Hoje demonstraremos alguns problemas sobre funções de Lipschitz, publicados na lista PUC-RIO.

1. ANTONIO CLAUDIO LAGE BUFFARA RESPONDE:
QUESTÕES PUC-RIO - FUNÇÃO DE LIPSCHITZ
ClAudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje demonstraremos alguns problemas sobre funções de Lipschitz,
publicados na lista PUC-RIO.

3. DÚVIDA
Eu acho esses problemas sobre funções de Lipschitz bonitinhos:
(1) - seja D um subconjunto de R^n e f:D => R^m Lipschitz em D.
Mostre que:
(a) Existe uma menor constante de Lipschitz associada a f em D
(b) Se K é esta menor constante, então, para todo eps >0, existem x1 e x2<>x1
em D tais que ||f(x2) - f(x1|/|x2 - x1| - K| < eps
(c) Se K é constante de Lipschitz de f em D e existirem x1<>x2 em D tais que
|f(x2) - f(x1)| = K*|x2 - x1|, então K é a menor constante de Lipschitz de f em
D. A recíproca é verdadeira?

4. 2) Sejam I um intervalo de R e f:I => R derivável em I. Então, f é Lipschitz em I
se, e somente se, f' for limitada em I, caso em que K =supremo {|f'(x)| | x está
em I} é a menor constante de Lipschitz de f em I.
Lembrando, f é Lipschitz em D se existir uma constante K>0 tal que |f(x2) -
f(x1)| <= K*|x2 - x1| para todos x1 e x2 de D. É imediato que se K for constante
de Lipschitz, então todo K' > K também é.

5. SOLUÇÃO
Se |f'(x)| <= M para todo x em I, então, dados x < y em I, pelo TVM existirá z tal
que x < z < y e |f(y) - f(x)| = |f'(z)|*|y - x| <= M*|y - x| ==> f é Lipschitz em I com
constante M
Reciprocamente, se f é Lipschitz em I com constante K, então, dado a em I,
para todo x em I - {a} teremos - K <= (f(x) - f(a))/(x - a) <= K ==>
-K <= lim(x -> a) (f(x) - f(a))/(x - a) <= K (limites laterais se a for um dos
extremos de I) ==> -K <= f'(a) <= K ==> |f'(a)| <= K. Como a é qualquer, o
resultado segue.
Seja K = supremo {|f'(x)| | x está em I}.
Então, pelo TVM, é claro que f é Lipschitz com constante K.

6. Dado L com 0 < L < K, existe a em I tal que |f'(a)| > L.
Isso quer dizer que existe delta > 0 tal que:
x pertence a I e 0 < |x - a| < delta ==> |(f(x) - f(a))/(x - a)| > L
Ou seja, |f(x) - f(a)| > L*|x - a| ==> L não é constante de Lipschitz para f.
Acho que o mais interessante desse problema é que ele ilustra uma das
propriedades mais importantes e úteis dos limites: a permanência das
desigualdes.
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.200510/msg00055.html