2. Objetivos: Después de terminar
Objetivos: Después de terminar
esta unidad deberá:
esta unidad deberá:
• Definir el campo eléctrico y explicar qué
determina su magnitud y dirección.
• Discutir las líneas de campo eléctrico y el
significado de la permitividad del espacio.
• Escribir y aplicar fórmulas para la
intensidad del campo eléctrico a
distancias conocidas desde cargas
puntuales.
• Escribir y aplicar la ley de Gauss para campos en
torno a superficies con densidades de carga conocidas.
3. El concepto de campo
El concepto de campo
Un
Un campo
campo se define como una
se define como una propiedad del espacio
propiedad del espacio
en el que un objeto material experimenta una
en el que un objeto material experimenta una fuerza
fuerza.
.
.
P
Sobre la Tierra, se dice que existe
Sobre la Tierra, se dice que existe
un
un campo gravitacional
campo gravitacional en
en P
P.
.
Puesto que
Puesto que una masa
una masa m
m experimenta
experimenta
una
una fuerza
fuerza descendente en dicho
descendente en dicho
punto.
punto.
¡No hay fuerza, no hay campo; no hay
campo, no hay fuerza!
m
F
La
La dirección
dirección del campo está determinada por la
del campo está determinada por la fuerza
fuerza.
.
4. El campo gravitacional
El campo gravitacional
Note que la fuerza
Note que la fuerza F
F es
es real
real, pero el
, pero el
campo sólo es una forma
campo sólo es una forma
conveniente de
conveniente de describir el espacio
describir el espacio.
.
El campo en los puntos A o B se
El campo en los puntos A o B se
puede encontrar de:
puede encontrar de:
F
g
m
=
Si
Si g
g se conoce en
se conoce en
cada punto sobre la
cada punto sobre la
Tierra, entonces se
Tierra, entonces se
puede encontrar la
puede encontrar la
fuerza
fuerza F
F sobre una
sobre una
masa dada.
masa dada.
La
La magnitud
magnitud y
y dirección
dirección del
del
campo
campo g
g depende del peso, que
depende del peso, que
es la fuerza
es la fuerza F.
F.
•
A
• B Considere los puntos
Considere los puntos A
A y
y B
B sobre
sobre
la superficie de la Tierra, sólo
la superficie de la Tierra, sólo
puntos en el
puntos en el espacio
espacio.
.
F
F
F
F
5. El campo eléctrico
El campo eléctrico
1. Ahora, considere el punto
1. Ahora, considere el punto
P
P a una distancia
a una distancia r
r de
de +Q
+Q.
.
2.
2. En
En P
P existe un campo eléctrico
existe un campo eléctrico E
E
si una carga
si una carga de prueba
de prueba +q
+q tiene
tiene
una fuerza
una fuerza F
F en dicho punto.
en dicho punto.
3. La
3. La dirección
dirección del
del E
E es igual
es igual
que la dirección de una
que la dirección de una fuerza
fuerza
sobre la carga
sobre la carga + (pos)
+ (pos).
.
E
4. La
4. La magnitud
magnitud de
de E
E está
está
dada por la fórmula:
dada por la fórmula:
Campo eléctrico
+
+
+
+
+
+
+
+
Q
.
P
r
+q
F
+
C
N
q
F
E unidades
;
=
6. El campo es propiedad del
El campo es propiedad del
espacio
espacio
E
Campo eléctrico
+
+
+
+
+
+
+
+
Q
.
r
En un punto existe un campo
En un punto existe un campo E
E ya sea que en
ya sea que en
dicho punto haya o no una carga. La
dicho punto haya o no una carga. La dirección
dirección
del campo es
del campo es alejándose
alejándose de la carga
de la carga +Q
+Q.
.
E
Campo eléctrico
+
+
+
+
+
+
+
+
Q
.
r
+
+q -
-q
F
F
La fuerza sobre
La fuerza sobre +q
+q está
está
en dirección del campo.
en dirección del campo.
La fuerza sobre
La fuerza sobre -q
-q
está contra la
está contra la
dirección del campo.
dirección del campo.
7. Campo cerca de una carga negativa
Campo cerca de una carga negativa
Note que el campo
Note que el campo E
E en la vecindad de una
en la vecindad de una carga
carga
negativa
negativa –Q
–Q es
es hacia
hacia la carga, la dirección en que se
la carga, la dirección en que se
movería una carga de prueba
movería una carga de prueba +q
+q.
.
La fuerza sobre
La fuerza sobre +q
+q está
está
en dirección del campo.
en dirección del campo.
La fuerza sobre
La fuerza sobre -q
-q
está contra la
está contra la
dirección del campo.
dirección del campo.
E
Campo eléctrico
.
r
+
+q
F
-
-
-
- -
-
-
-
-Q
E
Campo eléctrico
.
r
-
-q
F
-
-
-
- -
-
-
-
-Q
8. La magnitud del campo E
La magnitud del campo E
La
La magnitud
magnitud de la intensidad del campo eléctrico en un
de la intensidad del campo eléctrico en un
punto en el espacio se define como la
punto en el espacio se define como la fuerza por unidad
fuerza por unidad
de carga
de carga (N/C)
(N/C) que experimentaría cualquier carga de
que experimentaría cualquier carga de
prueba que se coloque en dicho punto.
prueba que se coloque en dicho punto.
Intensidad de
campo eléctrico E
Intensidad de
campo eléctrico E
La
La dirección
dirección de
de E
E en un punto es la misma que la
en un punto es la misma que la
dirección en que se movería una carga
dirección en que se movería una carga positiva
positiva SI
SI
se colocara en dicho punto.
se colocara en dicho punto.
C
N
q
F
E unidades
;
=
9. Ejemplo 1.
Ejemplo 1. Una carga de
Una carga de +2 nC
+2 nC se
se
coloca a una distancia
coloca a una distancia r
r de una carga
de una carga
de
de–8
–8 µ
µC
C. Si la carga experimenta
. Si la carga experimenta
una fuerza de
una fuerza de 4000 N
4000 N, ¿cuál es la
, ¿cuál es la
intensidad del campo eléctrico E en
intensidad del campo eléctrico E en
dicho punto P?
dicho punto P?
Campo eléctrico
.
-
-
-
- -
-
-
-
-Q
P
Primero, note que la dirección de
Primero, note que la dirección de
E es hacia –Q (abajo).
E es hacia –Q (abajo).
–8 µC
E
+
+q
E
4000 N
-9
4000 N
2 x 10 C
F
E
q
= =
+2 nC
r
E = 2 x 1012
N/C
hacia abajo
Nota: El campo
Nota: El campo E
E sería el
sería el mismo
mismo para
para cualquier
cualquier carga que se
carga que se
coloque en el punto
coloque en el punto P
P. Es una propiedad de dicho
. Es una propiedad de dicho espacio
espacio.
.
10. Ejemplo 2.
Ejemplo 2. Un campo constante
Un campo constante E
E de
de 40,000 N/C
40,000 N/C
se mantiene entre las dos placas paralelas.
se mantiene entre las dos placas paralelas.
¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza
¿Cuáles son la magnitud y dirección de la fuerza
sobre un electrón que pasa horizontalmente entre
sobre un electrón que pasa horizontalmente entre
las placas?
las placas?
E
.
F
El campo E es hacia abajo, y
El campo E es hacia abajo, y
la fuerza sobre e
la fuerza sobre e-
-
es arriba.
es arriba.
;
F
E F qE
q
= =
-19 4
(1.6 x 10 C)(4 x 10 )
N
C
F qE
= =
F = 6.40 x 10-15
N, hacia arriba
F = 6.40 x 10-15
N, hacia arriba
+ + + + + + + + +
- - - - - - - - -
-
e
e-
-
-
e
e-
- -
e
e-
-
11. Campo E a una distancia r
Campo E a una distancia r
desde una sola carga Q
desde una sola carga Q
+
+
+
+
+
+
+
+
Q
.
r
P
Considere una carga de prueba
Considere una carga de prueba +q
+q
colocada en
colocada en P
P a una distancia
a una distancia r
r de
de Q
Q.
.
La fuerza hacia afuera sobre +q
La fuerza hacia afuera sobre +q
es:
es:
Por tanto, el campo eléctrico
Por tanto, el campo eléctrico E
E es:
es:
2
F kQq r
E
q q
= = 2
kQ
E
r
=
+
+q
F
2
kQq
F
r
=
+
+
+
+
+
+
+
+
Q
.
r
P
E
2
kQ
E
r
=
12. Ejemplo 3.
Ejemplo 3. ¿Cuál es la intensidad del
¿Cuál es la intensidad del
campo eléctrico
campo eléctrico E
E en el punto
en el punto P
P, a una
, a una
distancia de
distancia de 3 m
3 m desde una carga negativa
desde una carga negativa
de
de–8 nC
–8 nC?
?
.
r
P
-Q
3 m
-8 nC
E = ? Primero, encuentre la magnitud:
Primero, encuentre la magnitud:
2
2
9 -9
Nm
C
2 2
(9 x 10 )(8 x 10 C)
(3 m)
kQ
E
r
= =
E = 8.00 N/C
E = 8.00 N/C
La dirección es la misma que la fuerza sobre una
La dirección es la misma que la fuerza sobre una
carga positiva
carga positiva si
si se colocase en el punto P:
se colocase en el punto P: hacia –Q
hacia –Q.
.
E
E = 8.00 N, hacia -Q
= 8.00 N, hacia -Q
13. El campo eléctrico resultante
El campo eléctrico resultante
El campo resultante
El campo resultante E
E en la vecindad de un número de
en la vecindad de un número de
cargas puntuales es igual a la
cargas puntuales es igual a la suma vectorial
suma vectorial de los
de los
campos debidos a cada carga tomada individualmente.
campos debidos a cada carga tomada individualmente.
Considere E para cada carga.
Considere E para cada carga.
+
- •
q1
q2
q3
-
A
E1
E3
E2
ER
Suma vectorial:
E = E1 + E2 + E3
Suma vectorial:
E = E1 + E2 + E3
Las direcciones se basan en
carga de prueba positiva.
Magnitudes a partir de:
2
kQ
E
r
=
14. Ejemplo 4.
Ejemplo 4. Encuentre el campo resultante en
Encuentre el campo resultante en
el punto
el punto A
A debido a las cargas de
debido a las cargas de –3 nC
–3 nC y
y +6
+6
nC
nC ordenadas como se muestra.
ordenadas como se muestra.
+
-
•
q1
q2
4 cm
3 cm
5 cm
-3 nC
+6 nC
E para cada q se muestra
E para cada q se muestra
con la dirección dada.
con la dirección dada.
E2
E1
1 2
1 2
2 2
1 2
;
kq kq
E E
r r
= =
A
2
2
9 -9
Nm
C
1 2
(9 x 10 )(3 x 10 C)
(3 m)
E =
2
2
9 -9
Nm
C
2 2
(9 x 10 )(6 x 10 C)
(4 m)
E =
Los signos de las cargas sólo se usan para encontrar la dirección de E
Los signos de las cargas sólo se usan para encontrar la dirección de E
15. Ejemplo 4.
Ejemplo 4. (Cont.)
(Cont.) Encuentre el campo
Encuentre el campo
resultante en el punto
resultante en el punto A
A. Las magnitudes son:
. Las magnitudes son:
+
-
•
q1
q2
4 cm
3 cm
5 cm
-3 nC
+6 nC
E2
E1
A
2
2
9 -9
Nm
C
1 2
(9 x 10 )(3 x 10 C)
(3 m)
E =
2
2
9 -9
Nm
C
2 2
(9 x 10 )(6 x 10 C)
(4 m)
E =
E
E1
1 =
= 3.00 N, oeste
3.00 N, oeste E
E2
2 =
= 3.38 N, norte
3.38 N, norte
E2
E1
A continuación, encuentre el vector resultante E
A continuación, encuentre el vector resultante ER
R
ER
2 2 1
2 1
2
; tan
R
E
E E R
E
φ
= + =
φ
16. Ejemplo 4.
Ejemplo 4. (Cont.)
(Cont.) Encuentre el campo resultante
Encuentre el campo resultante
en el punto
en el punto A
A con matemáticas vectoriales.
con matemáticas vectoriales.
E1 = 3.00 N, oeste
E2 = 3.38 N, norte
Encuentre el vector resultante E
Encuentre el vector resultante ER
R
E2
E1
ER
2 2
(3.00 N) (3.38 N) 4.52 N;
E = + =
3.38 N
tan
3.00 N
φ =
φ
φ = 48.4
= 48.40
0
N de O; o
N de O; o θ
θ = 131.6
= 131.60
0
Campo resultante: ER = 4.52 N; 131.60
Campo resultante: ER = 4.52 N; 131.60
φ
17. Líneas de campo eléctrico
Líneas de campo eléctrico
+
+
+
+
+
+
+
+
Q
-
-
-
- -
-
-
-
-Q
Las
Las líneas de campo eléctrico
líneas de campo eléctrico son líneas imaginarias que se
son líneas imaginarias que se
dibujan de tal forma que su dirección en cualquier punto es
dibujan de tal forma que su dirección en cualquier punto es
la misma que la dirección del campo en dicho punto.
la misma que la dirección del campo en dicho punto.
Las líneas de campo se
Las líneas de campo se alejan
alejan de las cargas
de las cargas
positivas
positivas y se
y se acercan
acercan a las cargas
a las cargas negativas
negativas.
.
18. 1.
1. La dirección de la línea de campo en cualquier punto
La dirección de la línea de campo en cualquier punto
es la misma que el movimiento de +q en dicho punto.
es la misma que el movimiento de +q en dicho punto.
2. El espaciamiento de las líneas debe ser tal que
2. El espaciamiento de las líneas debe ser tal que
estén cercanas donde el campo sea intenso y
estén cercanas donde el campo sea intenso y
separadas donde el campo sea débil.
separadas donde el campo sea débil.
+ -
q
q1
1 q
q2
2
E
E1
1
E
E2
2
E
ER
R
Reglas para dibujar líneas de
Reglas para dibujar líneas de
campo
campo
Reglas para dibujar líneas de
Reglas para dibujar líneas de
campo
campo
19. Ejemplos de líneas de campo E
Ejemplos de líneas de campo E
Dos cargas iguales
Dos cargas iguales
pero
pero opuestas
opuestas.
.
Dos cargas
Dos cargas idénticas
idénticas
(ambas +).
(ambas +).
Note que las líneas
Note que las líneas salen
salen de las cargas
de las cargas +
+ y
y entran
entran a las cargas
a las cargas -
-.
.
Además,
Además, E
E es
es más intenso
más intenso donde las líneas de campo son
donde las líneas de campo son más densas
más densas.
.
20. Densidad de las líneas de
Densidad de las líneas de
campo
campo
∆N
Superficie gaussiana
N
A
σ
∆
=
∆
Densidad de
líneas σ
Ley de Gauss: El campo E en cualquier punto en
el espacio es proporcional a la densidad de
líneas σ en dicho punto.
Ley de Gauss: El campo E en cualquier punto en
el espacio es proporcional a la densidad de
líneas σ en dicho punto.
∆A
Radio r
r
r
21. Densidad de líneas y constante de
Densidad de líneas y constante de
espaciamiento
espaciamiento
Considere el campo cerca de una carga positiva q:
Considere el campo cerca de una carga positiva q:
Superficie gaussiana
Radio r
r
r
Luego, imagine una superficie (radio r) que rodea a q.
Luego, imagine una superficie (radio r) que rodea a q.
E
E es proporcional a
es proporcional a ∆
∆N/
N/∆
∆A
A y es
y es
igual a
igual a kq/r
kq/r2
2
en cualquier punto.
en cualquier punto.
2
;
N kq
E E
A r
∆
∝ =
∆
ε
εο
ο se define como constante de
se define como constante de
espaciamiento. Entonces:
espaciamiento. Entonces:
0
1
4 k
ε
π
=
:
es
ε
Donde 0
0E
A
N
ε
=
∆
∆
22. Permitividad del espacio libre
Permitividad del espacio libre
La constante de proporcionalidad para la densidad de
La constante de proporcionalidad para la densidad de
líneas se conoce como
líneas se conoce como permitividad
permitividad ε
εο
ο y se define como:
y se define como:
2
-12
0 2
1 C
8.85 x 10
4 N m
k
ε
π
= =
⋅
Al recordar la relación con la densidad de líneas se tiene:
Al recordar la relación con la densidad de líneas se tiene:
0 0
N
E or N E A
A
ε ε
∆
= ∆ = ∆
∆
Sumar sobre toda el área A
Sumar sobre toda el área A
da las líneas totales como:
da las líneas totales como: N = εoEA
N = εoEA
23. Ejemplo 5.
Ejemplo 5. Escriba una ecuación para
Escriba una ecuación para
encontrar el número total de líneas
encontrar el número total de líneas N
N que
que
salen de una sola carga positiva
salen de una sola carga positiva q
q.
.
Superficie gaussiana
Radio r
r
r
Dibuje superficie gaussiana esférica:
Dibuje superficie gaussiana esférica:
2
2 2
; A = 4 r
4
kq q
E
r r
π
π
= =
Sustituya E y A de:
Sustituya E y A de:
2
0 0 2
(4 )
4
q
N EA r
r
ε ε π
π
= =
N = εoqA = q
N = εoqA = q
El número total de líneas es igual a la carga encerrada q.
El número total de líneas es igual a la carga encerrada q.
EA
N
A
E
N 0
0 y ε
ε =
∆
=
∆
24. Ley de Gauss
Ley de Gauss
Ley de Gauss:
Ley de Gauss: El número neto de líneas de campo
El número neto de líneas de campo
eléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada en
eléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada en
una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la
una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la
carga neta total dentro de dicha superficie.
carga neta total dentro de dicha superficie.
Ley de Gauss:
Ley de Gauss: El número neto de líneas de campo
El número neto de líneas de campo
eléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada en
eléctrico que cruzan cualquier superficie cerrada en
una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la
una dirección hacia afuera es numéricamente igual a la
carga neta total dentro de dicha superficie.
carga neta total dentro de dicha superficie.
0
N EA q
ε
= Σ = Σ
Si
Si q
q se representa como la
se representa como la carga
carga
positiva neta encerrada
positiva neta encerrada, la ley de
, la ley de
Gauss se puede rescribir como:
Gauss se puede rescribir como: 0
q
EA
ε
Σ =
25. Ejemplo 6.
Ejemplo 6. ¿Cuántas líneas de campo
¿Cuántas líneas de campo
eléctrico pasan a través de la
eléctrico pasan a través de la
superficie gaussiana dibujada abajo?
superficie gaussiana dibujada abajo?
+
-
q1
q4
q3
-
+
q2
-4 µC
+5 µC
+8 µC
-1 µC
Superficie gaussiana
Primero encuentre la carga
Primero encuentre la carga
NETA
NETA Σ
Σq
q encerrada por la
encerrada por la
superficie
superficie:
:
Σ
Σq = (+8 –4 – 1) = +3
q = (+8 –4 – 1) = +3 µ
µC
C
0
N EA q
ε
= Σ = Σ
N = +3 µC = +3 x 10-6
líneas
N = +3 µC = +3 x 10-6
líneas
26. Ejemplo 6.
Ejemplo 6. Una esfera sólida (R = 6 cm) con una
Una esfera sólida (R = 6 cm) con una
carga neta de +8
carga neta de +8 µ
µC está adentro de un cascarón
C está adentro de un cascarón
hueco (R = 8 cm) que tiene una carga neta de–6
hueco (R = 8 cm) que tiene una carga neta de–6
µ
µC. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia
C. ¿Cuál es el campo eléctrico a una distancia
de 12 cm desde el centro de la esfera sólida?
de 12 cm desde el centro de la esfera sólida?
Σ
Σq = (+8 – 6) = +2
q = (+8 – 6) = +2 µ
µC
C
0
N EA q
ε
= Σ = Σ
-6 µC
+8 µC
-
-
-
-
-
-
- -
Dibuje una esfera gaussiana a un
Dibuje una esfera gaussiana a un
radio de 12 cm para encontrar E.
radio de 12 cm para encontrar E.
8cm
6 cm
12 cm
Superficie gaussiana
0
0
;
net
q
AE q E
A
ε
ε
Σ
= =
2
2
-6
2 -12 2
Nm
0 C
2 x 10 C
(4 ) (8.85 x 10 )(4 )(0.12 m)
q
E
r
ε π π
Σ +
= =
27. Ejemplo 6 (Cont.)
Ejemplo 6 (Cont.) ¿Cuál es el campo
¿Cuál es el campo
eléctrico a una distancia de 12 cm desde el
eléctrico a una distancia de 12 cm desde el
centro de la esfera sólida?
centro de la esfera sólida?
Dibuje una esfera gaussiana a un
Dibuje una esfera gaussiana a un
radio de 12 cm para encontrar E.
radio de 12 cm para encontrar E.
Σ
Σq = (+8 – 6) = +2
q = (+8 – 6) = +2 µ
µC
C
0
N EA q
ε
= Σ = Σ
0
0
;
net
q
AE q E
A
ε
ε
Σ
= =
6 N
C
2
0
2 C
1.25 x 10
(4 )
E
r
µ
ε π
+
= =
-6 µC
+8 µC
-
-
-
-
-
-
- -
8cm
6 cm
12 cm
Superficie gaussiana
E = 1.25 MN/C
E = 1.25 MN/C
28. Carga sobre la superficie de un conductor
Carga sobre la superficie de un conductor
Conductor cargado
Superficie gaussiana justo
adentro del conductor
Dado que cargas iguales
Dado que cargas iguales
se repelen, se esperaría
se repelen, se esperaría
que toda la carga se
que toda la carga se
movería hasta llegar al
movería hasta llegar al
reposo. Entonces, de la
reposo. Entonces, de la
ley de Gauss. . .
ley de Gauss. . .
Como las cargas están en reposo, E = 0 dentro del
Como las cargas están en reposo, E = 0 dentro del
conductor, por tanto:
conductor, por tanto:
0 or 0 =
N EA q q
ε
= Σ = Σ Σ
Toda la carga está sobre la superficie; nada dentro del conductor
Toda la carga está sobre la superficie; nada dentro del conductor
29. Ejemplo 7.
Ejemplo 7. Use la ley de Gauss para encontrar el
Use la ley de Gauss para encontrar el
campo E justo afuera de la superficie de un
campo E justo afuera de la superficie de un
conductor. Densidad de carga superficial:
conductor. Densidad de carga superficial: σ
σ =
= q/A
q/A.
.
Considere
Considere q adentro de la caja
q adentro de la caja.
.
Las líneas de
Las líneas de E
E a través de
a través de
todas las áreas son hacia
todas las áreas son hacia
afuera.
afuera.
Densidad de carga superficial σ
+
+
+ +
+
+ +
+
+
+ +
+
+
A
E2
E1
0 AE q
ε
Σ =
Las líneas de E a través de los
Las líneas de E a través de los
lados
lados se cancelan por simetría.
se cancelan por simetría.
E3
E3 E3
E3
ε
εo
oE
E1
1A +
A + ε
εo
oE
E2
2A
A =
= q
q
El campo es cero dentro del conductor, así que E
El campo es cero dentro del conductor, así que E2
2 = 0
= 0
0
0
0 0
q
E
A
σ
ε ε
= =
30. Ejemplo 7 (Cont.)
Ejemplo 7 (Cont.) Encuentre el campo justo
Encuentre el campo justo
afuera de la superficie si
afuera de la superficie si σ
σ =
= q/A =
q/A = +2 C/m
+2 C/m2
2
.
.
Densidad de carga superficial σ
+
+
+ +
+
+ +
+
+
+ +
+
+
A
E2
E1 E3
E3 E3
E3
1
0 0
q
E
A
σ
ε ε
= =
Recuerde que los campos
Recuerde que los campos
laterales se cancelan y el
laterales se cancelan y el
campo interior es cero, de
campo interior es cero, de
modo que
modo que
2
2
-6 2
-12 Nm
C
2 x 10 C/m
8.85 x 10
E
+
= E = 226,000 N/C
E = 226,000 N/C
31. Campo entre placas paralelas
Campo entre placas paralelas
Cargas iguales y opuestas.
Cargas iguales y opuestas.
Dibuje cajas gaussianas en
Dibuje cajas gaussianas en
cada superficie interior.
cada superficie interior.
+
+
+
+
+
Q1 Q2
-
-
-
-
-
Campos E
Campos E1
1 y E
y E2
2 a la derecha.
a la derecha.
E1
E2
E1
E2
La ley de Gauss para cualquier
La ley de Gauss para cualquier
caja da el mismo campo (E
caja da el mismo campo (E1
1 = E
= E2
2).
).
0 AE q
ε
Σ = Σ
0 0
q
E
A
σ
ε ε
= =
32. Línea de carga
Línea de carga
r
E
2πr
L
q
L
λ =
A1
A
A2
0
q
; =
2 L
q
E
rL
λ
πε
=
0
2
E
r
λ
πε
=
Los campos debidos
Los campos debidos
a A
a A1
1 y A
y A2
2 se cancelan
se cancelan
debido a simetría.
debido a simetría.
0
; (2 )
q
EA A r L
π
ε
= =
0 AE q
ε
Σ =
33. Ejemplo 8:
Ejemplo 8: El campo eléctrico a una
El campo eléctrico a una
distancia de 1.5 m de una línea de carga es
distancia de 1.5 m de una línea de carga es
5 x 10
5 x 104
4
N/C. ¿Cuál es la densidad lineal de
N/C. ¿Cuál es la densidad lineal de
la línea?
la línea?
r
E
L
q
L
λ =
0
2
E
r
λ
πε
=
0
2 rE
λ πε
=
2
2
-12 4
C
Nm
2 (8.85 x 10 )(1.5 m)(5 x 10 N/C)
λ π
=
E
E = 5 x 10
= 5 x 104
4
N/C
N/C r = 1.5 m
r = 1.5 m
λ = 4.17 µC/m
34. Cilindros concéntricos
Cilindros concéntricos
+ + +
+ + + +
+ +
+ + + + +
+ + + +
+ +
+ +
a
b
λa
λb
r1
r2
-6 µC
ra
rb
12 cm
Superficie gaussiana
λa
λb
Afuera es como un largo
Afuera es como un largo
alambre cargado:
alambre cargado:
Para
r >
rb
0
2
a b
E
r
λ λ
πε
+
=
Para
rb > r > ra 0
2
a
E
r
λ
πε
=
35. Ejemplo 9.
Ejemplo 9. Dos cilindros concéntricos de radios
Dos cilindros concéntricos de radios 3
3 y
y 6 cm
6 cm.
.
La densidad de carga lineal interior es de
La densidad de carga lineal interior es de +3
+3 µ
µC/m
C/m y la
y la
exterior es de
exterior es de -5
-5 µ
µC/m
C/m. Encuentre E a una distancia de
. Encuentre E a una distancia de 4
4
cm
cm desde el centro.
desde el centro.
+ + +
+ + + +
+ +
+ + + + +
+ + + +
+ +
+ +
a = 3
cm
b=6 cm
-7 µC/m
+5 µC/m
E = 1.38 x 106
N/C, radialmente hacia afuera
E = 1.38 x 106
N/C, radialmente hacia afuera
r
r
Dibuje una superficie
Dibuje una superficie
gaussiana entre los cilindros.
gaussiana entre los cilindros.
0
2
b
E
r
λ
πε
=
0
3 C/m
2 (0.04 m)
E
µ
πε
+
=
36. E = 5.00 x 105
N/C, radialmente hacia adentro
E = 5.00 x 105
N/C, radialmente hacia adentro
+ + +
+ + + +
+ +
+ + + + +
+ + + +
+ +
+ +
a = 3 cm
b=6 cm
-7 µC/m
+5 µC/m r
r
Gaussiana afuera de
Gaussiana afuera de
ambos cilindros.
ambos cilindros.
0
2
a b
E
r
λ λ
πε
+
=
0
( 3 5) C/m
2 (0.075 m)
E
µ
πε
+ −
=
Ejemplo 8 (Cont.)
Ejemplo 8 (Cont.) A continuación, encuentre E
A continuación, encuentre E
a una distancia de 7.5 cm desde el centro
a una distancia de 7.5 cm desde el centro
(afuera de ambos cilindros)
(afuera de ambos cilindros)
37. Resumen de fórmulas
Resumen de fórmulas
Intensidad de
campo eléctrico E:
Intensidad de
campo eléctrico E:
Campo eléctrico cerca
de muchas cargas:
Campo eléctrico cerca
de muchas cargas:
Ley de Gauss para
distribuciones de carga.
Ley de Gauss para
distribuciones de carga. 0 ;
q
EA q
A
ε σ
Σ = Σ =
C
N
r
kQ
q
F
E es
Unidad
2
=
=
vectorial
Suma
2
∑
=
r
kQ
E
