El documento describe diferentes sistemas de coordenadas como cartesianas, cilíndricas y esféricas. Explica cómo se definen cada uno y las fórmulas para transformar entre ellos. También habla sobre funciones de varias variables y dominios de funciones.
Presentacion funciones de varias variables Andreina Perez
1. Profesor: Pedro Beltrán
Asignatura: Matemáticas III
Alumna: Andreina Pérez
C.I: 30.089.902
Carrera : Arquitectura
Instituto Universitario Politécnico
Santiago Mariño
Sede: Barcelona
17-11-2020
2. El ser humano ha construido modelos que le han facilitado la tarea de resolver problemas concretos
o que le han ayudado a encontrar una solución al problema específico que lo afecta. Todo esto con
el propósito de favorecer tanto su forma de vida como la de los miembros de su medio local.
Muchas de las cosas que suceden a nuestro alrededor están relacionadas con las matemáticas y si
observamos detenidamente, podemos ver que la naturaleza misma está relacionada con la ciencia;
en muchos fenómenos físicos existen cantidades que definen otras cantidades. En las Ciencias
Experimentales es muy frecuente que tengamos interés en poder expresar una variable (variable
respuesta o variable dependiente) en función de dos o mas variables (variables explicativas o
variables independientes). Por ejemplo, podemos estar interesados en expresar: • El peso de una
persona en función de su estatura y del numero medio de calorías diarias ingeridas. • El peso de
las aves en función de su envergadura y de su longitud.
3. Se conoce como sistema de coordenadas al conjunto de valores de números que
permiten identificar de manera inequívoca la posición de un punto en un espacio
Euclídeo. El estudio de los sistemas de coordenadas es objeto de la geometría analítica,
permite formular los problemas geométricos de forma numérica.
Sistema de coordenadas
El orden en que se escriben las coordenadas es
significativo y a veces se las identifica por su
posición en una tupla ordenada; también se las
puede representar con letras, como por ejemplo
«la coordenada-x».
Coordenadas esféricas
Coordenadas cilíndricas
Coordenadas cartesianas
4. Coordenadas Cartesianas
El sistema de coordenadas cartesianas son un
tipo de coordenadas ortogonales constituidas
por dos rectas perpendiculares a las que se
les llaman ejes que se intersecan en un punto
“O” al que se le denomina “origen”, estas son
usadas en espacios euclídeos, para la
representación gráfica de una función, en
geometría analítica entre otras. Las
coordenadas cartesianas se definen como la
distancia al origen de las proyecciones
ortogonales de un punto dado, sobre cada uno
de los ejes.
La recta horizontal se le da el nombre de eje X o eje
de las abscisas y la vertical recibe el nombre de eje
Y o eje de las ordenadas, y ambas constituyen los
dos ejes de coordenadas rectangulares, los cuales
dividen al plano en cuatro partes llamadas
cuadrantes.
5. En este sistema de coordenadas
La posición de un punto P en el plano queda determinada mediante una pareja de números reales ( x, y)
El primero( x ), representa la distancia del punto P al eje coordenado Y.
El segundo,( y ), representa la distancia del punto P al eje X.
Esto se representa en la forma:
Las abscisas (valores de x ) son positivas en el primero y
cuarto cuadrante, por lo tanto son negativas en el segundo y en
el tercer cuadrante.
Las ordenadas (valores de y ) son positivas en el primero y
en el segundo cuadrante, por lo tanto son negativas en el
tercero y en el cuarto cuadrante.
Las abscisas son nulas ( ) x = 0 para todos los puntos
contenidos en el eje Y.
Las ordenadas son nulas( ) y = 0 para todos los puntos
contenidos en el eje X.
6. Teorema
Distancia entre dos puntos
Ejemplo : La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0) es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x (de las abscisas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los
puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas (x2 – x1) .
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y (de las ordenadas) o en una recta paralela a este eje, la distancia entre
los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora, si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:
Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un
triángulo rectángulo de hipotenusa P1P2 y emplear el teorema de Pitágoras.
Calcula la distancia entre los puntos P1(7, 5) y P2(4, 1)
Ejemplo
7. Tiene una multitud de posibles aplicaciones en el
mundo real. Sin embargo, tres pasos
constructivos están involucrados en la
superposición de las coordenadas en una
aplicación problemática.
1) Las unidades de distancia debe ser decidido
definir el tamaño espacial representada por los
números utilizados como coordenadas.
2) un origen debe ser asignada a una ubicación
específica espacial o lugar de interés, y
3) La orientación de los ejes deben ser definidos
usando señales direccionales disponibles para
todos, pero un eje.
8. Sistema de Coordenada Cilíndricas
Las coordenadas cilíndricas son una extensión del sistema de coordenadas polares
al espacio tridimensional. Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización
de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio
paralelamente a una recta (el eje ), perpendicular al plano.
•La coordenada radial, , es la distancia (en valor absoluto) del punto al eje .
•La coordenada acimutal, , es el ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano forma
con el eje .
•La coordenada vertical, , es la distancia (con signo) al plano
Los rangos de variación de estas coordenadas son:
El ángulo también puede variar en el intervalo [0,2π).
El triángulo rectángulo se encuentra en el plano xy. La longitud de la
hipotenusa es r y θ es la medida del ángulo formado por el
eje x positivo y la hipotenusa. La coordenada z describe la ubicación
del punto encima o debajo del plano xy.
9. ρ es siempre una cantidad positiva
A diferencia de las distancias en cartesianas, que tienen un signo
indicando a qué lado del plano se encuentran, la coordenada radial cilíndrica
es siempre positiva
Ejemplo
Uno de los ejemplos más sencillos de
uso de las coordenadas cilíndricas lo
proporcionan las grúas. Para controlar
la posición de la carga, es preciso
indicar el ángulo de giro de la flecha (el
brazo de la grúa), dado por , la
altura a la que se sube la carga ( ), y
cuanto hay que desplazarla a lo largo
de la flecha ( ).
10. El traslado desde y hasta las coordenadas cilíndricas permite la
modelación de problemas de la vida práctica, la ciencia y la técnica, sobre
todo cuando dicho traslado permite ventajas al cálculo, la modelación o
la comprensión de un determinado problema.
Importancia de las coordenadas
cilíndricas
Todo punto v en el espacio tridimensional es visto como un
punto (r,a,z) de la superficie lateral de un cilindro recto con
base en el plano XOY y centro en el origen de coordenadas
de radio r. La proyección del punto en el plano XOY tiene un
ángulo a respecto al eje X y se encuentra a una
distancia z respecto al plano base, todos con las
restricciones siguientes:
r≥0
0≤a≤2π
11. Sistema de Coordenada Cilíndricas
Las coordenadas esféricas constituyen otra generalización de las
coordenadas polares del plano, a base de girarlas alrededor de un eje.
Quedan definidas por:
•La coordenada radial : distancia al origen
•La coordenada polar : ángulo que el vector de posición forma con el eje .
•La coordenada acimutal : ángulo que la proyección sobre el plano forma con el
eje .
Los rangos de variación de estas coordenadas son:
El ángulo también puede variar en el intervalo [0,2π).
13. Ejemplos
Para situar las estrellas en el firmamento también es preciso emplear
coordenadas esféricas. Existen varias posibilidades, siendo la más usada la
formada por la ascensión recta y la declinación. La declinación es el
equivalente de la latitud, medida en este caso respecto al ecuador celeste y la
ascensión recta corresponde a la longitud, medida desde un punto de
referencia conocido como punto vernal (o punto Aries).
La coordenada radial sería la distancia a la cual se encuentran las estrellas
respecto de la Tierra.
14. Transformación en los diferentes sistemas de
coordenadas
En la resolución de problemas físicos y matemáticos es común la estrategia del cambio de
coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que a
depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una
forma equivalente pero más simple, que permite encontrar la solución con mayor facilidad.
Una vez descritos los sistemas de coordenadas en los cuales se va a trabajar es
importante presentar cómo se realiza la transformación entre unos y otros
1. Trasformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas
Las fórmulas de conversión entre los sistemas cilíndrico y cartesiano son simples.
Dada la coordenada cilíndrico (r,a,z) su equivalente cartesiano (x,y,z) vendría dado
por la relación:
x=r cos a
y=r sen a
z=z
2. Trasformación de coordenadas cilíndricas a esféricas
15. 3. Trasformación de coordenadas Esféricas a cartesianas
Las fórmulas de conversión entre los sistemas esféricos y cartesianos son simples. Dada la
coordenada esférica (r,a,b) su equivalente cartesiano (x,y,z) vendría dado por la relación:
x=r cos a cos b
y=r sen a cos b
z=r cos b
4. Trasformación de coordenadas Esféricas a cilíndricas
Si bien las coordenadas esféricas (r,a,b) y cilíndricas (a,R,z) tiene como elemento común el
ángulo longitudinal a conformado entre el eje X el origen de coordenadas y la proyección del
vector A sobre el plano XOY; aunque difiere en el hecho de que el radio R de la base
del cilindro es el módulo del vector proyectado y no como en el sistema esférico, donde el
radio r era la distanciaOA.
Por ende, las coordenadas esféricas y las cilíndricas se relacionan mediante las fórmulas:
•r2=z2+R2
•
16. 5. Trasformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas
La jacobiana de transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas aplicando las expresiones previas se obtiene mediante:
•
= r cos2 a + r sen2 a = r(cos2 a + sen2 a) = r
Dicho de una manera más simple:
•
6. Trasformación de coordenadas cartesianas a esféricas
17. Ejemplos
Ejemplos:
Determinar las coordenadas cilíndricas y esféricas del punto (2, -1, -4):
R/ cilíndricas (2.2361, 26.57°,-4); esféricas (4.5826, 26.57°,150.79°):
Determinar las coordenadas cartesianas del punto (5.4, 112°, 3) en coordenadas
cilíndricas:
R/ (-2.0, 5.0, 3.0)
Determinar las coordenadas cartesianas del punto (5.7, 22°, 70°) en coordenadas
esféricas:
R/ (5.0, 2.0, 2.0)
18. Etimológicamente, simetría proviene del vocablo griego “symetría”,
significando “sym” con o conjuntamente, “metrón”, medida, y denotando
el sufijo “ia” una cualidad. Esta Implica una proporcionalidad de un todo
consigo mismo y entre las partes que lo componen, con armonía entre
ellas. Son cosas que son repetitivas, iguales y equilibradas.
Simetría
En Geometría , se llaman simétricos, los puntos que se ubican de tal modo, que los
segmentos que los unen en forma recta pasan por un punto fijo, que los divide en partes
idénticas, o son paralelos a una dirección y divididos en partes iguales, por una recta
determinada, o un plano.
La simetría es una característica presente en numerosas ramas de las matemáticas, y por lo
tanto no se limita como pudiera parecer a primera vista a la geometría. Es un tipo
de invarianza: la propiedad de que un objeto matemático permanece sin cambios bajo un
determinado conjunto de operaciones o transformaciones.
19. Funciones de varias Variables
Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo numero, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los
valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...).
La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres
variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente.
Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla
de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica).
Una función es una relación entre dos conjuntos donde a cada elemento del primer
conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto. Esta es la definición
matemática de una función. Existen funciones comunes que poseen una variable
independiente (x) que cambia libremente sin depender de ningún parámetro y una
variable dependiente (y) que cambia respecto a x. El cambio que sufre y está definido por
una expresión algebraica que funge como regla.
20. Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma
definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por
más de una variables independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables,
generalmente llamadas z = f(x,y). La idea de relación es más compleja puesto que el valor
de z depende no solo del valor de x o de y, sino de puntos coordenados a los que les corresponde un
valor de z.
21. Dominio de función de varias variables
Definición 1.1: Sea 2 D ⊆ R , una función f real de dos variables reales es una relación que a todo par (x, y)∈ D , le
asigna un único número real f (x, y). El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de todos los valores
que toma f (x, y).
Definición 1.2: Si f es una función de dos variables con dominio 2 D ⊆ R , entonces la gráfica de f es el conjunto de
todos los puntos P del espacio cuyas coordenadas 3 (x, y ,z)∈ R y verifican las condiciones z = f (x , y) y (x, y)∈ D .
Definición 1.3: Sea 3 D ⊆ R , una función f real de tres variables reales es una relación que a toda terna (x, y,z)∈ D ,
le asigna un único número real f (x, y,z) . El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de todos los
valores que toma f (x, y,z) . Definición 1.4.: Las curvas de nivel de una función f de dos variables son las curvas de
ecuación f (x, y) = k , donde k es una constante en el rango de f
Las funciones de varias variables también se someten a un rango y
dominio, tal y como ocurre en funciones de dos variables. Sin embargo, la
idea es la misma. El dominio es el conjunto de valores que puede tomar el
argumento de la función sin que esta se indefina. El rango es el conjunto
de valores reales que toma la función z en función del dominio
22. El dominio es el conjunto de valores de x y de y tal que ambas
variables pueden tomar cualquier valor de los números reales,
puesto que la función f jamás se indefinirá. La manera formal de
escribirlo es:
23. las matemáticas es una herramienta imprescindible para estudiar
de física, ingeniería o arquitectura, entre otras. Pero también se
puede aplicar a diversas áreas como la arqueología, el análisis del
tráfico, los circuitos eléctricos, las redes de comunicación etc.
un sistema de coordenadas es un conjunto de valores y puntos que
permiten definir unívocamente la posición de cualquier punto de un
espacio euclídeo o más generalmente variedad diferenciable. -En
física se usan normalmente sistemas de coordenadas ortogonales.
Un sistema de referencia, viene dado por un punto de referencia y
un sistema de coordenadas. En mecánica newtoniana se emplean
sistemas de referencia caracterizados por un punto denominado
origen y un conjunto de ejes definen unas coordenadas. -Un sistema
de coordenadas cartesianas se define por dos o tres ejes
ortogonales igualmente escalados, dependiendo de si es un sistema
bidimensional o tridimensional.
