Definicion de conjuntos

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
“ANDRÉS ELOY BLANCO”
BARQUISIMETO – ESTADO LARA
CONJUNTOS
ANTHONY ESCOBAR
C.I. 30.485.784
PNF: HIGIENE Y SEGURIDAD
2021

2. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
un conjunto es una colección de elementos con características
similares considerada en sí misma como un objeto. Los
elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se
dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si
está definido como incluido de algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos
sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números
naturales, si se considera la propiedad de ser un número
primo, el conjunto de los números primos es:
• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}

3. DEFINICIÓN DE CONJUNTOS
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada
más. En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de
elementos, pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos
repetidos no define un conjunto nuevo.
Por ejemplo:
• S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes,
jueves, lunes, miércoles}
• AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo,
naranja, rojo, verde, violeta, añil, azul}
• Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los números
naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del sistema solar
es finito (tiene ocho elementos). Además, los conjuntos pueden
combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones
con números.

4. OPERACIONES CON CONJUNTOS
Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo
de ciertos conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:
Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se
representa como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que
pertenecen al menos a uno de los conjuntos A y B.
• Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos
conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B de los elementos comunes
a A y B.
• Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el
conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento
que esté en B.
• Complemento: El complemento de un conjunto A es el
conjunto A∁ que contiene todos los elementos que no pertenecen
a A, respecto a un conjunto U que lo contiene.

5. OPERACIONES CON CONJUNTOS
• Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que
pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
• Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares
ordenados (a, b) formados con un primer
elemento a perteneciente a A, y un segundo
elemento b perteneciente a B
• Ejemplos:
• {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
• {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
• {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
• {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
• .

6. TIPOS DE NÚMEROS REALES
Racionales e irracionales
Un número real puede ser un número racional o un número irracional.
• Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como
el cociente de dos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2,
mientras que los irracionales son todos los demás. Los números
racionales también pueden describirse como aquellos cuya
representación decimal es eventualmente periódica.
• Los números irracionales tienen una expansión decimal aperiódica:
• Ejemplos: ¼ =0,250000... es un número racional puesto que es
periódico a partir del tercer número decimal
• 5/7 =0,7142857142857142857... es racional y tiene un período de
longitud 6 (repite 714285)
• 1,456465591386194 es irracional y su expansión decimal es aperiódica
.El conjunto de los números racionales se designa mediante Q.

7. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
Puede caracterizarse el conjunto de los números reales como un conjunto que
satisfaga la siguiente lista de axiomas.
• Si x,y ϵ R, entonces x+y ϵ R (suma)
• Si x,y ϵ R, entonces x+y=y+x (Conmutatividad en la suma)
• Si x,y,z ϵ R, entonces (x+y)+z=x+(y+z) (Asociatividad en la suma)
• Existe 0 ϵ R, de manera que x+0=x para todo x ϵ R (Neutro aditivo)
• Para cada x ϵ R existe un elemento -x ϵ R tal que -x+x=0 (Inverso aditivo)
• Si x,y ϵ R, entonces xy ϵ R (Cerradura en la multiplicación)
• Si x,y ϵ R, entonces xy=yx (Conmutatividad en la multiplicación)
• Si x,y,z ϵ R, entonces (xy)z=x(yz) (Asociatividad en la multiplicación)
• Existe 1 ϵ R, (1 ≠ 0) de manera que x▪1=1▪x=x para cualquier x ϵ R
(Neutro multiplicativo)
• Para cada x ≠ 0, x ϵ R. existe un elemento ϵ R tal que ▪ x=1
(Inverso multiplicativo)

8. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES
• Si x,y,z ϵ R, entonces x(y+z)=xy+xz (Distributividad de la multiplicación en la
suma)
• Si x,y ϵ R, entonces se cumple solo una de estas: (Tricotomía)
– x<y
– y<x
– x=y
• Si x,y,z ϵ R, x<y y y<z, entonces x<z (Transitividad)
• Si x,y,z ϵ R y x<y, entonces x+z<y+z (Monotonía en la suma)
• Si x,y,z R, x<y, y<z, entonces xz<yz (Monotonía en la multiplicación)

9. DESIGUALDADES
Una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos
valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se
tiene es una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado,
como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto
que a no puede ser igual a b; también puede leerse como
"estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que"
• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

10. DESIGUALDADES
estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades
amplias (o no estrictas).
• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta
relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de
magnitud.
• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no
indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
• Generalmente se tienden a confundir los operadores según la
posición de los elementos que se están comparando;
didácticamente se enseña que la abertura está del lado del
elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es
recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.

11. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades.
Notar que, para las propiedades transitividad, adición, sustracción,
multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los
símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus
correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).
Transitividad
• Para números reales arbitrarios a, b y c:
• Si a > b y b > c, entonces, a > c.
• Si a < b y b < c, entonces, a < c.
• Si a > b y b = c, entonces, a > c.
• Si a < b y b = c, entonces, a < c.

12. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Adición y sustracción
• Para números reales arbitrarios a,b y c:
• Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
• Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.
Multiplicación y división
• Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:
• Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
• Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.
Opuesto
• Para números reales arbitrarios a y b:
• Si a < b entonces −a > −b.
• Si a > b entonces −a < −b.

13. PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES
Recíproco
Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:
• Si a < b entonces 1/a > 1/b.
• Si a > b entonces 1/a < 1/b.
• Si a y b son de distinto signo:
• Si a < b entonces 1/a < 1/b.
• Si a > b entonces 1/a > 1/b.
Función monótona
Al aplicar una función monótona creciente, a ambos lados, la desigualdad se
mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se
invierte, Ejemplo : a<b < al aplicar la función exponencial a ambos
miembros de la desigualdad, esta se mantiene.
Valor absoluto
Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:
• |a|≤ b -b ≤ a ≤ b
• |a|≥ b -b ≥ a V a ≥ b

14. VALOR ABSOLUTO
Valor absoluto
• El valor absoluto o módulo de un número real x, denotado por |x| es el valor
no negativo de x sin importar el signo, sea este positivo o negativo. Así, 3 es
el valor absoluto de +3 y de -3.
• El valor absoluto está vinculado con las nociones
de magnitud, distancia y norma en diferentes contextos matemáticos y físicos.
El concepto de valor absoluto de un número real .
Para cualquier número real x, el valor absoluto de x se denota por |x|} y se define
como:

15. VALOR ABSOLUTO
• Desde un punto de vista geométrico, el valor absoluto de un número real
puede verse como la distancia que existe entre ese número y el cero. De
manera general, el valor absoluto entre la diferencia de dos números es la
distancia entre ello
• Por definición, el valor absoluto de x siempre será mayor o igual que cero y
nunca negativo.
• En general, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales sirve para
hallar la distancia entre ellos. De hecho, el concepto de función distancia o
métrica se puede ver como una generalización del valor absoluto que expresa
la distancia a lo largo de la recta numérica real.
• La función valor absoluto es una función continua en todo su dominio, con su
función derivada discontinua esencial en (0;0), con dos ramas de valores
constantes.

16. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO

17. PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO
Otras dos útiles inecuaciones son:
• |a|≤ b -b ≤ a ≤ b
• |a|≥ b -b ≥ a V a ≥ b

18. EJERCICIOS DE DESIGUALDADES
CON VALOR ABSOLUTO
Resolver │x -3 │ = 2
• Teniendo en cuenta la definición que │x -3 │ =
,
,
Es decir, │x -3 │ =
,
,
Por tanto, la ecuación se divide en dos ecuaciones:
X -3 = 2, si x ≥ 3
3 – x = 2, si x < 3
• La solución de la primera ecuación es x=5, que es una solución válida
porque cumple la condición x ≥ 3.
• La solución de la segunda ecuación es x = 1, es una solución válida porque
cumple la condición x < 3.
•

19. EJERCICIOS DE DESIGUALDADES
CON VALOR ABSOLUTO
Resolver │x -5 │ ≤ 3
solución:
Por propiedades, │x -5 │ ≤ 3 ===> : -3 ≤ x – 5 ≤ 3
• Resolviendo la inecuación de la izquierda:
-3 ≤ x – 5
5 - 3 ≤ x
2 ≤ x
Resolviendo la inecuación de la derecha :
x – 5 ≤ 3
x ≤ 3 + 5
x ≤ 8
• Como deben cumplirse ambas inecuaciones, la solución de la
inecuación inicial es x є [2,8]

20. EJERCICIOS DE DESIGUALDADES
CON VALOR ABSOLUTO
Resolver │3x -7 │ < 5
solución:
Por propiedades, │3x -7 │ < 5 ===> : -5 < 3x – 7 < 5
• Resolviendo la inecuación de la izquierda:
-5 < 3x – 7
7 - 5 ≤ 3x
2/3 < x
Resolviendo la inecuación de la derecha :
3x – 7 < 5
3x < 5 + 7
x < 4
• Como deben cumplirse ambas inecuaciones, la solución de la
inecuación inicial es x є (2/3,4)

21. EJERCICIOS DE DESIGUALDADES
CON VALOR ABSOLUTO
Resolver │x -5 │ > 3
solución:
Por propiedades,
│x -5 │ > 3 ==> x – 5 > 3 ó x – 5 < -3
• Resolviendo x – 5 > 3 :
x – 5 > 3
x > 8
Resolviendo x – 5 < -3
x – 5 < -3
x < 2
• Como deben cumplirse ambas inecuaciones, la solución de la
inecuación inicial es :
para toda x є ( - ∞,2) U ( 8,+∞ )

22. EJERCICIOS DE DESIGUALDADES
CON VALOR ABSOLUTO
Resolver │3x -1 │ > 2x
solución:
Por propiedades,
│3x - 1 │ > 2x ==> 3x – 1 > 2x ó 3x – 1 < -2x
Resolviendo 3x – 1 > 2x :
3x – 1 > 2x
3x - 2x > 1
x > 1
Resolviendo 3x – 1 < -2x
3x – 1 < -2x
3x + 2x < 1
X < 1/5
Como deben cumplirse ambas inecuaciones, la solución de la inecuación
inicial es :
para toda x є ( - ∞,1/5) U ( 1,+∞ )

23. PROBLEMA PROPUESTO DE DESIGUALDADES
CON VALOR ABSOLUTO
Resolver : │x -2 │ < x + 4