л

1. Лекц4. Хамааралгүй үзэгдлүүдийн туршиглт ба Бернуллийн схем, Пуасоны томьѐо
4.1. Үл хамаарах туршилтуудын дараалал Бернуллын томьёо
Туршилтын дүнд А ба ̅ үзэгдлийн зөвхөн нэг нь явагдах бөгөөд А үзэгдэл p
магадлалтай илэрдэг гэе. Өөрөөр хэлбэл, ( ) ( ̅) ( ). Дээрх
туршилтыг нэгэн ижил нөхцөлд олон дахин давтан хийе. Ийм туршилтуудын дарааллыг
үл хамаарах, санамсаргүй туршилтын дараалал буюу Бернуллын схем гэнэ. Ийм
санамсаргүй туршилтын жишээ амьдрал практикт олон тааралддаг. Тухайлбал,
технологийн нэгэн ижил нөхцөлд үйлдвэрлэж буй бүтээгдэхүүн стандартын шаардлаганд
тохирох, эс тохирох; t хугацааны туршид радио идэвхт бодис задрах, эс задрах; мөнгө
болон шоог олон дахин хаяхад сонирхсон үзэгдэл явагдах, эс явагдах гэх мэт.
Туршилтыг n удаа давтан хийхэд A үзэгдэл яг k удаа явагдах магадлалыг олъѐ. Сонирхож
буй үзэгдлээ , түүний магадлалыг ( )гэе. нь ( ̅̅̅̅̅) туршилтанд А явагдах
үзэгдэл болог. Тэгвэл үзэгдлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
̅ ̅ ̅ ̅ ̅ ( )
n удаа туршилт хийхэд үзэгдэл к удаа явагдах нийт тоо ширхэг байна. Бүх
нэмэгдэхүүнүүд хос хосоороо нийцгүй учир
( ) ( ) ⏟ , буюу
( ) ( ̅̅̅̅̅) томьѐог Бернуллын томьѐо гэнэ.
Жишээ-4.1 A, B хоѐр тоглогч зоос хаяж тоглохоор болжээ. Хэрэв зоосыг 3 хаяхад
сүлдээрээ 2 удаа буувал А тоглогч хожихоор, 4 удаа хаяхад 3 удаа сүлд буувал B тоглогч
хожихоор тохирчээ. Аль тоглогчийн хожих боломж илүү вэ?
Зоосыг ижил нөхцөл дахин давтан хаяж буй тул Бернуллийн схем болно. Сүлдээрээ буух
үзэгдлийг C гэвэл: ( ) ( ̅) ( ) A тоглогчийн хожих магадлал томьѐо
ѐсоор ( ) ( ) ( ) , B тоглогчийг хожих магадлал, ( )
( ) ( ) ( ) ( ) учир А тоглогчийн хожих магадлал давуу байна.
Жишээ-4.2 Нэг хоногийн турш цахилгаан энергийн зарцуулалт өгөгдсөн нормоос
давахгүй байх магадлал . Ойрын 6 хоногийн дөрөвт нь цахилгаан энергийн
зарцуулалт нормоосоо давахгүй байх үзэгдлийн магадлалыг ол.

2. 6 хоног тутамд цахилгаан энерги хэвийн зарцуулах үзэгдлийн магадлал тогтмол
учир хоног тутамд энерги илүү зарцуулах үзэгдлийн магадлал . Иймд
сонирхсон магадлал Бернуллийн томьѐо ѐсоор
( ) ( ) ( )
4.2. Хамгийн их магадлалтай тоо
( ) томъѐонд n- ийг бэхэлбэл ( )нь k-аас хамаарсан функц болно.
Одоо k-ийн ямар утганд ( ) функц максимум утгаа авах вэ?
Өөрөөр хэлбэл ( ) ( ) ( )тоонуудын аль нь хамгий их вэ? гэсэн асуудал тавья.
Тэгвэл -д ойрхон байх тоо нь хамгийн их магадлалтай гэж харуулж болно. Тодорхой
хэлбэл хэрэв бүхэл тоо биш бол
нөхцлийг хангах тоо хамгийн их магадлалтай тоо байна.
нь бүхэл тоо бол гэсэн хоѐр утганд ( )
функц хамгийн их утгаа авна.
Жишээ-4.3 Ажилчин ижил төрлийн 12 машинд үйлчилнэ. Машин 1 цагийн дотор
ажилчны үйлчилгээ шаардах магадлал бол 1 цагийн дотор ажилчнаас үйлчилгээ
шаардах машины хамгийн их магадлалтай тоо ба хамгийн их магадлалыг ол.
Манай учир бүхэл биш .
Иймд (4.2) ѐсоор хамгийн их магадлалтай байна. Бернуллийн томъѐо ѐсоор
( ) ( ) ( )
4.3. Муавр –Лапласын локаль, интеграл томъёо
Бернуллын томъѐог хэрэглэх явцад n ба k-ийн хүрэлцээтэй их ( )
магадлалыг олох шаардлага олонтаа гардаг. Тухайлбал, нэг ижил детал үйлдвэрлэдэг
үйлдврийн бүтээгдэхүүн гологдол байх магадлал 0.02, 500 бэлэн бүтээгдэхүүний дотор 10
гологдол бүтээгдэхүүн байх магадлалыг ол гэсэн бодлогонд уг магадлал ( )
( ) ( ) гэж олдох ба тоог бодоход төвөгтэй байна. Цаашилбал,
500 бүтээгдэхүүний дотор байх гологдлын тоо 10 аас 20-н дотор байх үзэгдлийн
магадлалыг олъѐ ( ) ( ) ( ) ( ) гэж
олно. Өмнөх бодлогоос хэд дахин төвөгтэй байна. Ийм учраас туршилтын тоо n үед

3. ( ) магадлалыг хялбар бөгөөд бага алдаатайгаар ойролцоо бодох аргыг Английн
математикч Муавр, Францын математикч Лаплас нар гаргажээ. n-
( )
√
( ) энд,
√
( )
√
⁄
Томьѐо нь Бернуллын томьѐоны тоо n үеийн үнэлгээ бөгөөд Муавр –Лапласын
локаль томьѐо гэж нэрлэнэ. ( ) функцийн аргументийн эерэг утгуудын таблицыг
зохиосон байдаг. ( ) функц x > 0 үед монотон буурах бөгөөд ( ) ( ) буюу тэгш
функц учир сөрөг утгуудын таблиц нь дээрх таблицтай адил байна. ( ) ба
x > 5 үед ( ) гэж тооцно. Иймд ( ) таблиц үед
эс зохиогдоно. Одоо дээр томъѐолсон бодлогыг бодъѐ.
( )
√
(
√
)
√
( )
( ) ( )
Зарим тохиолдолд n-ийн хүрэлцээтэй их утганд ( ) магадлалыг биш (
) магадлалыг сонирхох шаардлага гардаг. Тэгвэл бидний сонирхсон үзэгдэл
ээс цөөнгүй -оос олонгүй удаа явагдах үзэгдлийн магадлал Маувр- Лапласын
интеграл томьѐогоор үнэлэгдэнэ. n- ийн хүрэлцээтэй их утганд
( ) ( ) ( )
томьѐо хүчинтэй байна үүнд: ( ) ∫ ( )
√
∫
Лапласын функц ( ) нь дараах чанаруудыг хангана.
1. ( ) сондгой функц ( ) ( )
2 ( ) өснө. Функцийн графикийг зурагт
харуулсан байгаа. y
( )

4. 3 ( ) – үед
( ) байна. ( ) ]
( )
( ) (
√
) (
√
) ( ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ( )
Жишээ-4.4: Заводын үйлдвэрлэсэн гэрлийн шил гологдол байх магадлал 0.02, 1000
гэрлийн шилийг шалгахаар сонгон авчээ.
Түүвэр дэх гологдсон шилний харьцангуй давтамж нь магадлалаасаа 0,01- ээс багаар
ялгагдах магадлалыг үнэл. Түүвэр дэх гологдол шилний тоог
| |
(| | )
( )
√
( )
( ) ( )
4.4. Пауссоны томьёо
Өмнөх зүйлийн санамжид дурдсан ѐсоор, тухайн туршилт бүрт А үзэгдлийн
явагдах магадлал p харьцангүй бага үед ( ийм үзэгдлийг ховор үзэгдэл гэнэ.) Муавр-
Лапласын томьѐоны нарийвчлал буурна. Ийм учраас энэ тохиолдолд А үзэгдэл к удаа
явагдах магадлал Пуассоны хязгаарын томьѐогоор үнэлэгдэнэ. Бернуллын схемийн
нөхцөлд бөгөөд хэмжигдэхүүн тогтмол ( ) бол дараах томьѐо
хүчинтэй байна.
( ) томьѐоны нарийвчлал | ( ) | тэнцэтгэл бишээр үнэлэгдэнэ.
Пуассоны томьѐоны гайхамшигтай чанар нь: тодорхой тооны туршилтын магадлалыг
олохын тулд n ба p тоог мэдэх шаардлагагүй бөгөөд харин нийт туршилтанд А үзэгдлийн
явагдах дундаж тоо болох тоог мэдэхэд хангалттай байдагт оршино.

5. Пуассоны томьѐоны ( ) функцийн таблицыг йн утгуудад зохиосон
байдаг.
Жишээ-4.5: Зуурсан гуриланд тодохрой тооны үзэм хийж хольсны дараа тэнцүү хэсгүүдэд
хэрчиж үзэмтэй талх хийнэ. Нийт талхны тоо N, бүх үзэмний тоо n бол таамгаар сонгон
авсан нэг талханд яг k үзэм байх магадлалыг үнэл.
n ширхэг үзэм гуриланд холихыг, үзэм тус бүрийг гуриланд хаях замаар туршилтыг n удаа
хийсэн гэж үзэж болно. Бидний сонгон авсан талханд үзэм орсон байх үзэгдлийг А гэе.
Бүх талхны тоо N, үзмээ гуриланд хийгээд хольж байгаа учир үзэм бүр нэгэн ижил
магадлалтайгаар аль ч талханд орж болно. Иймд А үзэгдлийн магадлал , Үйлдвэрлэх
талхны тоо N олон p-учраас магадлал бага тоо байна. Харин нь -тэй тэнцүү
бөгөөд 1 талханд орох үзэмний дундаж тоо болно. Сонирхсон магадлал ( )
томъѐогоор бодогдох бөгөөд тохиодолд зарим утгуудыг олбол
(0) (1) 0.003 (2) 0.011
(3) 0.029 (4) 0.057 (5) 0.092
(6) 0.012 (7) 0.139 (8) 0.139
гэх мэтчилэн бодоход 14 үед ( ) 0,001 болно.
Эндээс үзвэл нийт N талхны дунджаар 0,31% нь 1 үзэм, 1,1% нь 2 үзэм, 2,9% нь 3 үзэм гэх
мэт тус тус агуулж байна.
Жишээ4.6. Утасны станц 400 хэрэглэгчид үйлчилнэ. Хэрэглэгч бүр 1 цагийн туршид
станц уруу утасдах магадлал 0,01. Цагийн дотор 5 хэрэглэгч уг станц уруу утасдах
магадлалыг ол.
Манай тохиодолд p=0.01 n=400 учир Пуассоны томъѐог хэрэглэж болно.
( ) хэрэв 1 цагийн дотор 4-өөс олонгүй
хэрэглэгч утасдах магадлалыг ольѐ гэвэл ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
болно.