1. Determinan merupakan jumlah perkalian tanda dari elemen-elemen matriks. 2. Determinan digunakan untuk menyelesaikan persamaan linier dan menentukan apakah suatu matriks dapat diinvers. 3. Metode reduksi baris/kolom dan ekspansi kofaktor digunakan untuk menghitung nilai determinan secara efisien.

1. Bagian IV Determinan

3. Bentuk perkalian ini dapat disajikan sebagai berikut : Diketahui matriks, berikut :

4. Notasi determinan sering juga ditulis sebagai, Misalkan A, matriks bujursangkar berukuran nxn maka berlaku : ( a ). Jika mempunyai baris nol , atau kolom nol , maka det( A ) = 0 ( b ). Det ( A ) = det ( A T ) ( c ). Jika matriks segitiga (atas, bawah, atau diagonal) maka det ( A ) = a 11 a 22 …a nn

9. R 1  faktor 3 pada baris 1 dikeluarkan dari determinan matriks. R 3  R 3 + (–2)R 1 R 3  ( – 1/55)R 3 R 3  R 3 + ( – 10)R 2

20. Elemen minor untuk a 11 : Kofaktornya untuk a 11 : Dengan cara yang sama elemen minor a 32 : Kofaktornya untuk a 11 :

21. Catatan : Perbedaan antara elemen minor dan kofaktor hanya pada tanda, C ij = ± M ij . Langkah untuk menentukan tanda + dan –, disesuaikan dengan faktor baris ke- i dan kolom ke- j itu berada dapat ditunjukkan, susunan daftar berikut : Contoh : C 11 = M 11 , C 21 = – M 21 , C 12 = – M 12 , C 22 = M 22

22. 2. Eksp a nsi Kofaktor Misalkan matriks A : det( A ) = a 11 M 11 + a 12 ( – M 12 ) + a 13 M 13 = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 Contoh :

23. Maka, = 3(– 4) – (1)(– 11) + 0 = – 1 det( A ) = a 11 C 11 + a 12 C 12 ) + a 13 C 13 = a 11 C 11 + a 21 C 21 + a 31 C 31 = a 21 C 21 + a 22 C 22 + a 23 C 23 = a 12 C 12 + a 22 C 22 + a 32 C 32 = a 31 C 31 + a 32 C 32 + a 33 C 33 = a 13 C 13 + a 23 C 23 + a 33 C 33 Variasi lain penentuan Determinan A adalah :

24. 3. Determinan matriks A , berukuran nxn dapat dihitung dari jumlah semua hasil perkalian elemen pada setiap baris (atau kolom) dengan kofaktornya, untuk setiap 1  i  n dan 1  j  n . det( A ) = a 1j C 1j + a 2j C 2j + … + a nj C nj (ekspansi berdasarkan kofaktor kolom ke - j ) det( A ) = a i1 C i1 + a i2 C i2 + … + a in C in (ekspansi berdasarkan kofaktor baris ke - i ) dan

25. Contoh 1 : Misalkan matriks, akan ditentukan determinannya berdasarkan ekspansi kofaktor kolom 1, maka = 3(– 4) – (1)(– 11) + 0 = – 1 Contoh 2 : Diketahui matriks A, akan ditentukan deteminannya berdasarkan ekspansi kofaktor Operasi barisnya.

26. Maka, R 1  R 1 + (–3) R 2 R 3  R 3 + (–2) R 2 R 4  R 4 + (–3)R 2 Ekspansi berdasarkan baris ke – 2 R 3  R 3 + R 1 Ekspansi berdasarkan kolom ke – 1

27. 4. Matriks Ajoint Jika A matriks berukuran nxn dan C ij adalah kofaktor dari a ij , maka matriks, Disebut matriks kofaktor dari A. Transpose dari matriks ini disebut adjoint dari A, dinotasikan sebagai adj( A ) Contoh : misalkan matriks,

28. Kofaktor dari A C 11 = 12 C 12 = 6 C 13 = -16 C 21 = 4 C 22 = 2 C 23 = 16 C 31 = 12 C 32 = –10 C 33 = 16 Jadi matriks kofaktornya : dan adjoint dari A adalah :

29. 5. Invers matriks menggunakan matriks Ajoint Jika A adalah matriks yang dapat diinvers, maka Contoh : det ( A ) = 64

30. 5. Aturan Cramer Jika Ax = b adalah sistem n persamaan linier yang tidak diketahui, sedemikian sehingga det(A)  0, maka sistim itu mempunyai penyelesaiannya unik. Penyelesaian adalah : dimana, A j merupakan matriks A yang elemen pada kolom ke– j diganti oleh elemen matriks,

31. Diketahui, x = A -1 b

32. Elemen baris ke – j dari x adalah, det( A j ) = b 1 C 1j + b 2 C 2j + … + b n C nj

33. Contoh : Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistim persamaan linier berikut : x 1 + + 2x 3 = 6 – 3x 1 + 4x 2 + 6x3 = 30 – x 1 – 2x 2 + 3x 3 = 8 Penyelesaian

34. Selesaikanlah SPL berikut dengan menggunakan Aturan Cramer : – a – 4b + 2c + d = –32 2a – b + 7c + 9d = 14 – a + b + 3c + d = 11 a – 2b + c – 4d = – 4