………………………………
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า
ปริมาตรทรงกลม = ………………………………………
สาหรับสูตรการหาพื้นที่ผิวทรงกลม สามารถอาศัยสูตรปริมาตรทรงกลมได้ดังนี้
◙ Note that …
A sphere is a three-
dimensional circle.
◙ Some of the most
beautiful mathematical
formulas:
ให้ S เป็นพื้นที่ผิวทั้งหมดของาทรงกระบอก
และ Ai เป็นพื้นที่ผิวของลิ่ม เมื่อ i  1, 2,3,..., n
7 The volume of a
sphere with radius r is จะเห็นว่า ปริมาตรของทรงกลม = ผลรวมของปริมาตรของลิ่มทั้งหมด
equal to 4  r 3 . แสดงว่า ………………………………………………………………
3
8 The surface area of a ………………………………………………………………………
sphere with radius r is ………………………………………………………………………
equal to 4 r 2 ………………………………………………………………………
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า
พื้นที่ผิวของทรงกลม = ………………………………………
เรื่อง พื้นที่ผิว และปริมาตร [Surface Area and Volume] 5 บรรยายโดย ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

7. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีท3
ี่ หน้า 6
1.5 พื้นที่ผิว ของปริซึม และทรงกระบอก (Surface Area of Prism and
Cylinder)
Area of
pyramids and
cones will be การหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติใดๆ เป็นการหาพื้นที่ผิวทั้งหมดของรูปเรขาคณิต
discussed
later. สามมิตินั้น
พื้นที่ผิวของปริซึม เท่ากับ พื้นที่ผิวทั้งหมาดของรูปคลี่ของปริซิม
พื้นที่ผิวของทรงกระบอก เท่ากับ พื้นที่ผิวทั้งหมาดของรูปคลี่ของทรงกระบอก
Example 1.1 จงพื้นที่ผว และ ปริมาตรของพีระมีดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาวด้าน
ิ
ละ 10 ซม. สูง 12 ซม. และสูงเอียง 13 ซม.
Solution:
Example 1.2 ไอศครีมโคน ในรูปกรวย และ ครึ่งทรงกลมรัศมี 6 ซม. และ สูง 14
ซม. จะใช้ปริมาณไอศครีมในการทา อย่างมาก กี่ ลบ.ซม.
Solution:
Example 1.3 การขุดคลองส่งน้ายาว 12 กม. โดยมีหน้าตัดเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูลึก
3 เมตร ฐานล่าง 3 เมตร ปากคลองกว้าง 5 เมตร ถ้าค่าขุดดิน ลบ.เมตร ละ 20 บาท แล้ว
ต้องใช้งบประมาณเท่าไร
Solution:
เรื่อง พื้นที่ผิว และปริมาตร [Surface Area and Volume] 6 บรรยายโดย ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

8. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีท3
ี่ หน้า 7
◙ แบบฝึกทักษะ(Skill Practice)
◙ Remember: 1. จงหาปริมาตรของรูปเรขาคณิตสามมิติ ตามรูปที่กาหนด
1. Prism:
V  Base Area  Height
2. Cylinder: 2
V   r 2h
3. Pyramid: 3 3 3
1 5
V   Base Area  Height
3 3
4. Cone:
1
V   r 2h 4
3
5. Sphere: 2
3
4
V   r3
3 3
S  4 r 2
5
1
4
4 3
พื้นที่หน้าตัด 6 ตารางหน่วย พื้นที่หน้าตัด 5 ตารางหน่วย
2. จงหาพื้นที่ผิวของรูปเรขาคณิตสามมิติ ตามรูปที่กาหนด
2
2 2 3
4
2
4
3
2
5
1 2
4
เรื่อง พื้นที่ผิว และปริมาตร [Surface Area and Volume] 7 บรรยายโดย ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

9. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีท3
ี่ หน้า 8
◙ ทักษะกระบวนการแก้ปัญหา (Problem Solving Skill and Process)
Can you ปัญหา: เราสามารถสร้างรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งให้มีพื้นที่เท่ากับ ผลบวกของพื้นที่ของ
construct a
square to be สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2 รูปรวมกันได้หรือไม่
the same
area as a
circle ?
+ =
?
y
?
x
………
………
………
………
เรื่อง พื้นที่ผิว และปริมาตร [Surface Area and Volume] 8 บรรยายโดย ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น

10. คณิตศาสตร์เสริม หลักสูตร EP โรงเรียนสตรีศึกษา จังหวัดร้อยเอ็ด ระดับมัธยมศึกษาปีท3
ี่ หน้า 9
◙ ปัญหาท้าทาย (Challenging Problems)
(1) ให้ ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ที่มี AB // DC เส้นทแยงมุม AC ตัดกับ
BD ที่จุด O ถ้าพื้นที่  ABO และ  CDO เท่ากับ 4 และ 9 ตารางนิ้วตามลาดับ
A trapezoid is
a quadrilateral จงหาพื้นที่ของ □ ABCD
with ………
A B
4
O
9
D C
ˆ
(2) ให้ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มี C เป็นมุมฉาก และ AC  BC จงแสดงว่า
a pair of พื้นที่ของ  ABC เท่ากับพื้นที่บริเวณที่อยู่ระหว่าง เส้นโค้งของเสี้ยววงกลมที่มี C เป็น
…………… จุดศูนย์กลาง ที่มี AB เป็นคอร์ด และ เส้นโค้งของครึ่งวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่าน
sides.
ศูนย์กลาง ดังรูป
A
◙ Remember: C B
1. Area of a triangle
1
  Base  Height
2
2. Area of a trapezoid
=……………………
(3) นักเรียนสามารถสร้างลูกบาศก์ ให้มีปริมาตรเป็น 2 เท่าของลูกบาศก์ที่กาหนดให้ได้
หรือไม่ ถ้าได้ให้แสดงวิธีสร้างพร้อมพิสูจน์ให้เห็นจริง
☼ Three famous Greek
problems:
1. Doubling the cube.
2. Trisecting the angle.
3. Squaring the circle.
เรื่อง พื้นที่ผิว และปริมาตร [Surface Area and Volume] 9 บรรยายโดย ดร.วัฒนา เถาว์ทิพย์ มหาวิทยาลัยขอนแก่น