Aplicación de ecuaciones diferenciales

1. INSTITUTO SUPERIOR NUEVA LUZ
TECNICO EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA
CURSO:
DIDACTICA DE LA ENSEÑANZA DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES II
TALLER 1
PRENSENTADO POR:
ANGEL GARCIA
FACILITADOR:
BRÍGIDO GONZÁLEZ
AÑO
2014

2. CLASE MODELO
Didáctica de las ecuaciones diferenciales
Objetivo: Aplicar el método de separación de
variables de las ecuaciones diferenciales para
resolver problemas del entorno

3. MÉTODO DE SEPARACIÓN DE VARIABLES
 Ecuaciones diferenciales de Primer
Orden, Separación de Variables.
Dada una ecuación diferencial:
푀 푥, 푦 푑푥 + 푁 푥, 푦 푑푦 = 0
Si la ecuación diferencial se puede colocar de
la forma:
푀 푥 푑푥 + 푁 푦 푑푦 = 0
Es de variables separables, y la solución está
dada por la integral directa.

4. EJEMPLO
La ciudad tenía una población de 60 000
habitantes en 1960 y una población 65 000
habitantes en 1970 suponiendo que su población
continúe creciendo exponencialmente con un
índice constante ¿Qué población esperara los
urbanistas que tenga en el año 2014?. Sabiendo
que la ecuación de crecimiento poblacional esta
dada por:
dx
dt
= KX

5. EL CRECIMIENTO POBLACIONAL O CRECIMIENTO
DEMOGRÁFICO
Es el cambio en la población en un cierto plazo, y
puede ser cuantificado como el cambio en el
número de individuos en una población por
unidad de tiempo para su medición. El término
crecimiento demográfico puede referirse
técnicamente a cualquier especie, pero refiere
casi siempre a seres humanos, y es de uso
frecuentemente informal para el término
demográfico más específico tarifa del crecimiento
poblacional, y es de uso frecuente referirse
específicamente al crecimiento de la población del
mundo

6. SOLUCIÓN
Separando variables:
푑푥
푥
= 퐾푑푡
ln 푥 = 퐾푡 + 푐 integrando ambos lados
Aplicando propiedades de logaritmos que daría de esta
forma:
x = ceKt
Se toma to en 1960 de tal modo que:
60 000=x(0)
Sustituyendo se obtiene
60 000=ceKt 0 퐶 = 60 000

7. La ecuación seria de la siguiente forma: x = 60 000eKt
De 1960 a 1970 han transcurrido 10 años y la población ha aumentado
a 65 000 habitantes
X(10)=60 000
ퟔퟎ ퟎퟎퟎ = ퟔퟓ ퟎퟎퟎ풆풌(ퟏퟎ) ↔
ퟏퟑ
ퟏퟐ
= 풆풌(ퟏퟎ) ↔ 풍풏 ퟏퟑ/ퟏퟐ = ퟏퟎ푲,
K=
풍풏 ퟏퟑ/ퟏퟐ
ퟏퟎ
≈
ퟎ, ퟎퟎퟖퟎퟎퟒퟐ
Al sustituir se obtiene la formula que nos permite calcular el tamaño de la
población en función del tiempo donde 퐱 = ퟔퟎ ퟎퟎퟎ풆ퟎ,ퟎퟎퟖퟎퟎퟒퟐ 풕
Del año 1960al año 2014 han transcurrido 54 años, entonces esa población
actualmente tiene:
풙 ퟓퟒ = ퟔퟎ ퟎퟎퟎ풆ퟎ.ퟎퟎퟖퟎퟎퟒퟐ(ퟓퟒ) ≈ 풙 ퟓퟒ = ퟗퟐ ퟒퟒퟏ 풑풆풓풔풐풏풂풔
Se tiene que actualmente la cuidad de Santiago posee una población de
ퟗퟐ ퟒퟒퟒퟏ habitantes

8. Problemas propuestos
Si una reservación africana puede mantener una manada de elefantes
máxima de 600 y actualmente tiene una manada de 250, que crece
exponencialmente a 12% al año, halle el tamaño de la manada dentro de 8
años.
SOLUCION:
Estableciendo:
M: el tamaño de la población máxima
y: el tamaño normal de la población
k: la razón de crecimiento
Encuentra el intervalo entre el momento de la muerte y el instante en que se
descubre el cadáver, si la temperatura del cadáver en el momento que lo
encontraron es de 85F y dos horas mas tarde ha bajado 74 F además la
temperatura del ambiente permanece constante a 32F.
T : temperatura del cadáver en el tiempo t
푇푚= 32 F: temperatura ambiente
푘 > 0: 푐표푛푠푡푎푛푡푒 푑푒 푝푟표푝표푟푐푖표푛푎푙푖푑푎푑
풅푻
풅풕
= 푲(푻 − 푻풎)

9. GRACIA
S