Este documento presenta los objetivos de una unidad sobre lógica proposicional. Los objetivos incluyen definir proposiciones y sus conectivos lógicos, identificar diferentes formas proposicionales, conocer las leyes del álgebra proposicional, y aplicar métodos de demostración. También explica qué son las proposiciones, sus conectivos como la negación, conjunción y disyunción, y cómo las formas proposicionales dependen del valor de verdad de sus proposiciones componentes y conectivos.
2. Objetivo Unidad 1
Basados en la revisión bibliográfica, la discusión y ejercitación dirigida, experimentar los
métodos de demostración directa e indirecta.
Objetivos Específicos
1. Definir, previa revisión Bibliográfica una proposición.
2. Identificar los conectivos lógicos de una proposición.
3. Identificar las distintas formas proposicionales.
4. Conocer las leyes del Álgebra proposicional.
5. Aplicar algunos métodos de demostración en Matemática e Ingeniería.
6. Construir una red de circuitos lógicos de una forma proposicional.
Respuestas:
1. Una proposición es un enunciado cuyo contenido está sujeto a ser calificado como
"verdadero" o "falso", pero no ambas cosas a la vez, es decir, toda proposición tiene una y
solamente una alternativa.
2. Los conectivos lógicos de una proposición son: negación, conjunción,
disyunción (inclusiva), disyunción exclusiva, condicional y bicondicional.
3. Analizaremos cómo las formas proposicionales son fórmulas veritativo
funcionales, o sea, de qué modo son susceptibles de adoptar uno u otro valor de
verdad según las proposiciones simples que contengan sean verdaderas o
falsas y según el significado de las conectivas que las unen.
Dentro de la lógica simbólica, que se vale de símbolos para analizar
razonamientos y sus partes, se encuentra la lógica proposicional.
La lógica proposicional simboliza, generalmente con letras minúsculas del alfabeto
(p, q, r, s, por ejemplo) las denominadas proposiciones simples o atómicas que
constituyen las partes de ciertas oraciones más complejas.
Por ejemplo, en la oración "llueve y hace frío" nos encontramos con dos
proposiciones simples ("llueve" es una y la otra "hace frío") que se encuentran
unidas por una conectiva lógica llamada conjunción.
En este caso, al simbolizar la oración a partir de sus proposiciones componentes y
3. el modo cómo se unen obtenemos una expresión que se denomina forma
proposicional, y a veces algo equívocamente forma de enunciado.
En la nomenclatura habitual de la lógica proposicional se simbolizaría
p . q (que se lee "p y q"), siendo el puntito el símbolo de la mencionada
conjunción.
Naturalmente, una forma proposicional puede ser más compleja, como la que
resultaría de simbolizar las proposiciones atómicas de "si no llueve ni hace frío voy
a tu casa o al cine", por ejemplo. Pero dejaremos para otra ocasión la
simbolización para intentar clarificar el significado y alcance de una forma
proposicional. Se dice que éstas son expresiones "veritativo funcionales", o
que una forma proposicional es función de verdad de las proposiciones simples o
atómicas que contiene y del significado de las conectivas lógicas que las vinculan.
Esto puede parecer complejo, pero no lo es realmente. Que una cierta forma
proposicional es tal mencionada cosa significa que su valor de verdad (que
"llueve y hace frío" sea una expresión verdadera o falsa dependerá de dos
cosas: si sus elementos componentes son verdaderos o falsos (p y q
respectivamente) y del significado de las conectivas que las vinculan. El
significado de la conjunción es que es verdadera únicamente cuando las dos
partes que une son verdaderas.
Por ejemplo, la oración “el la Luna es un satélite y gira alrededor de marte" es una
oración falsa, porque "la Luna es un satélite" es verdadera (sería p) pero "la Luna
gira alrededor de Marte" es una proposición simple falsa, por lo que la conjunción
es falsa. "una silla es un mueble y tiene patas" es una oración verdadera.
Entonces dada cualquier forma proposicional de la forma "p . q", ella sólo será
verdadera cuando p, sea lo que fuere que simbolice, es verdadera y q también.
En cualquier otro caso será falsa (Verdadero/Falso; Falso/Verdadero; Falso/Falso).
Diferentes formas proposicionales, con diferente estructura interna y diferentes
conectivas tendrán distintos modos de poder ser verdaderas o falsas, dependiendo
de los dos aspectos mencionados, pero una vez determinado si p, q, r, etc. son
verdaderas o falsas y una vez advertidas las conectivas que las unen (cuyo
significados los lógicos conocen y los estudiantes deben asimilar), queda
determinado por completo el valor de verdad de la expresión total.
4. 4. Las leyes de álgebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se pueden
demostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes de
álgebra de proposiciones son las siguientes:
5. 5. Todas las equivalencias que aparecen en ambos cuadros pueden ser probadas. Para esto,
sólo se tiene que verificar que el bicondicional correspondiente es una tautología. Para
muestra, vamos a probar dos de estas leyes, dejando el resto como ejercicio para el lector.
