A dissemination talk of geometry.

1. Aniversario 40 de la Facultad de Ciencia
USACH
Embaldosados en la
matemática, la física, el arte y la
historia
Andrés Navas
Dpto. de Matemática y Ciencia de la
Computación

2. Embaldosados

3. Embaldosados por polígonos
regulares

4. Todo triángulo embaldosa el plano

5. Todo cuadrilátero también
embaldosa

6. Incluso si no es convexo

7. ¿Y los pentágonos ?

8. ¡Un nuevo embaldosado
pentagonal !

9. El nuevo pentágono (convexo)

10. Embaldosados hexagonales
 Clasificados por Reinhart.
 ¿ Prueba simplificada ? (o al menos entendible).

11. Embaldosados naturales
Teorema (Niven ~76). Es imposible embaldosar el plano
con un número finito de polígonos convexos de más de
seis lados.

12. Embaldosados periódicos
(cristalográficos)
Restricción cristalográfica: ninguno de estos motivos es invariante por una
rotación de orden 5.

13. ¿Cuántos reprodujeron los
diaguitas?

14. En la Alhambra…

15. Embaldosados aperiódicos
 Se desconoce si existe un polígono que embaldose el plano
sólo de manera no repetitiva (einstein problem).

16. Un quasi-cristal (Schechtman
1982)

17. Redes subyacentes
El conjunto de vértices subyacente es un conjunto de Delone,
esto es, separado y casi denso (de manera uniforme):
 existe σ > 0 tal que para todo par de puntos distintos de D
están a distancia al menos σ,
 existe ρ > 0 tal que todo punto del plano está a distancia a
lo más ρ de un punto de D.
Ejemplos: Z2; más generalmente, el conjunto de vértices de
un embaldosado (no necesariamente periódico) que usa sólo
un número finito de polígonos.

18. Rectificación
Problema (Furstenberg, Gromov). ¿Es todo subconjunto de Delone
del plano bilipschitz equivalente a Z2?
Teorema (Burago-Kleiner, Mc Mullen). NO…
Un conjunto de Delone D es repetitivo si toda configuración finita del conjunto
se repite infinitas veces de manera uniforme: dado r existe R = R(r) tal que
para todo par Br , BR , el conjunto D restringido a BR contiene una copia
trasladada de la restricción de D a Br .
Teorema (Aliste-Coronel-Gambaudo). Si un subconjunto de Delone
del plano es linealmente repetitivo, entonces es rectificable (e.g.
embaldosado de Penrose).

19. Agregando repetitividad
Teorema (Cortez-N). Existen (muchos) subconjuntos de
Delone repetitivos del plano que no son rectificables.
Teorema (N). Todo conjunto de Delone linealmente
repetitivo es fuertemente rectificable (esto es, existe un
homeomorfismo bilipschitziano del plano que lo envía en
la red estándar).

20. El lado analítico
 Teorema (Rademacher). Toda función lipschitziana del
plano es diferenciable en casi todo punto.
 Teorema (Newton, Leibnitz). En un intervalo, toda función
continua positiva es la derivada de un difeo- morfismo C1 .
 Teorema (Burago-Kleiner, Mc Mullen). En el plano pueden
ser definidas funciones continuas positivas, acotadas y lejos
de cero que no son Jacobianos de ningún homeomorfismo
bilipschitziano.
Pregunta: ¿ es éste el caso de la mayoría de las funciones ?

21. Secciones áureas

22. Autosimilaridad

23. Embaldosado de Penrose

24. Embaldosando el piso

25. ¿ Un predecesor ? (Isfaham)

26. ¿ Otro más ? (Turquía)

27. Una configuración geométrica
áurea

28. La estrella solitaria…

29. ¿Cuál es más armoniosa?

30. Más simbolismo…

32. ¿Cuándo se perdió la
bandera?

33. En otros mundos
En otras geometrías, los embaldosados son diferentes…

34. Hiperbolizando el trabajo de
Escher (Jos Leys)

35. Versión disco de Poincaré

36. Versión en el semiplano
superior

37. Siluetas de Amor a la Luz de
la Luna (F. De la Rocque)

38. Versión hiperbólica…