El documento resume los conceptos fundamentales de las funciones en espacios métricos y normados. Explica que una función mapea elementos de un conjunto de dominio a elementos de un conjunto de recorrido, y define funciones biyectivas, inyectivas y sobreyectivas. También define espacios métricos y normados, y explica cómo se pueden definir conjuntos abiertos, cerrados y puntos de acumulación en estos espacios. Por último, introduce el concepto de límite de funciones y sucesiones.

1. Teoría de Funciones en Espacios Métricos y Normados.

2. Edificio Matemático Teoría de Conjuntos Teoría de Funciones

3. Fundamentos de l Cálculo Matemático. Algebra Aritmética Cálculo Variables Límites

4. Fun ciones . Función (Aplicación, Transformación ) : Muchas situaciones de la vida diaria nos dan idea de lo que entendemos por función. Al entrar en un supermercado, observamos un día determinado que a cada producto le corresponde un único precio. El concepto de función se lo puede analizar tomando en cuenta dos aspectos: La función como expresión analítica y como correspondencia. El término función fue usado por primera vez, en 1637 por el matemático francés René Descartes.

5. Función. DEFINICION: Dados los conjuntos A y B, no vacíos, una relación f de A en B se dice. Función o aplicación de A en B si y sólo si, para todo X  A , e xiste un único Y  B tal que (X, Y)  f f : A  B ES UNA FUNCION  (  x  A  ! y  B / (x, y)  f)

6. S i A  R y B  R, f: A  B , diremos que f es una función real. NOTACION DE FUNCIONES : Si los elementos de A está en corre s pond encia mediante f con los elementos de B, se notará f : A  B x  y = f (x) , Se dice la regla de correspondencia, donde y es la Imagen por f de x  A .

7. Diagrama de una función. f A B

9. Ejemplos

10. Grafo de una función real

11. Grafo de una función y de una relación

12. Funciones Biyectivas Sea f una función de A en B, f : A  B se dirá que f es Biyectiva si y solo si f es inyectiva y f es sobreyectiva a la ves.

13. Función Inyectiva Sea F una función real de A en B donde A y B son subconjunto de los reales se dirá que f es inyectiva si y solo si por cada elemento del dominio que sea distinto le corresponde una imagen distinta del recorrido, simbólicamente es:

14. Función Sobreyectiva Se dice que f es sobreyectiva si y solo si cumple con :

15. Función Inversa Sea f una función de A en B, siendo f una función biyectiva entonces se dice que f admite su inversa denotada como f -1 (x) que tendrá por dominio a B y recorrido a A. f : A  B f -1 : B  A

16. Ejemplo

17. Función Compuesta Sean f y g dos funciones reales definidas de A en B y B en C respectivamente y sea h una función real de A en C llamaremos a la función h como la compuesta de f con g y se define de la siguiente como: h(x)= g(f(x)) o h(x)= (g º f)(x)

18. Funciones Pares e Impares Sea f una función definida de A en B, se dirá que f es una función par si y solo si cumple que: f(-x)=f(x). Y se dirá que f es una función impar si y solo si cumple que: f(-x)= -f(x)

19. Observación Toda función par es simétrica al eje y, toda función impar es simétrica al origen.

20. Funciones en Espacios Métricos Métrica : Sean A un conjunto arbitrario, d una función. Se dirá que d es una métrica o distancia ssi

21. Ejemplos de métricas en R n

22. Espacio Métrico Se llamará espacio métrico a todo conjunto X en el que se pueda definir una métrica o distancia d . Se lo indicará con ( X,d)

23. Discos en espacios métricos Sea (X,d) un espacio métrico, x elemento de X, r un número real positivo. Llamaremos disco (esfera) de centro x y radio r, al conjunto

24. Ejemplos de discos en R 2 Sea x = (0,0), y r =2. El disco de centro (0,0) y radio 2, tiene una forma geométrica que depende directamente de la métrica utilizada.

25. Espacios Normados Norma : Sea V un espacio vectorial real, N una función de V en R . Se dirá que N es una Norma si

26. Ejemplos de Normas R n

27. Discos en espacios normados Sea (V) un espacio normado, x elemento de V, r un número real positivo. Llamaremos disco (esfera) de centro x y radio r, al conjunto

28. Relación entre espacios métricos y normados A partir de un espacio normado siempre se puede construir un espacio métrico, es decir, a partir de una norma siempre se puede definir una métrica. Mediante la siguiente expresión :

29. Conjuntos abiertos Sea X un espacio métrico (o normado) A subconjunto de X. Se dirá que A es abierto si y solo si para todo x elemento de A, existe un r >0, tal que el disco de centro x y radio r está totalmente contenido en A.

30. Puntos de acumulación Sea X un espacio métrico (o normado), A subconjunto de X, x elemento de X. Se dirá que x es punto de acumulación de A si y solo si, para todo disco de centro x existe por lo menos un y elemento de A (distinto de x). Al conjunto de todos los puntos de acumulación de A, se lo indica con A’ y se llama el derivado de A.

31. Adherencia de un conjunto; Conjuntos cerrados Al conjunto Se le denomina adherencia o clausura del conjunto A, y se lo indica con Un conjunto se dice Cerrado , ssi es igual a su clausura.

32. Relación entre conjuntos abiertos y cerrados Teorema: En un espacio métrico (normado) X, i) A es abierto ssi es cerrado ii) A es cerrado ssi es abierto. Observación: La propiedad de ser conjunto abierto o cerrado no son mutuamente excluyentes, es decir, si un conjunto no es abierto no quiere decir que sea cerrado o viceversa. Además, existen conjuntos que al mismo tiempo son abiertos y cerrados

33. Sucesiones en espacios métricos o normados Sea X un espacio métrico (normado) llamaremos sucesión en X a toda función de dominio N y codominio X , y se le denota con { x n } . Diremos que la sucesión { x n } es convergente a x ssi .

34. Limite de una función En la segunda mitad del siglo XVII, Isaac Newton y Gottfried Leibnitz sentaron las bases de esa gran invención matemática que es el cálculo infinitesimal. Se coronó así un enorme trabajo preparatorio en el que tomaron parte, a través de los siglos, muchos y muy destacados matemáticos, y cuyos inicios se remontan a los métodos de los antiguos griegos para el cálculo de áreas y volúmenes. Hoy podemos afirmar, sin dudarlo, que el concepto de límite constituye la herramienta fundamental del cálculo. Sin embargo, no fue sino hasta principos del siglo XIX que Augustin-Louis Cauchy dió una sólida base matemática a la noción de límite.

35. Limite de una Función Sea f una función definida de un espacio Métrico X sobre un espacio métrico Y. Si , decimos que el límite de f(x) es P cuando x tiende a x o , ssi. Para todo Disco de centro P existe un disco de centro x o, cuya imagen esta contenido en el disco de centro P

36. Limite de una Función Real Sea f una función Real definida en un intervalo abierto I si , decimos que el límite de f(x) es P cuando x tiende a x o , ssi. Para todo valor que se acerque infinitamente a x o , la imagen de ese valor se acercará infinitamente a P

37. Limite de una función

38. Ejemplo de limite Demostrar que:

41. Propiedades de los limites Sean f(x) y g(x) dos funciones, para las que existe limite en un punto o en el infinito

42. Formas Indeterminadas Existen casos en los cuales el limite nos conduce a una forma indeterminada (expresión que puede asumir diferentes valores).

43. Ejemplo La cual no esta definida para x=1, pero podemos analizar el comportamiento de f cuando x tiende a 1.

44. Ejemplo (2)

45. Ejemplo (3)

46. Ejemplo (4)

47. Ejemplo (5)

48. Ejemplos prácticos de Límites La población N de una ciudad pequeña en t años a partir de ahora se predice que será Encuentre la población a largo plazo.

49. Ejemplos prácticos de Límites Para una relación particular de huesped-parásito, fue determinado que cuando la densidad de húespedes (número de húespedes por unidad de área) es x , entonces el número de parásitos en un período es y , donde Si la densidad de húspedes fuera aumentando sin cota, ¿a qué valor se aproximaría y?

50. Observación. El paso al límite de una función no es un proceso cuantitativo, es un salto cualitativo

52. (Desarrollo del Polinomio de Taylor)