Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).
Este documento explica conceptos básicos de geometría analítica como el plano cartesiano, la distancia entre puntos, el punto medio, ecuaciones de circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas y cómo representar estas curvas cónicas gráficamente. También propone como ejercicio ubicar algunos puntos en el plano cartesiano.
Ähnlich wie Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).
Ähnlich wie Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas). (20)
Plano Numérico. (Distancia. Punto Medio. Ecuaciones y trazado de circunferencias, Parábolas, elipses, hipérbola. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas).
1. Estudiante
Andrés Melo 31,088,972
Sección: IN0124.
Plano
Numérico
Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto – Estado Lara
LINK SLIDESHARE:
2. Plano Numérico
Se llama plano numérico o cartesiano o sistema cartesiano a un
diagrama de coordenadas ortogonales usadas para operaciones
geométricas en el espacio euclídeo (o sea, el espacio geométrico
que cumple con los requisitos formulados en la antigüedad por
Euclides).
Se utiliza para representar gráficamente funciones matemáticas y
ecuaciones de geometría analítica. También permite representar
relaciones de movimiento y posición física.
Se trata de un sistema bidimensional, constituido por dos ejes que
se extienden desde un origen hasta el infinito (formando una cruz).
Estos ejes se interceptan en un único punto (que denota el punto
de origen de coordenadas o punto 0,0).
Sobre cada eje se trazan un conjunto de marcas de longitud, que
sirven de referencia para ubicar puntos, trazar figuras o
representar operaciones matemáticas. O sea, es una herramienta
geométrica para poner estas últimas en relación gráficamente.
3. Distancia entre dos puntos
Para estudiar la distancia entre dos punto consideremos la siguiente figura.
En la figura podemos encontrar dos puntos y en el plano
cartesiano unidos por un vector. La magnitud del vector coloreado en rojo y que
une los puntos, es el valor que representa distancia entre los puntos y
Fórmula para calcular la distancia entre dos puntos y el teorema de
Pitágoras
La fórmula para calcular dicha magnitud está dada por la siguiente expresión:
El valor de esta fórmula puede ser obtenido usando el Teorema de Pitagoras. Para
ello, consideremos el triángulo rectángulo de vértices
Notemos que el valor de la hipotenusa de este triángulo es la distancia entre los
puntos
Ya que la magnitud de los segmentos que unen Son y
respectivamente
El Teorema de Pitágoras afirma que el valor de la hipotenusa o la distancia entre y es
4. Punto medio
El punto medio es un punto que se ubica exactamente en la mitad de un segmento de línea
que une a dos puntos. Por ejemplo, si es que tenemos dos puntos y los unimos con un
segmento de línea, el punto medio se ubicará en la mitad de ese segmento y será
equidistante a ambos puntos.
En el siguiente diagrama tenemos los puntos A y B, los cuales están unidos por un
segmento. El punto C es el punto medio, ya que está exactamente en la mitad del
segmento. Para calcular la ubicación del punto medio, simplemente tenemos que medir la
longitud del segmento y dividir por 2.
Un punto medio puede ser calculado solo cuando tenemos a un segmento que une a dos
puntos, ya que tiene una ubicación definida. El punto medio no puede ser calculado para
una línea o un rayo, ya que una línea tiene dos extremos que se extienden indefinidamente
y un rayo tiene un extremo que se extiende indefinidamente.
5. Ecuaciones y trazado de circunferencias
Hay un caso particular de circunferencia, que tiene su
centro en el origen. La ecuación que la define se llama
ecuación canónica de la circunferencia:
Si la circunferencia no está centrada en el (0,0), es
posible armar un nuevo sistema de modo tal que el
centro de la circunferencia coincida con el nuevo origen
de coordenadas. Por ejemplo consideremos:
Si hacemos un cambio de variables:
En las nuevas variables la ecuación queda expresada en
forma canónica:
Para obtener la ecuación canónica, hicimos una
traslación de ejes, de modo que el centro del nuevo
sistema coincidiera con el centro de la circunferencia:
6. Dados un punto F(foco) y una recta r(directriz), se
denomina parábola al conjunto de puntos del plano que
equidistan del foco y de la directriz.
Simbólicamente:
Observen que estamos definiendo la parábola como un
conjunto de puntos que verifican cierta propiedad
geométrica, no como la gráfica de una función cuadrática
(que es como ustedes la conocían hasta ahora).
El eje focal es el eje perpendicular a la directriz que pasa
por el foco. Es el eje de simetría de la parábola.
El punto de la parábola que pertenece al eje focal se llama
vértice.
Para el esquema que realizamos, las coordenadas del
vértice son V(0,0), las del foco F(0,0) y la recta directriz
está dada por r:x=–c Las coordenadas de un punto
genérico Q que pertenece a la directriz son (–c,y)
Parábolas
7. La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, esto
es,
La ecuación de una elipse en posición estándar toma la forma
A la ecuación (1) también se le conoce como la ecuación reducida
de la elipse de eje horizontal, y si se le conoce como la
ecuación reducida de la elipse de eje vertical.
Además, si el centro de la elipse no es el origen, entonces la
ecuación de una elipse toma la forma
donde el punto corresponde al centro de dicha elipse.
Nuevamente, si la elipse se encuentra en posición horizonal,
y si la elipse se encuentra en posición vertical.
Elipse
8. Dados dos puntos llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos
del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es
constante.
Si la distancia entre los focos es , la condición para que sea una hipérbola
es:
Hiperbola
9. Representar gráficamente las ecuaciones de las cónicas
Una superficie cónica esta engendrada por el giro de una recta g, que llamamos generatriz,
alrededor de otra recta e, eje, con el cual se corta en un punto V, vértice.
Elipse Circunferencia Hiperbola
Parábola
10. Ejercicio propuesto para resolver
Ubicar los siguientes puntos en el
plano cartesiano:
A (5; 3)
B (-4; -2)
C (-2; 0)
