Teoria de Colas, cadenas de markov, modelos estocasticos

1. Líneas de Espera:Líneas de Espera:Líneas de Espera:Líneas de Espera:
Teoría de ColasTeoría de ColasTeoría de ColasTeoría de Colas
Profesor: Daniel Castro M

2. El tráfico en redes se puede modelar con la ayuda de la teoría de colas, es
por ello que es importante estudiarlas y comprenderlas. Existen varias
definiciones sobre la teoría de colas las cuales se ocupan en análisis
matemático de los fenómenos de las líneas de espera o colas.
Teoría de colas o líneas de espera
Las colas se presentan con frecuencia cuando se solicita un servicio por parte de
una serie de clientes y tanto el servicio como los clientes son de tipo
probabilístico.

3. Teoría de colas o líneas de espera
La teoría de colas es únicamente un modelo del comportamiento del
tráfico que se ve todos los días, como lo puede ser un semáforo, la
espera en un banco, la fila para conseguir el ticket para un concierto,
así como el tráfico que se presenta en el envío de paquetes en redes,así como el tráfico que se presenta en el envío de paquetes en redes,
siendo este último caso el que se va a analizar.
La teoría de colas presenta un panorama del
comportamiento de la cola a través del tiempo y
el entorno de la misma.

4. Conceptos básicos del modelo de colas
Cuando se va a comprar un boleto para viajar:
•Si existen pocas personas para ser atendidas, será una cola pequeña
•Sin embargo, si hay un gran n° de personas esperando ser atendidas
será una cola muy grande.será una cola muy grande.
Ahora bien, el número de servidores dependerá de cuantas personas están
atendiendo y el cliente será la persona que quiere comprar el boleto, el
número de servidores podrá ser de 1 hasta infinito.A continuación se muestra
el ejemplo de una cola con un único servidor.

5. Teoría de colas o líneas de espera
Una cola es una línea de espera
La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de
líneas de espera particulares
El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de
servicio apropiada
Existen muchos sistemas de colas distintos
Algunos modelos son muy especiales
Otros se ajustan a modelos más generales
Se estudiarán ahora algunos modelos comunes
Otros se pueden tratar a través de la simulación

6. Estructuras típicas de sistemas
de colas: una línea, un servidor

7. El tipo de
distribución
de entradas o
llegadas
El tipo de
distribución
de salidas o
retiros
La fuente o
población
Los canales de
servicio
La disciplina
del servicio
El número
máx de
clientes
permitidos en
el sistema
El sist de colas se especifica

8. Una vez mencionadas las características de las colas, es importante
comentar cada una de ellas. Para empezar, las distribuciones de entrada y
salida, también conocidas como distribuciones de llegada y retiro,
determinan los modelos por los cuales los clientes entran y salen
El sistema de colas se especifica
determinan los modelos por los cuales los clientes entran y salen
En la característica Café y verde, se observa, que se le hace referencia a
lo que es el tiempo entre llegadas y el tiempo de servicio, éstos también
son conocidos como patrones.

9. El patrón de llegadas de los clientes generalmente está especificado por el tiempo
entre llegadas, que es el tiempo entre las llegadas de los clientes sucesivos a la
instalación que ofrece el servicio
El sistema de colas se especifica
En esta parte es importante indicar que a veces los clientes prefieren no
esperar en la cola para recibir el servicio y es cuando se presentan dos casos,
los cuales son el rechazo y el abandono, el primero ocurre cuando el cliente
observa una cola demasiado grande o larga y prefiere no ingresar a ella, el
segundo caso se presenta cuando un usuario se encuentra en la cola pero
prefiere dejarla.

10. Tipos de sistemas
Un sistema de líneas de espera es un conjunto de clientes, un conjunto
de servidores, y un orden en el cual los clientes llegan y son atendidos.
Un sistema de líneas de espera es un proceso de nacimiento-muerte conUn sistema de líneas de espera es un proceso de nacimiento-muerte con
una población formada por clientes en espera del servicio o que están en
servicio; una muerte ocurre cuando un cliente abandona la instalación.
El estado del sistema es el número de clientes en la instalación

11. Estructuras típicas de sistemas de colas: una
línea, múltiples servidores
Sistema de colas
Servidor
Salidas
Llegadas
Cola Servidor
Servidor
Salidas
Salidas

12. Estructuras típicas de colas: varias líneas,
múltiples servidores
Sistema de colas
Cola Servidor
Salidas
Llegadas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola

13. Estructuras típicas de colas: una línea,
servidores secuenciales
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
Servidor
Salidas
Cola
Servidor

14. Sistemas de colas: Las llegadas
El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama
tiempo entre llegadas
El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable
El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas
λ(λ)
El tiempo esperado entre llegadas es 1/λ
Por ejemplo, si la tasa media de llegadas es λ = 20 clientes por hora
Entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/λ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos

15. Sistemas de colas: Las llegadas
Además es necesario estimar la distribución de probabilidad
de los tiempos entre llegadas
Generalmente se supone una distribución exponencial
Esto depende del comportamiento de las llegadas

16. Sistemas de colas: Las llegadas –
Distribución exponencial
La forma algebraica de la distribución exponencial es: ????
t
etserviciodetiempoP µ−
−=≤ 1)(
Donde t representa una cantidad expresada en de tiempo unidades de
tiempo (horas, minutos, etc.)
Media Tiempo0
P(t)

17. Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución
exponencial
La distribución exponencial supone una mayor probabilidad
para tiempos entre llegadas pequeños
En general, se considera que las llegadas son aleatoriasEn general, se considera que las llegadas son aleatorias
La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de
la siguiente

18. Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución
de Poisson
Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para
describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas
Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más
simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altassimétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas
Donde:
P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo
λ : tasa media de llegadas
e = 2,7182818… !
)(
k
e
kP
k λ
λ −
=

19. Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de
Poisson
P
Llegadas por unidad de tiempo0

20. Sistemas de colas: La cola
El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio
El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la
cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio
La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la
cola
Generalmente se supone que la cola es infinita
Aunque también la cola puede ser finita
La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros
de la cola para comenzar el servicio
La más común es PEPS: primero en llegar, primero en servicio

21. Sistemas de colas: El servicio
El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores
múltiples
El tiempo de servicio varía de cliente a cliente
El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de
servicio (µ)

22. Notación Kendall
David G. Kendall, implementó la notación de colas, la cual es utilizada para identificar las
características de una línea de espera por medio de iniciales
A / B / X /Y / Z /V

23. Modelos de una cola y un servidor
M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio
exponenciales
M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una
distribución general de tiempos de serviciodistribución general de tiempos de servicio
M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una
distribución degenerada de tiempos de servicio
M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una
distribución Erlang de tiempos de servicio

24. Sistema M/M/1
Con respecto a la notación de Kendall, para este sistema
se tienen las siguientes características:
Se tiene un sistema de llegadas que se producen según un proceso de Poisson de razón λ,
donde los tiempos entre llegadas estarán distribuidos exponencialmente, Exp (λ)
λ: Es el número medio de llegadas por unidad de tiempo
A
λ: Es el número medio de llegadas por unidad de tiempo
B Los tiempos entre servicios son distribuidos de manera
exponencial, Exp (µ)
Donde µ es el número medio de paquetes que el servidor es capaz de atender
por unidad de tiempo

25. Sistema M/M/1

26. Variables

27. Ecuaciones

28. M/M/s, una línea de espera
1
0
0
!!
1
L
WLLPL
ns
s
s
P
q
s
s
n
ns
=+==
+





−
= −
=
∑
λλµρ
ρ
λµ
µρ
00
0
02
!
1
,
!
,
!
1
)()!1(
P
s
s
s
PknsiP
ss
P
knsiP
n
PWW
L
WLLP
ss
L
s
wsn
n
n
n
nqs
q
qqsq






−
=>=
≤=+=
=+=
−−
=
−
λµ
µ
ρ
ρ
ρ
µ
λµ
λ
λµ
λµρ

29. Costos de un sistema de colas
1. Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar
Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido
Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de
competitividad
2. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado
Es más fácil de estimar
El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total
mínimo

30. Análisis económico de líneas de espera
Costos
Costo total
Tasa de servicioTasa óptima
de servicio
Costo de espera
Costo del servicio