Anillos y subanillos: Introducción a la teoría general

CUADERNOS DE ÁLGEBRA
No. 2
Anillos
Oswaldo Lezama
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional de Colombia
Sede de Bogotá
30 de mayo de 2013

ii
Cuaderno dedicado a Lukas, mi hijo.

Contenido
Prólogo v
1. Anillos y subanillos 1
1.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Subanillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Ideales 12
2.1. Definición y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2. Operaciones con ideales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3. Anillo cociente y homomorfismos 25
3.1. Definiciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4. Producto de anillos 36
4.1. Definición y propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.2. Teorema chino de residuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5. Ideales primos y maximales 41
5.2. Comportamiento a través de homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . 44
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6. Dominios de integridad 49
6.2. Dominios gaussianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
iii

iv CONTENIDO
7. Anillos de fracciones: caso conmutativo 58
7.1. Construcci´on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
7.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
8. Polinomios y series 67
8.1. El anillo de series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
8.2. El anillo de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
8.3. Propiedades elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
8.4. Teorema de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
8.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Bibliograf´ıa 83

Prólogo
La colección Cuadernos de álgebra consta de 10 publicaciones sobre los principales
temas de esta rama de las matemáticas, y pretende servir de material para preparar
los exámenes de admisión y de candidatura de los programas colombianos de doc-torado
en matemáticas. Los primeros cinco cuadernos cubren el material básico de
los cursos de estructuras algebraicas y álgebra lineal de los programas de maestr´ıa;
los cinco cuadernos siguientes contienen algunos de los principales temas de los
exámenes de candidatura, a saber: anillos y módulos, categor´ıas, álgebra homológi-ca,
álgebra conmutativa y geometr´ıa algebraica. Cada cuaderno es fruto de las clases
dictadas por el autor en la Universidad Nacional de Colombia en los últimos 25 años,
y están basados en las fuentes bibliográficas consignadas en cada uno de ellos, como
también en el libro Anillos, Módulos y Categor´ıas, publicado por la Facultad de
Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia, y cuya edición está totalmente
agotada (véase [12]). Un material similar al presentado en estas diez publicaciones
es el libro de Serge Lang, Algebra, cuya tercera edición revisada ha sido publicada
por Springer en el 2004 (véase [10]). Posiblemente el valor de los Cuadernos de álge-bra
sea su presentación más ordenada y didáctica, as´ı como la inclusión de muchas
pruebas omitidas en la literatura y suficientes ejemplos que ilustran la teor´ıa. Los
cuadernos son:
1. Grupos 6. Anillos y módulos
2. Anillos 7. Categor´ıas
3. Módulos 8. Álgebra homológica
4. Álgebra lineal 9. Álgebra conmutativa
5. Cuerpos 10. Geometr´ıa algebraica
Los cuadernos están dividido en cap´ıtulos, los cuales a su vez se dividen en
secciones. Para cada cap´ıtulo se añade al final una lista de ejercicios que deber´ıa ser
complementada por los lectores con las amplias listas de problemas que inluyen las
principales monograf´ıas relacionadas con el respectivo tema.
Cuaderno de anillos. El presente cuaderno da una introducción a la teor´ıa
general de anillos. Los anillos, junto con los grupos, son posiblemente los objetos
algebraicos más importantes. En efecto, la teor´ıa general de anillos es el lenguaje
fundamental para la mayor´ıa de las corrientes contemporáneas del álgebra, entre
v

vi PRÓLOGO
las cuales podemos mencionar la teor´ıa algebraica de números, la teor´ıa de repre-sentaci
ón de grupos y álgebras, el álgebra homológica y el álgebra conmutativa con
sus aplicaciones. Estudiaremos en este cuaderno los conceptos y propiedades básicas
de los anillos; este estudio comprende tres partes fundamentales: en primer lugar, se
introducen las nociones de anillo, subanillo, ideal, anillo cociente y homomorfismo,
las cuales se relacionan estructuralmente por medio de los teoremas de homomorfis-mo,
isomorfismo y correspondencia. En segundo lugar, se realizan las construcciones
clásicas de un anillo a partir de otro dado, como por ejemplo, los anillos de matrices,
los anillos de polinomios y los anillos de fracciones (incluido el proceso de localización
por ideales primos). La tercera parte consiste en un estudio introductorio de los tres
tipos de dominios de integridad más importantes, a saber: los dominios euclidianos,
los dominios de ideales principales y los dominios de factorización única. Estas tres
partes se conjugan en el teorema de Gauss el cual establece que el anillo de poli-nomios
R[x] es un dominio de factorización única, si y sólo si, R es un domio de
factorización única.
Los anillos aqu´ı considerados son asociativos, con unidad, pero no necesariamente
conmutativos. Salvo que se advierta lo contrario, un anillo arbitrario será denotado
con la letra A, un anillo conmutativo por R y un dominio de integridad mediante la
letra D.
Para una mejor comprensión de los temas tratados en el presente cuaderno asu-mimos
que el lector está familiarizado con las nociones básicas de la teor´ıa de grupos
y el álgebra lineal elemental (véanse por ejemplo [10] y [13]).
El autor desea expresar su agradecimiento a Sandra Patricia Barragán Moreno,
colega y amiga, por la digitalización del material del presente cuaderno, y a Clau-dia
Milena Gallego Joya, disc´ıpula y amiga, por la revisión cuidadosa de todo el
contenido.
Oswaldo Lezama
Departamento de Matemáticas
Universidad Nacional de Colombia
Bogotá, Colombia
jolezamas@unal.edu.co

Cap´ıtulo 1
Anillos y subanillos
Posiblemente junto con los grupos y los espacios vectoriales, los anillos son los obje-tos
algebraicos más importantes. En este cap´ıtulo presentamos su definición, como
también algunos de los ejemplos más conocidos de tal estructura.
1.1. Definición y ejemplos
Definición 1.1.1. Sea A un conjunto no vac´ıo. Se dice que A tiene estructura de
anillo, o simplemente que A es un anillo, si en A han sido definidas dos operaciones
binarias internas notadas + y · tales que:
(i) (A, +) es un grupo abeliano.
(ii) (A, ·) es un semigrupo con elemento identidad 1.
(iii) La multiplicación es distributiva con respecto a la adición, es decir,
a · (b + c) = a · b + a · c
(b + c) · d = b · d + c · d

8a, b, c, d 2 A.
Si además la multiplicación es conmutativa, es decir,
a · b = b · a , 8a, b 2 A,
se dice entonces que (A,+, ·) es un anillo conmutativo.
Observación 1.1.2. En adelante A denotará un anillo no necesariamente conmuta-tivo,
R un anillo conmutativo, 0 el elemento nulo de la adición, también denominado
el cero de A, −a el opuesto aditivo de a 2 A. Salvo en casos necesarios, omitire-mos
el punto de la multiplicación. El elemento identidad 1 también se denomina el
uno de A.
1

2 CAPÍTULO 1. ANILLOS Y SUBANILLOS
Los siguientes ejemplos ponen de manifiesto la gran variedad de anillos (conmu-tativos
y no conmutativos) que podemos encontrar.
Ejemplo 1.1.3. Anillos numéricos: los números enteros Z, los racionales Q,
los reales R y los complejos C, con sus operaciones habituales de adición y multi-plicaci
ón, constituyen ejemplos de anillos. Los denotaremos por (Z,+, ·), (Q,+, ·),
(R,+, ·) y (C,+, ·).
Ejemplo 1.1.4. Anillo de endomorfismos de un grupo abeliano: dado un
grupo abeliano (G, +), denotamos por End (G) a su conjunto de endomorfismos:
End (G) := {f : G −! G|f (a + b) = f (a) + f (b)}.
Consideremos en End (G) las siguientes operaciones:
Adición: f, g 2 End (G)
f + g : G −! G
a7−! (f + g) (a) := f (a) + g (a) .
Multiplicación: f, g 2 End (G)
f g : G −! G
a7−! (f g) (a) := f (g (a))
Es fácil comprobar que End (G) bajo estas operaciones constituye un anillo en el
cual su elemento nulo es el endomorfismo nulo,
0 : G −! G
a7−! 0
,
y su elemento identidad es la función idéntica de G,
iG : G −! G
a7−! a
El siguiente ejemplo muestra que en general End (G) no es conmutativo. Basta
considerar el grupo V definido por
V := {e, a, b, ab} , a2 = b2 = e, ab = ba
y las funciones
G
f
−! G
e7−! e
a7−! a
b7−! ab
ab7−! b
G
g
−! G
e7−! e
a7−! b
b7−! a
ab7−! ab

1.1. DEFINICI ÓN Y EJEMPLOS 3
que resultan ser endomorfismos para los cuales se tiene f g6= g f.
Ejemplo 1.1.5. Anillo de matrices de orden n 1 sobre un anillo A:
denotaremos por Mn (A) al conjunto de todas las matrices cuadradas de tamaño
n × n, n 1, con elementos en un anillo A,
Mn (A) := {A = [aij ]|aij 2 A, 1 i, j n}.
Definimos en Mn (A) la adición y multiplicación de la manera habitual: dadas H =
[hij ] y B = [bij ] en Mn (A), se define
H + B = C = [cij ], donde cij := hij + bij ,
PHB = D = [dij ], donde dij :=
n
k=1 hikbkj .
Notemos que tanto la suma hij + bij como el producto hikbkj son operaciones en A.
Veamos que (Mn (A) ,+, ·) es un anillo. La asociatividad de la adición de matrices
se deduce de la propiedad asociativa de la adición en A. El elemento neutro para
la adición en Mn (A) es la matriz nula notada por 0 y definida por 0 = [oij ] donde
oij := 0 para cada 1 i, j n , es decir, los elementos de la matriz nula son todos
iguales al cero en el anillo A. Cada matriz H = [hij ] tiene su opuesta aditiva denotada
por −H y definida por −H := [−hij ], donde −hij es el opuesto del elemento hij en
A. La conmutatividad de la adición de matrices se deduce de la conmutatividad de
la adición en A. Demostraremos que la multiplicación de matrices es una operación
asociativa, es decir, dadas H = [hij ], B = [bij ], C = [cij ] 2 Mn (A) se cumple que
(HB)C = H (BC). En efecto, sea D = [dij ] = HB y F = [fij ] = DC, entonces
fij =
Xn
k=1
dikckj =
Xn
k=1
(
Xn
m=1
himbmk)ckj =
Xn
k=1
Xn
m=1
(himbmk)ckj
=
Xn
m=1
Xn
k=1
him(bmkckj) =
Xn
m=1
Xn
him(
k=1
bmkckj).
La suma del último paréntesis representa el término (m, j) de la matriz BC, y la
suma
Xn
m=1
Xn
him(
k=1
bmkckj)
representa el término (i, j) de la matriz H (BC), lo cual demuestra la igualdad de
las matrices (HB)C = H (BC). La matriz denotada por E := [eij ], donde eij := 1
si i = j, y eij := 0 si i6= j, es el elemento identidad para la multiplicación en
Mn (A) y se conoce como la matriz idéntica. Las propiedades distributivas de
la multiplicación respecto a la adición en Mn (A) se deducen de las respectivas
propiedades distributivas en el anillo A. El anillo Mn (A) es no conmutativo salvo
cuando A es un anillo conmutativo y n = 1.

Ejemplo 1.1.6. Aplicaciones de un conjunto no vac´ıo en un anillo: sea
(A,+, ·, 1) un anillo y sea X un conjunto no vac´ıo cualquiera. Denotemos por AX
el conjunto de todas las funciones con dominio X y codominio A. Las operaciones
siguientes dan a AX estructura de anillo: sean f : X −! A, g : X −! A funciones
de X en A; entonces se definen:
Adición:
f + g : X −! A
x7−! (f + g) (x) := f(x) + g(x).
Multiplicación:
f · g : X −! A
x7−! (f · g) (x) := f(x) · g(x).
El cero de AX es la función denotada por 0 y que asigna a cada elemento de X el
cero del anillo A; el elemento identidad denotado por 1 es la función que asigna a
cada elemento de X el 1 del anillo A. Notemos que AX es conmutativo si, y sólo si, A
es un anillo conmutativo. Cuando X = N y A = R, RN es el anillo de sucesiones
reales.
Ejemplo 1.1.7. Anillo de los enteros módulo n 2: consideremos
el grupo

abeliano (Zn, +) de enteros módulo n, donde Zn = Z/ hni :=
0, 1, 2, . . . n − 1
.
En Zn se define la multiplicación de clases por
rs := rs, r, s 2 Z,
es decir, en términos del producto del anillo Z; esta operación está bien definida, pues
si r = r0 y s = s0, entonces rs = r0s0. Es inmediato que (Zn, ·, 1) es un semigrupo con
elemento identidad 1. La distributividad de la multiplicación respecto de la adición
en Zn es consecuencia directa de la distributividad de la multiplicación respecto
de la adición en el anillo Z; lo mismo podemos decir para la conmutatividad de la
multiplicación. As´ı, (Zn,+, ·) es un anillo conmutativo. Si n = 0, entonces
Z0 = Z/ h0i = {r = {r} |r 2 Z}
y podemos considerar
que Z0 es el mismo anillo Z; cuando n = 1, entonces Z1 =
Z/ h1i = Z/Z =
0

. En este último caso el anillo Z1 consta de un solo elemento:
la clase cero. Obsérvese que en este anillo el elemento neutro de la adición coincide
con el elemento identidad de la multiplicación.
Observación 1.1.8. Un anillo A se dice que es trivial, o también que es nulo, si
posee un solo elemento. Una condición necesaria y suficiente para que un anillo sea
trivial es que su elemento nulo coincida con su elemento identidad. En adelante, si
no se advierte lo contrario, la palabra anillo indicará anillo no nulo.

Definición 1.1.9. Sea A un anillo, y sea a 2 A. Se dice que a es un elemento
invertible del anillo A, si existe en A un elemento (único) denotado por a−1 tal
que aa−1 = 1 = a−1a. El conjunto de todos los elementos invertibles de un anillo A
se denota A, es decir, A := {a 2 A|a es invertible}.
Proposición 1.1.10. Si (A,+, ·) es un anillo, (A, ·) es un grupo, denominado el
grupo multiplicativo del anillo A, o también, el grupo de los elementos
invertibles de A.
Demostración. Se deja como ejercicio al lector.
Definición 1.1.11. Sea A un anillo no nulo. Se dice que A es un anillo de di-visi
ón, si todos los elementos no nulos de A son invertibles, es decir, si A =
A − {0}. Un cuerpo es un anillo de división conmutativo.
Ejemplo 1.1.12. Para los anillos considerados en los ejemplos anteriores se tiene
lo siguiente:
(i) Grupos multiplicativos:
Z = {1,−1}; Q = Q−{0}; R = R−{0};
C = C−{0}; Z
n = {x|m.c.d.(x, n) = 1} ;
End (G) = Aut (G) := grupo de automorfismos de G;
Mn (A) = GLn (A) := grupo lineal de orden n sobre A;
AX

= {f : X −! A|f (X) A}.
(ii) Anillos de la parte (i) que son cuerpos.
(a) Z no es un cuerpo.
(b) Q es cuerpo.
(c) R es cuerpo.
(d) C es cuerpo.
(e) Zn es cuerpo si, y sólo si, n es un número primo.
(f) End (G) no es cuerpo por no ser conmutativo, en general, tampoco es un
anillo de división, pues por ejemplo para el grupo abeliano Z la función
h : Z −! Z definida por h (k) = 2k es un elemento de End (Z), h6= 0,
pero h /2 Aut (G).
(g) Mn (A) no es un cuerpo por no ser conmutativo; tampoco es anillo de
división a menos que A lo sea y n = 1.
(h) Si |X| 2, AX no es un anillo de división.

Si (A,+, ·) es un anillo podemos utilizar todas las propiedades del grupo aditivo
(A, +) y las del semigrupo (A, ·). En particular utilizaremos la potenciación de este
último. Sea a un elemento de A, definimos inductivamente las potencias enteras de
a como sigue:
a1 := a, an := an−1a, n 2.
Para a6= 0, a0 := 1 .
Para a 2 A, a−n := (a−1)n n 1.
Recordemos además cómo se definen los múltiplos enteros en el grupo (A, +):
1 · a := a,
k · a := (k − 1) a + a, k 2,
0 · a := 0
(−k) · a := −(ka)

8a 2 A, 8k 2 Z+.
Proposición 1.1.13. Dado (A,+, ·, 1) un anillo y a, b, c elementos cualesquiera de
A, entonces
(i) a · 0 = 0.
(ii) a (−b) = (−a) b = −(ab).
(iii) (−a) (−b) = ab.
(iv) a (b − c) = ab − ac.
(v) (b − c) a = ba − ca.
(vi) Si m y n son enteros 1, entonces
(an)m = amn.
(vii) Si A = R es conmutativo, entonces para cada n 1.
(ab)n = anbn.
Demostración. Ejercicio para el lector.
Existen anillos en los cuales el producto de elementos no nulos es nulo. As´ı por
ejemplo, en Z6, 2 · 3 = 0 con 26= 0 y 36= 0.
Definición 1.1.14. Se dice que un anillo A es un anillo sin divisores de cero,
si para cualesquiera elementos a, b 2 A se cumple
ab = 0 , a = 0, o, b = 0.

1.2. SUBANILLOS 7
El elemento a 2 A es un divisor de cero a la derecha si existe b6= 0, b 2 A,
tal que ba = 0. De manera análoga se definen los divisores de cero a izquierda. Un
anillo sin divisores de cero se denomina dominio, si además es conmutativo se
conoce como dominio de integridad (DI).
Definición 1.1.15. Sea A un anillo no nulo. Se dice que A cumple la ley cance-lativa
a derecha, si para cualesquiera b, c 2 A y cualquier a6= 0 en A se cumple
ba = ca , b = c
De manera análoga se define la ley cancelativa a izquierda.
Proposición 1.1.16. Sea A un anillo.
(i) A es un dominio si, y sólo si, A cumple las dos propiedades cancelativas.
(ii) Todo anillo de división es un dominio.
(iii) Todo dominio finito es un anillo de división.
(iv) Zn es dominio de integridad si, y sólo si, n es primo.
Demostración. Las dos primeras propiedades son evidentes.
(iii) Sea D un dominio finito. Veamos que D = D−{0}. Puesto que D es finito,
D está constituido por n elementos distintos, a1, a2,. . . , an. Dado a no nulo en D se
puede afirmar que los siguientes elementos de D son distintos: a1 · a, a2 · a,. . . , an · a,
pues, si ai · a = aj · a para i6= j, entonces (ai − aj) · a = 0 y como D es un dominio,
se tendrá que ai = aj . Entonces, todo elemento de D debe ser de la forma ai · a para
algún ai; en particular 1 = ai · a para algún ai y as´ı a tiene inverso a izquierda. De
manera similar se prueba que a tiene inverso a derecha, luego a 2 D.
(iv) Consecuencia de (i) y (ii).
1.2. Subanillos
Definición 1.2.1. Dado (A,+, ·, 1) un anillo y S A, S6= ;, se dice que S es
subanillo de A, si (S,+, ·, 1) tiene estructura de anillo. Un subanillo S de A tal
que S6= A se denomina subanillo propio de A.
Es fácil comprobar que S es subanillo de A si 1 2 S, y para cualesquiera a, b 2 S,
se cumple que a−b, ab 2 S. El anillo A tiene como subanillo trivial al mismo anillo
A.
Ejemplo 1.2.2. (a) Z no tiene subanillos propios.
(b) Z es subanillo propio de Q, R y C.

(c) Q es un subanillo propio de R y C.
(d) R es subanillo propio de C.
Ejemplo 1.2.3. Sean End (G) el anillo de endomorfismos de un grupo abeliano G y
H un subgrupo de G. El conjunto S de endomorfismos f de G tales que f(H) H,
es un subanillo de End (G).
Ejemplo 1.2.4. Sea Mn (A) el anillo de matrices de orden n sobre un anillo A; si
denotamos por D(A) al conjunto de las matrices diagonales en Mn (A), es decir,
D(A) := {D = [dij ] 2 Mn (A) |dij = 0, para i6= j},
entonces D(A) es un subanillo de Mn (A). El grupo de elementos invertibles del
anillo D(A) se denota por Dn(A).
Ejemplo 1.2.5. Dado un anillo cualquiera, el conjunto C (A) de elementos de A
que conmutan (respecto al producto) con todos los elementos de A, es decir,
C (A) := {a 2 A|ab = ba, para todo b 2 A}
es un subanillo de A y se denomina el centro de A. Nótese que A es conmutativo
si, y sólo si, C (A) = A.
Ejemplo 1.2.6. Sea AX el anillo de funciones del conjunto X en el anillo A, y sea
S un subanillo de A. Entonces S0 := {f 2 A|f (X) S} es un subanillo de AX.
Ejemplo 1.2.7. Los cuaterniones de Hamilton: consideremos en el anillo de
las matrices de orden 2 sobre el cuerpo de los números complejos el subconjunto
H :=

z w
−w z

|z,w 2 C

M2 (C),
donde z = a − bi denota el conjugado del complejo z = a + bi, a, b 2 R. H es un
subanillo de M2 (C):

z1 w1
−w1 z1

−

z2 w2
−w2 z2

=

z1 − z2 w1 − w2
−w1 − w2 z1 − z2

2 H,

z1 w1
−w1 z1

z2 w2
−w2 z2

=

z1z2 − w1w2 z1w2 + w1z2
−z1w2 + w1z2 z1z2 − w1w2

,

1 0
0 1

2 H.
Nótese que H no es conmutativo:

1.2. SUBANILLOS 9

i 0
0 −i

0 i
i 0

6=

0 i
i 0

i 0
0 −i

.
Cada elemento no nulo de H es invertible y su inverso está en H, con lo cual H
resulta ser anillo de división. En efecto, sea
A =

z w
−w z

, z = a1 + b1i, w = a2 + b2i
una matriz no nula en H. Entonces, al menos uno de los números reales a1, b1, a2,
b2 es no nulo. Esto hace que el determinante de la matriz A sea no nulo:
d = detA = a21
+ b21
+ a22
+ b22
6= 0.
A−1 =
z
d
−w
d
w
d
z
d

2 H.
Ejemplo 1.2.8. Dominio de enteros gaussianos: el anillo de los enteros es
un ejemplo de dominio de integridad que no es un cuerpo. Presentamos aqu´ı otro
ejemplo. El conjunto Z[i] de los números complejos definido por
Z[i] := {a + bi|a, b 2 Z}
es un subanillo de C; por tal razón Z[i] es conmutativo y no posee divisores de cero.
Sin embargo, Z[i] no es cuerpo ya que 2 2 Z[i], pero 2−1 = 1
2 /2 Z[i].
Ejemplo 1.2.9. Si A es un anillo, es claro que la intersección de cualquier colección
no vac´ıa de subanillos de A es un subanillo de A. Sea a 2 A. La intersección de
todos los subanillos de A que contienen a se denomina subanillo generado por
a, el cual denotamos por Z[a], y es el subanillo más pequeño de A que contiene a
a. Queremos presentar los elementos de Z[a] de una manera expl´ıcita. Supongamos
inicialmente que a6= 0. Puesto que 0, 1 2 Z[a], entonces en el grupo (Z[a],+, 0) se
tiene
k · 1 = |1 + 1 +{z· · · + 1}
k-veces
:= k 2 Z[a]
0 · 1 = 0 := 0 2 Z[a]; 0 2 Z
(−k) · 1 = −(k · 1) := −k 2 Z[a]
9=
;
k 2 Z+, 1, 0 2 A. (1.2.1)
Además, como las potencias enteras no negativas de a están en Z[a], entonces estarán
las combinaciones enteras de estas potencias, es decir, el conjunto
S := {
Pn
i=0 kiai|ki 2 Z, n 1} Z[a].
De otra parte, S es un subanillo de A que contiene a. En efecto, la suma de dos
elementos de S está en S, 1 = 1 · 1 2 S, y la propiedad distributiva en A junto con
la relación

(kiai) (kjaj) = kikjai+j
da que el producto de dos elementos de S está en S. Obviamente a 2 S. De lo
anterior se desprende que
Xn
Z[a] = {
i=0
kiai|ki 2 Z, n 1}, a6= 0, (1.2.2)
Z[0] = Z[1] = {k · 1 = k|k 2 Z} . (1.2.3)
y se denomina subanillo primo de A.
Ejemplo 1.2.10. El ejemplo anterior puede ser ampliado a dos o más elementos
a1, . . . , an de tal forma que Z[a1, . . . , an] es el menor subanillo de A que contiene
a los elementos a1, . . . , an, y consta de todas las sumas finitas con sumandos de la
forma
kai11
1 ai12
2 · · · ai1n
n ai21
1 ai22
2 · · · ai2n
n · · · air1
1 air2
2 · · · airn
n ,
con k 2 Z, r 1 e iuv 0. Notemos que los elementos a1, . . . , an no necesariamente
conmutan ya que A no es conmutativo.
De otra parte, si B es un subanillo de A y a1, . . . , an 2 A, entonces pode-mos
repetir las ideas expuestas anteriormente y construir el menor subanillo de
A que contenga al subanillo B y a los elementos a1, . . . , an; este anillo se denota por
B[a1, . . . , an] y consta de todas las sumas finitas con sumandos de la forma
k1ai11
1 ai12
2 · · · ai1n
n k2ai21
1 ai22
2 · · · ai2n
n · · · krair1
1 air2
2 · · · airn
n ,
con kj 2 B, 1 j r. Este subanillo se denomina el subanillo de A generado
por B y a1, . . . , an. Notemos que si kai = aik y aiaj = ajai, para 1 i, j n y
todo k 2 B, entonces cada elemento de B[a1, . . . , an] es una suma finita de sumandos
de la forma kai1
1 ai2
2 · · · ain
n , con k 2 B e iu 0, es decir, expresiones polinómicas en
a1, . . . , an con coeficientes en B.
1.3. Ejercicios
1. Demuestre la proposición 1.1.10.
2. Demuestre que Zn es cuerpo, si y sólo si, n es un número primo.
3. Sea A un anillo. Demustre que si |X| 2, entonces AX no es un anillo de
división.

1.3. EJERCICIOS 11
5. Sean X un conjunto cualquiera y 2X su conjunto de partes. Sea la diferencia
simétrica de conjuntos y la intersección. Demuestre que (2X ,,) es un
anillo conmutativo.
6. Sea
p
−3] :=
Q[

a + b

,
p
−3 | a, b 2 Q
donde Q es el anillo de los números racionales. Considérense en Q[
p
−3] las
operaciones habituales de p
suma y multiplicación de complejos. Demuestre que
bajo estas operaciones Q[
−3] es un cuerpo.
7. Si R es un anillo conmutativo, demuestre que para cada n 1
(a + b)n =
Xn
k=0

n
k

akbn−k,

n
k

=
n!
(n − k)!k!
, a, b 2 R.
8. Sea p 2 Z no nulo. Demuestre que
Qp := { a
pk |a 2 Z, k 0}
es un subanillo de Q y coincide con Z[ 1
p ].
9. Sean (A,+, ·, 1) un anillo y Q el anillo de endomorfismos del grupo abeliano
(A, +). Para cada x 2 A se define la función
fx : A −! A
a7−! xa
Compruebe que para cada x 2 A, fx 2 Q. Si F := {fx | x 2 A}, pruebe además
que F es un subanillo de Q isomorfo a A (véase el cap´ıtulo 3).
10. Calcule el centro del anillo de cuaterniones.
11. Sea A un anillo y n 2. Calcule el centro del anillo de matrices Mn(A).
12. Sean X un conjunto no vac´ıo, A un anillo y f : X ! A una función biyectiva.
Demuestre que las siguientes operaciones convierten a X en un anillo:
x + y := f−1(f(x) + f(y)), xy := f−1(f(x)f(y)).
13. Sea A un anillo que satisface la siguiente condición: dado a 2 A no nulo existe
un único b 2 A tal que aba = a. Demuestre que:
(i) bab = b.
(ii) A es un anillo de división.

Cap´ıtulo 2
Ideales
En teor´ıa de anillos se tiene un concepto correspondiente al de subgrupo normal de
la teor´ıa de grupos, y es el de ideal bilátero. Con ideales biláteros se construyen los
anillos cociente de manera similar a como se hace en grupos con subgrupos normales.
La definición y las operaciones entre ideales son presentadas en este cap´ıtulo.
2.1. Definición y ejemplos
Definición 2.1.1. Dados A un anillo e I un subconjunto no vac´ıo de A, se dice
que:
(i) I es un ideal izquierdo de A, si x − y 2 I para todo x, y 2 I, y además
ax 2 I para todo a 2 A y todo x 2 I.
(ii) I es un ideal derecho de A, si x−y 2 I para todo x, y 2 I, y además xa 2 I
para todo x 2 I y todo a 2 A.
(iii) I es un ideal bilátero de A, si I es un ideal izquierdo y derecho de A.
Observación 2.1.2. (i) En un anillo conmutativo R los conceptos anteriores coin-ciden
y diremos simplemente que I es un ideal de R.
(ii) En un anillo A, tanto A como el conjunto 0 := {0} son ideales biláteros de
A, denominados los ideales biláteros triviales del anillo A.
Proposición 2.1.3. Sea A un anillo e I un ideal derecho (izquierdo, bilátero) que
contiene un elemento invertible de A, entonces I = A.
Demostración. Sea x 2 A I, entonces xx−1 = 1 2 I; de aqu´ı se obtiene que para
todo y 2 A, 1y = y 2 I, es decir, A I y por lo tanto I = A.
12

Corolario 2.1.4. Si A es un anillo de división, entonces los únicos ideales derechos
(izquierdos, biláteros) de A son los triviales. Rec´ıprocamente, si un anillo A posee
sólo dos ideales derechos (o también, sólo dos ideales izquierdos), entonces A es un
anillo de división.
Demostración. Sea I un ideal derecho no nulo del anillo de división A, entonces
existe x 2 I A, x6= 0; esto indica que x 2 I es invertible y, por la proposición
2.1.3, I = A. La demostración para ideales izquierdos es idéntica. La afirmación
para ideales biláteros es consecuencia de lo anterior.
Sea ahora A un anillo cuyos únicos ideales derechos son los triviales. Para x6= 0
en A, el conjunto xA : ={xa | a 2 A} es un ideal derecho de A; además este ideal es
no nulo y, por lo tanto, xA = A; se obtiene que 1 2 A xA; esto significa que existe
x0 2 A tal que xx0 = 1. Obsérvese que x0 es no nulo y además x0A = A. Existe pues
x00 2 A tal que x0x00 = 1 y xx0x00 = x, lo cual implica que x00 = x, es decir, x 2 A.
Se ha probado que cada elemento no nulo de A es invertible, es decir, A es un anillo
de división. La demostración para ideales izquierdos es análoga.
Observación 2.1.5. Si un anillo A tiene sólo dos ideales biláteros no se puede
afirmar que A sea un anillo de división, como se verá a continuación.
Ejemplo 2.1.6. Ideales del anillo de matrices Mn(A): sean A un anillo y Mn(A) su
anillo de matrices de orden n. Para I un ideal bilátero de A, el conjunto denotado
por
Mn(I) := {F = [aij ] | aij 2 I}
es un ideal bilátero de Mn(A). En efecto, Mn(I)6= ; pues 0 2 Mn(I); dadas H =
[hij ], B = [bij ] 2 Mn(I), entonces H − B = C = [cij ] 2 Mn(I), ya que cij = hij − bij
está en I, para todo i, j, 1 i, j n. Además, para H 2 Mn(I) y D = [dij ] 2 Mn(A)
se cumple que HD = F = [fij ] 2 Mn(I). En efecto,
fij =
Xn
k=1
hikdkj 2 I,
pues I es un ideal derecho y entonces hikdkj 2 I para cada k, 1 k n; por tanto,
la suma fij 2 I. Análogamente, DH 2 Mn(I).
Se ha probado que cada ideal bilátero I del anillo A determina en Mn(A) el ideal
bilátero Mn(I). Probemos ahora el rec´ıproco, es decir, que cada ideal bilátero J de
Mn(A) determina en A un ideal bilátero I tal que J es precisamente Mn(I). En
efecto, consideremos el conjunto
Iij := {a 2 A|Eija 2 J },

14 CAPÍTULO 2. IDEALES
donde Eija denota la matriz de orden n cuya única entrada no nula es la correspon-diente
a la intersección de la fila i y la columna j, en la cual está el elemento a. Si
a = 1, dicha matriz se denota simplemente por Eij . Para este tipo de matrices es
fácil demostrar que
EijaElkb =

0, si j6= l
Eikab, si j = l.
Veamos que Iij es un ideal bilátero de A. Iij6= ; ya que 0 2 J; dados x, y 2 Iij
entonces Eijx,Eijy 2 J, y como J es ideal bilátero, entonces Eijx−Eijy = Eij(x−
y) 2 J, de donde x − y 2 Iij . De otra parte, para a 2 A y x 2 Iij , se tiene que
Eijx 2 J, Ejja, Eiia 2 Mn(A), y por lo tanto, EijxEjja = Eijxa 2 J; también,
EiiaEijx = Eijax 2 J, de donde xa, ax 2 Iij .
Probemos ahora que
J = {H = [hij ] | aij 2 Iij}.
Sea H = [hij ] tal que hij 2 Iij para cada par de ´ındices 1 i, j n, H puede
escribirse de la forma
H =
Xn
i,j=1
Eijhij ,
donde se tiene que Eijhij 2 J, luego H 2 J. De otro lado, dada H = [hij ] 2 J,
mostraremos que una entrada cualquiera hlk de H está en Ilk. En efecto,
EllHEkk = Elkhlk 2 J,
de donde hlk 2 Ilk.
Se desea mostrar finalmente que todos los ideales Iij , 1 i, j n, coinciden.
Fijemos dos ´ındices i, j y probemos que Iij = Iir para todo r. Dado x 2 Iij se cumple
que Eijx 2 J, y por lo tanto, EijxEjr = Eirx 2 J, luego x 2 Iir, es decir, Iij Iir.
Simétricamente, Iir Iij . En forma análoga, Isj = Iij para 1 s n. Resulta pues
que Iij = I y
J = {H = [hij ] | hij 2 Iij} = Mn(I).
Se ha demostrado as´ı que los ideales biláteros de Mn(A) son de la forma Mn(I),
donde I es un ideal bilátero de A.
Ejemplo 2.1.7. Ideales biláteros del anillo de matrices sobre un anillo de división
A: para n 2, sea Mn(A) el anillo de matrices sobre un anillo de división A. Según
el ejemplo 2.1.6 , Mn(A) tiene sólo dos ideales biláteros: los trivilaes Mn (0) = 0 y
Mn(A). Sin embargo, Mn(A) no es un anillo de división ya que la matriz E11 es no
nula y no es invertible.

2.2. OPERACIONES CON IDEALES 15
Definición 2.1.8. Un anillo A se dice simple si los únicos ideales biláteros de A
son los trivilaes, 0 y A.
Corolario 2.1.9. Sea R un anillo conmutativo. R es un cuerpo si, y sólo si, R es
simple.
Demostración. Consecuencia directa del corolario 2.1.4.
Ejemplo 2.1.10. Ideales del anillo Z: si I es un ideal de Z, entonces I es un subgrupo
de (Z,+, 0) y, por lo tanto, está conformado por los múltiplos de algún entero no
negativo n, es decir, I es de la forma nZ. Es claro que cada uno de estos conjuntos
es un ideal de Z.
Ejemplo 2.1.11. Ideales de los anillos Q, R y C: puesto que Q, R y C son cuerpos,
sus únicos ideales son los triviales.
Ejemplo 2.1.12. Sean A un anillo, Mn(A) su anillo de matrices y
J := {H = [hij ] | hij = 0, para j6= 1}.
Entonces I es un ideal izquierdo no derecho de Mn(A). Con i6= 1 se construye en
forma similar un ideal derecho no izquierdo.
Ejemplo 2.1.13. Sean AX el anillo de funciones de X en un anillo A e I un ideal
bilátero (izquierdo, derecho) de A. Entonces
IX :=

f 2 AX| f (X) I

es un ideal bilátero (izquierdo, derecho) de AX.
2.2. Operaciones con ideales
Análogamente a como se hace con los subgrupos de un grupo, es posible definir
operaciones entre los ideales de un anillo.
Definicion ´2.2.1. Si T
A es un anillo e {Ii}es una familia de ideales izquierdos
i2I de A, la interseccion
í2I Ii es un ideal izquierdo de A, el cual se denomina ideal
intersección. De manera análoga se define la intersección de ideales derechos y
biláteros.
Proposición 2.2.2. Sean A un anillo, S A, S6= ;. El ideal izquierdo más pequeño
de A que contiene al subconjunto S es la intersección de todos los ideales izquierdos
de A que contienen a S, y se denota por hS}, es decir,
hS} :=

SI
I
I es ideal izquierdo de A

Demostración. Evidente a partir de la noción de intersección.
Definición 2.2.3. Dados A un anillo, S A, S6= ;, al ideal hS} se le denomina
el ideal izquierdo generado por S. El ideal izquierdo I de A se dice que es
finitamente generado, si existe un subconjunto finito S en A tal que hS} = I.
Además, h;} := 0.
De manera análoga se define el ideal derecho generado por S, el ideal bilátero
generado por S, denotados por {Si y hSi, respectivamente.
Proposición 2.2.4. Sean A un anillo, S A, S6= ;. El ideal izquierdo generado
por S coincide con el conjunto de sumas finitas de productos de elementos de A con
elementos de S.
Demostración. Denotemos por B al conjunto de las sumas finitas de productos de
elementos de A con elementos de S,
B =
(
Xn
k=1
)
;
aksk | ak 2 A, sk 2 S, n 1
probemos pues que hS} = B. En efecto, es inmediato que si x, y 2 B entonces
x − y 2 B, y que si a 2 A entonces ax 2 B; es decir, B es un ideal izquierdo de A.
Además, nótese que S B, de donde se deduce que hS} B.
Sea ahora I un ideal izquierdo de A que contiene a S; entonces I debe contener
cada suma de la forma
Pn
k=1 aksk, ak 2 A, sk 2 S, n 1, es decir, B I. Como
esto es válido para todo ideal izquierdo que contenga a S, entonces
B

SI
I
I es ideal izquierdo de A
= hS} .
Proposición 2.2.5. (i) Sea A un anillo y S A, S6= ;, entonces
{Si =
(
Xn
k=1
)
,
skak | ak 2 A, sk 2 S, n 1
hSi =
(
Xn
k=1
akska0
)
.
k | a0
k, ak 2 A, sk 2 S, n 1
(ii) Si R un anillo conmutativo, entonces
hS} = {Si = hSi .

Demostración. La demostración de estas afirmaciones es completamente análoga a
la de la proposición 2.2.4.
Corolario 2.2.6. Dados A un anillo y S = {s1, . . . , sn} A entonces
hs1, . . . , sn} =
(
Xn
k=1
aksk | ak 2 A
)
,
{s1, . . . , sni =
(
Xn
k=1
skak | ak 2 A
)
,
hs1, . . . , sni =
(
Xm
k=1
aksika0
)
.
k | a0
k, ak 2 A, sik 2 S, m 1
En particular,
hx} = Ax = {ax | a 2 A},
{xi = xA = {xa | a 2 A},
hxi =
(
Xn
k=1
akxa0
)
.
k | a0
k, ak 2 A, n 1
los cuales se denominan ideal principal izquierdo, derecho y bilátero, respec-tivamente.
Cuando A es un anillo conmutativo estos ideales coinciden.
Definición 2.2.7. Se dice que A es un anillo de ideales principales derechos
si todos los ideales derechos de A son principales. De manera similar se definen los
anillos de ideales principales izquierdos y de ideales principales biláteros. Sea D un
dominio de integridad. Se dice que D es un dominio de ideales principales, si
cada ideal de D es principal.
Ejemplo 2.2.8. Z es un dominio de ideales principales.
Ejemplo 2.2.9. Todo cuerpo es dominio de ideales principales.
Podemos ahora definir una segunda operación entre ideales izquierdos, derechos
y biláteros.
Definicion ´2.2.10. Sea A un anillo e {Ii}una familia de i2C P
ideales izquierdos de A,
se define la suma de la familia {Ii}, y se simboliza por
i2Ci2C Ii, al ideal generado
por el conjunto
S
i2C Ii.

Según la proposición 2.2.4,
X
i2C
Ii =
(
Xn
k=1
ak | ak 2
[
i2C
)
.
Ii, n 1
En particular,
I1 + · · · + In =
(
Xn
k=1
ak | ak 2 Ik
)
.
Observación 2.2.11. (i) Nótese que si s1, . . . , sn 2 A, entonces,
hs1, · · · , sn} = As1 + · · · + Asn.
(ii) La suma de una familia de ideales derechos se define en forma análoga, as´ı como
también la suma de ideales biláteros.
(iii)
P
i2C Ii es el ideal izquierdo (derecho, bilátero) más pequeño de A que con-tiene
a cada uno de los ideales izquierdos (derechos, biláteros) de la familia {Ii}i2C .
Definición 2.2.12. Si {I1, . . . , In} es una familia finita de ideales izquierdos de
un anillo A, se define su producto, y se denota por I1I2 · · · In, al ideal izquierdo
generado por el conjunto
{a1 . . . an | ai 2 Ii, 1 i n}.
De acuerdo con la proposición 2.2.4,
I1I2 · · · In =
(
Xm
k=1
)
.
x1k · · · xnk | xik 2 Ii, 1 i n, m 1
Observación 2.2.13. (i) El producto de una familia de ideales derechos o biláteros
se define de manera análoga.
(ii) Nótese que cuando I1, . . . , In son ideales izquierdos entonces el producto
I1 · · · In está contenido en In; cuando I1, . . . , In son ideales derechos el producto
I1 · · · In está contenido en I1, cuando I1, . . . , In son ideales biláteros el producto
I1 · · · In está contenido en cada ideal Ii, i = 1, 2, . . . , n.
Definición 2.2.14. Sea A un anillo e I un ideal izquierdo no nulo de A, se define
I0 := A
I1 := I
...
In := In−1I, n 2.

Observación 2.2.15. La definición anterior es aplicable también a ideales derechos
y biláteros no nulos de A. Si I = 0, entonces 0n = 0, para cada n 1.
Proposición 2.2.16. Sea A un anillo.
(i) Dados I y J ideales izquierdos de A, el conjunto definido por
(I : J) := {a 2 A | aJ I}
es un ideal bilátero de A y se denomina el cociente de I por J.
(ii) Dados I y J ideales derechos del anillo A, el conjunto definido por
(I : J) := {a 2 A | Ja I}
es un ideal bilátero de A, y se denomina el cociente de I por J.
(iii) En particular, si I es un ideal izquierdo (derecho, bilátero) de A,
Ann(I) := (0 : I)
es un ideal bilátero de I y se denomina el anulador de I.
Demostración. Realizamos sólo la prueba de (i). La prueba de las otras dos afirma-ciones
quedan como ejercicio para el lector. (I : J)6= ; ya que 0J = 0 I. Si a,
a0 2 (I : J) y x 2 A, entonces
(a + a0) J = aJ + a0J I
xaJ xI I
axJ aJ I.
Proposición 2.2.17. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. Se define
el radical de I por
p
I := {r 2 R|rn 2 I para algún n 1}.
Entonces,
p
I es un ideal de R.
Demostración. La prueba la dejamos a los lectores.
Presentamos a continuación algunas propiedades de las operaciones definidas
anteriormente.
Proposición 2.2.18. Sean J, I1, . . . , In ideales derechos (izquierdos, biláteros) de
A. Entonces,

J (I1 + · · · + In) = JI1 + · · · + JIn
(I1 + · · · + In) J = I1J + · · · + InJ.
Demostración. Probamos sólo la primera identidad. Sea x 2 J (I1 + · · · + In), en-tonces
x es de la forma
x =
Xm
k=1
bk(a1k + · · · + ank)
=
Xm
k=1
bka1k + · · · + bkank,
lo cual significa que x pertenece a JI1 + · · · + JIn, es decir,
J (I1 + · · · + In) JI1 + · · · + JIn.
De otra parte, puesto que para cada 1 j n,
Ij I1 + · · · + In
entonces
JIj J (I1 + · · · + In)
de donde,
Xn
j=1
JIj J (I1 + · · · + In) .
Proposición 2.2.19. Sea R un anillo conmutativo y sean I, J ideales de R. En-tonces,
(i) I
p
I.
(ii)
pp
I =
p
I.
(iii) Si I J, entonces
p
I
p
J.
(iv)
p
IJ =
p
I J =
p
I
p
J.
(v)
p
I = R , I = R.
(vi)
p
I + J =
pp
I +
p
J.
(vii)
p
In =
p
I, para cada entero n 1.
(viii)
p
I +
p
J = R , I + J = R.

Demostración. La prueba se plantea como ejercicio al lector.
El siguiente ejemplo ilustra en el anillo Z las operaciones definidas en la presente
sección.
Ejemplo 2.2.20. Sean m y n enteros, entonces:
(i) hmihni = hm.c.m. (m, n)i, en donde m.c.m. denota el m´ınimo común múlti-plo.
En efecto, si x 2 hmi hni, entonces x es múltiplo de m y n simultánea-mente;
por lo tanto, x es múltiplo del m´ınimo común múltiplo de ellos, es decir,
x 2 hm.c.m. (m, n)i. Rec´ıprocamente, si x 2 hm.c.m. (m, n)i, x 2 hmi y x 2 hni, de
donde x 2 hmi hni.
(ii) hmi+hni = hm.c.d. (m, n)i, en donde m.c.d. denota el máximo cómún divisor.
Dado x 2 hmi + hni entonces x = a + b, a 2 hmi y b 2 hni, es decir, x = km + pn,
con k, p 2 Z. Sea d := m.c.d. (m, n), entonces
d | m y d | n, de donde, d | x,
y as´ı, x = ds, con s 2 Z, es decir, x 2 hdi. Rec´ıprocamente, sea x = ds, como d es
combinación lineal de m y n, digamos d = wm + zn, con w, z 2 Z, entonces
x = wms + zns 2 hmi + hni.
(iii) hmi hni = hmni: sea x 2 hmi hni; entonces x = a1b1 + · · · + atbt, donde
ai 2 hmi y bi 2 hni con i = 1, 2, . . . , t. Entonces, x = k1ms1n + · · · + ktmstn, con
ki, si 2 Z y por lo tanto, x 2 hmni. Rec´ıprocamente, si x 2 hmni, entonces x = kmn,
con k 2 Z, de donde x = kmn 2 hmi hni.
(iv) hmik=

mk

, m6= 0, k 0. Esto es consecuencia directa de (iii).
(v) (hmi : hni): si n = 0, entonces evidentemente (hmi : 0) = Z. Sea entonces n6=
0. Si m = 0, entonces claramente (0 : hni) = 0. Considérese entonces que también
m6= 0. En este caso probaremos que (hmi : hni) =
Dm
d
E
, donde d = m.c.d. (m, n).
Sabemos que d es combinación entera de m y n, es decir, existen k1, k2 2 Z tales
que d = k1m + k2n. Sea x 2 (hmi : hni); entonces xn 2 hmi y existe t 2 Z, tal que
xn = tm. Resulta pues que
dx = k1mx + k2nx = m(k1x + k2t),
y de aqu´ı, x =
m
d
(k1x + k2t) 2
Dm
d
E
. De otra parte,
Dm
d
E
hni =
Dmn
d
E
= hmi
Dn
d
E
hmi
Hemos entonces probado la igualdad (hmi : hni) =
Dm
d
E
.
(vi)
p
hni: si n = 0, entonces
p
0 = 0; si n = 1, entonces
p
Z = Z. Sea n 2,
entonces sea n = pr1
1 · · · prt
p t la descomposición de n en factores primos; se tiene que
hni =
p
hp1i · · ·
p
hpti = hp1i · · · hpti = hp1 · · · pti.

Ejemplo 2.2.21. Sea A = Mn (Z) el anillo de matrices de orden n 2 sobre Z. A
es un anillo no conmutativo con divisores de cero cuyos ideales biláteros son todos
principales: para la notación que utilizaremos en la prueba de estas afirmaciones
remitimos al lector al ejemplo 2.1.6. E116= 0, E126= 0, E11E12 = E126= E12E11 = 0.
Sea J un ideal bilátero de A. Sabemos que J = Mn (I), donde I es un ideal de Z;
según el ejemplo 2.1.10, I = hmi, para algún entero m 0. Nótese que J es el ideal
generado por la matriz
E11m =
2
6664
m 0 · · · 0
0 0 · · · 0
...
...
...
0 0 · · · 0
3
7775
En efecto, puesto que E11m 2 J, entonces PhE11mi J. Sea B = [bij ] una matriz de
J; B se puede escribir en la forma B =
n
i,j=1 Eijbij , con bij 2 hmi, 1 i, j n.
Para B se tiene entonces que
B =
Xn
i,j=1
Eijkijm,
con kij 2 Z, luego B =
Pn
i,j=1 (Ei1kij) (E11m)E1j , y según el corolario 2.2.6, B 2
hE11mi. En resumen, J = hE11mi y J es principal.
2.3. Ejercicios
1. Demuestre la afirmación del ejemplo 2.1.12.
3. Complete la demostración de la proposición 2.2.16.
5. En el anillo Z de los números enteros calcule (hmi + hni)(hmi : hni).
6. Sean X un conjunto cualquiera y 2X su anillo de partes (véase la sección
de ejercicios del cap´ıtulo anterior). Determine un ideal propio y un subanillo
propio de 2X. ¿Cuál es su grupo de invertibles? ¿Es 2X un dominio de ideales
principales?
7. Sea A un anillo y S = {x1, . . . , xn} un subconjunto finito no vac´ıo de A.
Demuestre que

2.3. EJERCICIOS 23
hx1, . . . , xn} = hx1} + . . . + hxn},
{x1, . . . , xni = {x1i + . . . + {xni,
hx1, . . . , xni = hx1i + . . . + hxni.
Generalice estos resultados para un conjunto no vac´ıo cualquiera S de A.
8. Sean A un anillo e I1, I2, I3 ideales izquierdos (derechos, bil´ateros) de A. De-muestre
que
(i) I1 I1 = I1.
(ii) I1 I2 = I2 I1.
(iii) (I1 I2) I3 = I1 (I2 I3).
(iv) I1 + I1 = I1.
(v) I1 + I2 = I2 + I1.
(vi) (I1 + I2) + I3 = I1 + (I2 + I3).
(vii) I1 + (I1 I2) = I1.
(viii) I1 (I1 + I2) = I1.
9. Sean I, J ideales izquierdos de un anillo A y sea e un elemento idempotente
de A, es decir, e2 = e. Demuestre que eA (I + J) = (eA I) + (eA J).
10. De un ejemplo de anillo A y elemento x 2 A tales que Ax ( xA.
11. En el anillo de matrices M3 (Z) calcule:
(i) M3 (h4i) M3 (h6i).
(ii) M3 (h5i) +M3 (h7i).
(iii) M3 (h2i)M3 (h9i).
(iv) M3 (h11i)2.
(v) (M3 (h4i) : M3 (h6i)) .
Generalice los resultados anteriores al anillo Mn (Z), n 2?
12. Sea R = RN el anillo de sucesiones reales. ¿Son las sucesiones convergentes un
subanillo de R? ¿Son las sucesiones convergentes un ideal de R?
13. Demuestre que el conjunto
A :=

a b
0 c

| a, b, c 2 Z

de las matrices triangulares superiores es un subanillo de M2 (Z). Describa los
ideales bil´ateros de A y generalice los resultados obtenidos a Mn (R), donde R
es un anillo conmutativo cualquiera, n 2.
14. Sea R un anillo conmutativo y sean I, J ideales de R tales que I + J = R.
Demuestre que IJ = I J.
15. Sea A el conjunto de todas las funciones reales infinitamente diferenciables
definidas sobre el intervalo −1 t 1. Demuestre que A es un anillo y que
para cada n 1 el conjunto Jn := {f 2 A|Dk(f)(0) = 0, 0 k n} es un
ideal de A, donde Dk denota la derivada k-´esima.

Cap´ıtulo 3
Anillo cociente y homomorfismos
3.1. Definiciones y ejemplos
Sean A un anillo e I un ideal bilátero propio de A. Las estructuras aditivas de estos
dos conjuntos permiten definir el grupo cociente A/I, cuyos elementos son las clases
a := a + I := {a + x | x 2 I}, a 2 A
las cuales operan con la siguiente regla:
a1 + a2 := a1 + a2, a1, a2 2 A.
Se define a continuación sobre A/I una segunda operación de tal forma que sea un
anillo.
Proposición 3.1.1. Dados A un anillo e I un ideal bilátero propio de A, las opera-ciones
+ y · definidas a continuación dotan al conjunto cociente A/I de estructura
de anillo:
a1 + a2 := a1 + a2
a1 · a2 := a1 · a2

8a1, a2 2 A.
Además, si A = R es un anillo conmutativo, entonces R/I es un anillo conmutativo.
El anillo (A/I,+, ·) se denomina anillo cociente de A por I.
Demostración. Sabemos que la adición definida en el enunciado de la proposición
establece en el conjunto cociente una estructura de grupo abeliano con elemento no
nulo 0 = 0 + I, 0 2 A. Verifiquemos que el producto está correctamente definido: si
a1 = a2 y b1 = b2, entonces a1 − a2 2 I y b1 − b2 2 I, de donde (b1 − b2) a2 2 I y
b1 (a2 − a1) 2 I. Resulta
b2a2 − b1a2 + b1a2 − b1a1 = b2a2 − b1a1 2 I,
25

26 CAPÍTULO 3. ANILLO COCIENTE Y HOMOMORFISMOS
es decir, b2a2 = b1a1, y por lo tanto b2a2 = b1a1.
No es dif´ıcil verificar que 1 = 1 + I es el elemento identidad de A/I (como
I6= A entonces 16= 0). La propiedad asociativa y la distributiva se siguen de las
correpondientes propiedades del producto en A.
Ejemplo 3.1.2. El anillo Zn de los enteros módulo n corresponde al cociente de Z
por el ideal principal hni (véase el ejemplo 1.1.7).
Definición 3.1.3. Sean A1 y A2 dos anillos. Una función f : A1 −! A2 se dice que
es un homomorfismo del anillo A1 en el anillo A2, si se cumplen las siguientes
condiciones:
(i) f (a1 + a2) = f (a1) + f (a2),
(ii) f (a1a2) = f (a1) f (a2),
(iii) f (1) = 1,
para cualesquiera a1, a2 2 A1.
Proposición 3.1.4. Para todo homomorfismo de anillos f : A1 −! A2 se cumplen
las siguientes propiedades:
(i) f (0) = 0.
(ii) f (−a) = −f (a), 8a 2 A1.
(iii) f (a1 − a2) = f (a1) − f (a2), 8a1, a2 2 A1.
(iv) Si a 2 A1
entonces f (a) 2 A2
, y además f (a−1) = f (a)−1.
Ejemplo 3.1.5. El homomorfismo idéntico: sea A un anillo, la función
iA : A −! A
a7−! a
es un homomorfismo de anillos.
Ejemplo 3.1.6. El homomorfismo canónico: dados A un anillo, I un ideal
bilátero propio y A/I el anillo cociente de A por I, la función definida por
j : A −! A/I, j (a) := a = a + I, a 2 A,
es un homomorfismo de anillos.

3.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 27
Ejemplo 3.1.7. Dados A un anillo y Mn (A) su anillo de matrices, se tiene el
homomorfismo
f : A −! Mn (A), f(a) = H = [hij ],
donde hii = a, para i = 1, 2, . . . , n, y hij = 0 si i6= j.
Ejemplo 3.1.8. La inclusión canónica: dado A0 un subanillo de A, la función
definida por : A0 −! A , (a) = a, para cada a 2 A0, es un homomorfismo de
anillos.
Ejemplo 3.1.9. Homomorfismos de Zm en Zn: consideremos los diferentes casos
posibles.
(i) Homomorfismos de Z en Z, (m = 0, n = 0): si f : Z −! Z es un homomor-fismo
de anillos, entonces f (1) = 1, con lo cual f (k) = k, para k 2 Z+; f (0) = 0,
f (−k) = −k, para k 2 Z+. Por lo tanto, el único homomorfismo de anillos de Z en
Z es el idéntico.
(ii) Homomorfismos de Z en Zn, (m = 0, n 2): si f : Z −! Zn es un homo-morfismo
de anillos, entonces f (1) = 1; dado k 2 Z+ existen enteros q, r, tales que
k = q · n + r, 0 r n; por lo tanto
f (k) = f (q · n + r) = f (q) · f (n) + f (r) = f (q) · 0 + f (r) = f (r) = r = k;
además, f(0) = 0; y, dado k 2 Z+, f (−k) = −f (k) = −k = −k. Por lo tanto, el
único homomorfismo de Z en Zn es el canónico: j : Z −! Zn, j (k) = k.
(iii) Homomorfismos de Zm en Z, (m 2, n = 0): si f : Zm −! Z es un ho-momorfismo
de anillos, entonces f

1

= 1, f (m) = f

0

= 0 = f

1 + · · · + 1

=
1 + · · · + 1 = m; esta contradicción conduce a que no existe ningún homomorfismo
de anillos de Zm en Z.
(iv) Homomorfismos de Zm en Zn, (m 2, n 2): si f : Zm −! Zn es un
homomorfismo de anillos, entonces f

= 1, f (m) = 0 = f

1

1 + · · · + 1

= 1 +
· · ·+1 = m; esto implica que n debe dividir a m. Es decir, si existe un homomorfismo

de Zm en Zn, entonces n | m. El homomorfismo f es unico, ý está definido por f
k
= k.
Definición 3.1.10. Sea f : A1 −! A2 un homomorfismo de anillos.
(i) El subconjunto de A1 definido por
ker (f) := {a 2 A1 | f (a) = 0}
se denomina el núcleo del homomorfismo f.
(ii) El subconjunto de A2 definido por

Im(f) := {f (a) | a 2 A1}
se denomina la imagen del homomorfismo f.
(iii) Si X A1, entonces
f (X) := {f (x) | x 2 X}
se denomina la imagen de X mediante f.
(iv) Si Y A2, entonces
f−1 (Y ) := {a 2 A1 | f (a) 2 Y }
se denomina la imagen inversa de Y mediante f.
(v) Se dice que un homomorfismo es inyectivo si se cumple
f (a1) = f (a2) , a1 = a2,
para cualesquiera a1, a2 2 A1.
(vi) Se dice que un homomorfismo es sobreyectivo si Im(f) = A2.
(vii) Se dice que f es un isomorfismo de anillos si f es un homomorfismo inyec-tivo
y sobreyectivo. En tal caso se dice que A1 es isomorfo a A2, lo cual se
escribe A1
=
A2.
Las siguientes afirmaciones son consecuencia directa de la definición anterior y
las pruebas de ellas las dejamos al lector.
Proposición 3.1.11. Sea f : A1 −! A2 un homomorfismo de anillos.
(i) ker (f) = f−1 (0) es un ideal bilátero de A1.
(ii) Im(f) = f (A1) es un subanillo de A2.
(iii) f es inyectivo , ker (f) = 0.
(iv) Si g : A2 −! A3 es un homomorfismo de anillos, entonces la función com-puesta
gf : A1 −! A3 es también un homomorfismo de anillos.
(v) f es un isomorfismo si, y sólo si, existe g : A2 −! A1 tal que gf = iA1 y
fg = iA2 . Además, g es único para f y es también un isomorfismo; g es el
isomorfismo inverso de f y se denota por f−1.

3.2. TEOREMAS DE HOMOMORFISMO E ISOMORFISMO 29
Ejemplo 3.1.12. No existe ningún homomorfismo de R en Z. Probemos algo más
general: todo homomorfismo de anillos f : K −! A, donde K es un anillo de división
y A es un anillo, debe ser inyectivo. En efecto, según la proposición 3.1.11, ker (f) es
un ideal de K y como f (1) = 16= 0, entonces ker (f) = 0, con lo cual f es inyectivo.
En particular si f : R −! Z es un homomorfismo, entonces Im(f) es un sub-anillo
de Z, pero como Z no tiene subanillos propios, luego f es un isomorfismo, en
contradicción con el hecho de que Z no es un cuerpo.
Observación 3.1.13. El concepto de isomorfismo en álgebra, y en particular en
teor´ıa de anillos, es fundamental. Su importancia radica en que si A1 y A2 son dos
anillos isomorfos, entonces todas las propiedades del anillo A1 que dependen de sus
operaciones son válidas en A2. Dos anillos isomorfos serán entonces considerados
como iguales; la función que establece el isomorfismo se podrá considerar como un
duplicador de propiedades. Obsérvese además que la relación ser isomorfo es una
relación de equivalencia.
3.2. Teoremas de homomorfismo e isomorfismo
Definición 3.2.1. Se dice que el anillo A2 es una imagen homomorfa del anillo
A1, si existe un homomorfismo sobreyectivo de A1 en A2.
El siguiente teorema permite caraterizar las imágenes homomorfas de un anillo
dado.
Teorema 3.2.2 (Teorema fundamental de homomorfismo). Sean A un anillo
y A0 una imagen homomorfa de A. Entonces, existe un ideal bilátero propio I de A
tal que
A0
=
A/I.
Rec´ıprocamente, para cada ideal bilátero propio I de A el cociente A/I es una imagen
homomorfa de A.
Demostración. Sea f : A −! A0 un homomorfismo sobreyectivo, y sea I = ker (f)
su núcleo. Entonces, la correspondencia
f : A/I −! A0
a7−! f (a) a = a + I
es un isomorfismo de anillos. En efecto, f es una función ya que si a y b son elementos
de A tales que a = b entonces (a − b)
2 I =
ker (f), con
lo
cual
f
(a) = f (b).
f es
un homomorfismo de anillos ya que f
a + b
= f (a)+ f
b
, f
ab
= f (a) f
b

y
f

1

= 1, para cualesquiera a, b 2 A. f resulta sobreyectivo ya que f lo es. Nótese

finalmente que a 2 ker

f

sii f (a) = 0 sii f (a) = 0 si, y sólo si, a 2 ker (f) si,
y sólo si, a = 0. Tenemos pues que ker

f

=

0

= 0. La segunda afirmación es
consecuencia del hecho que el homomorfismo canónico j definido en el ejemplo 3.1.6
es sobreyectivo.
Ejemplo 3.2.3. Imágenes homomorfas de Z: como los ideales de Z son de la forma
hni con n 0, entonces las imágenes homomorfas de Z, salvo isomorfismos, son Z
y Zn, con n 2.
Ejemplo 3.2.4. Imágenes homomorfas del anillo de matrices Mn (A), n 2: según
el teorema fundamental de homomorfismo, las imágenes homomorfas de Mn (A) son
de la forma Mn (A) /J, donde J es un ideal bilátero propio de Mn (A); pero tales
ideales son de la forma Mn (I), con I ideal bilátero propio de A. Probaremos ahora
que
Mn (A) /Mn (I) =
Mn (A/I).
La función
f : Mn (A) −! Mn (A/I)
F = [aij ]7−! F =

fij
,
donde fij := fij + I, 1 i, j n, es claramente un homomorfismo sobreyectivo
de anillos. Además, la matriz F = [fij ] está en el núcleo de f si, y sólo si, fij =
0 para cualesquiera ´ındices i, j; es decir, solamente cuando fij 2 I, 1 i, j
n. Esto muestra que ker (f) = Mn (I). Resta aplicar el teorema fundamental de
homomorfismo.
En la prueba del teorema de correspondencia haremos uso del punto (ii) de la
siguiente proposición.
Proposición 3.2.5. Sea f : A1 −! A2 un homomorfismo de anillos.
(i) Si A0
1 es un subanillo de A1, entonces f (A0
1) es un subanillo de A2. También,
si A0
2 es un subanillo de A2, entonces f−1 (A0
2) es un subanillo de A1.
(ii) Si I es un ideal bilátero de A1, f (I) es un ideal bilátero de Im(f). También,
si J es un ideal bilátero de A2, entonces f−1 (J) es un ideal bilátero de A1 que
contiene el núcleo ker (f) .
(iii) Si I es un ideal bilátero de A1 que contiene al núcleo ker (f), entonces I =
f−1 (f (I)) .
(iv) Las afirmaciones de los puntos (ii) y (iii) son validas para los ideales izquierdos
y derechos.

Demostración. Realizamos sólo la prueba de la primera parte de (ii) y (iii); las otras
aseveraciones están a cargo del lector.
(ii) Como f (0) = 0, entonces f (I) no es vac´ıo. Sean x, y 2 f (I) y z 2 Im(f).
Entonces, x = f (a), y = f (b), z = f (k) con a, b 2 I, k 2 A1; de aqu´ı resulta
x + y = f (a + b), zx = f (ka), xz = f (ak), con lo cual x + y, zx, xz 2 f (I).
(iii) Veamos solamente que f−1 (f (I)) I, ya que la otra contenencia siempre
se tiene. Sea a 2 f−1 (f (I)), entonces f (a) 2 f (I), es decir, existe b 2 I tal que
f (a) = f (b), de donde f (a − b) = 0, lo cual significa que a − b 2 ker (f) I, es
decir, a − b 2 I con b 2 I , de donde a 2 I.
Ejemplo 3.2.6. Consideremos la inclusión canónica de Z en Q:
: Z −! Q
m7−! m
Z es ideal en Z pero (Z) = Z no es ideal en Q. Según (ii) de la afirmación anterior,
la cuestión radica en que Q6= Im(f).
Teorema 3.2.7 (Teorema de correspondencia). Sean A un anillo y f : A −!
A0 una imagen homomorfa de A; entonces, existe una correspondencia biyectiva
entre los ideales biláteros del anillo A que contienen al núcleo de f y los ideales
biláteros del anillo A0.
Demostración. Sean f : A −! A0 un homomorfismo sobreyectivo I la colección de
todos los ideales biláteros de A que contienen al núcleo e I0 la colección de todos
los ideales biláteros de A0, es decir,
I := {I | I es un ideal bilátero de A, ker(f) I}
I0 := {J | J es un ideal bilátero de A0},
entonces la correspondencia
e f : I −! I0
I7−! e f (I) := f (I)
es una biyección. En efecto, sean I1 e I2 ideales biláteros de A tales que ker (f) I1,
ker (f) I2 y e f (I1) = e f (I2), entonces
I1 = f−1 (f (I1)) = f−1 (f (I2)) = I2.
e f es sobreyectiva, pues dado J ideal bilátero de A0, f−1 (J) es un ideal de A
que contiene a ker (f); además como f es sobreyectivo f (f−1 (J)) = J, es decir,
, e f (f−1 (J)) = J. Una última observación: si I1, I2 2 I, entonces
I1 I2 , f (I1) f (I2).
Esto completa la prueba del teorema.

Corolario 3.2.8. Sean A un anillo e I un ideal bilátero propio de A. Entonces existe
una correspondencia biyectiva entre los ideales biláteros del anillo A que contienen
al ideal I y los ideales biláteros del anillo cociente A/I.
Demostración. Sea j : A −! A/I el homomorfismo canónico. Por el teorema de
correspondencia, existe una biyección entre la colección I de biláteros ideales de A
que contienen al ideal I, y la colección I0 de ideales biláteros del cociente A/I, dada
por
ej
: I −! I0
I17−! ej
(I1) := j (I1) = {a | a 2 I1} := I1/I.
Teorema 3.2.9 (Primer teorema de isomorfismo). Sean A un anillo y f :
A −! A0 una imagen homomorfa de A. Si J es un ideal bilátero propio de A0 e
I = f−1 (J), entonces
A/I =
A0/J.
Demostracion. ´Sean f : A −! A0 un homomorfismo sobreyectivo y j : A0 −! A0/J
el homomorfismo
canónico. Considérese el homomorfismo compuesto f = j f;
nótese que ker
f

= ker (j f) = I; además como f es sobreyectivo, entonces por
el teorema fundamental de homomorfismo se tiene que
A/I =
A0/J.
Corolario 3.2.10. Sea A un anillo y sean I y J ideales biláteros de A tales que
I J6= A, entonces
A/J =
(A/I) / (J/I).
Demostración. Sea j : A −! A/I el homomorfismo canónico, entonces j (J) = J/I
es un ideal propio de A/I, y además J = j−1 (J/I). Según el teorema anterior
A/J =
(A/I) / (J/I).
Ejemplo 3.2.11. Imágenes homomorfas de Zm (m 2): de acuerdo con el teorema
fundamental de homomorfismo, las imágenes homomorfas de Zm son de la forma
Zm/I, donde I es un ideal propio de Zm = Z/ hmi. Según el teorema de correspon-dencia,
I = hni / hmi, donde hni hmi, n6= 1, es decir, I = hni, donde n6= 1 divide
a m. El primer teorema de isomorfismo da entonces la forma final de las imágenes
homomorfas

Zm/I = (Z/ hmi) / (hni / hmi) =
Z/ hni = Zn,
donde n es un divisor de m, n6= 1.
Ilustremos el resultado para m = 6: divisores de 6: 1, 2, 3, 6; ideales de Z6:
h1i / h6i = Z/ h6i = Z6 =

1

h2i / h6i =

0, 2, 4

=

2

h3i / h6i =

=

0, 3

3

h6i / h6i =

=

0

0

Imágenes homomorfas de Z6: (Z/ h6i) / (h2i / h6i) =
Z2
(Z/ h6i) / (h3i / h6i) =
Z3,
(Z/ h6i) / (h6i / h6i) =
Z6.
Por lo expuesto al principio se observa que Zm es un anillo conmutativo, even-tualmente
con divisores de cero, y cuyos ideales son todos principales.
Teorema 3.2.12 (Segundo teorema de isomorfismo). Sean A un anillo, S un
subanillo de A e I un ideal bilátero de A. Entonces,
(i) S I es un ideal bilátero de S.
(ii) S + I := {s + a | s 2 S, a 2 I} es un subanillo de A que contiene a I como
ideal.
(iii) S/ (S I) =
(S + I) /I
Demostración. (i) y (ii) son verificables de manera inmediata.
(iii) Consideremos el homomorfismo
f : S −! (S + I) /I
s7−! f (s) := s = s + I
Se puede comprobar que f es sobreyectivo y que ker (f) = S I, de donde, por el
teorema fundamental de homomorfismos, se concluye que
S/ (S I) =
(S + I) /I.
Cerramos este cap´ıtulo con el concepto de caracter´ıstica de un anillo.
Ejemplo 3.2.13. Caracter´ıstica de un anillo: sea A un anillo cualquiera y
Z[1] = {k · 1 | k 2 Z, 1 2 A}
el subanillo primo de A. La función

f : Z −! A
k7−! k · 1
es homomorfismo de anillos con imagen Z[1]. Se dice que A es de caracter´ıstica
cero si ker (f) = 0, es decir, k · 1 = 0 si, y sólo si, k = 0. En otras palabras, A es de
caracter´ıstica 0 si, y sólo si, el subanillo primo de A es isomorfo a Z. Si ker (f) = hni,
n 2, entonces se dice que A es de caracter´ıstica n, es decir, k · 1 = 0 si, y sólo si,
n | k. As´ı, A es de caracter´ıstica n si, y sólo si, el subanillo primo de A es isomorfo
a Zn. Nótese que Z, Q, R, C son de caracter´ıstica cero, y Zm es de caracter´ıstica m,
m 2. La caracter´ıstica de un anillo A se denota por char(A).
3.3. Ejercicios
3. Sea f : A1 −! A2 un homomorfismo de anillos y sean {Ii}i2C, {Jj}j2D
familias de ideales izquierdos (derechos, biláteros) de A1 y A2, respectivamente.
Demuestre que:
(i)
P
j2D f−1 (Jj) f−1
P
j2D Jj

. Si Jj Im(f) para cada j 2 D, la
igualdad se cumple.
(ii) Si f es sobreyectivo, entonces
P
i2C f (Ii) = f
P
i2C Ii

.
(iii) f−1
T
j2D Jj

=
T
j2D f−1 (Jj).
(iv) f
T
i2C Ii

T
i2C f (Ii). Si ker(f) Ii para cada i 2 C, se tiene la
igualdad.
4. Sean R y S anillos conmutativos y sea f : R −! S un homomorfismo de
anillos: Sean I1, I2 ideales de R y sean J1, J2 ideales de S. La imagen de I1
a través de f no es siempre un ideal de S, sea Ie
1 = hf (I1)i = Sf (I1) el
ideal en S generado por f (I1), se dice que Ie
1 es la extensión del ideal I1
en S. De otra parte, sabemos que f−1 (J1) es un ideal de R, y se denomina
la contracción de J1 en R. La contracción del ideal J1 se denota por Jc
1.
Demuestre las siguientes propiedades:
(a) Iec
1 I1, Jce
1 J1.
(b) Iece
1 = Ie
1 , Jcec
1 = Jc
1.
(c) (I1 + I2)e = Ie
1 + Ie
2 , (J1 + J2)c Jc
1 + Jc
2.
(d) (I1 I2)e Ie
2 , (J1 J2)c = Jc
1 Ie
1 Jc
2.

3.3. EJERCICIOS 35
(e) (I1I2)e = Ie
1Ie
2 , (J1J2)c Jc
1Jc
2.
(f) (I1 : I2)e (Ie
1 : Ie
2 ), (J1 : J2)c (Jc
1 : Jc
2).
(g)
p
I1
e

p
Ie
1 ,
p
J1
c
=
p
Jc
1.
5. Determine (si existen!) todos los homomorfismos de anillo de
(i) Z en Q, R, C, H.
(ii) Q en Z, Q, R, C, H, Zn, n 2.
(iii) R en Z, Q, Zn, n 2.
(iv) C en Z, Q, R, Zn, n 2.
(v) H en Z, Q, R, C, Zn, n 2.
(vi) Zn, n 2, en Q, R, C, H.
6. Demuestre que si A es un anillo sin divisores de cero, entonces char(A) es cero
o un primo p.
7. Si B un subanillo de A demuestre que ambos tienen la misma caracter´ıstica.
8. Demuestre que char(AX) = char (A) = char(Mn

AX

), para cada anillo A,
X6= ; y n 1.
9. Calcule todas las im´agenes homomorfas deMn(Zm), n 2, con m = 0 ´o m 2.

Cap´ıtulo 4
Producto de anillos
4.1. Definición y propiedades elementales
Dada una familia finita de anillos {A1, . . . ,An}, podemos definir sobre el conjunto
producto cartesiano A1×· · ·×An una estructura de anillo a partir de las estructuras
aditiva y multiplicativa de A1, . . . ,An. En efecto, el conjunto A1 × · · · × An consta
de n-plas (a1, . . . , an) de elementos con ai 2 Ai, 1 i n; dos de tales n-plas
(a1, . . . , an) y (b1, . . . , bn) son iguales si, y sólo si, ai = bi para cada 1 i n. La
adición y multiplicación se definen por componentes:
(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn) := (a1 + b1, . . . , an + bn)
(a1, . . . , an) (b1, . . . , bn) := (a1b1, . . . , anbn),
en donde las sumas y productos de la derecha son en general diferentes y se realizan
en los respectivos anillos A1, . . . ,An.
Dejamos al lector la comprobación de que las operaciones definidas anteriormente
dan al Qproducto una estructura de anillo. Este anillo será denotado por A1×· · ·×An,
o por
n
i=1 Ai, y se denomina anillo producto de la familia {A1, . . . ,An}, n 1.
Notemos que el elemento cero del anillo producto es la n-pla
0 := (0, . . . , 0).
Análogamente, el uno es la n-pla
1 := (1, . . . , 1).
Algunas propiedades inmediatas del anillo producto son las siguientes.
Proposición 4.1.1. Sea {A1, . . . ,An} una familia finita de anillos arbitrarios, n
1. Entonces,
(i)
Qn
i=1 Ai es conmutativo si, y sólo si, Ai es conmutativo, para cada 1 i n.
36

4.1. DEFINICI ÓN Y PROPIEDADES ELEMENTALES 37
Qn
(ii) (a1, . . . , an) 2 (
i=1 Ai) si, y sólo si, ai 2 Ai
, para cada 1 i n.
(iii) Se tiene el isomofismo de grupos
Qn
(
i=1 Ai) =
A1
× · · · × A
n.
(iv) Para n 2, el anillo producto
Qn
i=1 Ai siempre tiene divisores de cero.
Demostracion. Éjercicio para el lector.
Proposicion ´4.1.2. Sea {A1, . . . ,An}, n 1, una familia de anillos. Entonces,
Q(i) Los ideales izquierdos (derechos, bilateros) ´del anillo producto
n
i=1 Ai, son de
la forma
I1 × · · · × In := {(a1, . . . , an) | ai 2 Ii},
donde cada Ii es un ideal izquierdo (derecho, bilátero) del anillo Ai.
(ii) Si I1, . . . , In son ideales biláteros propios de A1, . . . ,An respectivamente, en-tonces
A1 × · · · × An /I1 × · · · × In
=
(A1/I1) × · · · × (An/In) .
(iii) Si para cada 1 i n, Ai es un anillo de ideales izquierdos (derechos,
biláteros) principales, entonces
Qn
i=1 Ai es un anillo de ideales izquierdos (dere-chos,
biláteros) principales.
Demostracion. ´Probaremos solo la parte (iii) para el caso bilátero, las demás pruebas
quedan como ejercicio para el lector. Si cada QAi es un anillo de ideales biláteros
principales, entonces sea I un bilátero de
n
i=1 Ai, según (i) I es de la forma I =
I1 × · · · × In = ha1i × · · · × hani, luego
I = h(a1, . . . , an)i.
En efecto, cada x 2 ha1i × · · · × hani es de la forma
x =

Xm1
k=1
b(1)
k a1c(1)
k , . . . ,
Xmn
k=1
b(n)
k anc(n)
k
!
, b(i)
k , c(i)
k 2 Ai.
Sin pérdida de generalidad podemos suponer que m1 = m2 = · · · = mn = m, de
donde
x =
Xm
i=1

b(1)
i , . . . , b(n)
i

(a1, . . . , an)

c(1)
i , . . . , c(n)
i

2 h(a1, . . . , an)i .

38 CAPÍTULO 4. PRODUCTO DE ANILLOS
Observación 4.1.3. El producto de anillos se puede extender a una familia arbi-traria
no vac´ıa de anillos definiendo las operaciones por componentes; en particular,
nótese que el anillo producto de una familia de anillos iguales {Ai}i2C, Ai := A,
coincide con el anillo de funciones de C en A, es decir,
Q
i2C Ai = AC = {f : C −! A|f es una función}.
4.2. Teorema chino de residuos
Para n 2 y
1 · · · prk
n = pr1
k ; pi primo, ri 1, 1 i k,
la descomposición de n en producto de primos, se tiene el isomorfismo de grupos
Zn
=
Zp
r1
1
× · · · × Zp
rk
k
.
Puesto que nosotros estamos considerando a Zn como un anillo, preguntamos si
el isomorfismo anterior es válido también considerando los objetos como anillos.
Por medio del torema chino de residuos daremos una respuesta afirmativa a esta
pregunta.
Teorema 4.2.1 (Teorema chino de residuos). Sea A un anillo y sean I1, . . . , In,
n 2, ideales biláteros de A tales que Ii + Ij = A, para cualesquiera ´ındices i6= j
Entonces, dada una familia finita de elementos a1, . . . , an 2 A, existe un elemento
a 2 A, tal que a − ai 2 Ii para cada 1 i n.
Demostración. Sean I1, I2 ideales de A tales que I1+I2 = A, y sean a1, a2 elementos
cualesquiera de A. Existen elementos b1 2 I1, b2 2 I2 tales que 1 = b1 + b2. El
elemento a := a2b1 + a1b2 satisface la condición pedida. En efecto,
a − a1 = a2b1 + a1 (b2 − 1) = a2b1 + a1 (−b1) = (a2 − a1) b1 2 I1.
Análogamente, a − a2 2 I2. Sean I1, . . . , In y a1, . . . , an ideales y elementos de A
que satisfacen las hipótesis del teorema. QPara i 2 existen xi 2 I1, bi 2 Ii tales que
xi +bi = 1. Resulta entonces que
n
i=2 (xi + bi) = 1, y este producto está en el ideal
I1 +
Qn
i=2 Ii. Por lo demostrado para dos ideales, existe z1 2 A tal que z1 −1 2 I1 y
z1 − 0 2
Qn
i=2 Ii. Pero como
Qn
i=2 Ii Ii para cada 2 i n, entonces resulta
z1 − 1 2 I1 y z1 2 Ii, para i 2.
Podemos repetir la prueba para las parejas de ideales (I2,
Q
i6=2 Ii), . . . , (In,
Q
i6=n Ii),
y encontramos elementos z2, . . . , zn 2 A tales que
zj − 1 2 Ij y zj 2 Ii, para i6= j.

4.3. EJERCICIOS 39
Comprobemos que el elemento a := a1z1 + · · · + anzn satisface la condición exigida:
a − ai = a1z1 + · · · + ai−1zi−1 + ai (zi − 1) + ai+1zi+1 + · · · + anzn
Como zj 2 Ii para i6= j y zi − 1 2 Ii, entonces a − ai 2 Ii, para 1 i n.
Corolario 4.2.2. Sean A e I1, . . . , In como en el enunciado del teorema anterior.
Entonces,
(i) La función definida por
f : A −!
Qn
i=1 A/Ii
a7−! f (a) := (a, . . . , a) , con a := a + Ii
es un homomorfismo sobreyectivo de anillos.
(ii) ker (f) =
Tn
i=1 Ii.
(iii) A/
Tn
i=1 Ii
=
Qn
i=1 A/Ii.
1 · · · prk
Ejemplo 4.2.3. Sea n = pr1
k , pi primo, ri 1, 1 i k, se tiene entonces el
isomorfismo de anillos
Zn
=
Zp
r1
1
× · · · × Zp
rk
k
.
En efecto, basta considerar en el corolario anterior,
Ii := hpri
i i, 1 i k,
y entonces
Tn
i=1 Ii =
D
m.c.m. {pri
i }k
i=1
E
= hni.
4.3. Ejercicios
2. Demuestre el corolario 4.2.2.
3. Si A1 y A2 son anillos de caracter´ıstica n16= 0 y n26= 0, respectivamente,
entonces char (A1 × A2) es el m´ınimo común múltiplo de n1 y n2. De otra
parte, si n1 = 0 o n2 = 0, entonces la caracter´ıstica del anillo producto es cero.
4. Sean A,A1, . . . ,Ak anillos tales que

40 CAP´ITULO 4. PRODUCTO DE ANILLOS
A =
A1 × · · · × Ak.
Pruebe el isomorfismo
Mn (A) =
Mn (A1) × · · · ×Mn (Ak), n 1.
5. Determine todos los ideales de Q × Zn, n 2.

Cap´ıtulo 5
Ideales primos y maximales
Aunque los conceptos que se introducen a continuación se estudian por lo general
para anillos conmutativos, aqu´ı se analizarán en el caso general no conmutativo.
Definición 5.1.1. Sean A un anillo e I un ideal bilátero propio de A.
(i) Se dice que I es un ideal maximal de A si para cada ideal bilátero J de A
se tiene que
I J , J = I, ó, J = A.
(ii) Se dice que I es un ideal completamente primo de A si para cualesquiera
a, b 2 A se cumple que
ab 2 I , a 2 I, o, b 2 I.
(iii) Se dice que I es un ideal primo de A si para cualesquiera I1 e I2 ideales
biláteros de A se tiene que
I1I2 I , I1 I, o, I2 I.
Proposición 5.1.2. Sean A un anillo e I un ideal bilátero propio de A.
(i) Si I es completamente primo, entonces I es primo. Además, si A = R es
conmutativo, la afirmación rec´ıproca es válida.
(ii) I es completamente primo si, y sólo si, A/I no posee divisores de cero. Si
A = R es conmutativo, se cumple que
41

42 CAPÍTULO 5. IDEALES PRIMOS Y MAXIMALES
I es primo si, y sólo si, A/I es un dominio de integridad.
(iii) I es maximal si, y sólo si, A/I es un anillo simple. Si A = R es conmutativo,
se cumple que
I es maximal si, y sólo si, R/I es un cuerpo.
(iv) El ideal nulo 0 es completamente primo si, y sólo si, A es anillo sin divisores
de cero. En el caso conmutativo, 0 es primo si, y sólo si, R es un dominio de
integridad.
(v) El ideal nulo es maximal si, y sólo si, A es un anillo simple. En el caso con-mutativo
se tiene que
0 es maximal si, y sólo si, R es un cuerpo.
(vi) Si I es un ideal maximal de A, entonces I es primo.
(vii) En un dominio de ideales principales todo ideal primo no nulo es maximal.
Demostración. (i) Sean I completamente primo en A y I1, I2 ideales de A tales que
I1I2 I, supóngase que I1 no está contenido en I, es decir, existe a 2 I1, a /2 I.
Sea b un elemento cualquiera de I2, puesto que ab 2 I1I2 I, entonces b 2 I. De
aqu´ı obtenemos que I2 I. Sea ahora R un anillo conmutativo y sean a, b 2 R tales
que ab 2 I. Entonces, habi = hai hbi I, con lo cual hai I, o, hbi I, es decir,
a 2 I, o, b 2 I.
(ii) Sean a = a + I, b = b + I en A/I. Entonces, ab = 0 implica que ab 2 I,
con lo cual, a 2 I, o, b 2 I, es decir, a = 0, o, b = 0. Rec´ıprocamente, si a, b 2 A
son tales que ab 2 I, entonces ab = 0, o equivalentemente, ab = 0. Resulta entonces
que a 2 I, o, b 2 I. El caso conmutativo es consecuencia directa de que R/I es
conmutativo.
(iii) Se obtiene del teorema de correspondencia (véase el teorema 3.2.7). En el
caso conmutativo, anillo simple y cuerpo son conceptos equivalentes.
(iv) Es consecuencia directa de (ii).
(v) Es consecuencia directa de (iii).
(vi) Sea L un ideal maximal de A y sean I, J ideales biláteros de A tales que
IJ L. Supongamos que I * L, entonces existe x 2 I tal que x /2 L. El ideal
bilátero L + hxi contiene propiamente a L, luego A = L + hxi. Existen y 2 L y
z 2 hxi tales que 1 = y + z. Sea w 2 J, entonces w = yw + zw, con yw 2 L y
zw 2 IJ L, por tanto w 2 L. Esto prueba que J L, con lo cual L es primo.
(vii) Sea I un ideal primo no nulo de R. Existe a6= 0 en R tal que I = hai . Sea J
un ideal de R tal que I J; J es también de la forma J = hbi, b 2 R, b6= 0. Resulta

5.1. DEFINICIONES Y EJEMPLOS 43
entonces que a = bc, con c 2 R, es decir, bc 2 hai. De aqu´ı obtenemos que b 2 hai, o,
c 2 hai, con lo cual hbi = hai, o, c = aa0, a0 2 R. En la segunda posibilidad, c = bca0,
es decir, c (1 − ba0) = 0. Como c6= 0, entonces b 2 R y hbi = R. As´ı pues, J = I,
o, J = R, e I resulta maximal.
Ejemplo 5.1.3. En Z los ideales primos no nulos y los maximales coinciden. Ellos
son de la forma hpi, con p primo. 0 es ideal primo en Z, pero no es maximal.
Ejemplo 5.1.4. Sea m 2 no primo. Según el ejemplo 3.2.11, los ideales de Zm
son de la forma hni con n | m. Del punto (iii) de la proposición anterior resulta que
los ideales maximales de Zm son de la forma hpi, p | m, p primo, y según (ii) de
la misma proposición, éstos son también los ideales primos. Si m es primo, 0 es el
único ideal maximal y el único ideal primo de Zm.
Ejemplo 5.1.5. Los ideales maximales del anillo de matrices Mn (A), n 2, son
de la forma Mn (I) , donde I es un ideal maximal de A. Esto es consecuencia del
ejemplo 2.1.6.
Ejemplo 5.1.6. Ideales maximales y primos de Mn (Z) , n 2: de los ejemplos 5.1.3
y 5.1.5 obtenemos que los ideales maximales de Mn (Z) son de la forma Mn (hpi),
con p primo. Obsérvese que el ideal nulo de Mn (Z) es primo y, sin embargo, no es
maximal. En efecto, sean Mn (hri) ,Mn (hsi) ideales biláteros de Mn (Z) tales que
Mn (hri)Mn (hsi) 0. Teniendo en cuenta que
Mn (hri)Mn (hsi) = Mn (hrsi),
resulta hrsi = 0, con lo cual hri = 0, o, hsi = 0. Mostremos ahora que los ideales
primos no nulos coinciden con los maximales: sabemos ya que todo maximal es primo;
de otra parte, si p no es primo, existen r, s 2 Z+, con 1 r, s p, tales que p = rs.
Se tiene entonces que Mn (hri)Mn (hsi) = Mn (hpi); pero ni Mn (hri), ni Mn (hsi)
están contenidos en Mn (hpi) . En efecto, rE11 2 Mn (hri), pero rE11 /2 Mn (hpi);
sE11 2 Mn (hsi) y sE11 /2 Mn (hpi). Resulta entonces que Mn (hpi) no es primo.
Ejemplo 5.1.7. Ideales maximales y primos de Mn (Zm) , n,m 2: supongamos
inicialmente que m no es primo. De los ejemplos 5.1.4 y 5.1.5 obtenemos que los
ideales maximales de Mn (Zm) son de la forma Mn (hpi), p | m, p primo. Estos ide-ales
coinciden con los primos. En efecto, como todo maximal es primo, veamos que
éstos son los únicos ideales primos de Mn (Zm): sea Mn

k

un ideal de Mn (Zm),
con k no primo. Existen

entonces
1 r, s k tales que k = rs; nótese que
Mn (hri)Mn (hsi) = Mn
k
, y sin embargo ni Mn (hri), ni Mn (hsi) están con-tenidos
en Mn

k

. En efecto, notemos que rE11 /2 Mn

k

y sE11 /2 Mn

k

(en caso contrario r = t · k, 0 t m − 1, con lo cual m| (rst − r), y como k | m,
existir´ıa w 2 Z, tal que rst − r = wrs; de aqu´ı resultar´ıa que s | 1, lo cual es con-tradictorio.
De manera análoga se establece que sE11 /2 Mn

k

). Esto demuestra

que Mn

k

no es primo. Resta observar que el ideal nulo no es primo ya que m
no es primo.
Si m es primo, 0 es el único ideal primo y el único ideal maximal en Mn (Zm).
Compárense estos resultados con el ejemplo 5.1.4.
Ejemplo 5.1.8. Ideal primo no completamente primo: sean A un anillo y Mn (A)
su anillo de matrices de orden n 2. Nótese que Mn (A) no posee ideales com-pletamente
primos. En efecto, si I6= A es un ideal bilátero de A tal que Mn (I)
es completamente primo, entonces Mn (A) /Mn (I) =
Mn (A/I) no posee divisores
de cero; pero cualquier anillo de matrices de orden n 2 posee divisores de cero.
Considerando en particular A = Z, resulta que 0 es primo en Mn (Z), pero no es
completamente primo.
Ejemplo 5.1.9. Ideal maximal no complementamente primo: sean n 2 y p un pri-mo
cualquiera. Según el ejemplo 5.1.6, Mn (hpi) es maximal de Mn (Z), sin embargo,
como acabamos de ver, no es completamente primo.
5.2. Comportamiento a través de homomorfismos
Queremos estudiar ahora el comportamiento de los ideales completamente primos,
primos y maximales a través de homomorfismos.
Proposición 5.2.1. Sea f : A1 −! A2 un homomorfismo de anillos, y sean I y J
ideales biláteros propios de A1 y A2, respectivamente.
(i) Si f es sobreyectivo, entonces
J es maximal ) f−1 (J) es maximal.
(ii) Si f es sobreyectivo y ker (f) I entonces
I es maximal ) f (I) es maximal.
(iii) J es completamente primo ) f−1 (J) es completamente primo.
(iv) Si f es sobreyectivo y ker (f) I entonces
I es completamente primo ) f (I) es completamente primo.
(v) Si f es sobreyectivo, entonces
J es primo ) f−1 (J) es primo.

5.2. COMPORTAMIENTO A TRAVÉS DE HOMOMORFISMOS 45
(vi) Si f es sobreyectivo y ker (f) I entonces
I es primo ) f (I) es primo.
Demostración. Nótese inicialmente que f−1 (J) y f (I) son propios.
(i) Considérese el homomorfismo compuesto jf:
A1
f
−! A2
j
−! A2/J ,
donde j es el homomorfismo canónico, jf es sobreyectivo y con núcleo f−1 (J). El
isomorfismo
A2/J =
A1/f−1 (J)
garantiza que A1/f−1 (J) es simple y, en consecuencia, f−1 (J) es maximal.
(ii) El homomorfismo sobreyectivo jf tiene por núcleo I:
A1
f
−! A2
j
−! A2/f (I) ,
De esto obtenemos que A1/I =
A2/f (I), y as´ı f (I) es maximal.
(iii) Si ab 2 f−1 (J) entonces f (a) f (b) 2 J; esto es, f (a) 2 J, o, f (b) 2 J, y
por tanto, a 2 f−1 (J), o, b 2 f−1 (J).
(iv) Análogo al punto (ii).
(v) Sean I1, I2 ideales biláteros de A1, tales que I1I2 f−1 (J). Entonces por
la sobreyectividad de f se tiene que f (I1) f (I2) J, y f (I1) , f (I2) son ideales
biláteros de A2. Como J es primo, f (I1) J, o, f (I2) J. De aqu´ı resulta
I1 f−1 (f (I1)) f−1 (J), o, I2 f−1 (f (I2)) f−1 (J) .
(vi) Sean J1, J2 ideales biláteros de A2 tales que J1J2 f (I), entonces f−1 (J1J2)
f−1 (f (I)). Pero f−1 (f (I)) = I. Además, f−1 (J1) f−1 (J2) f−1 (J1J2) I,
y como I es primo, entonces f−1 (J1) I, o, f−1 (J2) I. Nuevamente, por la
sobreyectividad de f se tiene que J1 f(I), o, J2 f(I). Esto completa la prueba
del punto (vi) y de la proposición.
Ejemplo 5.2.2. Las restricciones de la proposición anterior sobre sobreyectividad
y contenencia del núcleo son sustanciales: consideremos la inclusión canónica de
: Z −! Q
k7−! k
0 es maximal en Q, pero −1 (0) = 0 no es maximal en Z. De otra parte, nótese que
para el homomorfismo canónico
: Z −! Z8
k7−! k = k + h8i

h7i es maximal en Z, pero (h7i) = Z8. Obsérvese que ker () = h8i no está contenido
en h7i.
El ejemplo 5.1.8 pone de manifiesto que no todo anillo posee ideales completa-mente
primos; no ocurre as´ı con los maximales. La prueba de este importante hecho
se apoya en uno de los supuestos de la teor´ıa de conjuntos conocido como el lema
de Zorn.
Lema 5.2.3 (Lema de Zorn). Sea (P,) un conjunto parcialmente ordenado. Si
cada subconjunto no vac´ıo y totalmente ordenado de P tiene cota superior, entonces
en P existe al menos un elemento maximal.
Teorema 5.2.4. Cada anillo posee al menos un ideal maximal.
Demostración. Sean A un anillo y P el conjunto de ideales biláteros propios de A;
nótese que P6= ; ya que 0 2 P. Respecto a la relación de inclusión , P es un
conjunto parcialmente ordenado. Sean S un subconjunto totalmente ordenado de P
e
I0 :=
S
J2S J
la reunión de los ideales de S. I0 es un ideal bilátero propio de A. En efecto, si
a, b 2 I0 entonces existen ideales biláteros J1, J2 2 S tales que a 2 J1, b 2 J2, por
el orden total podemos suponer por ejemplo que J1 J2, con lo cual a + b 2 J2
I0. Análogamente, si a 2 I0 y x 2 A, existe J 2 S tal que a 2 J, de aqu´ı obtenemos
que ax, xa 2 J I0. I0 es propio debido a la escogencia de los elementos de P.
Evidentemente I0 es cota superior de S. De acuerdo con el lema de Zorn, existe un
ideal bilátero I en P que es elemento maximal respecto a la inclusión. Puesto que la
maximalidad se definió en términos de la relación de inclusión, entonces I es ideal
maximal de A.
Corolario 5.2.5. Sea A un anillo. Entonces,
(i) Cada ideal bilátero propio de A está contenido en un ideal maximal.
(ii) Cada elemento no invertible de R está contenido en un ideal maximal (R es
un anillo conmutativo).
Demostración. (i) Sea I un ideal bilátero propio de A y A/I el anillo cociente
determinado por I. Sea J un ideal maximal de A/I. De acuerdo con la proposición
3.2.5 y la proposición 5.2.1, j−1 (J) es un ideal maximal de A que contiene a I,
donde j : A −! A/J es el homomorfismo canónico.
(ii) Sea x un elemento no invertible de R; entonces hxi6= R, y por el numeral
anterior, hxi está contenido en un ideal maximal de R.

5.2. COMPORTAMIENTO A TRAVÉS DE HOMOMORFISMOS 47
Ejemplo 5.2.6. El anillo de matrices Mn (K) de orden n 2 sobre un cuerpo K
muestra que el punto (ii) del corolario anterior no es válido para anillos no conmu-tativos.
En efecto, la matriz E11 no es invertible y el único ideal maximal de Mn (K)
es el nulo.
Ejemplo 5.2.7. Anillos conmutativos locales: un anillo conmutativo R se dice
que es local si tiene exactamente un ideal maximal. Sea J dicho ideal. Entonces se
cumple que J = R − R, donde R es el grupo de elementos invertibles del anillo
R. La igualdad anterior caracteriza a los anillos locales. Más exactamente, sea R un
anillo conmutativo, R es local si, y sólo si, R − R es un ideal. En efecto, sea J el
maximal de R y sea x 2 J, entonces x /2 R luego x 2 R − R; rec´ıprocamente, si
x 2 R − R, entonces x /2 R y en consecuencia x pertenece a algún ideal maximal,
pero el único es J, luego x 2 J. Hemos probado que J = R−R. Supongamos ahora
que R − R es un ideal y veamos que R es local: sea I un maximal de R, entonces
I R − R, pero como R − R es un ideal propio, entonces I = R − R, es decir,
R − R es el único maximal de R.
Ejemplo 5.2.8. De los ejemplos 5.1.4 y 5.2.7 obtenemos que Zm, m 2, es local
si, y sólo si,, m es de la forma m = pk, k 1, con p primo. El ideal maximal es
J = hpi. Ilustremos estos resultados con p = 2, k = 3:
Z8
=

1, 3, 5, 7

, Z − Z8
=

0, 2, 4, 6

=

2

.
Ejemplo 5.2.9. Ideales Qmaximales del anillo producto: sea {A1, . . . ,An} una familia
finita de anillos y
n
i=1 Ai su anillo producto. Para cada 1 i n, la proyección
i :
Qn
i=1 Ai −! Ai
(a1, . . . , an)7−! ai
es un homomorfismo sobreyectivo de anillos. Fijemos el ´ındice i y sea Ii un ideal
maximal de Ai. Entonces −1
i (Ii) = A1 ×· · ·×Ii ×· · ·×An, y según la proposición
5.2.1, este último producto es un ideal maximal de
Qn
i=1 Ai. Rec´ıprocamente, sea
J un ideal maximal de
Qn
i=1 Ai. Según la proposición 4.1.2, J es de la forma J =
I1 × · · · × In, donde Ii es un ideal bilátero de Ai, 1 i n. Existe algún i,
1 i n, tal que Ii6= Ai, ya que en caso contrario J no ser´ıa propio. Nótese que
necesariamente Ij = Aj para cada j6= i, es decir, J = A1 × · · · × Ii × · · · × An. En
efecto, si para algún j6= i, Ij6= Aj , entonces,
J A1 × · · · × Ai × · · · × Ij × · · · × An
Qn
i=1 Ai
y J no ser´ıa maximal. Por último J ker (i) = A1 × · · · × 0 × · · · × An y, según
la proposición 5.2.1, i (J) = Ii es maximal en Ai. Esto completa la prueba de la
descripción de los ideales maximales del anillo producto. Obsérvese que

A1 × · · · × An/A1 × · · · × Ii × · · · × An
=
Ai/Ii,
para cada ideal propio Ii de Ai, 1 i n.
Si tomamos en particular Q una colección finita de cuerpos T1, . . . , Tn, entonces n
i=1 Ti tiene n ideales maximales: 0×T2×· · ·×Tn, T1×0×· · ·×Tn, T1×T2×· · ·×0;
la intersección de los cuales es nula. Un anillo A es semilocal si su colección de
ideales maximales es finita.
5.3. Ejercicios
1. Sean A un anillo y P un ideal bilátero propio de A. Demuestre que P es primo
si, y sólo si, para cada par de elementos a, b 2 A se cumple
aAb P , a 2 P o b 2 P.
2. Sean A un anillo y P un ideal bilátero propio de A. Demuestre que P es
primo si, y sólo si, para cada par de ideales derechos I, J de A se tiene que
IJ P , I P o J P. Demuestre esta misma propiedad para ideales
izquierdos.
3. Sean A un anillo y P un ideal bilátero propio de A. P es primo si, y sólo si,
para cada par de ideales I, J de A que contengan propiamente a P se tiene
que IJ * P.
4. Un anillo A es primo si el ideal nulo es primo. Sea I un ideal propio de A.
Demuestre que I es primo si, y sólo si, A/I es un anillo primo.
5. Sea R un anillo conmutativo y sean P1, . . . , Pn ideales primos de R. (i) Suponga
que I es un ideal de R contenido en [n i=1Pi. Pruebe que existe i tal que I Pi.
(ii) Sean I1, . . . , It ideales de R y sea P un ideal primo de P que contiene
a t
j=1Ij . Pruebe que existe j tal que P Ij . (iii) Si P = t
j=1Ij , entonces
pruebe que existe j tal que P = Ij .
6. Sea R un anillo conmutativo en el que cada elemento x satisface la condición
xn = x, para algún n 1 (dependiente de x). Demuestre que todo ideal primo
de R es maximal.
7. Sea R un anillo conmutativo. El radical primo de R es la intersección de
todos los ideales primos de R, y se denota por rad(R). Demuestre que rad(R)
coincide con la colección de elementos nilpotentes de R (r 2 R es nilpotente
si existe n 1 tal que rn = 0).
8. Sea R un anillo conmutativo y sea I un ideal de R. Demuestre que
p
I coincide
con la intersección de todos los ideales primos de R que contienen I.

Cap´ıtulo 6
Dominios de integridad
Entre los dominios de integridad comunmente encontrados en álgebra se destacan los
dominios euclidianos, los dominios de ideales principales y los dominios gaussianos
(también conocidos como dominios de factorización única). Su importancia radica
en la artimética que se puede desarrollar sobre ellos, conformándose as´ı un área
interesante de estudio. Nosotros nos limitaremos a presentarlos y a estudiar algunas
de sus propiedades más importantes.
Definición 6.1.1. Sea R un dominio de integridad y sean a, b 2 R con a6= 0. Se
dice que a divide b, o que b es múltiplo de a, lo cual denotaremos por a | b, si
existe c 2 R tal que b = ac.
Ejemplo 6.1.2. En Z, 2 | 6, 2 - 5. En Z7, 2 | 6 y 2 | 5 ya que 6 = 2 · 3, 5 = 2 · 6.
Definición 6.1.3. Sea R un dominio de integridad (DI) y sean a y b elementos de
R. Se dice que a y b son asociados, lo cual escribimos como a b, si existe u 2 R
tal que a = bu.
Ejemplo 6.1.4. Divisores triviales. Sea R un DI y a un elemento cualquiera
de R. Los elementos invertibles de R y los elementos asociados con a son divisores
de a, conocidos como los divisores triviales de a.
Definición 6.1.5. Sea R un DI. Un elemento a no nulo y no invertible de R, se
dice irreducible si sus únicos divisores son los triviales.
Ejemplo 6.1.6. En Z, 2 es irreducible, 6 no es irreducible. En un anillo de división,
por definición, no hay elementos irreducibles. As´ı pues, en Q, R y C no hay elementos
irreducibles.
49

50 CAPÍTULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD
Ejemplo 6.1.7. Consideremos el subconjunto de números complejos de la forma
Z
p

:=
−3

a + b

,
p
−3 | a, b 2 Z
Z
p

es un dominio de integridad con las operaciones usuales de adición y mul-tiplicaci
ón de complejos. Nótese que 2 es un elemento irreducible de Z
−3
p

, pero
−3
7 no lo es. En efecto, si definimos la norma de z = a + b
p
−3 , a, b 2 Z, por
N (z) := zz =

a + b
p
−3

a − b
p
−3

= a2 + 3b2
podemos observar que
N (z1z2) = N (z1)N (z2),
para cualesquiera z1, z2 en Z
p

. Esto permite determinar los elementos inverti-bles
−3
de Z
p

: sea z = a+b
−3
p
−3 2 Z
p

, entonces N (zz−1) = N (1) = 1 =
−3
N (z)N (z−1); como N p
(z) es un entero no negativo se obtiene que a2 + 3b2 = 1,

con lo cual z = ±1 y Z
−3
= {1,−1}.
Podemos probar las afirmaciones formuladas antes: sea z = a + b
p
−3 , a, b 2 Z,
tal que z | 2. Existen entonces a0, b0 2 Z tales que 2 =

a + b
p
−3

a0 + b0
p
−3

.
De aqu´ı obtenemos 4 = (a2 + 3b2) (a20
+ 3b20
). Se presentan entonces tres casos:
(i) a2 + 3b2 = 4, a20
+ 3b20
= 1,
(ii) a2 + 3b2 = 1, a20
+ 3b20
= 4,
(iii) a2 + 3b2 = 2, a20
+ 3b20
= 2.
Los dos primeros casos son análogos y veremos sólo el primero. El tercero no tiene
soluciones en Z. Considerando las posibles formas de descomponer 4 y 1 en suma de
enteros no negativos, obtenemos que a = ±1, b = ±1, a0 = ±1, b0 = 0; o también,
a = ±2, b = 0, a0 = 1, b0 = 0, a = −2, b = 0, a0 = −1, b0 = 0, es decir, los únicos
divisores de 2 son los triviales.
Nótese por último que 7 =

2 +
p
−3

2 −
p
−3

, pero 2 +
p
−3 y 2 −
p
−3
no son divisores triviales de 7.
Definición 6.1.8. Diremos que el elemento no nulo a de R es primo si hai es un
ideal primo.
Proposición 6.1.9. Sea R un DI y sea a primo, entonces a es irreducible.
Demostración. En efecto, si hai es primo entonces hai6= R y as´ı a /2 R. Sea m 2 R
un divisor de a; entonces a = mn, n 2 R, y en el cociente R/ hai resulta 0 = m · n,
con lo cual m = 0, o, n = 0, es decir, m 2 hai, o, n 2 hai. Se tiene entonces que
m = ra, con r 2 R, o, n = sa, con s 2 R. En el primer caso a = ran, de donde
n 2 R. En el segundo caso m 2 R. As´ı pues, a es irreducible.

6.2. DOMINIOS GAUSSIANOS 51
Ejemplo 6.1.10. Obsérvese que el rec´ıproco de lo afirmado en la proposición an-terior
no siempre es cierto, como lo muestra el ejemplo anterior: 2 es irreducible en
Z
p

pero h2i no es un ideal primo:

1 +
−3
p
−3

1 −
p
−3

= 4 2 h2i, pero

1 +
p
−3

,

1 −
p
−3

/2 h2i.
6.2. Dominios gaussianos
Existen dominios como el de los enteros donde es posible efectuar divisiones con
residuo. Este tipo de dominio de integridad conforma una subclase de una clase
más amplia con propiedads aritméticas importantes como es la clase de los dominios
gaussianos.
Definición 6.2.1. Sea R un DI; se dice que R es un dominio euclidiano (DE) si
existe una función d definida sobre los elementos no nulos de R y tomando valores
enteros no negativos
d : R − {0} −! N [ {0}
tal que:
(i) Para cualesquiera elementos no nulos a, b 2 R, d (ab) d (a).
(ii) (División con residuo) Para cada elemento a 2 R y cada elemento no nulo
b 2 R, existen elementos q, r 2 R tales que:
a = bq + r, donde r = 0, ó, d (r) d (b) .
Ejemplo 6.2.2. Los números enteros Z con la función valor absoluto d = | | consti-tuyen
un dominio eculidiano: sean a, b enteros no nulos. Entonces |b| 1, |a| |b| |a|
y |a| |ab|, verificándose as´ı la primera condición de la definición anterior. Sean
ahora, a, b enteros con b6= 0. Distinguiremos dos casos:
Caso 1. b 0. Consideremos los conjuntos
M := {a − bx | x 2 Z}, y M+ := {z 2 M | z 0}.
Nótese que M+6= ;. En efecto, si a 0 entonces a 2 M+. Si a 0 entonces a −1,
−a 1, a (−a) a. Además, como b 0, entonces −b 0, (−b) (−a2) −ba,
de donde a − b (−a2) a − ba = a (1 − b) 0 (La última desigualdad es cierta ya
que b 0 implica b 1, 1 − b 0, a (1 − b) 0). Tomando x = −a2 resulta que
también en este caso a − b (−a2) 2 M+.
Como el conjunto de los enteros no negativos es bien ordenado, concluimos que
M+ tiene un primer elemento r0. Sea q0 2 Z tal que r0 = a−bq0. Tenemos entonces
que a = bq0 + r0 con r0 0. Supongamos que r0 b. Entonces, a − bq0 b,
es decir, a − b (q0 + 1) 0 y as´ı a − b (q0 + 1) 2 M+. Por la condición de r0,
a − b (q0 + 1) r0 = a − bq0, con lo cual −b 0 y se obtiene una contradicción.

52 CAPÍTULO 6. DOMINIOS DE INTEGRIDAD
a = bq0 + r0, donde r0 = 0, ó, 0 r0 b.
Caso 2. b 0. Consideremos los conjuntos
N := {bx − a | x 2 Z} y N+ := {z 2 N | z 0}.
Nuevamente N+ es un conjunto no vac´ıo: si a 0 entonces −a 0 y −a 2 N+.
Sea a 0; como b 0, entonces b −1, b (−a2) (−1) · (−a2) = a2, b (−a2) 0.
Tomando x = −a2 encontramos que b (−a2) − a 2 N+. Sea t1 el primer elemento
de N+ y q1 2 Z tal que t1 = bq1 − a. Resulta de aqu´ı que a = bq1 − t1 con −t1 0.
Supóngase que −t1 b, entonces, t1 −b, bq1 − a −b, b (q1 + 1) − a 2 N+ y,
por la escogencia de t1, b (q1 + 1) − a t1 = bq1 − a, es decir, b 0 lo cual es una
contradicción. Se tienen pues en este segundo caso enteros q1, t1 tales que
a = bq1 + (−t1), donde −t1 = 0, ó, b −t1 0.
De los dos casos considerados resulta que dados a, b 2 Z con b6= 0, existen q, r 2 Z
tales que:
a = bq + r, con r = 0, ó, |r| |b|,
cumpliéndose as´ı la segunda condición de la definición 6.2.1.
Definición 6.2.3. Sea R un DI y sean a, b elementos no nulos de R. El elemento
d 2 R se dice que es un máximo común divisor de los elementos a y b, si:
(i) d | a y d | b.
(ii) Cada elemento c 2 R que divida simultáneamente a y b es también un divisor
de d.
Esta relación se denota por d := m.c.d. (a, b).
Un m´ınimo común múltiplo de a y b es un elemento c 2 R tal que:
(i) a | c y b | c.
(ii) Cada elemento f 2 R tal que a | f y b | f cumple c | f.
Esta relación se denota por c := m.c.m. (a, b).
Los conceptos de máximo común divisor y elemento irreducible cobran especial
importancia en los dominios de ideales principales (DIP).
Proposición 6.2.4. Sea R un DIP. Entonces,
(i) Cada par de elementos no nulos a, b 2 R tienen un máximo común divisor d,
el cual se puede expresar en la forma

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