T3 fluidos-2013-14

Departamento de Física y ATC
DIVISIÓN DE FÍSICAAPLICADA
1
TEMA 3. FLUIDOS
1. INTRODUCCIÓN
2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.1 Ley fundamental de la Hidrostática
2.2 Principio de Pascal
2.3 Principio de Arquímedes
3. DINÁMICA DE FLUIDOS IDEALES
3.1 Flujo
3.2 Ecuación de continuidad
3.3 Ecuación de Bernoulli
4. DINÁMICA DE FLUIDOS REALES
4.1 Ecuación de Poiseuille
4.2 Flujo turbulento. Número de Reynolds
4.3 Movimiento de sólidos en fluidos
5. FENÓMENOS DE SUPERFICIE
5.1 Tensión superficial
5.2 Presión debida a la curvatura
5.3 Fuerzas de adhesión y cohesión. Ángulo de contacto
5.4 Capilaridad
5.5 Adsorción en líquidos. Detergencia
5.6 Adsorción en sólidos
6. CUESTIONES Y PROBLEMAS
Objetivos
1. Distinguir entre sólidos y fluidos revisando los conceptos de temperatura y densidad.
2. Estudiar los efectos de las presiones y cambios de temperatura en fluidos.
3. Estudiar la variación de presión en el seno de fluidos en reposo. Describir dispositivos
para la medida de presiones.
4. Introducir el concepto de flujo y estudiar la dinámica de los fluidos en ausencia de
fuerzas de rozamiento (ideales) y reales.
5. Introducir el concepto de tensión superficial. Deducir la Ley de Laplace en función de la
curvatura superficial. Definir ángulo de contacto y capilaridad
6. Diferenciar sustancias hidrófobas e hidrófilas. Comprender el fenómeno de detergencia
Bibliografía
1. Física (5ª ed. Vol. 1. Cap.13 ) – Tipler Mosca - Reverté 2005
2. Física (Cap. 4, 5, 6 y 10)- M. Ortuño, - Crítica-Grijalbo 1996

Tema 3. Fluidos
División de Física Aplicada
2
1. INTRODUCCIÓN
Los cuerpos, atendiendo al estado de la materia que los constituye, se clasifican en
sólidos, líquidos y gases. Se distinguen macroscópicamente porque los sólidos tienden a
mantener su volumen y su forma definidos, los líquidos mantienen definido el volumen pero
adoptan la forma del recipiente que los contiene y los gases no mantienen ni el uno ni la
otra, expandiéndose todo lo posible hasta adquirir el volumen y la forma del recipiente que
los contiene.
A pesar de las diferencias, los líquidos y los gases se agrupan bajo el término fluidos por
la característica común que tienen ambos de fluir por una conducción.
Estos comportamientos son consecuencia de su estructura interna: A escala
microscópica, la materia está formada por moléculas (unidades más pequeñas que
diferencian unas substancias de las otras). Entre cada par de moléculas aparecen fuerzas de
origen eléctrico (Van der Waals y enlace de hidrógeno) cuya intensidad depende de la
distancia intermolecular y que determinarán el estado de la materia. Si la distancia es muy
pequeña ( 0.3 nm), las fuerzas son muy fuertes y los cuerpos son sólidos. En los líquidos la
distancia es algo mayor y las fuerzas son menores a la de los sólidos, pudiendo las moléculas
resbalar unas sobre las otras. En los gases la distancia es aún mayor (> 0.5 nm) y apenas hay
interacción entre las distintas moléculas.
Las moléculas no están en reposo sino que vibran alrededor de sus posiciones de
equilibrio. La temperatura es la magnitud que, a nivel microscópico, está relacionada con el
grado de agitación molecular. Cuando se calienta un cuerpo la energía cinética de las
moléculas y su amplitud de vibración aumentan, aumentando también la distancia
intermolecular, lo que da lugar a cambios de estado: sólido a líquido, y líquido a gas.
En el Sistema Internacional, la temperatura se mide en Kelvin (K), aunque en la práctica
también se utilizan los grados centígrados o Celsius (o
C). La relación entre ambas
temperaturas es:
(1)
La densidad ( ) es una de las magnitudes principales que se usa para caracterizar un
material. En el SI se mide en kg/m3
y se define como
(2)
Sólido Líquido Gas

Tema 3. Fluidos
3
Aluminio Agua Aire
(kg/m
3
) 2.7·10
3
1.0·10
3
1.3
Al cociente entre la densidad de una sustancia y la densidad de referencia se le
denominada densidad específica o relativa (ρ’). Como densidad de referencia de un
material se toma el valor de densidad del agua para los sólidos y líquidos, y la del aire para
los gases, y se utilizan valores relativos
(3)
Tabla 1. Densidades de algunas sustancias a 20°C.
Sustancia Densidad (g/cm3
) Sustancia Densidad (g/cm3
)
Acero 7.7-7.9 Oro 19.31
Aluminio 2.7 Plata 10.5
Cinc 7.15 Platino 21.46
Cobre 8.93 Plomo 11.35
Cromo 7.15 Silicio 2.3
Estaño 7.29 Sodio 0.975
Hierro 7.88 Titanio 4.5
Magnesio 1.76 Vanadio 6.02
Níquel 8.9 Volframio 19.34
Aceite 0.8-0.9 Bromo 3.12
Ácido sulfúrico 1.83 Gasolina 0.68-0.72
Agua 1.0 Glicerina 1.26
Agua de mar 1.01-1.03 Mercurio 13.55
Alcohol etílico 0.79 Tolueno 0.866
Manual de Física Elemental. Koshkin N. I., Shirkévich M. G.. Edtorial Mir (1975) (págs. 36-37).
También es utiliza en física el peso específico ( ), definido como el peso del cuerpo por
unidad de volumen. Se relaciona con la densidad como se muestra en la ecuación siguiente.
El peso específico relativo es equivalente a la densidad relativa para la misma sustancia de
referencia.
(4)
Los fluidos se caracterizan porque presentan una resistencia pequeña, a veces
despreciable, a las tensiones de corte (ver figura). En los líquidos, esta pequeña resistencia al
deslizamiento de unas capas sobre otras se representa por la viscosidad que estudiaremos al
final de este tema. La resistencia a las deformaciones por tracción y compresión, en cambio,
es considerablemente mayor.

Tema 3. Fluidos
4
Figura. La fuerza que se ejerce sobre un cuerpo puede ser a) perpendicular [tracción y compresión] y
b) paralela [tensión de corte o cizalla] a la superficie sobre la que actúa
Las tensiones en los fluidos, que como consecuencia de lo dicho en el párrafo anterior
corresponden a fuerzas que actúan perpendicularmente a las superficies, se llaman
presiones, ( ) y en el SI se miden en pascales (Pa = N/m2
).
(5)
Tabla 2. Equivalencia entre unidades de presión
Unidad (SI) 1 Bar 1 Baria 1 milibar 1 mm Hg 1 Atm
Pa 10
5
0.1 10
2
1.33·10
2
1.013·10
5
La presión manométrica, es la presión que ejerce un fluido dentro de un recipiente ce-
rrado o dentro de un animal. Esta presión es igual a:
A la presión manométrica se le llama también Presión Relativa, por que toma como referen-
cia a la presión atmosférica.
En el interior de un líquido, cada porción está sometida a las fuerzas correspondientes a
la presión del líquido que le rodea. Como consecuencia, se comprime disminuyendo su
volumen, cumpliéndose que
(6)
donde es el módulo de compresibilidad1
. El signo menos se
debe a que un aumento de la presión supone una disminución
de volumen.
La compresibilidad es la inversa de , ya que, cuanto más difícil de comprimir es una
sustancia, menor es su cambio relativo – para una determinada presión , y por lo
tanto, mayor es .
Los sólidos y los líquidos son relativamente incompresibles, es decir poseen valores
elevados de , sin embargo los gases se comprimen fácilmente y los valores de dependen
de la presión y de la temperatura.
Por ejemplo, el aire contenido en un neumático, se comprime fácilmente al principio, pero la
1
En forma diferencial está expresión se puede escribir:
a) b)

Tema 3. Fluidos
5
compresibilidad disminuye a medida que aumenta la presión.
Tabla 3. Módulos de compresibilidad
Acero Aluminio Agua
B (10
10
N/m
2
) 16 7.0 0.20
Tabla 4. Resumen comparado de las características de sólidos, líquidos y gases
Fuerzas
Intermolecular
Volumen Forma Densidad
Compresi
bilidad
Concentración
Sólidos rígidos + Fuertes Fijo Fija
Cte.
 f(P,T)
Nula 10
28
mol/m
3
Sólidos elásticos - Fuertes Fijo Variable
Cte.
 f(P,T)
Nula 10
28
mol/m
3
Líquidos Moderadas Fijo Indefinida
Cte.
 f(P,T)
Muy
pequeña
10
28
mol/m
3
Gases
Débiles o muy
débiles
Variable Informe
Variable
= f(P,T)
Grande 10
25
mol/m
3
2. ESTÁTICA DE FLUIDOS
2.1. Ley fundamental de la Hidrostática
La presión en un punto de un líquido en reposo depende de su profundidad respecto a
la superficie libre del líquido. Cada porción de líquido soporta el peso de la columna de
líquido que tiene encima (la zona rayada en la figura).
Si la presión en la superficie es , a una profundidad tendremos que
(7)
En general, la ley fundamental de la Hidrostática,
denomina la diferencia de presión entre dos puntos
cualquiera del seno, como presión manométrica de un
líquido (Pm) y la define la como
(8)
Otra forma de verlo:
Consideremos una porción de fluido en equilibrio de altura y de sección , situada a una
distancia del fondo del recipiente que se toma como origen.

Tema 3. Fluidos
6
Las fuerzas que mantienen en equilibrio a dicha porción de fluido son las siguientes:
 El peso, que es igual al producto de la densidad del fluido, por su volumen y por la
intensidad de la gravedad, .
 La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara inferior,
 La fuerza que ejerce el fluido sobre su cara superior,
La condición de equilibrio establece que
Integrando esta ecuación entre los límites que se
indican en la figura
∫ ∫
Situamos el punto B en la superficie y el punto A a
una profundidad . Si es la presión en la superficie
del fluido (la presión atmosférica), la presión a la
profundidad es

Tema 3. Fluidos
7
Aplicaciones prácticas de la ley fundamental de la Hidrostática
Para medir la presión se puede utilizar el resultado de que la presión es proporcional a la profundidad.
En el manómetro de tubo abierto (a), un extremo se encuentra a la presión que se quiere medir y el otro a
la presión atmosférica.
En el barómetro, aparato empleado para medir la presión atmosférica (b), un extremo se encuentra a la
presión atmosférica y el otro, que está cerrado y sometido al vacío, a una presión igual a cero.
En ambos aparatos, para que la altura de las columnas sea pequeña, se utiliza mercurio cuya densidad
(13.6·10
3
kg/m
3
) es muy grande.
Ejemplo: Experiencia de Torricelli
Para medir la presión atmosférica, Torricelli empleó un tubo largo, cerrado
por uno de sus extremos, lo llenó de mercurio y le dio la vuelta sobre una vasija de
mercurio. El mercurio descendió hasta una altura =0.76 m al nivel del mar. Dado
que el extremo cerrado del tubo se encuentra casi a vacío =0, y sabiendo que la
densidad del mercurio es de 13.55 g/cm
3
ó 13550 kg/m
3
, el valor de la presión
atmosférica puede calcularse:
Ejemplo:
Una aplicación de la ecuación fundamental de la estática de fluidos es la determinación de la densidad de un
líquido no miscible con agua mediante un tubo en forma de U, comparando las diferentes alturas de las
columnas de fluido sobre la superficie de separación.
En esta experiencia aplicamos la ecuación fundamental de la estática de fluidos
Se comparan dos líquidos inmiscibles, el agua, cuya densidad es conocida (1.0 g/cm
3
) y un líquido de densidad
desconocida.
b)
a)

Tema 3. Fluidos
8
Dado que A y B están a la misma altura sus presiones deben ser iguales:
 La presión en A es debida a la presión atmosférica más la debida a la altura
de la columna de fluido cuya densidad queremos determinar
 La presión en B es debida a la presión atmosférica más la debida a la altura
de la columna de agua cuya densidad conocemos
Igualando las presiones en A y B, , obtenemos
Las densidades de los dos líquidos no miscibles están en relación inversa a las
alturas de sus columnas sobre la superficie de separación en el tubo en forma de U.
2.2. Principio de Pascal
De la ley fundamental de la Hidrostática se deduce que la
presión correspondiente a todos los puntos que se encuentren
al mismo nivel (altura o profundidad) en el seno de un fluido es
la misma. La ecuación fundamental aplicada a los puntos a, b y
c será:
como los tres se encuentran a la misma profundidad, los
segundos términos de cada una de las igualdades son idénticos y resulta que las presiones
en los tres puntos son iguales.
Una consecuencia práctica de lo anterior es el Principio de
Pascal: “Cuando sobre la superficie o cualquier otro punto de un
líquido incompresible se ejerce una cierta presión, ésta se transmite
por igual a todos los puntos de su masa líquida”.
Las consideraciones anteriores se aplican también a los gases,
aunque la relación entre presión y altura es exponencial, debido a
que la densidad de los gases no es constante sino que depende de
la presión.
Aplicaciones: Prensa Hidráulica
En la prensa hidráulica se utiliza la transmisión de las variaciones de presión en el
seno de un líquido para amplificar una fuerza relativamente pequeña.
Consiste básicamente en dos cilindros de secciones muy diferentes ( << ) que
comunican entre sí; el conjunto está lleno de líquido. La fuerza que se ejerce
sobre el émbolo 1 se convierte en la fuerza sobre el émbolo 2. Por el Principio
de Pascal:
2
1
0

Tema 3. Fluidos
9
Ejemplo: Elevador hidráulico de coches
Imaginemos que queremos elevar un coche de 2000 kg mediante una presa hidráulica. El radio del primer
émbolo es de 0.012 m y de peso despreciable. El émbolo que eleva el coche tiene un radio de 0.150 m. Suponer
que la diferencia de alturas entre los dos émbolos es de 1.1 m. La prensa hidráulica utiliza un aceite de
densidad 8·10
2
kg/m
3
. ¿Cuál es el módulo de la fuerza ejercida sobre el primer émbolo que permite levantar
el coche?
La fuerza viene determinada por la presión ejercida sobre la parte superior del émbolo 1. De tal forma que
debido a que el émbolo tiene una sección circular se puede escribir:
También podemos relacionar la presión del punto 1º con la del 2º, gracias a la ecuación fundamental de la
hidrostática podemos relacionar las presiones de los dos émbolos
La presión en el émbolo 2 la podemos relacionar con la fuerza ejercida por el coche y la superficie del émbolo
de tal forma
Reordenando, tenemos
2.3. Principio de Arquímedes
Cuando un cuerpo sólido se sumerge en un líquido, la presión en la parte inferior ( ) es
algo mayor que la de la parte superior ( ), que está a menor profundidad, por lo que resulta
una fuerza neta vertical y hacia arriba que se llama empuje.
(9)
donde, es la masa de líquido que desaloja
el cuerpo sólido. Este resultado se conoce como Principio de
Arquímedes: “Un cuerpo sólido, sumergido total o
parcialmente en un fluido, experimenta un empuje vertical
ascendente igual al peso del volumen de líquido que
desaloja”.
El principio de Arquímedes permite determinar la
flotabilidad de cuerpos en fluidos. Para ello se compara el
peso del cuerpo con el empuje que experimenta cuando se
sumerge en el fluido, pudiéndose encontrar tres situaciones posibles:

Tema 3. Fluidos
10
Ahora bien, sólo el volumen sumergido contribuye al empuje, de manera que si un
cuerpo flota, el peso de todo el cuerpo será igual al empuje correspondiente al volumen de
la parte del cuerpo sumergido o volumen de fluido desalojado por el cuerpo, es decir:
Empuje = Pesofluido desalojado por el cuerpo y
[( ) ] (10)
Si todo el cuerpo esté sumergido, cuerpo = fluido desalojado, entonces:
( ) { (11)
Ejemplo: Plataforma
Una plataforma flotante de área , espesor y masa =600 kg flota en el agua tranquila con una inmersión de
7 cm. Cuando una persona sube a la plataforma, la inmersión es de 8.4 cm. ¿Cuál es la masa m de dicha
persona?
Peso del fluido desalojado por la plataforma
Peso del fluido desalojado por la plataforma y la persona
Igualando al peso en los dos casos
Despejando de aquí la masa m, se obtiene
3. DINÁMICA DE FLUIDOS IDEALES
El comportamiento de un fluido en movimiento puede ser, en general, muy complicado.
Si por ejemplo consideramos el humo de un cigarrillo, al principio éste se eleva con una
forma regular, pero pronto aparecen turbulencias y el humo comienza a circular de forma
irregular –flujo turbulento-. En este apartado solo consideraremos flujos no turbulentos, en
estado estacionario, no viscoso e incompresible ( ), es decir fluidos ideales.
3.1. Flujo
Para cuantificar la cantidad de fluido que circula por un conducto se define la magnitud
física llamada flujo de masa, , como la masa que circula a través de una sección transversal
del tubo por unidad de tiempo. Se mide en kg/s.
Flotabilidad
Empuje  Pesocuerpo
Equilibrio
Empuje = Pesocuerpo
Flotabilidad
Empuje > Pesocuerpo

Tema 3. Fluidos
11
(12)
Cuando la densidad del fluido permanece constante, se suele utilizar el flujo de volumen
o caudal, o , que se mide en m3
/s.
(13)
El caudal se puede expresar en función de la
velocidad con que se desplaza el líquido por el
conducto. De la figura se deduce que el volumen
del líquido de densidad constante (incompresible)
que atraviesa una sección del conducto en la
unidad de tiempo es igual al producto del área de
la sección por la velocidad .
(14)
3.2. Ecuación de continuidad
Supongamos que el fluido se mueve en régimen estacionario, lo que significa que la
velocidad del fluido en cada punto de la conducción no varía con el tiempo (aunque puede
ser distinta en distintos puntos).
La ley física de conservación de la masa
exige, en régimen estacionario, que el flujo de
masa sea el mismo en toda la conducción, y si
la densidad permanece constante, lo cual se
cumple muy bien en los líquidos, que el caudal
también permanezca constante. Así, la
ecuación (14) se puede escribir como
(15)
Esta ley de conservación, expresada de esta manera, se llama
ecuación de continuidad. Consecuencia de esta ley es que, si la
conducción se bifurca en dos, como se muestra en la figura, el
caudal (o flujo) de entrada es la suma de los caudales de salida
(16)
3.3. Ecuación de Bernoulli
La segunda ley física que determina el movimiento de un fluido por una conducción es la
1 2
1
2
3

Tema 3. Fluidos
12
ley de conservación de la energía.
Consideramos un fluido que circula por una tubería cuya altura y sección varían (ver
figura):
(a) Se muestra una porción de fluido limitada por las secciones (1) y (2). Sobre estas
secciones actúan las fuerzas y ( ) que representan los efectos del resto del
fluido.
(b) Transcurrido un corto intervalo de tiempo esta porción de fluido pasa a estar
limitada por las secciones (1´) y (2´).
El análisis se realiza considerando que, lo que ha ocurrido desde el punto de vista
energético, es equivalente a que la porción de fluido comprendida entre las secciones (1) y
(1´) se haya trasladado hasta ocupar la porción de tubería comprendida entre las secciones
(2) y (2´). Si se desprecia el rozamiento entre las moléculas al moverse por la tubería, el
trabajo de las fuerzas exteriores que impulsan una porción de líquido a través de la
conducción es:
(17)
Por otro lado, la variación de energía cinética y potencial de este trozo de fluido son:
(18)
(19)
(20)
(21)
Es decir, en el movimiento de un fluido incompresible y sin rozamiento a través de una
conducción, la suma de la presión hidrostática y la debida a la velocidad (presión cinética) es
constante en todos los puntos de la corriente fluida. Esta ley de conservación expresada de
esta manera (21) se denomina Teorema de Bernoulli.
Aplicaciones
a) Cuando un fluido está en reposo o se mueve con velocidad constante ( = 0 o cte), el Teorema de
1 = P1S1
1
2
2 = P2S2
(1)
(2)
2
1
a) b)
(1) (1’)
(2) (2’)

Tema 3. Fluidos
13
Bernoulli puede escribirse
(22)
b) Cuando el fluido circula por una tubería en horizontal ( = ), podremos aplicar la ecuación de Bernoulli
como
(23)
c) Para calcular la velocidad de salida de un líquido por un orificio practicado en la pared del recipiente que
lo contiene. Podemos aplicar el Teorema de Bernoulli entre un punto de la superficie, A, y el orificio de salida,
B. Tendremos en cuenta que en ambos puntos actúa la y que, si el recipiente es suficientemente ancho
con respecto al orificio de salida, la velocidad de las partículas líquidas en la superficie es prácticamente nula:
; SA;
Llamando a la diferencia de alturas entre los puntos A y B y a la velocidad de salida del líquido por el
orificio B, el Teorema de Bernouilli puede escribirse como
Despejando , obtenemos que la velocidad con la que el líquido sale es igual
a la que tendría un cuerpo que cayese libremente desde la altura , este es el
Teorema de Torricelli.
√ (24)
d) Cuando un fluido aumenta su velocidad sin variar de nivel, su presión disminuye. Este hecho es conocido
como Efecto Venturi, en que se basan multitud de dispositivos. Por ejemplo, un pulverizador.
Un venturímetro o tubo de Venturi, es un dispositivo que permite medir velocidades de fluidos que
circulan por conductos horizontales. Se basa en intercalar un estrechamiento en la conducción. Posee adosados
dos tubos verticales, sección normal y estrechamiento, que funcionan como manómetros y señalan la presión
estática en los puntos 1 y 2. Aplicando el Teorema de Bernoulli entre los puntos 1 y 2:
Teniendo en cuenta que también se
cumple la ecuación de continuidad,
y conociendo las secciones de la
conducción y la diferencia de presión estática
en los puntos 1 y 2 (obtenida a partir entre
los dos tubos verticales: )
podremos calcular la velocidad en el punto 1
√
( )
(25)
4. DINÁMICA DE FLUIDOS REALES
4.1. Ecuación de Poiseuille
En el movimiento de un fluido siempre se produce un pequeño rozamiento entre las
A
B
1
2
(1) (2)

Tema 3. Fluidos
14
distintas capas de fluido, y especialmente entre éstas y las paredes de la conducción. Las
pérdidas por rozamiento se traducen en una pérdida de presión a lo largo de una tubería
(horizontal). Si el fluido es ideal, dicha pérdida será constante, mientras que en fluidos reales
aumenta de forma lineal.
En el llamado régimen laminar (velocidades bajas), las capas de fluido se deslizan unas
sobre las otras sin entremezclarse. Para hacer cálculos se supone que las moléculas próximas
a las paredes permanecen en reposo y la velocidad es máxima en el centro de la tubería
como se muestra en la figura.
Luego, para un fluido que circula por una tubería cilíndrica de radio y longitud ,
siendo P la diferencia de presión en los extremos de la tubería y un coeficiente
característico del fluido llamado viscosidad, cuya unidad en el SI es el decapoise
(1 Pa·s = 10 poise = 10 dinas·s/cm2
; 1 cP (centipoise) = 1 mPa·s), la velocidad media se calcula
a partir de la expresión
(26)
Así, para un fluido viscoso en régimen de circulación laminar, el caudal total puede
calcularse como
(27)
A partir de dicha expresión podemos obtener la caída de presión en una longitud de
un tubo circular de radio , lo cual es conocida como la Ley de Poiseuille,
(28)
Reposo
Movimiento (Fluido ideal)
Movimiento (Fluido real)
P1 P2
vmax
vmedia = vmax/2
vmin = 0
r

Tema 3. Fluidos
15
siendo la resistencia a la circulación de un fluido por una tubería circular para un flujo
estacionario, o resistencia hidrodinámica.
La viscosidad de los líquidos disminuye con la temperatura ya que al separarse las
moléculas su interacción es menor. En cambio, la de los gases aumenta. Esta dependencia es
considerable, por lo que es necesario especificar la temperatura a la que se ha medido la
viscosidad.
Tabla 5. Viscosidades de algunos fluidos
Agua Aire Sangre
1
Plasma Glicerina
T (°C) 20 20 37 20 20
η (×10
-3
Pa·s) 1.00 0.0181 2.08 1.81 1410
1
La viscosidad de la sangre puede variar por diversos factores fisiológicos, como el nivel de oxigenación, cantidad de glóbulos
rojos, etc. Los valores normales varían entre 1,5 x 10-3
y 5 x 10-3
Pa·s.
Viscosidad
La viscosidad es el rozamiento interno entre las capas de fluido. A causa de la viscosidad, es necesario ejercer
una fuerza para obligar a una capa de fluido a deslizar sobre otra.
En la figura, se representa un fluido comprendido
entre una lámina inferior fija y una lámina superior
móvil.
La capa de fluido en contacto con la lámina móvil
tiene la misma velocidad que ella, mientras que la
adyacente a la pared fija está en reposo. La
velocidad de las distintas capas intermedias
aumenta uniformemente entre ambas láminas tal
como sugieren las flechas. Un flujo de este tipo se
denomina laminar.
Como consecuencia de este movimiento, una porción de líquido, que en un determinado instante tiene la
forma ABCD, al cabo de un cierto tiempo se deformará y se transformará en la porción ABC’D’.
Sean dos capas de fluido de área , que distan , y
entre las cuales existe una diferencia de velocidad
.
La fuerza por unidad de área que hay que aplicar es
proporcional al gradiente de velocidad. La constante
de proporcionalidad se denomina viscosidad .
En el caso particular, de que la velocidad aumente uniformemente, como se indicó en la primera figura, la
expresión adopta la forma
En la siguiente figura se representan dos ejemplos de movimiento de un fluido a lo largo de una tubería
horizontal alimentada por un depósito grande que contiene líquido a nivel constante. Cuando el tubo
horizontal está cerrado todos los tubos manométricos dispuestos a lo largo de la tubería marcan la misma
presión . Al abrir el tubo de salida los manómetros registran distinta presión según sea el tipo de
fluido.
 Fluido ideal
A B
C C’D D’ F

Tema 3. Fluidos
16
Un fluido ideal (figura de la izquierda) sale por la tubería con una velocidad √ , de acuerdo con el
teorema de Torricelli. Toda la energía potencial disponible (debido a la altura ) se transforma en energía
cinética. Aplicando la ecuación de Bernoulli podemos fácilmente comprobar que la altura del líquido en los
manómetros debe ser cero.
 Fluido viscoso
En un fluido viscoso (figura de la derecha) el balance de energía es muy diferente. Al abrir el extremo del tubo
sale fluido con una velocidad bastante más pequeña. Los tubos manométricos marcan alturas decrecientes,
informándonos de las pérdidas de energía por rozamiento viscoso. En la salida, una parte de la energía
potencial, que tiene cualquier elemento del fluido al iniciar el movimiento, se ha transformado íntegramente
en calor. El hecho de que los manómetros marquen presiones sucesivamente decrecientes nos indica que la
pérdida de energía en forma de calor es uniforme a lo largo del tubo.
Deducción de la Ley de Poiseuille
Consideremos ahora un fluido viscoso que circula en régimen laminar por una tubería de radio interior , y de
longitud , bajo la acción de una fuerza debida a la diferencia de presión existente en los extremos del tubo.
Capa de fluido comprendido entre y
Sustituyendo en la fórmula de definición de viscosidad y teniendo en cuenta que el área de la capa es
ahora el área lateral de un cilindro de longitud y radio
El signo negativo se debe a que disminuye al aumentar .
 Perfil de velocidades
Integrando esta ecuación obtenemos el perfil de velocidades en función de la distancia radial al eje del tubo. Se
ha de tener en cuenta que la velocidad en las paredes del tubo es nula.
∫ ∫
Esta solución coincide con la ecuación de una parábola.

Tema 3. Fluidos
17
Perfil de velocidades
El flujo tiene, por tanto, un perfil de velocidades parabólico, siendo la velocidad máxima en el centro del tubo.
 Flujo
El volumen de fluido que atraviesa cualquier sección normal del tubo en la unidad de tiempo se denomina flujo
volumétrico.
El volumen de fluido que atraviesa el área del anillo comprendido entre y
en la unidad de tiempo es ). Donde es la velocidad del fluido
a una distancia del eje del tubo y es el área del anillo.
El flujo se hallará integrando
∫ ∫
El flujo es inversamente proporcional a la viscosidad y varía en proporción
directa a la cuarta potencia del radio del tubo , y es directamente
proporcional al gradiente de presión a lo largo del tubo, es decir al cociente .
El flujo se puede expresar como , donde
4.2. Flujo turbulento. Numero de Reynolds
Cuando la velocidad de flujo de un fluido es considerablemente grande, se rompe el
flujo laminar y se establece la turbulencia o flujo turbulento (formación de remolinos),
dando lugar a un aumento de la pérdida de energía y una disminución del caudal predicho
por la ley de Poiseuille.
La velocidad crítica por encima de la cual el flujo se
considera turbulento depende de la densidad y viscosidad
del fluido, y del radio de la tubería. El flujo de un fluido
puede caracterizarse mediante una magnitud adimensional
denominada Número de Reynolds ( ), determinada por:
(29)
De forma experimental se ha comprobado que el flujo será laminar para < 2000 y
será turbulento para > 3000. Entre estos valores el flujo es inestable y puede variar de un

Tema 3. Fluidos
18
tipo de flujo a otro.
4.3. Movimiento de sólidos en fluidos
El movimiento de sólidos en fluidos es, en general, complicado. Sin embargo, cuando el
régimen del fluido es laminar se obtiene que la fuerza de rozamiento (resistencia al avance
del sólido en el fluido) es proporcional a la velocidad relativa del sólido en el fluido. Para una
esfera de radio se cumple la ley de Stokes
(30)
Para una esfera que cae en el campo gravitatorio, ésta fuerza de rozamiento más el
empuje se igualan pronto a su peso, cuando éste es pequeño, y desde ese instante el cuerpo
cae con una velocidad constante llamada velocidad límite ( ). La caída de las gotas de lluvia
y la de las pequeñas partículas en una disolución (precipitación) siguen este
comportamiento.
Aplicación: Cálculo de la velocidad limite
A continuación se describe movimiento vertical de una esfera de masa y de radio , en el seno de un fluido
viscoso, en régimen laminar.
La esfera se mueve bajo la acción de las siguientes fuerzas: el peso, el empuje (se supone que el cuerpo está
completamente sumergido en el seno de un fluido), y una fuerza de rozamiento que es proporcional a la
velocidad de la esfera (suponemos que el flujo se mantiene en régimen laminar).
El peso es el producto de la masa por la aceleración de la gravedad . La masa es el producto de la densidad del
material por el volumen de la esfera de radio .
De acuerdo con el principio de Arquímedes, el empuje es igual al producto de la densidad del fluido ρf, por el
volumen del cuerpo sumergido, y por la aceleración de la gravedad.
La fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad, y viene dada por la ley
de Stokes
donde es la viscosidad del fluido.
La ecuación del movimiento será, por tanto,
La velocidad límite, se alcanzará cuando la aceleración sea cero, es decir, cuando la resultante de las fuerzas
que actúan sobre la esfera sea nula.
Despejamos la velocidad límite

Tema 3. Fluidos
19
( )
Ejemplo:
Empleamos una bolita de plomo ( = 11.35 g/cm
3
) de 3.7 mm de diámetro o
= 1.85 mm, y la dejamos caer en una columna de aceite de densidad conocida
( = 0.88 g/cm
3
). El tiempo que tarda la esfera en desplazarse = 50 cm (una vez
que alcanza la velocidad límite) es de =4.57 s. Calcular la viscosidad .
( )
5. FENOMENOS DE SUPERFICIE
Cuando se ponen en contacto dos fases distintas (por ejemplo gas-líquido, gas-sólido,
sólido-líquido, etc.) existe una superficie de separación entre ellas denominada interfase.
La interfase constituye una zona de discontinuidad en la homogeneidad molecular. Por
ello, las moléculas de la interfase tienen propiedades particulares que dan lugar a
fenómenos tales como la formación de gotas o la capilaridad, y que se conocen como
fenómenos de superficie.
Nos centraremos en las interfases formadas entre: gas-líquido, líquido-sólido y gas-
sólido, por ser las más frecuentes.
5.1. Tensión superficial
En la figura, se representan las fuerzas de atracción
intermoleculares que actúan sobre moléculas situadas
en el interior y en la superficie de un líquido en contacto
con el aire ambiente. Mientras que las del interior están
rodeadas uniformemente por otras moléculas,
resultando la fuerza neta cero, las situadas en la
superficie carecen de esta uniformidad, por lo que
experimentan una fuerza resultante hacia el interior del
líquido que está equilibrada por las fuerzas repulsivas
entre las moléculas.
Como consecuencia, para aumentar la superficie de un líquido y, por tanto, para llevar
moléculas a la superficie, hay que realizar un trabajo contra estas fuerzas atractivas
aumentando la energía potencial del sistema. El trabajo realizado es proporcional al
aumento de la superficie y al coeficiente de tensión superficial que se mide en J/m2
.
(31)

Tema 3. Fluidos
20
Tabla 6. Coeficientes de tensión superficial respecto al aire
σ (10
–2
J/m
2
)
Agua 7.3
Agua jabonosa 3.0
Alcohol etílico 2.2
Mercurio 47
Teniendo en cuenta, por otra parte, que el
trabajo se puede escribir como y
que , siendo una longitud
característica del sistema líquido respecto de la
cual se aumenta su superficie, entonces
(32)
Las fuerzas de tensión superficial de un
líquido son proporcionales a la longitud
característica respecto a la cual se aumenta su
superficie. El factor de proporcionalidad también
es la tensión superficial, . Por eso a veces se expresa en N/m.
Como todo sistema mecánico tiende a adoptar espontáneamente el estado de más baja
energía potencial, se comprende que los líquidos tengan tendencia a presentar al exterior la
superficie más pequeña posible.
La tensión superficial disminuye apreciablemente con la temperatura y con la presencia
de pequeñas cantidades de otras substancias (tensioactivas) como el jabón. En este caso,
con poca energía la superficie del líquido puede experimentar un aumento considerable,
favoreciéndose la formación de espuma.
5.2. Fuerzas de adhesión y cohesión
Cuando un líquido está en un recipiente, sobre las moléculas próximas a las paredes
actúan, además de las fuerzas de cohesión, debidas a otras moléculas del líquido, las fuerzas
de adhesión debidas a la interacción de las moléculas del líquido con las moléculas del
recipiente. Dependiendo de la magnitud de estas fuerzas, la superficie del líquido se curva
más o menos en la proximidad de las paredes del recipiente. Si predominan las fuerzas de
adhesión, comportamiento típico del agua (figura a), la superficie libre del líquido es
cóncava; en caso contrario, como por ejemplo el mercurio (figura b), la superficie adopta
una curvatura convexa.
a) b)

Tema 3. Fluidos
21
El ángulo de contacto ( ) es
un medida cuantitativa de la
interacción líquido-sólido. Se
define como el ángulo formado
por la superficie sólida (pared) y la
tangente a la superficie líquida en
el punto de contacto, .
Cuando las fuerzas cohesivas
predominan, > 90°, se dice que
el líquido “no moja” la superficie y
se forman meniscos convexos.
Cuando predominan las fuerzas adhesivas, < 90°, se dice entonces que el líquido
“moja” la superficie sólida y se forman meniscos cóncavos.
Tabla 7. Ángulos de contacto para varias interfases líquido-sólido
Superficie líquido-sólido Ángulo de contacto ( )
Agua-vidrio limpio 0
o
Etanol-vidrio limpio 0
o
Mercurio-vidrio limpio 140
o
Agua-plata 90
o
Ioduro de metileno-vidrio pyrex 30
o
5.3. Presión debida a la curvatura
En presencia únicamente de fuerzas de cohesión, una pequeña porción de líquido tiene
forma esférica (gotas de lluvia) debido a que la esfera es la forma geométrica que, para igual
volumen, presenta la menor superficie externa posible.
La disminución de la superficie de la gota (disminución del radio) produce un aumento
de la presión en el interior (compresión). De hecho, salvo que la superficie del líquido sea
plana, la presión a ambos lados de la superficie curva no es la misma (siempre es mayor en la
parte cóncava, es decir, en la cara interna de la gota).
Para calcular la diferencia entre las presiones a ambos lados de la superficie,
supongamos una gota de radio . Si se aumenta su radio en y llamamos a la presión
en el interior y a la presión en el exterior de la gota, el trabajo realizado se puede
expresar en función de la diferencia de presiones como
(33)
Este mismo trabajo se emplea en aumentar la superficie de
la gota y se puede escribir según la ecuación (31) en la forma
(34)
Igualando las ecuaciones, (33) y (34), se obtiene la Ley de
Laplace
(35)
Menisco cóncavo
Sólido
Líquido
Sólido
Líquido
Menisco convexo
a) b)

Tema 3. Fluidos
22
5.4. Capilaridad
Los efectos de las fuerzas de adhesión y cohesión son especialmente importantes en
recipientes de paredes próximas, por ejemplo, en tubos de radio pequeño. En estos casos,
además de la curvatura superficial, se observa generalmente que el líquido asciende (o
desciende) por el tubo una altura inversamente proporcional al valor del radio. Este
fenómeno se llama capilaridad y a ese tipo de tubos se les denomina capilares.
La relación entre la altura y el radio del tubo se obtiene teóricamente considerando
la presión debida a la curvatura y la correspondiente a la columna de líquido en el tubo.
Suponiendo que la superficie del líquido dentro del tubo es aproximadamente esférica, la
presión en un punto interior del líquido junto a la superficie (punto 1 en la figura) es
donde el signo menos se debe a que la presión es mayor
en la parte cóncava.
La presión en un punto a un nivel igual al de la
superficie del líquido en el recipiente (punto 2 en la
figura) es igual a la presión en el exterior . Por tanto,
según la ecuación fundamental de la Hidrostática:
(37)
Combinando (36) y (37) se obtiene la ley de la
capilaridad (Ley de Jurin) que se suele expresar en función del radio del tubo y del ángulo
de contacto en las paredes
(38)
En la mayoría de los casos, como el de un capilar de vidrio y el agua, las fuerzas de
adhesión son mayores que las de cohesión, la superficie es cóncava y el líquido sube por el
tubo. En el de un capilar de vidrio y el mercurio, por el contrario, las fuerzas de cohesión son
mayores, la superficie es convexa y el líquido baja por el tubo ( > 90o
y < 0).
5.5. Adsorción en líquidos. Detergencia.
Prácticamente todas las sustancias disueltas (solutos) alteran la tensión superficial o
interfacial de los líquidos. Podemos distinguir entre:
a. Sustancias tensioactivas o surfactantes, son
solutos (sustancias) que disminuyen la tensión superficial,
tendiendo a concentrarse en la superficie del líquido para
reducir la energía del sistema. Se caracterizan porque en
su estructura molecular se encuentra siempre un grupo
polar lipofílico para disolventes orgánicos, o hidrofílico
(36)

Tema 3. Fluidos
23
(afín al agua) en el caso de agua - grupos aniónicos, catiónicos o no iónicos - y otro apolar
lipofílico (afín a las grasas), o hidrofóbico para el agua - generalmente cadenas
hidrocarbonadas -.
b. Sustancias tensoiónicas (tensoinactivas) o solutos, como la glucosa, que aumentan la
tensión superficial del disolvente. En este caso, presentan adsorción negativa en la superficie
o interfase, es decir, existe menor concentración allí que en el resto de la disolución. Estas
moléculas se orientan en las interfases de manera que su grupo polar, por ejemplo en el
caso de aire-agua, se dirige hacia la parte acuosa y el grupo apolar hacia el aire, tal como se
ilustra en la figura. Las moléculas de la superficie alcanzan un equilibrio dinámico con las de
la disolución.
Cuando el tensioactivo se extiende por toda la superficie de un líquido forma lo que se
denomina película monomolecular o monocapa de adsorción.
Una aplicación útil de las propiedades de las interfases, es la limpieza de superficies
sólidas o detergencia, que utiliza sustancias tensoactivas disueltas en agua para eliminar
partículas grasas (hidrófobas) adheridas a superficies sólidas. En el esquema, podemos
apreciar los detalles del proceso. Sobre la superficie de un sólido S, se encuentra adherida
una partícula de grasa G. Se sumerge el sólido en una disolución acuosa D que contiene
sustancia tensoactiva (detergente). Para separar la partícula del sólido habrá que aumentar
las interfases S-D y G-D y disminuir la
interfase S-G. Si la tensión entre las
interfases son: SD
, GD
y SG
obtenemos que 0 SGGDSD
 ,
luego, SGGDSD
 , es decir, el
detergente debe disminuir
fuertemente las tensiones S-D y G-D.
En la acción limpiadora de los
detergentes influye también su
capacidad de formación de micelas
coloidales, donde las partículas de
suciedad están englobadas por moléculas de detergente, quedando en suspensión, e
impidiendo la redeposición en la superficie sólida.
5.6. Adsorción en sólidos
El fenómeno de adsorción sobre superficies, tanto líquidas como sólidas, se caracteriza
por la existencia de una sustancia determinada que presenta una mayor concentración en
esa zona que en el resto del sistema. La sustancia que se concentra en la superficie se
denomina adsorbato, y la que es capaz de concentrar a otra en su superficie se conoce como
adsorbente.
Es especialmente importante en Fisicoquímica el caso de gases que se concentran en la
superficie de ciertos sólidos. La adsorción de gases en sólidos depende del tipo de
adsorbente, de su superficie específica (superficie por unidad de masa), del tipo de gas
adsorbido, de su presión y de la temperatura. En general el aumento de la presión y la
disminución de la temperatura favorecen la adsorción del gas por el sólido. La adsorción de
gases por sólidos se clasifica en dos grandes grupos:

Tema 3. Fluidos
24
a. Adsorción física. Son uniones relativamente débiles y se produce principalmente a
temperaturas bajas. La adsorción física es un fenómeno reversible y si se reduce la presión
parcial del gas, o se aumenta la temperatura, se provoca la desorción.
b. Adsorción química o Quimisorción. Implica
interacciones de tipo químico entre adsorbente y
adsorbato, y por tanto, le afecta sensiblemente la
temperatura, produciéndose generalmente a
temperaturas elevadas. La quimisorción no es, en
general, un proceso reversible y requiere temperaturas
muy elevadas para la desorción.
Generalmente, la adsorción aumenta al aumentar la presión y disminuir la temperatura.
La relación entre el volumen de gas adsorbido por unidad de masa de adsorbente ( ) por un
sólido a la presión del gas ( ) y temperatura constante, viene dada por la denominada
Isoterma de Freundlich: , donde y son constantes características del adsorbente
y del adsorbato.
Los sólidos no solamente son capaces de adsorber gases, sino también solutos de
disoluciones líquidas.
6. CUESTIONES Y PROBLEMAS
1. El petrolero Prestige se encuentra sumergido a 3.5 km de profundidad en el océano Atlántico. a) ¿Qué
presión en atmósferas soporta la estructura del buque a esa profundidad? b) Suponiendo que el módulo de
compresibilidad del petróleo pesado sea 1.910
9
N/m
2
, ¿cuál es el aumento de la densidad del mismo en el
fondo del océano? Suponer que la masa de petróleo se mantiene constante. Datos: Densidad del petróleo
pesado en superficie: 0.9 g/cm
3
; Densidad agua mar a 3.5 km: 1040 kg/m
3
. Sol: 353.06 atm; 916.91 kg/m
3
.
2. Suponiendo que la presión sanguínea del corazón es ~100 mmHg, a) ¿cuál será la presión en el cerebro de
una persona si la distancia de la cabeza al corazón es de unos 50 cm? b) ¿Cuál será la presión en los pies si la
distancia al corazón es de aproximadamente 100 cm? c) La altura del corazón a la cabeza de las jirafas es de
340 cm, y la presión en el cerebro de las jirafas es de 260 mm Hg ¿cuál será la presión media del corazón en las
jirafas para bombear sangre hasta esa altura?. Dato: ρsangre = 1.05·10
3
kg/m
3
. Sol: 8.16.10
3
Pa; 2.36.10
4
Pa;
6.97.10
4
Pa.
3. El tubo de la figura está cerrado por el extremo de la ampolla y abierto en el
otro, y tiene mercurio alojado en las dos asas inferiores. Los números indican las
alturas en milímetros. Si la presión atmosférica es de 760 mmHg, ¿cuánto vale la
presión en el interior de la ampolla? Sol: 540mmHg
4. Dos líquidos no miscibles, aceite y agua, se vierten en un tubo en forma de U
como se indica en la figura. Calcula: a) la presión que existe sobre las superficies
libres de los líquidos en cada rama b) la densidad del aceite si el nivel del agua
está por debajo del nivel del aceite de forma que h1 = 24 cm y h2 = 19 cm. c) la
presión en la superficie límite entre el aceite y el agua. Dato: patm = 1.01310
5
Pa.
Sol: 101325 Pa; 792 kg/m
3
; 103187 Pa.
Agua
Aceite

Tema 3. Fluidos
25
5. Se introducen dos líquidos inmiscibles en un recipiente abierto a la atmósfera (Patm
= 1 atm). Los mismos permanecen en equilibrio formando dos capas de igual espesor.
Las presiones absolutas en los puntos medios 1 y 2 (en la mitad de cada una de las
capas) son P1 = 1,5 atm y P2 = 3 atm. ¿Cuánto valdrá la presión en el fondo del reci-
piente? Sol: 4 atm
6. Dos líquidos inmiscibles se encuentran en equilibrio formando capas de igual espe-
sor, como muestra la figura, en un recipiente abierto por arriba y sometido a la presión
atmosférica. Las presiones en los puntos A (a mitad de la capa superior) y B (fondo)
son: PA=1,2 atm y PB = 2,6 atm. Si a es la densidad del líquido superior, ¿cuánto vale la
densidad del líquido inferior? Sol: 3 a
7. Un manómetro compuesto por un tubo en U y mercurio está conectado con un tanque. De este modo, la
columna de mercurio se ve 5 cm más alta en el brazo del tubo unido al tanque que en el otro. ¿Cuál es la
presión en el tanque si la presión atmosférica es de 76 cm de mercurio? La densidad del mercurio es 13,6
g/cm
3
. Sol: 94,6 kPa
8. La prensa hidráulica de la figura está formada
por dos depósitos cilíndricos, de diámetros 10 y
40 cm respectivamente, conectados por la parte
inferior mediante un tubo, tal como se indica en
la figura. Contienen dos líquidos inmiscibles:
agua, de densidad 1 g/cm
3
y aceite 0.68 g/cm
3
.
Determinar el valor de la masa para que el
sistema esté en equilibrio.
Presión atmosférica = 101293 Pa. Sol: m=0.97 kg
9. El depósito de la figura contiene agua. Si
abrimos la llave de paso:
a) ¿qué altura tendrá el agua en cada lado del
depósito cuando se alcance el equilibrio?
b) ¿qué cantidad de agua pasará de un recipiente al otro hasta que se alcance el equilibrio?
Tomar g=9.8 m/s
2
. Presión atmosférica = 101293 Pa.
10. Un grupo de 5 náufragos se encuentran en una isla desierta. Con ayuda de unas maderas han fabricado una
balsa de 9 m
2
y 10 cm de espesor. Si cada uno de los náufragos pesa 50 kg y la densidad de la madera es de 0.6
g/mL ¿podrán todos subir a la balsa sin que ésta se hunda? Sol: Sí.
Agua
vacío
10 m
15 m
A=10 m2 A’=20 m2
Agua
m
5 kg
30 cm
8 cm
Aceite
20 cm
10 cm 40 cm

Tema 3. Fluidos
26
11. Disponemos de una plancha de corcho de 2dm de espesor; calcular la superficie mínima que se debe em-
plear para que flote en el agua, sosteniendo a un alumno de ciencias ambientales de 70Kg. Densidad del cor-
cho: 0.24 g/cm
3
. Sol: 0,460m
2
12. Un joyero emplea una aleación de plata y oro para fabricar un objeto ornamental cuyo peso total es 4.5 N.
Cuando el objeto se cuelga de una balanza de resorte y se sumerge completamente en agua, el peso registrado
es de 4.20 N. ¿Cuál es la composición de la aleación? Densidades relativas: plata 10.5; oro 19.3. Sol: 51% de
oro.
13. El corcho (C) y el hielo (H) poseen unas densidades de c=200 Kg/m
3
y H=920 kg/m
3
, respectivamente.
Determina la fracción del volumen de corcho y de hielo que flotarían en agua marina (m) de densidad, m=1025
kg/m
3
. Sol: 80.5%, 10.2%
14. Una pieza de cobre, cuya masa es 84.3 g, se introduce en una probeta que marca 60 mL de agua. La nueva
lectura es 69 mL. a) Calcular la densidad del cobre y comprobar que el cuerpo se hunde. b) Calcular el error
cometido al determinar la densidad. Sol: 9 g/cm
3
, 11%.
15. Un buque tiene una masa total de 2000t cuando lleva su carga máxima en el mar. ¿Qué masa debe quitarse
al navegar por un rio? Densidad del agua del mar 1,03g/cm
3
, densidad de agua dulce 1g/cm
3
. Tener en cuenta
que, en ambos casos, el volumen sumergido debe ser el mismo.
Sol:58,3t
16. Un cilindro hueco de altura 4L flota en el agua como se mues-
tra en la figura 1. La figura 2 muestra al mismo cilindro después
de habérsele introducido un lastre que pesa la quinta parte del
peso del cilindro. ¿Cuál será la altura de la porción de cilindro
que sobresale de la superficie del agua? Sol: 2/5 L
17.Un cubo que está flotando en mercurio tiene sumergida la cuarta parte de su volumen. Si se agrega agua
suficiente para cubrir el cubo, ¿qué fracción de su volumen quedará sumergida en el mercurio? ¿La respuesta
depende de la forma del cuerpo? Dato: La densidad relativa del mercurio es 13.6.
18. Un trozo de madera flota en agua manteniendo sumergidas tres cuartas partes de su volumen. Después se
echa en aceite y se mantiene sumergido un 95%. Calcularla densidad de la madera y del aceite. Densidad del
agua: 1g/cm
3
. Sol: a) 0,75g/cm
3
, b) 0,79g/cm
3
19. Un objeto cúbico de dimensión L= 0,6 m de lado y cuyo peso de 4450 N está
suspendido mediante un alambre en un tanque abierto (Patm=1atm) que con-
tiene un líquido de densidad ρ=944kg/m
3
. Encuentre: a) La fuerza total ejercida
por el líquido y por la atmósfera sobre la parte superior del objeto. b) La fuerza
total hacia arriba en la base del objeto. c) La tensión en el alambre. d) El empu-
je sobre el cuerpo. Sol: a) 37469N, b) 39465N, c) 2452N, d) 1998N
20. Dos esferas de igual volumen están sujetas mediante un hilo de masa despreciable.
La esfera inferior tiene una masa tres veces mayor que la superior. El conjunto se halla
sumergido en agua, de modo que en equilibrio, sólo queda por encima del nivel del
agua la mitad de la esfera superior, tal como se muestra en la figura. Si el volumen de
cada esfera es de 1,30 dm
3
, ¿Cuánto vale la tensión del hilo? Sol: T=1,59N
21.En la superficie de un vaso con agua flota un corcho de forma cúbica del que emerge un 30% de su
volumen. Calcular la masa de plomo que debemos colgar del corcho en su parte inferior si queremos que el
corcho se hunda con una aceleración de 2cm·s
-2
sabiendo que su masa es de 20g. Dato: densidad del plomo:

Tema 3. Fluidos
27
16000 kg·m
3
. Sol:9,2g
22. Un cubo de 0,7 m de arista está completamente sumergido en agua y
para ello se ejerce sobre él una fuerza de 600 N. Una vez que la fuerza
deja de actuar el cuerpo flota, como muestra la figura. a) En esas condi-
ciones, ¿cuál es la densidad del cubo? b) ¿Cuánto vale la presión sobre la
cara inferior cuando deja de aplicarse la fuerza?
23. Un cubo de 0,7 m de arista está completamente sumergido en agua y para ello se ejerce sobre él una fuerza
de 600 N. Una vez que la fuerza deja de actuar el cuerpo flota, como muestra la figura. a) En esas condiciones,
¿cuál es la densidad del cubo? b) ¿Cuánto vale la presión sobre la cara inferior cuando deja de aplicarse la fuer-
za? Sol: a) 821,5 kg/m
3
, b) 1,056 atm
24. Disponemos de una plancha de corcho de 1 dm de espesor. Calcular la superficie mínima que se debe
emplear para que flote en agua, sosteniendo a un náufrago de 75 kg. La densidad del corcho es de 0.24 g/cm
2
.
Nota: entendemos por superficie mínima la que permite mantener al hombre completamente fuera del agua,
aunque la tabla esté totalmente inmersa en ella. Sol: 0.987 m
2
.
25. Una esfera hueca de radio interior R y radio exterior 2R está fabricada con un material cuya densidad es 0 y
flota en la superficie de un líquido de densidad 2 0. ¿Qué fracción del volumen de la esfera permanece
sumergido? El interior se rellena ahora con un material de densidad ’ de tal forma que la esfera flota ahora
justamente sumergida. Determinar ’. Sol= La mitad, ’=9 0
26.Un objeto de corcho se deja caer desde una altura de 5m sobre la superficie de un lago. Considerando que
sólo se opone al movimiento el empuje del agua y que la densidad del corcho es 0.2g/cm
3
. Calcular:
a) ¿Cuánto se hunde el objeto dentro del agua? Sol: 1,25m
b) ¿Cuánto tiempo tarda en llegar a esa profundidad y volver a la superficie? Sol: 0,25s
27. Suponiendo que la cantidad de agua que sale de un surtidor lanzada hacia arriba a través de una boca de
área A1 en una fuente es constante, ¿qué disminución tendrá que hacerse a la sección A1 para que el chorro
ascienda al doble de la altura? Sol:
√
28. Una corriente de agua con un caudal de 2.8 L/s fluye a través de una tubería de sección circular de 2.0 cm
de diámetro. a) ¿Cuál es la velocidad de la corriente de agua?. Si la tubería se estrecha hasta que su diámetro
se reduce a la mitad, b) ¿cuánto ha variado su velocidad? Sol: a) 8.9 m/s, b) se ha hecho 4 veces mayor
29. Un grifo tiene una sección de 2cm
2
y por el circula agua con un caudal volumétrico de 12 litros por minuto.
Si el chorro tiene una longitud de 45cm, determinar la sección inferior del mismo. Sol: 0,63cm
2
30. Un fluido de 1.5 g/cm
3
de densidad fluye a través de un tubo de 2 cm de radio con una velocidad de 300
cm/s, a una presión de 900 mmHg. Un tramo posterior de la misma conducción se eleva 20 cm con respecto al
primero. Calcula la velocidad y la presión en este segmento elevado si no hay cambio en la sección del tubo.
Sol: 3 m/s; 11.7.10
4
Pa.
31. Un anemómetro como el de la figura muestra una diferencia de altura entre el líquido de los conductos de
1.5 cm. El fluido que lo atraviesa es un plasma con una densidad de 1.03 kg/L. El radio de la parte ancha es de 1
cm y el de la parte estrecha de 0.4 cm. ¿Cuál es la velocidad del plasma? Sol: v2 = 0.6 m/s; v1 = 0.09 m/s.

Tema 3. Fluidos
28
A2
A1
x
1v
v2
.
.
32.A través del tubo de la figura fluya agua que sale a la atmósfera por
C. El diámetro del tubo es 2cm en A, 1cm en B y 0.8cm en C. La presión
manométrica del tubo en A es de 1.22atm y el caudal de 0.8L/s. Los
tubos verticales están abiertos al aire. Determinar el nivel de las interfa-
ces líquido-aire en los dos tubos verticales. Supóngase que el flujo es
laminar. Sol: hA=2.3m, hB=1,4m
33. De un gran depósito de agua, cuyo nivel se mantiene constante, fluye agua que circula por los conductos de
la figura hasta salir por la abertura D, que está abierta al aire. La diferencia de presión entre los puntos A y B es
PB - PA = 500 Pa. Sabiendo que las secciones de los diferentes tramos de la conducción son SA = SC = 10 cm
2
y SB
= 20 cm
2
, calcular las velocidades y las presiones del agua en los puntos A, B, C, de la conducción. La presión en
C es la atmosférica, igual a 10
5
Pa.
34. Por una tubería inclinada 30
o
respecto a la horizontal circula agua en sentido ascendente. La tubería
presenta dos secciones de triple diámetro la primera que la segunda. Calcular la variación de la velocidad del
agua al pasar de la primera a la segunda sección si un manómetro señala una diferencia de presión de 100 mm
de Hg entre dos puntos situados 1 m antes y después del estrechamiento. Sol: 0.30 m/s; 2.72 m/s; 2.42 m/s
35. Sobre una tapia de 3 m de alto está colocado un gran tanque abierto por arriba, lleno de agua hasta una
altura de 4 m. Hallar la velocidad y el caudal del agua cuando sale por un orificio de 6 cm
2
situado a una altura
de 1 m sobre la base del tanque. Sol: 7.7 m/s; 0.00462 m
3
/s.
36. Una fuente, diseñada para lanzar una columna vertical de agua de 12 m de altura sobre el nivel del suelo,
tiene una boquilla de 1 cm de diámetro al nivel del suelo. La bomba de agua está a 3 m por debajo del nivel del
suelo. La tubería que conecta la bomba a la boquilla tiene un diámetro de 2 cm. Hallar la presión que debe
suministrar la bomba. Sol: 2.41.10
5
Pa.
Agua
A
B
C
D

Tema 3. Fluidos
29
37. Para el sistema mostrado en la figura calcule la presión de aire requerida para hacer que el chorro suba a
una altura de 10m. La altura h es de 1.5m. Sol: 184600Pa
38. Una manguera de bomberos debe ser capaz de lanzar agua hasta la parte superior de un edificio de 35 m
de altura cuando se apunta recta hacia arriba. El agua entra en esta manguera a un caudal constante de 0.5
m
3
/s y sale por una boquilla redonda.
a. ¿Cuál es el diámetro máximo que esta boquilla puede tener? Sol: d=0.16 m.
b. Si la única boquilla disponible tiene un diámetro que es el doble de grande, ¿cuál es el punto más alto que
puede alcanzar el agua? Sol: h=2.2 m.
39. Un depósito de agua está cerrado por encima con una placa deslizante de 12 m
2
y 1200 kg de peso. El nivel
del agua en el depósito es de 3.5 m de altura. a) Calcular la presión en el fondo. b) Si se abre un orificio circular
de 5 cm de radio a medio metro por encima del fondo, calcúlese el volumen de agua que sale por segundo por
este orificio. (Considerar que el área del orificio es muy pequeña frente al área del depósito).
40. Un depósito que contiene agua está herméticamente cerrado, teniendo en la cámara interior una presión
de 3 atmósferas. Determinar la velocidad de salida del agua por un grifo situado a 6 m por debajo del nivel del
agua. Si se rompiese el depósito por su parte superior, ¿qué velocidad de salida habría? Dato: El depósito tiene
un radio 10 veces mayor que la salida por el grifo.
3.5 m
3 m

Tema 3. Fluidos
30
41. El agua fluye continuamente de un tanque abierto como el de la figura adjunta. La altura del punto 1 es de
10 m y la de los puntos 2 y 3 es de 2 metros. El área transversal en el punto 2 es de 0.0480 m
2
y en el punto 3 es
de 0.0160 m
2
. El área del tanque es muy grande en comparación con el área transversal del tubo. Calcular el
flujo de salida del agua y la presión en el punto 2. La presión en el punto 1 es la atmosférica.
Sol: 0.2 m
3
/s; 170744.4 Pa.
42. Un depósito de agua, cuyo nivel se mantiene constante a una altura de 10 m, tiene un orificio en la parte
más baja de su superficie lateral por el que fluye el líquido. La sección de dicho orificio es de 1 dm
2
. En un plano
horizontal situado 1 m por debajo del fondo del depósito se quiere colocar un tubo que recoja el chorro. Se
desea saber la distancia horizontal del tubo al depósito, inclinación del mismo para que el líquido no choque
con sus paredes y mínima sección para que el agua no se derrame. Se desprecia el rozamiento con el aire. Sol:
x=6.32 m; =17.6
o
; S=0.953 dm
3
.
43. Se dispone de un depósito de grandes dimensiones presurizado a 110
kPa. Está provisto de dos orificios de desagüe A y B, situados respectiva-
mente a 3 m y 4 m por debajo de la superficie libre del agua, tal como se
muestra en la figura adjunta. Los diámetros de los chorros de agua que
salen por los orificios A y B son de 20 mm y 30 mm, respectivamente.
Suponiendo que el agua se comporta como un fluido ideal en régimen
estacionario, y considerando g=9.81 m/s
2
y Agua=1015 kg/m
3
, calcule:
a) La velocidad que tiene el agua en los orificios A y B, en m/s
b) La altura h que alcanza el agua que sale por el orificio A, en metros.
c) El volumen de agua que sale del depósito en 30 minutos, en m
3
.
44. Tenemos un recipiente de paredes verticales lleno de un líquido hasta
una altura l. Demostrar que si abrimos un orificio a una distancia vertical de la superficie y, el chorro tiene el
mismo alcance que si lo abrimos a la misma distancia y del fondo.
h1
h2
P1
P2
10 m
2 m
1
2 3

Tema 3. Fluidos
31
45. Tenemos un depósito circular, abierto, muy grande y de paredes verticales lleno de agua hasta una altura
de 24.13m. se practica un agujero a una distancia de 4.13m de la superficie del agua, en la pared vertical. Cal-
cular:
a) La velocidad de salida del fluido en el instante inicial. Sol: 9m/s
b)¿A qué distancia de la superficie lateral del depósito chocará con el suelo el chorro de agua?
Sol: x=18,18m
c) A que distancia por debajo de la superficie del agua, podría hacerse un segundo agujero de
igual diámetro, tal que el chorro que salga por él, tenga el mismo alcance que el que sale por el
primero? d=20m
46. Calcule la presión necesaria para que el chorro de agua suba a
una altura de 20 m, considerando que la altura es de 3 m, y el
ángulo de salida es de 60°. Suponga que el tanque es mucho más
grande que el orificio de salida del agua. Sol: 3,3atm
47. Se dispone de un depósito de grandes dimensiones presu-
rizado a 100 kPa. El depósito contiene aire, aceite de densidad
ρac=0.85 g/cm
3
, y agua de densidad ρag=1.024 g/cm
3
. El depósi-
to está provisto de una tubería de desagüe de diámetro inte-
rior Øtub=50 mm, que en su extremo tiene una boquilla, que da
lugar a un chorro de agua con un diámetro Øch=20mm, tal
como se muestra en la figura adjunta. El área de la sección de
la tubería de desagüe es muchísimo más pequeña que el área
de la superficie del depósito, de manera que se puede conside-
rar que el nivel del agua de éste no cambia. Suponga que el
agua salada se comporta como un fluido ideal y considere
g=9,81 m/s
2
. Calcule:
a) la velocidad con la que sale el agua, vB en m/s, y el caudal Q,
en L/s. Sol: vB=15,84m/s
b) la velocidad y la presión en la sección A, vA y pA, en m/s y Pa, respectivamente. Sol: vA=2,53m/s,
pA=249740Pa
c) la altura h, en m, que alcanza el chorro de agua que sale por B. Sol: 12,8m
48. El flujo o caudal en una tubería por la que circula agua es 208
L/s. En la tubería hay instalado un medidor de Venturi con
mercurio como líquido manométrico. Si las secciones de las
tuberías son 800 y 400 cm
2
, calcular el desnivel que se produce
en el mercurio. Dato: densidad del mercurio 13.6 g/cm
3
. Sol: 8.2
cm.
49. Por la tubería de distribución que se muestra en la figura
adjunta, circula agua de densidad 1030 kg/m
3
. El punto 2 está
2 m por encima del punto 1; el punto 3 está a la misma altura
que el 1; el punto 4 se sitúa 3 m por debajo del punto 1. Para
los valores que se indican en la figura, calcule:
h
A1 A2
1
2

Tema 3. Fluidos
32
a) El caudal Q4, en L/s y la velocidad v4, en m/s Sol: Q4=30L/s, v4=12m/s
b) La presión p1, en Pa. Sol: p1=40027Pa
c) La presión p2 en Pa y la velocidad v3 en m/s. Sol: p2=41749Pa, v3=6m/s
50. Por la tubería ramificada que se muestra en la figura
adjunta, fluye agua salada de densidad ρ=1030 kg/m3. Los
puntos 1 y 3 se sitúan al mismo nivel, mientras que los
puntos 2 y 4 están, respectivamente, por encima y por
debajo de aquéllos. Para los valores que se indican en la
figura, suponiendo que el agua se comporta como un
fluido ideal y tomando g=9.81 m/s
2
, calcule:
a) el caudal Q1 en L/s y la presión p1 en Pa. Sol: 160L/s,
39,9kPa.
b) la presión p3 en kPa. Sol: 64,6kPa
c) la velocidad v2 en m/s y la presión p2 en Pa. Sol:
8,54m/s, 5kPa.
51. Del depósito A de la figura sale agua
continuamente pasando través del
depósito cilíndrico B por el orificio C. El
nivel de agua en A se supone constante, a
una altura de 12 m sobre el suelo. La
altura del orificio C es de 1.2 m. El radio
del depósito cilíndrico B es 10 cm y el del
orificio C, 4 cm. Calcular:
a) La velocidad del agua que sale por el
orificio C.
b) La presión del agua en el punto P del
depósito pequeño B
c) La altura del agua en el manómetro
abierto vertical.
Dato: la presión atmosférica es 101293 Pa. Sol: 14.55 m, 204.42·10
3
Pa, 10.5 m.
52. Una conducción de agua horizontal, por la que circula un caudal de 20
L/s, tiene una sección SA = 100 cm
2
, presentando un estrangulamiento de
sección SB. a) ¿Cuál debe ser el valor de SB, para que la presión PB sea 0.5
atm inferior a PA? b) ¿Cuáles son, en esas condiciones, las velocidades vA y
vB? c) ¿Cuál es la diferencia de alturas entre las columnas de Hg del tubo
en U? Datos: 1 atm = 1.013.10
5
Pa; ρHg = 13.6 g/cm
3
. Sol: 19.5 cm
2
; 2 m/s,
10.26 m/s; 0.38 m.
53. Dos depósitos abiertos muy grandes A y F, véase la figura,
contienen el mismo líquido. Un tubo horizontal BCD que tiene
un estrechamiento en C, descarga agua del fondo del depósito
A, y un tubo vertical E se abre en C en el estrechamiento y se
introduce en el líquido del depósito F. Si la sección transversal
en C es la mitad que en D, y si D se encuentra a una distancia
h2 por debajo del nivel del líquido en A.
¿Qué altura h1 alcanzará el líquido en el tubo E?
A
B
1.2 m
12 m
A
B
C
P
h

Tema 3. Fluidos
33
Expresar la respuesta en función de h2.Sol: h1=3h2
54. Por una tubería de 40 mm de diámetro interior, circula aceite de uso
industrial de densidad ρ=0,9 g/cm
3
. A la tubería se le ha colocado un
medidor de Venturi, cuya geometría se detalla en el esquema adjunto, y
cuya sustancia manométrica es el mercurio. El caudal que circula es de
180 l/min. Suponiendo que el aceite se comporta como un fluido ideal en
régimen estacionario, y considerando g=9,81 m/s
2
y ρHg=13,6 g/cm
3
,
calcule:
a) las velocidades v1 y v2 del aceite en las secciones 1 y 2, en m/s. b) la
diferencia de presiones, (p1 – p2), entre los puntos 1 y 2. c) el valor de h
en cm. Sol: Ver video
55. Los depósitos A y B, de gran-
des dimensiones, están conecta-
dos por una tubería de sección
variable. El nivel de agua en el
depósito A es de 2m y el desnivel
entre ambos depósitos es de 3m.
El radio en el tramo de tubería 1
es 3 cm, reduciéndose a la mitad
en el punto 2 y a un tercio en el
punto. Calcular:
a) Presión manométrica en el
fondo del depósito A, expresada en pascales. Sol: 120900Pa
b) Velocidad con que vierte el agua en el depósito B (punto 3) y caudal expresado en L/s.Sol: 9,9m/s. 3,14L/s
c) Velocidad en los puntos 1 y 2. Sol: 1,11m/s, 4,44m/s
d) Diferencia de altura h entre los piezómetros situados en los puntos 1 y 2. Sol: 0,94m
56. Sobre un tubo capilar de 10 cm de largo y 0.6 mm de diámetro interno se aplica una diferencia de presión
de 75 mm Hg para mover agua en su interior. Teniendo en cuenta que la viscosidad del agua es de 0.801 cp, a)
¿qué volumen de agua saldrá del tubo en 20 s?, b) comprobar que el régimen de movimiento es laminar. Sol:
8·10
-6
m
3
; Re = 1050 < 2000.
57. Durante la micción, la orina fluye desde la vejiga, donde su presión manométrica es 40 mmHg, a través de la
uretra hasta el exterior. Calcular el diámetro de una uretra femenina sí su longitud es de 4 cm, el flujo de orina
durante la micción es de 21 cm
3
/s y la viscosidad de la orina es de 6,9.10-4 N.s/m
2
. Sol: 7,25·10
-4
m
58. Desde un frasco, y a través de un tubo circular, fluye plasma que llega al brazo de un paciente. a) Cuando el
frasco está a 1,5 m de altura por encima del brazo, ¿cuál es la presión del plasma que entra en la vena? b) Si la
presión sanguínea de la vena es 12 mmHg superior a la presión atmosférica e introducimos en ella plasma con
una aguja de 3 cm de longitud y 0,36 mm de radio interior, ¿qué caudal de plasma recibe el enfermo? Sol: a)
116800Pa, b) 2,34·10
-6
m
3
/s
Datos: La densidad y viscosidad del plasma son de 1,05 g.cm
-3
y 1,3 cp, respectivamente.
59. Cuatro tuberías idénticas conectadas tres en serie y el conjunto en paralelo con la cuarta, presentan una
resistencia hidrodinámica total R, para el paso de agua. Si las cuatro mismas cañerías se conectaran en serie,
¿cuál sería la resistencia total? Sol: 16/3 R
60. Una bola de vidrio de 1 mm de radio cae en aceite de ricino. Su velocidad límite (Stokes) de caída es de 3
mm por segundo. ¿Cuál es el coeficiente de viscosidad de este aceite? Datos: Densidad del vidrio: 2.6 g/cm
3
,
densidad del aceite: 0.27 g/cm
3
. Sol: =16.9 Poise

Tema 3. Fluidos
34
61. Una esferita de acero de r = 3 mm parte del reposo y cae en un depósito de glicerina. ¿Cuál es la velocidad
límite de la esferita en ese líquido? Datos: acero = 8·10
3
kg/m
3
; glicerina = 1300 kg/m
3
; ηglicerina = 830 cp. Sol: 0.16
m/s.
62. Se requiere un exceso de presión de 364 Pa para producir una burbuja semiesférica en el extremo de un
tubo capilar de 0.3 mm de diámetro sumergido en acetona. Calcula . Sol: 0.0273 N/m.
63. Una burbuja de cava soporta una presión equivalente a una columna de agua de 15 cm. Si la tensión
superficial del líquido es  = 7.4·10
-2
N/m, ¿cuál es el radio de la burbuja? Sol: 10
-4
m.
64. Un líquido colocado en un depósito en el que hay dos tubos capilares de 25 y 100 m de diámetro se halla,
en el primero, 8 cm por debajo del nivel del segundo. Si la tensión superficial es de 400 dinas/cm y la densidad
2.5 g/mL, calcula el ángulo de contacto. Sol: 92
o
.
65. La savia sube en los árboles por un sistema de tubos capilares de radio r = 2.5·10
-5
m. El ángulo de
contacto es 0°. La densidad del agua es 10
3
kg/m
3
. ¿Cuál es la máxima altura a que puede subir la savia en un
árbol a 20°C? Dato: agua = 7.3·10
-2
N/m. Sol: 0.59 m.
66.Disponemos de un líquido dentro de un capilar. Si el ángulo de contacto en la superficie de separación
líquido-sólido es próximo a cero, ¿el líquido asciende o desciende por el capilar? ¿Qué tipo de fuerzas
predominan? Justifica las respuestas.
67. Se introduce un capilar de 0,80 mm de diámetro en metanol y el líquido asciende una altura de 1,50 cm.
La densidad del metanol es 790 kg/m
3
. Suponiendo que el ángulo de contacto es próximo a 0o, ¿cuál es el coe-
ficiente de tensión superficial del etanol? Sol: 0,0232 J/m
2
68.En un tubo en forma de U cuyas ramas son de 0.6mm y 0.6 cm de diámetro se introduce un líquido de
densidad 1,8g/cm
3
y de 32 dyn/cm de tensión superficial, ¿Cuál será la diferencia de nivel en el líquido en las
dos ramas del tubo, si este se encuentra en posición vertical y el ángulo de contacto es de 32
o
? Dato: 1dyn= 10
-
5
N. Sol: 1cm
69. En un experimento para la determinación de la tensión superficial del acetato de etilo por el método del
ascenso capilar, un estudiante calibró el tubo capilar con benceno, observando que a 20.5°C el benceno, de
densidad 0.878 g/mL y tensión superficial 28.8 dinas/cm, se elevó 2.71 cm. Después observó que el acetato de
etilo, cuya densidad es 0.900 g/mL, se elevó 1.96 cm a la misma temperatura. Calcular: a) el radio del capilar y
b) la tensión superficial del acetato de etilo a dicha temperatura. ¿Qué hipótesis se han efectuado en a) y b) en
relación con los ángulos de contacto? Sol: a) 2.47 10
-4
m; b) 2.38 10
-2
N/m; En a)  0 y en b) benceno  acetato.

T3 fluidos-2013-14

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Ähnlich wie T3 fluidos-2013-14

Ähnlich wie T3 fluidos-2013-14 (20)

Mehr von Andle Aylas

Mehr von Andle Aylas (14)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (20)

T3 fluidos-2013-14