Apresentação sobre as técnicas Arch e Garch de séries temporais com aplicações no mercado financeiro.

1. ARCH e GARCH
Alysson Ramos Artuso

2. INTRODUÇÃO
 Modelo não-linear no que se refere à
variância, introduzido por Engle (1982).
 Muito usado para séries financeiras.
 Variância condicional do retorno 
volatilidade.

3. NOTAÇÃO
 Pt  preço de um ativo financeiro no instante t
 Xt  retorno logarítmico no instante t.
 μt = E(Xt | Ft-1)
 ht = V(Xt | Ft-1)
 Ft-1 é a informação até o instante t-1 que
consideramos ser {Xt-1, ..., X1}






=
−1
ln
t
t
t
P
P
X

4. MODELOS NÃO-LINEARES
Xt = g(at-1, at-2,…) + ath(at-1, at-2,…)
com at supostos i.i.d.
 g(.) representa a média condicional
 h2
(.) representa a variância condicional
 Se g(.) for não-linear o modelo é não-linear
na média
 Se h2
(.) for não-linear o modelo é não-linear
na variância

5. EXEMPLOS
 Exemplo 1:
é um modelo não-linear na média, pois
e h(.) = 1
 Exemplo 2:
é um modelo não-linear na variância, pois g(.) = 0
e
2
1−+= ttt aaX α
2
1(.) −= tag α
2
1−= ttt XaX α
2
1(.) −= tXh α

6. MODELOS ARCH
 Modelo auto-regressivo com heteroscedasticidade
condicional (AutoRegressive Condicional
Heterocedasticity)
 O objetivo era estimar a variância da inflação
 A idéia básica é que o retorno Xt é não-
correlacionado serialmente, mas a volatilidade
(variância condicional) depende de retornos
passados por meio de uma função quadrática.
 Agrupamento da volatilidade

7. ARCH(r) – DEFINIÇÃO
 onde εt é uma seqüência de variáveis aleatórias
independentes e identicamente distribuídas com
média zero e variância um;
 α0 > 0, αi ≥ 0, i > 0
22
22
2
110 ... rtrttt
ttt
XXXh
hX
−−− ++++=
=
αααα
ε

8. ARCH (1)
com α0 > 0, α1 ≥ 0
 Média: E(Xt) = 0
 Variância: V(Xt) = E(Xt
2
) = α0 + α1 E(Xt-1
2
)
 Se o processo for estacionário de segunda ordem:
2
110 −+=
=
tt
ttt
Xh
hX
αα
ε
1
0
1
)(
α
α
−
=tXV

9. ARCH (1)
 Autocovariância: γX(k) = 0, k ≥ 1
 Curtose maior que 3  caudas longas
 Xt é uma seqüência de variáveis aleatórias não
correlacionadas (ruído branco) com média zero e
variância 1
0
1
)(
α
α
−
=tXV

10. ARCH (1)
 Xt
2
= htεt
2
 Xt
2
– ht = htεt
2
– ht
 Xt
2
– (α0 + α1 Xt-1
2
) = ht (εt
2
– 1)
 Xt
2
= (α0 + α1 Xt-1
2
) + ht (εt
2
– 1)
 Xt
2
= (α0 + α1 Xt-1
2
) + vt
 temos um modelo AR(1) para Xt
2
, mas com
erros não-gaussianos.

11. TRABALHANDO COM ARCH
 Se houver correlação serial na série, ajusta-
se um modelo ARMA para removê-la. Nesse
caso teremos:
sendo at ~ ARCH (r)
tt aBXB )()( 0 θθφ +=

12. TRABALHANDO COM ARCH
 Para verificar se a série apresenta
heteroscedasticidade condicional, aplica-
se os seguintes testes:
– Teste de Box-Pierce-Ljung para Xt
2
– Teste de Multiplicadores de Lagrange de Engel
(ML)

13. TRABALHANDO COM ARCH
 Os estimadores dos parâmetros do modelo são
obtidos pelo método da máxima verossimilhança
condicional.
 A verificação do modelo é feita pelo cálculo da
estatística Q de Ljung-Box para a seqüência Xt
padronizada.
 Os programas EViews, SPLUS (módulo
S+FinMetrics), PcGIVE e RATS, entre outros,
podem ser usados para se trabalhar com modelos
ARCH e GARCH.

14. EXEMPLO
 Ajuste um modelo ARCH (1) aos retornos
diários (Yt) da série A9 – Petrobrás do livro
do Morretin e Toloi (2004). A série pode ser
conseguida em http://www.ime.usp.br/pam
 Essa série possui observações da ação
Petrobrás PN do período de 03/01/1995 até
27/12/2000.

15. EXEMPLO
 Aparente estacionariedade
 Média em torno de zero
 Agrupamento de volatilidades (crise do México; crise
da Ásia; moratória russa; desvalorização do Real;
queda da Nasdaq)

16. EXEMPLO
 1º passo: ajustar um modelo ARMA (p, q) à série de retornos
para eliminar a correlação serial entre as observações.
 No EViews 6:

17. EXEMPLO

18. EXEMPLO

19. EXEMPLO

20. EXEMPLO

21. EXEMPLO

22. EXEMPLO

23. EXEMPLO
ttttt XYYYY ++−= −−− 931 0802,00510,00982,0

24. EXEMPLO
 View/ARMA Structure
 View/Residual
Tests/Correlogram-Q-
statistics
 View/Residual Tests/Serial
Correlation LM Test

25. EXEMPLO
 2º passo: verificar se os resíduos do modelo apresentam
heteroscedasticidade condicional e modelar um ARCH.

26. EXEMPLO

27. EXEMPLO

28. EXEMPLO

29. EXEMPLO
 3º passo: verificar o modelo (estatística de Ljung-Box;
teste ML).
2
3
2
2
2
1
1
2708,02373,01938,0004,0
,1604,0
−−−
−
+++=
=+=
tttt
tttttt
XXXh
hXXYY ε

30. EXEMPLO
 Estimativa do desvio padrão condicional:

31. MODELOS GARCH
 Generalização do modelo ARCH sugerida
por Bollerslev (1986)
 Assim como um modelo ARMA pode ser
mais parcimonioso que um modelo AR ou
MA puro, um modelo GARCH pode
apresentar menos parâmetros que um
modelo ARCH.

32. GARCH(r,s) – DEFINIÇÃO
 onde εt i.i.d. (0,1)
 α0 > 0, αi ≥ 0, βi ≥ 0
 , q = max (r,s)
∑∑ =
−
=
− ++=
=
s
j
jtj
r
i
itit
ttt
hXh
hX
11
2
0 βαα
ε
∑=
<+
q
i
ii
1
1)( βα

33. GARCH (r,s)
 E(Xt) = 0

 Volatilidades altas são precedidas de retornos ou
volatilidades grandes.
 As caudas de Xt são mais longas do que as da curva
gaussiana.
∑=
+−
= q
i
ii
tXE
1
02
)(1
)(
βα
α

34. GARCH (1,1)
 com α0 > 0, α1 ≥ 0, β1 < 1, α1 + β1 < 1
11
2
110 −− ++=
=
ttt
ttt
hXh
hX
βαα
ε

35. GARCH (1,1)
 Assim temos um modelo ARMA para Xt
2
, mas vt não
é, em geral, um processo i.i.d.
11
2
1110
2
)( −− −+++= tttt vvXX ββαα

36. TRABALHANDO COM GARCH
 A identificação da ordem do modelo GARCH
é usualmente difícil.
 Modelos de ordem baixa, como (1,1), (1,2)
ou (2,1).
 Escolha baseada em critérios como o AIC,
BIC, valores de assimetria e curtose, da log-
verossimilhança ou de uma função perda.

37. TRABALHANDO COM GARCH
 Os estimadores dos parâmetros do modelo
são obtidos pelo método de máxima
verossimilhança condicional.
 A verificação do modelo é feita pelo cálculo
da estatística Q de Ljung-Box para a
seqüência Xt padronizada.

38. EXEMPLO
 Vamos ajustar um modelo AR(1) - GARCH
(1,1) aos retornos diários (Yt) da Petrobrás
de 14/10/1998 a 22/09/2008 supondo εt ~
N(0,1).
11
2
110
11 ,
−−
−
++=
=+=
ttt
tttttt
hXh
hXXYY
βαα
εφ

39. EXEMPLO
1
2
1
1
8334,01384,000003,0
,131726,0
−−
−
++=
=+=
ttt
tttttt
hXh
hXXYY ε

40. EXEMPLO
 Estimativa do desvio padrão condicional: