1. El mundo de los enteros
lo positivo y lo negativo
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2. 1
Los conocemos?
Número entero
Los números enteros son un conjunto de
números que incluye a los números
naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los
negativos de los números naturales (..., −3,
−2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos,
como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos
tres", etc.), son menores que todos los
enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero.
Para resaltar la diferencia entre positivos y
negativos, a veces también se escribe un Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural
signo "más" delante de los positivos: +1, +5, cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en
la imagen, sólo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano
etc. Cuando no se le escribe signo al número
"debido" o "negativo" (en rojo).
se asume que es positivo.
Aca debería decir Z
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que
proviene del alemán Zahlen ("números", pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:
−783 y 154 son números enteros
45,23 y −34/95 no son números enteros
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma
similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para
contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100
alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero
también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del
Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por
debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
3. Número entero 2
Historia
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo,
aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad
de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos
italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de
ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de
la India.
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la
cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en "números rojos". Esta expresión venía del hecho que lo
que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance
positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de
3 sueldos.
Introducción
Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:
3−5=?
Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse. Sin embargo, hay situaciones en
las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas:
Ejemplo: Un hombre juega a la ruleta dos días seguidos. Si el primero gana 2000 pesos y al día siguiente pierde
1000, el hombre ganó en total 2000 − 1000 = $ 1000. Sin embargo, si el primer día gana 500 y al siguiente pierde
2000, se dice que perdió en total 2000 − 500 = $ 1500. La expresión usada cambia en cada caso: ganó en total o
perdió en total, dependiendo de si las ganancias fueron mayores que las pérdidas o viceversa. Estas dos posibilidades
se pueden expresar utilizando el signo de los números negativos (o positivos): en el primer caso ganó en total 2000 −
1000 = + $ 1000 y en el segundo ganó en total 500 − 2000 = − $ 1500. Así, se entiende que una pérdida es una
ganancia negativa.
Números con signo
Los números naturales 1, 2, 3,... son los números ordinarios que se utilizan para contar. Al añadirles un signo menos
(«−») delante se obtienen los números negativos:
Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se
leen "menos 1", "menos 2", "menos 3",...
Además, para distinguirlos mejor, a los números naturales se les añade un signo más («+») delante y se les llama
números positivos.
Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».
El cero no es positivo ni negativo, y puede escribirse con signo más o menos o sin signo indistintamente, ya que
sumar o restar cero es igual a no hacer nada. Toda esta colección de números son los llamados "enteros".
Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la
letra Z, también escrita en "negrita de pizarra" como ℤ :
4. Número entero 3
La recta numérica
Los números enteros negativos son más pequeños que todos los positivos y que el cero. Para entender como están
ordenados se utiliza la recta numérica:
Se ve con esta representación que los números negativos son más pequeños cuanto más a la izquierda, es decir,
cuanto mayor es el número tras el signo. A este número se le llama el valor absoluto:
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se
representa por dos barras verticales "| |".
Ejemplo. |+5| = 5 , |−2| = 2 , |0| = 0.
El orden de los números enteros puede resumirse en:
El orden de los números enteros se define como:
• Dados dos números enteros de signos distintos, +a y −b, el negativo es menor que el positivo: −b < +a.
• Dados dos números enteros con el mismo signo, el menor de los dos números es el de menor valor absoluto, si el signo común es "+", o el de
mayor valor absoluto, si el signo común es "−"
• El cero, 0, es menor que todos los positivos y mayor que todos los negativos.
Ejemplo. +23 > −56 , +31 < +47 , −15 < −9 , 0 > −36
Operaciones con números enteros
Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, igual que puede hacerse con los números
naturales.
Suma
En la suma de dos números enteros, se
determina por separado el signo y el
valor absoluto del resultado.
En esta figura, el valor absoluto y el signo de un número se representan por el tamaño del
círculo y su color.
Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:
• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de
los sumandos.
• Si ambos sumandos tienen distinto signo:
• El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.
• El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos.
5. Número entero 4
Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61
La suma de números enteros se comporta de manera similar a la suma de números naturales:
La suma de números enteros cumple las siguientes propiedades:
• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas (a + b) + c y a + (b + c) son iguales.
• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b y b + a son iguales.
• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)
(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)
2. Propiedad conmutativa:
(+9) + (−17) = −8
(−17) + (+9) = −8
Además, la suma de números enteros posee una propiedad adicional que no tienen los números naturales:
Elemento opuesto o simétrico. Para cada número entero a, existe otro entero −a, que sumado al primero resulta en cero: a + (−a) = 0.
Resta
La resta de números enteros es muy sencilla, ya que ahora es un caso particular de la suma.
La resta de dos números enteros (minuendo menos sustraendo) se realiza sumando el minuendo más el sustraendo cambiado de signo.
Ejemplo. (+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15 , (−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13 , (−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4 ,
(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7
Multiplicación
La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor
absoluto del resultado.
En la multiplicación de dos números enteros se determinan el valor absoluto y el signo del resultado de la siguiente manera:
• El valor absoluto es el producto de los valores absolutos de los factores.
• El signo es "+" si los signos de los factores son iguales, y "−" si son distintos.
Para recordar el signo del resultado, también se utiliza la regla de los signos:
Regla de los signos
• (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.
• (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.
• (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.
• (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.
Ejemplo. (+4) × (−6) = −24 , (+5) × (+3) = +15 , (−7) × (+8) = −56 , (−9) × (−2) = +18.
La multiplicación de números enteros tiene también propiedades similares a la de números naturales:
La multiplicación de números enteros cumple las siguientes propiedades:
• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, los productos (a × b) × c y a × (b × c) son iguales.
• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, los productos a × b y b × a son iguales.
• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al multiplicarlos por 1: a × 1 = a.
6. Número entero 5
Ejemplo.
1. Propiedad asociativa:
[ (−7) × (+4) ] × (+5) = (−28) × (+5) = −140
(−7) × [ (+4) × (+5) ] = (−7) × (+20) = −140
2. Propiedad conmutativa:
(−6) × (+9) = −54
(+9) × (−6) = −54
La suma y multiplicación de números enteros están relacionadas, al igual que los números naturales, por la propiedad
distributiva:
Propiedad distributiva. Dados tres números enteros a, b y c, el producto a × (b + c) y la suma de productos (a × b) + (a × c) son idénticos.
Ejemplo.
• (−7) × [ (−2) + (+5) ] = (−7) × (+3) = −21
• [ (−7) × (−2) ] + [ (−7) × (+5) ] = (+14) + (−35) = −21
Propiedades algebraicas
El conjunto de los números enteros, considerado junto con sus operaciones de suma y producto y su relación de
orden, tiene una estructura que en matemáticas se denomina anillo.
Los números enteros pueden además construirse a partir de los números naturales mediante clases de equivalencia.
Véase también
• Parte entera
• Entero (tipo de dato)
7. Número entero 6
Complejos
Reales
Racionales
Enteros
Naturales
Uno
Primos
Compuestos
Cero
Negativos
Fraccionarios
Fracción propia
Fracción impropia
Irracionales
Algebraicos irracionales
Trascendentes
Imaginarios
Referencias
• Bayley, R.; Day, R.; Frey, P.; Howard, A.; Hutchens, D.; McClain, K. (2006) (en inglés). Mathematics.
Applications and Concepts. Course 2. McGraw-Hill. ISBN 0-07-865263-4.
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Los conocemos?
Número entero
Los números enteros son un conjunto de
números que incluye a los números
naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los
negativos de los números naturales (..., −3,
−2, −1) y al cero, 0. Los enteros negativos,
como −1 ó −3 (se leen "menos uno", "menos
tres", etc.), son menores que todos los
enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero.
Para resaltar la diferencia entre positivos y
negativos, a veces también se escribe un Resta con negativos. La resta de dos números naturales no es un número natural
signo "más" delante de los positivos: +1, +5, cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en
la imagen, sólo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano
etc. Cuando no se le escribe signo al número
"debido" o "negativo" (en rojo).
se asume que es positivo.
Aca debería decir Z
El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que
proviene del alemán Zahlen ("números", pronunciado [ˈtsaːlən]).
Los números enteros no tienen parte decimal. Por ejemplo:
−783 y 154 son números enteros
45,23 y −34/95 no son números enteros
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma
similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para
contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100
alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero
también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del
Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por
debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)