Die komplexen Zahlen

Max Steenbeck Gymnasium
Universitätsstraße 18
03046 Cottbus
Facharbeit
im
Spezialkurs Mathematik
Jahrgangsstufe 11
2013/2014
Fachlehrer: Herr Ristau
Die komplexen Zahlen
Von Alexandru Giurca
„Weil nun alle mögliche Zahlen, die man sich nur immer vorstellen mag, entweder
größer oder kleiner sind als 0, oder etwa 0 selbst; so ist klar, daß die Quadrat-Wurzeln
von Negativ-Zahlen nicht einmahl unter die möglichen Zahlen können gerechnet
werden: folglich müßen wir sagen, daß dieselben ohnmögliche Zahlen sind. Und
dieser Umstand leitet uns auf den Begriff von solchen Zahlen, welche ihrer Natur nach
ohnmöglich sind, und gemeiniglich Imaginäre Zahlen, oder eingebildete Zahlen
genennt werden, weil sie blos allein in der Einbildung statt finden.“
(Leonard Euler, 1707-1783)

Alexandru Giurca Die komplexen Zahlen 2
______________________________________________________________________________________________________
INHALTSVERZEICHNIS
1. Vorwort............................................................................................................................ 3
2. Einführung....................................................................................................................... 3
Historischer Überblick der komplexen Zahlen ........................................................... 42.1
3. Was sind komplexe Zahlen ............................................................................................. 5
Einführung und Definition der komplexen Zahlen...................................................... 53.1
Der Körper der komplexen Zahlen und Eigenschaften dieser ................................... 63.2
4. Gaußsche Darstellungsform............................................................................................ 7
Kartesische Darstellung ............................................................................................ 74.1
Polarform.................................................................................................................. 74.2
Exponentialdarstellung.............................................................................................. 84.3
5. Rechenoperationen mit komplexen Zahlen...................................................................... 9
Addition und Subtraktion........................................................................................... 95.1
Multiplikation und Division....................................................................................... 115.2
Potenzieren und Radizieren.................................................................................... 125.3
6. Besondere gelöste Aufgaben ........................................................................................ 14
7. Anwendung der komplexen Zahlen ............................................................................... 20
Komplexe Nullstellen von Polynomen ..................................................................... 217.1
7.1.1 Horner Schema................................................................................................ 21
7.1.2 Das vereinfachte Horner Schema .................................................................... 21
7.1.3 Das erweiterte Horner Schema........................................................................ 23
7.1.4 Das Verfahren von Bairstow ............................................................................ 25
8. Nachwort....................................................................................................................... 28
Literaturverzeichnis............................................................................................................... 29
Einverständniserklärung........................................................................................................ 30

______________________________________________________________________________________________________
1. VORWORT
Komplexe Zahlen – nur die wenigsten in meinem Alter haben zu diesem Zeitpunkt von diesen Zahlen
gehört. Da ich mich generell für die Mathematik interessiere, habe ich mich entschlossen meine
Facharbeit über die komplexen Zahlen zu schreiben. Das Thema interessiert mich, weil es – über die
bis dahin im Unterricht behandelten Zahlensysteme hinaus – einen Rückblick in eine Zahlenwelt
schafft, die nicht greifbar zu sein und nur in den Köpfen der Mathematiker zu existieren schien.
Mich reizte es, über ein Fachgebiet der Mathematik zu schreiben, mit dem ich vorher nicht viel
anfangen konnte, das jedoch für mein zukünftiges Studium von großer Bedeutung sein wird. Die
komplexen Zahlen spielen eine wichtige Rolle speziell in der Zahlentheorie aber auch in anderen
Teilgebieten der Mathematik, wie z.B. in die Analysis. Zusätzlich gibt es zahlreiche Anwendungen
komplexer Zahlen in der Physik, vor allem in der Elektrotechnik und in der Quantenmechanik.
Durch die Analyse einiger Taylor-Reihen im Mathematikunterricht entdeckte ich die Eulersche
Identität, die damals sehr mysteriös erschien, denn ich kannte das Symbol „i“ nicht. Weiterhin wurde
ich im Vorfeld schon darüber informiert, dass mit Hilfe dieser Zahlen Lösungen für Gleichungen
gefunden werden können, die in nicht lösbar sind. Dieses schien mir sinnvoll und sehr interessant zu
sein. Demnach möchte ich im Rahmen dieser Facharbeit versuchen die komplexen Zahlen einzuführen.
Anfangen werde ich mit der geschichtlichen Entstehung der komplexen Zahlenmenge und die damit
verbundene Notwendigkeit der Einführung der komplexen Zahlen. Im Weiteren werde ich die
komplexen Zahlen definieren und ihre Darstellungsformen in der Gaußschen Zahlenebene einführen.
Zusätzlich wird der Körper erläutert und verschiedene Eigenschaften der komplexen Zahlen erklärt. Im
Anschluss daran werden die Rechenoperationen mit komplexen Zahlen vorgestellt und die Formeln für
die Rechnungsverfahren hergeleitet. Im zweiten Teil dieser Facharbeit werden einige selbst erstellte
Aufgaben gerechnet. Im dritten Teil sollen an Beispielen die Anwendungsmöglichkeiten für komplexe
Zahlen aufgezeigt werden. Dabei werde ich mich besonders auf die Verwendung der komplexen Zahlen
in der Mathematik konzentrieren und ein wichtiges und nahezu exaktes Verfahren zur Approximation
von Nullstellen von Polynomen zeigen. Dazu werde ich auch ein Programm schreiben, denn mit Hilfe
eines Programms können die Nullstellen sehr schnell angenähert werden. Weiterhin werde ich zu
einigen beliebig ausgewählten Polynomen die Nullstellen approximieren.
2. EINFÜHRUNG
Die Entwicklung der Zahlenmengen wurde immer weitgehend von entsprechenden historischen
Notwendigkeiten bestimmt. In Urzeiten, als das einfache Abzählen von Gegenständen gereicht hat,
genügte die Menge der positiven ganzen (natürlichen) Zahlen, um alle anstehenden Aufgaben zu lösen.
Eine grafische Darstellung dieser Zahlen ist auf einem Zahlenstrahl möglich. Mit finanziellen Schulden
in der Gesellschaft kamen notwendigerweise die negativen ganzen Zahlen hinzu. Die Darstellung auf
einem einfachen Strahl war nicht mehr möglich. Jetzt mussten diese Zahlen auf eine Zahlengerade
dargestellt werden, wobei jeder Zahl ein isolierter Punkt zugeordnet ist.
Als man nur Stücke vom Ganzen gebraucht hat, tauchte die Menge der gebrochenen (rationalen)
Zahlen auf. Grafisch werden diese rationalen Zahlen zwischen den ganzen Zahlen auf der Zahlengerade
angeordnet. Damit wurde eine ganze Reihe ökonomischer Fragen gelöst. Das Problem bestand aber
darin, dass die Anordnung der Zahlen auf der Gerade Lücken aufweist. Einige dieser Lücken wurden
später aufgrund ihrer Wichtigkeit im Rahmen der Mathematik mit Namen wie , , oder √ belegt.
Aufgrund der Tatsache, dass immer mehr dieser Lücken entdeckt wurden, erschien es sinnvoll, diese
Zahlengruppe in einer Art und Weise zu bezeichnen – man nennt sie „irrationale Zahlen“, weil sie
nicht durch einen Bruch, ein Verhältnis, darzustellen sind. Damit erhalten wir aufeinander aufbauend

______________________________________________________________________________________________________
folgende Zahlenbereiche: natürliche Zahlen , ganze Zahlen , rationale Zahlen und reelle Zahlen
.
Mit der nun vollständig gefüllten Zahlengerade lässt sich eine große Zahl mathematischer Operationen
ausführen. So ist die Ausführung der Grundrechenarten uneingeschränkt möglich, man kann bereits
quadrieren, potenzieren, logarithmieren, differenzieren und integrieren.
Historischer Überblick der komplexen Zahlen2.1
Wie bei den oben beschriebenen Erweiterungen des Zahlensystems, waren auch für die Beschäftigung
mit komplexen Zahlen mathematische Probleme verantwortlich, die auf der Basis der bisher bekannten
Zahlenmengen nicht lösbar waren.
Bereits in der Antike beschrieb Heron von Alexandria im Jahre 50 n.Chr. in seinem Buch Stereometria,
Wurzeln aus negativen Zahlen. Ungefähr 200 Jahre später begegneten Diophantos von Alexandria
einige Aufgaben, die er nicht sofort lösen konnte [11].
Gerolamo Cardano stellte sich 1545 folgende Aufgabe [14]:
Die Summe zweier Zahlen a und b beträgt 10, ihr Produkt 40. Wie lauten diese Zahlen?
Man erhält folgende Lösungen, die aber nicht reell sind: √ und √ .
Gerolamo Cardano (1501-1576) und Rafael Bombelli (1526-1572) zählten zu den Ersten, die über
solche Wurzeln genauer nachdachten. Mit seinem 1545 in Nürnberg gedruckten Lebenswerk Ars
Magna legte Cardano den Grundstein für eine moderne Mathematik. Er zeigte in seinem Buch nicht
nur wie man kubische Gleichungen löst, sondern gab auch unter Benutzung von Wurzeln aus
negativen Zahlen Lösungsformeln für Gleichungen der Ordnung vier an. Bereits 1572 stellte Bombelli
Rechenregeln für Quadratwurzeln negativer Zahlen auf [20].
Der französische Mathematiker René Descartes (1596 – 1650) bezeichnete in seinem 1637
erschienenen Werk zur Geometrie die Wurzeln aus negativen Zahlen als imaginäre Zahlen oder falsche
Wurzeln. Sie blieben ihm und den nachfolgenden Mathematikern (z.B. auch Isaac Newton) noch lange
Zeit suspekt [11].
Der Schweizer Mathematiker Leonhard Euler (1707 – 1783) benutzte ab 1777 systematisch das Symbol
i für die imaginäre Einheit√ , nachdem er schon lange vorher Rechnungen mit imaginären Größen in
genialer Weise durchgeführt hatte [30].
Carl Friedrich Gauß erfasste früh den Nutzen komplexer Zahlen, so auch in seiner Doktorarbeit von
1799, die einen strengeren Beweis des Fundamentalsatzes der Algebra enthält. Dieser Satz besagt, dass
jede Polynom-Gleichung n-ten Grades n (komplexe) Lösungen“ besitzt [25].
Im 19. Jahrhundert wurden komplexe Zahlen dann auch in Zahlentheorie und Analysis ernsthaft
betrachtet, aber bis die komplexen Zahlen vollständig mathematisch „beherrschbar“ wurden, verging
eine lange Zeit.

______________________________________________________________________________________________________
3. WAS SIND KOMPLEXE ZAHLEN
Einführung und Definition der komplexen Zahlen3.1
Die Einführung der komplexen Zahlen war für die algebraischen Gleichungen notwendig. Im Falle
einer quadratischen Gleichung mit { } und werden folgende
Lösungen zugelassen:
√
.
Bei der Interpretation der Lösungen spielt offenbar die Diskriminante eine
entscheidende Rolle, denn ist diese kleiner als 0, gibt es keine reellen Lösungen.
Das einfachste Beispiel dafür ist: ⇔ . Diese Gleichung hat im Bereich der reellen
Zahlen keine Lösung, da jede Quadratsumme positiv ist. Bei der Einführung der Menge der komplexen
Zahlen erscheint es zunächst problematisch, dass man sich kein entsprechendes x vorstellen kann, das
die Gleichung löst.
Bei einer geometrischen Deutung des Problems stellt sich die Frage: „Wie lang sind die Seiten eines
Quadrats, das den Flächeninhalt -1 hat?“ Ein Quadrat, das wirklich eine negative Fläche hat, ist nicht
vorstellbar.
Eine Lösung für die obige Gleichung ist definitionsgemäß die imaginäre Einheit i. Die imaginäre
Einheit ist die Zahl mit der folgenden Eigenschaft [29]:
oder √
Direkt aus der Definition von i ergeben sich auch die Potenzen dieser Zahl, die man beim Potenzieren
komplexer Zahlen braucht [13]:
usw.
Allgemein ergibt sich für :
, , ,
Um alle Rechenoperationen mit der imaginären Einheit uneingeschränkt ausführen zu können, wird die
Menge der komplexen Zahlen eingeführt:
{ }
Jede komplexe Zahl lässt sich in der Form ( darstellen. Diese
Darstellungsform wird auch algebraische Darstellungsform der komplexen Zahl z genannt, wobei
der Realteil von z und der Imaginärteil von z ist [18].

______________________________________________________________________________________________________
Interessant ist die Betrachtung der Sonderfälle für oder :
 Ist , nimmt der Realteil der komplexen Zahl den Wert 0 an. Diese Zahlen werden rein-
imaginär genannt. Jede Imaginärzahl kann demzufolge als komplexe Zahl ohne Realteil
angesehen werden.
 Ist , hat der Imaginärteil von z keinen Werte mehr, da . Die Menge stellt
demzufolge eine Teilmenge der komplexen Zahlen mit dar. Das heißt jede reelle Zahl
kann als komplexe Zahl mit dem angesehen werden ( ).
Der Körper der komplexen Zahlen und Eigenschaften dieser3.2
Sei die oben eingeführte Menge der komplexen Zahlen und seien [26] mit und
. Ein Körper ist eine Grundmenge G, die wenigstens zwei Elemente beinhaltet. Nun
werden die Rechenregeln für die Addition und Multiplikation definiert [16]:
Für die Verknüpfungen Addition und Multiplikation müssen einige Körperaxiome erfüllt sein. Einen
kompletten Nachweis findet man leicht im Internet [33]. Somit sind die komplexen Zahlen ein Körper
und für diese gelten dieselben Rechengesetze wie für die reellen Zahlen.
Es wird ersichtlich, dass für jede Zahl , gilt, was dazu führt, dass 0 das
neutrale Element der Addition ist.
Weiterhin gilt , folglich ist 1 das neutrale Element für die Multiplikation.
Das Inverse der Addition zu der komplexen Zahl ist , weil
. Des Weiteren ist das Inverse der Multiplikation für die Zahl z,
( ).
Eine weitere Eigenschaft der komplexen Zahlen ist, dass sich diese nicht anordnen lassen.
Ein Nachweis für die nicht mögliche Anordnung lässt sich durchführen, indem man indirekt zeigt, dass
die Trichotomie nicht erfüllt ist. Man zeigt getrennt für die Annahmen , , , dass diese
zu Widersprüchen führen.
⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒

______________________________________________________________________________________________________
Abb. 1 Kartesische
Darstellung
Abb. 2 Polardarstellung
4. GAUßSCHE DARSTELLUNGSFORM
Damit man sich eine komplexe Zahl vorstellen kann, ist die
Darstellung von großer Bedeutung. Während sich die Menge der
reellen Zahlen als Menge der Punkte einer Gerade dargestellt werden
kann, genügt bei der Darstellung der komplexen Zahlen eine einfache
Gerade nicht, da die komplexe Zahlen aus zwei Teilen, dem Realteil
und dem Imaginärteil, zusammengesetzt sind.
Aus diesem Grund bietet es sich an die komplexe Zahl z als
geordnetes Paar reeller Zahlen ( ) darzustellen und diese in
die „komplexe Zahlenebene“ [17] einzutragen. Die komplexen Zahlen
sind im Gegensatz zu den reellen Zahlen „zweidimensional“.
Kartesische Darstellung4.1
Den Realteil und den Imaginärteil einer komplexen Zahl kann man als Punkt
auf der Ebene interpretieren. Das Koordinatensystem wird so aufgebaut, dass man auf der Abszisse
den Realteil der komplexen zahl darstellt, auf der Ordinate hingegen den Imaginärteil.
Die Realachse entspricht der Geradengleichung , während die Imaginärachse der
Geradengleichung entspricht. In den Anwendungen werden komplexe Zahlen meist
durch sogenannte Zeiger dargestellt. Dabei handelt es sich um einen Vektor, der vom Ursprung des
Koordinatensystems zum Bildpunkt P(z) gerichtet ist.
Polarform4.2
Schreibt man die komplexe Zahl z nicht in kartesischen
Koordinaten, sondern in Polarkoordinaten [22], so erhält man
die Polarform einer komplexen Zahl, die sich einfach aus der
Trigonometrie ergibt. Dabei ist die Länge des Radiusvektors
der Betrag der komplexen Zahl und der Winkel , den der
Vektor mit der Realachse bildet, das Argument der
komplexen Zahl.
Da und dabei derselben Zahl z zugeordnet
werden können, ist die Polardarstellung zunächst nicht
eindeutig. Deshalb schränkt man meist auf das Intervall ein. Weiterhin ließe sich der Zahl
jedes beliebige Argument zuordnen, und zum Zweck einer eindeutigen Darstellung kann man es
in diesem Fall tatsächlich auf 0 festlegen.
Da alle Winkel den gleichen Winkel beschreiben (Vollwinkel im Kreis hat ), gibt es
eine Vieldeutigkeit auch bei . Damit es nicht zu Verwechslungen kommt, wird für
folgendes definiert: .
Mit √ (mit Hilfe des Satzes des Pythagoras) und den Winkel
kann man die Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten umrechnen. Durch trigonometrische
Umformungen ergibt sich:
und

______________________________________________________________________________________________________
Mit diesen Umformungsregeln gelangt man zu der polaren Darstellung der komplexen Zahlen:
Liegt z in der Form vor, so berechnet man sofort √ .
Darüberhinaus folgt aus der Deﬁnition der Funktion die Identität
sofern gilt. Äquivalent zu der obigen Darstellung ist ( ), wobei hier einige
Fallunterscheidungen notwendig sind, damit gilt:
{
( )
( )
( )
Die Polarform vereinfacht das Rechnen mit den Komplexen Zahlen enorm und ist wesentlich leichter
anzuwenden in manchen Fällen. Bei den Rechenarten wird es verständlicher.
Exponentialdarstellung4.3
Es existiert auch noch eine dritte Darstellungsform: die Exponentialform [19]. Die bisher in Polarform
gegebene komplexe Zahl lässt sich unter Verwendung der Eulerschen
Beziehung nun in der Exponentialform schreiben.
Betrachtet man die komplexe Zahl , welche einen Betrag von 1 besitzt, und
bildet das Differential, so erhält man:
Daraus folgt unmittelbar . Integration auf beiden Seiten liefert und somit
. Allgemein, für ein beliebiges r, gilt:

______________________________________________________________________________________________________
Für den Spezialfall und erhält man die schöne Formel
(Euler)
welche die wichtigen Zahlen und 0 miteinander verknüpft [5]. Die Herleitung der Eulerschen
Formel würde an dieser Stelle den Rahmen dieser Facharbeit deutlich sprengen.
5. RECHENOPERATIONEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN
Für alle Rechenoperationen werden die zwei beliebigen komplexen Zahlen , und
. Bevor die verschiedenen Rechenoperationen aufgezählt werden, müssen einige Begriffe
definiert werden.
Gleichheit:
Die Zahlen sind nur dann gleich ( ), wenn sowohl ihre Realteile als auch ihre
Imaginärteile gleich sind. Es gilt: und
Komplex konjugierte Zahl ̅:
Zwei komplexe Zahlen z und ̅: heißen zueinander konjugiert komplex [21], wenn sie sich nur durch
das Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden.
⇒ ̅ oder ⇒ ̅
Die zu z konjugiert-komplexe Zahl ̅ ist, geometrisch gesprochen, die Spiegelung des Punktes
an der reellen Achse.
Dieses Konjugieren hat folgende Eigenschaften [10]:
̿
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅
̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅ ̅
Addition und Subtraktion5.1
In kartesischer Form lassen sich komplexe Zahlen relativ einfach addieren bzw. subtrahieren [3]. Eine
komplexe Zahl wird subtrahiert indem man ihr inverses Element addiert:
Addition:
Subtraktion: ( )
Komplexe Zahlen werden addiert bzw. subtrahiert, indem man jeweils ihre Real- und Imaginärteile
addiert bzw. subtrahiert. Das Resultat hierbei ist immer noch eine komplexe Zahl.
Grafisch kann man die Addition und Subtraktion ebenfalls nach den Regeln der Vektorgeometrie
darstellen. Bei der Addition muss man den Anfangspunkt des Vektors an die Pfeilspitze des anderen

______________________________________________________________________________________________________
Abb. 3 Summe Abb. 4. Subtraktion
Summanden parallel verschieben. Die Summe wird dann durch den Vektor dargestellt, der im
Koordinatenursprung beginnt und an der Spitze des parallel verschobenen Vektors endet.
Bei der Subtraktion bildet man den inversen Vektor des Subtrahenden, der, auf gleicher Art und Weise
wie bei der Addition, zum Minuenden addiert wird. Der Anfangspunkt des inversen Vektors des
Subtrahenden liegt an der Spitze des Vektors des Minuenden.
Die Addition bzw. Subtraktion komplexer Zahlen lässt sich auch mit Hilfe der Polarform darstellen.
Aus der graphischen Darstellung folgt für das Argument des Resultats der Addition zweier komplexen
Zahlen:
da es sich hierbei um ein Parallelogramm handelt. Demzufolge folgt für die Addition:
= ( ) ( )
Zwei interessante Eigenschaften lassen sich an dieser Stelle noch beweisen. Die Summe aus zwei
zueinander konjugierten komplexen Zahlen liefert immer eine reelle Zahl, das Zweifache des Realteils
der Zahl z:
̅
Die Differenz aus zwei zueinander konjugierten komplexen Zahlen liefert hingegen das 2i-fache des
Imaginärteils der Zahl z:
̅
Wie schon erwähnt kann die Polarform manche Rechnungen erheblich vereinfachen. Dennoch führt
man die Addition und die Subtraktion am besten immer noch komponentenweise, also in kartesischen
Koordinaten, aus [32].

______________________________________________________________________________________________________
Multiplikation und Division5.2
Kartesisch lassen sich zwei komplexe Zahlen folgendermaßen mit den binomischen Formeln
multiplizieren:
Die Division ist kartesisch nicht viel schwieriger als die Multiplikation, dennoch muss man hier, um ein
brauchbares Ergebnis zu erhalten, den Bruch zweier komplexer Zahlen mit der konjugiert Komplexen
Zahl des Nenners erweitern. Dadurch wird der Nenner reell und wir erhalten wiederum eine Komplexe
Zahl der Form :
̅
̅
( )
( )
Die Multiplikation und Division sind aber einfacher mit Hilfe der Polarform [2]:
Mit Hilfe der trigonometrischen Additionstheoreme vereinfacht sich dieser Ausdruck zu:
( )
Diese Formel ist wesentlich einfacher als die algebraische. Bei der Multiplikation in der Polarform
werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert. Geometrisch gesprochen entspricht die
Multiplikation in Polarkoordinaten einer Drehstreckung. Daraus ergibt sich:
Eine weitere Eigenschaft der komplexen Zahlen, ist, dass das Produkt aus einer komplexen Zahl und
ihrer komplex Konjugierten ̅ das Quadrat ihres Betrages liefert:
̅
Die Division komplexer Zahlen in Polarkoordinaten lässt sich folgendermaßen herleiten:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )

______________________________________________________________________________________________________
Abb. 5 Multiplikation Abb. 6 Division
Auch in diesem Fall ist es günstiger die Division komplexer Zahlen in Polarform durchzuführen.
Potenzieren und Radizieren5.3
Aus der Rechenvorschrift für die Multiplikation in Polarkoordinaten lässt sich leicht die
Rechenvorschrift für das Potenzieren von komplexen Zahlen herleiten, da es sich lediglich um eine
mehrfache Multiplikation einer Zahl mit sich selbst handelt. Für den Fall, dass man ein Produkt von n
komplexen Zahlen hat, erhält man
( )
da bei der Multiplikation in der Polarform werden die Beträge multipliziert und die Winkel addiert
werden. Daraus resultiert:
[ ] für
Mit Hilfe der Additionstheoreme für trigonometrische Funktionen erhält man die Formel von Moivre
(nach dem französischen Mathematiker Abraham de Moivre, 1667-1754) [27]:
Wie man leicht erkennt, gilt diese Beziehung auch für negative ganzzahlige Werte von n.
Eine komplexe Zahl in trigonometrischer Form wird in die n-te Potenz erhoben, indem man den Modul
(r) in die entsprechende Potenz erhebt und das Argument ( ) mit dem Exponenten n multipliziert.
Den Beweis der Formel für beliebige n lässt sich mit Hilfe der vollständigen Induktion führen:

______________________________________________________________________________________________________
Induktionsanfang: Für stimmt die Aussage offensichtlich, denn
Induktionsschritt: Sei nun die Formel von Moivre für ein gezeigt. Dann ist zu zeigen, dass sie
auch für n+1 gilt und wie folgt aussieht:
Induktionsbeweis:
( )
Das Potenzieren lässt sich auch in karthesischer Form durchführen, indem man die binomischen
Formeln benutzt:
z.B:
Allgemein folgt aus den Rechenregeln für Potenzen und den Multiplikationsregeln für zwei Klammern
sofort, dass der binomische Lehrsatz für positive ganzzahlige Exponenten auch für komplexe Zahlen
gilt:
∑
Die Lösung in karthesischer Form ist nicht vorteilhaft, da mit steigender Potenz und für
nichtganzzahlige Real- und Imaginärteile der numerische Aufwand relativ hoch wird.
Das Radizieren ist ebenfalls mit dieser Formel möglich, da es sich lediglich um eine Potenzierung um
den Wert handelt, wobei n gleich dem Grad der Wurzel ist. Die n-te Wurzel √ einer komplexen
Zahl z ist definiert als eine komplexe Zahl w, deren n-te Potenz gleich z ist, also eine Lösung der
Gleichung mit ist.
Setzt man und , dann folgt mit der Formel von
Moivre ( ) und wegen weiter ,
und . Folglich ergibt sich √ und .
Bei der Division durch n ist jedoch zu beachten, dass das Argument periodisch ist mit der Periode 2 :
Folglich findet man für genau n verschiedene Werte, nämlich
Von an werden lediglich die vorderen Werte (vom zweiten an) wiederholt. Es gilt:
√ √ ( )

______________________________________________________________________________________________________
Die n-te Wurzel aus z ist demzufolge nicht eindeutig. Stellt man die n-ten Wurzeln
in der Gaußschen Zahlenebene dar, so ergeben sich die Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks mit dem
Mittelpunkt im Koordinatenursprung ( Übungen).
Die Punkte liegen auf einem Kreis mit dem Radius √ . Der erste Eckpunkt besitzt das Argument
. Durch wiederholte Drehung um den Winkel erhält man die weiteren Lösungen ( Übungen).
6. BESONDERE GELÖSTE AUFGABEN
Im diesem Teil des anderen Leistungsnachweises werden einige relevante und interessante Aufgaben
durchgerechnet.
Diese Aufgaben wurden anhand der oben eingeführten Theorie gerechnet und basieren hauptsächlich
auf die Rechengesetze für komplexe Zahlen, ihre Eigenschaften, ihre Darstellung in der Gaußschen
Zahlenebene, Umwandlungen zwischen der Darstellungsformen sowie am Ende auch die Berechnung
von Wurzeln und dementsprechend die graphische Deutung.
Sortiert nach ihrer Schwierigkeit wurden anhand mehrerer einstudierten Aufgaben [1], [4], [8], [12]
folgende Übungen selbst konzipiert:
1. Es soll die Summe, Differenz, Produkt und Quotient folgender komplexer Zahlen berechnet werden:
;
Lösung:
( )
2. Zu berechnen ist die konjugiert komplexe Zahl und die Inverse zur komplexen Zahl:
Lösung:
Durch die Erweiterung des Bruchs mit der Konjugation des Nenners und anschließendes
Ausmultiplizieren ergibt sich:
Die konjugiert komplexe Zahl lautet: ̅
Die Inverse lautet:

______________________________________________________________________________________________________
3. Es soll folgendes berechnet werden:
Lösung:
4. Es sind die reellen Werte von a und b so zu bestimmen, sodass die komplexen Zahlen
und a) entgegengesetzt b) gleich c) konjugiert sein sollen.
Lösung:
a) Für entgegengesetzter Zahlen gilt: sodass
( ) ⇔
folgt und daraus ergibt sich
{ ⇔ {
Durch Subtraktion der Gleichungen folgt und weiter . Aus der zweiten Gleichung
resultiert und demzufolge √ .
b) Für zwei gleiche Zahlen gilt und durch eine Rechnung analog zu a) ergeben sich
und √ .
c) Konjugiert bedeutet oder und demzufolge
{ ⇔ {
Durch Subtraktion der Gleichungen resultiert: also . Aus der zweiten Gleichung ergibt
sich also bzw. .
5. Gesucht ist die Polarform der Zahl
√
Lösung:
Die Polarform lässt sich aus r und ermitteln:
√( √ ) √ √ √ ( √ ) √ (√ ) √ (√ )

______________________________________________________________________________________________________
Daraus folgt mit Hilfe der Umwandlungsvorschriften aus dem Theorieteil mit
:
√
√ (√ )
( √ ) (√ (√ ))
√ (√ ) √ (√ )
( √ )(√ √ ) √ √ √ √ √ √
√ (√ )
√ (√ )
√ (√ ) √ (√ )
√ √
(
√ √
) (
√ √
)
Nach Einsetzen folgt in :
√ (√ )
6. Es soll gezeigt werden, dass √ eine ganze Zahl ist.
Lösung:
Die Zahl wird zuerst in die Polarform umgewandelt:
√ (
√
)
und gemäß der Formel von Moivre folgt
( ( )) ( )
7. Folgende Zahlenmenge sind in der Gaußschen Zahlenebene einzuzeichnen:
{ } { ( ) }
Lösung:
:
⇔
⇔ √ √
⇔ ⇔ ⇔ ⇒
Veranschaulicht bedeutet es, dass die Menge die Imaginärachse ist.

______________________________________________________________________________________________________
⇒ ( )
( ) ⇔ ⇔
Die Menge lässt sich als die gesamte Menge außerhalb des Kreises mit dem Radius und dem
Mittelpunkt
8. Gesucht ist die sechste Wurzel aus 1:
Lösung:
( √ ) ( ) √
⇒ √
( ) ( )
√ √
( ) ( )
√ √
( ) ( )
√ √
( ) ( )
√ √
Reelle Lösungen: ; Konjugiert komplexe Lösungen: ;
Abb. 7 Lösung Übung 7

______________________________________________________________________________________________________
Abb. 8 Lösung Übung 8
9. Zu berechnen ist √ , also die vierte Wurzel aus √ :
Lösung:
Analog zu anderen Übungen, die oben gerechnet wurden ergibt sich analog aus der kartesischen Form
√ √ , die Polarform:
√ (
√
) ( )
⇒ √ √ √ ( ( ) ( ))
√ ( ( ) ( )) √ ( ( ) ( ))
√ (
√ √ √ √
)
√ √
((√ ) (√ ))
√ ( ( ) ( )) √ ( ( ) ( ))
√ (
√ √ √ √
)
√ √
(( √ ) ( √ ))
√ ( ( ) ( )) √ ( ( ) ( ))
√ √
((√ ) (√ ))
𝑧
𝑧
𝑧
𝑧
𝑧 𝑧

______________________________________________________________________________________________________
Abb. 9 Lösung √ √
√ ( ( ) ( )) √ ( ( ) ( ))
√ ( ( ) ( ))
√ √
(( √ ) ( √ ))
Für die Wurzeln der komplexen Zahl ergibt sich:
√
(√ (√ ))
√
( √ ( √ ))
Grafische Darstellung:
Somit ist ein Kreis zu sehen mit dem Radius √ und
Die vier Wurzeln lassen sich auch anders ermitteln:
√ √ √√ √
√ √ (√ √ )
√
(√ )
𝑧
𝑧
𝑧
𝑧

______________________________________________________________________________________________________
√
√
(√ )
√
(√√ √ √
)
√
(
√(√ ) √(√ )
)
√
(√ (√ ))
√
√
(√ )
√
√ √
√
(√ √ √√
)
√
(√(√ ) √(√ )
)
√
(√ ( √ ))
7. ANWENDUNG DER KOMPLEXEN ZAHLEN
Ich werde in diesem Abschnitt ganz kurz auf Anwendungen von komplexen Zahlen eingehen, um deren
Bedeutung hervorzuheben. Es hat sich gezeigt, dass komplexe Zahlen tiefer in der Mathematik, Physik
und folglich Technik verankert sind, als man zur Zeit ihrer Entdeckung ahnen konnte [29]. Das
Rechnen mit diesen Zahlen liefert sehr häufig Ergebnisse, die anders nicht zu erreichen sind.
Komplexe Zahlen können in der physikalischen Welt nicht beobachtet oder gemessen werden.
Trotzdem sind sie aus Sicht der Mathematik und der anwendungsorientierten Wissenschaften sinnvolle
Konstrukte sowohl mit theoretischem als auch mit praktischem Nutzen.
In der Physik werden komplexe Zahlen in folgenden Bereichen eingesetzt [23]:
 in der Quantentheorie die sehr effektiv das Werkzeug der komplexen Zahlen nutzt,
 die Behandlung von Differentialgleichungen zu Schwingungsvorgängen lässt sich wesentlich
vereinfachen,
 in der Optik in Form von komplexen Permittivitäten und komplexen Brechzahlen
 in der Fluiddynamik, wo jede beliebige komplexe Funktion eines komplexen Arguments eine
ebene Potenzialströmung darstellt
 in der Elektrotechnik, wo i schon für den Wechselstrom in Form von j verwendet wird, um
Verwechslungen zu vermeiden. Die komplexe Zahlenebene wird verwendet, um
Phasenverschiebungen z.B. bei kapazitiven oder induktiven Lasten zu behandeln. So wird ein
ohmscher Widerstand entlang der reellen Achse, ein induktiver Widerstand entlang der
positiven imaginären Achse und ein kapazitiver Widerstand entlang der negativen imaginären
Achse abgetragen.
 in der Relativitätstheorie spielt die vierdimensionalen Raum-Zeit eine herausragende Rolle - in
ihr nutzt man als vierte Koordinate ict. Der Ausdruck r = (x,y,z,ict) wird als Vierervektor
bezeichnet.
 komplizierten Beziehungen mit Produkten von Sinus- bzw. Kosinusfunktionen lassen sich
durch Einsatz der Exponentialfunktionen vereinfachen.
In der Mathematik werden die komplexen Zahlen verwendet um die Nullstellen jedes beliebigen
Polynoms n-ten Grades zu berechnen. Weiterhin werden sie bei Fraktalen benutzt um Formen aus der
Natur genau zu beschreiben [15]. In der Mathematik lassen sich aus dem Körper der komplexen Zahlen
andere Zahlenbereiche wie z.B. die natürlichen Zahlen, die ganzen Zahlen, die rationalen Zahlen und

______________________________________________________________________________________________________
die reellen Zahlen herleiten. Wichtige Sätze wie der Fundamentalsatz der Algebra gelten in der Menge
der komplexen Zahlen.
Komplexe Nullstellen von Polynomen7.1
Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der numerischen Auswertung von Polynomen. Hier werden speziell
einige Verfahren zur Annäherung von komplexen Nullstellen vorgestellt und mit Beispielen hinterlegt.
Zuerst wird das Horner Schema eingeführt, womit man eine vermutete Nullstelle nachweisen kann.
Diese wird erweitert um später als Grundlage des Bairstow Verfahrens zu dienen.
Der Fundamentalsatz der Algebra besagt, dass ein Polynom
∑
genau n Nullstellen in besitzt, wobei mehrfache Nullstellen ihrer Vielfachheit gemäß gezählt werden.
Im Komplexen lässt sich jedes Polynom mit reellen Koeffizienten
immer als
darstellen. Außerdem, im Falle, dass ein solches Polynom eine komplexe Nullstelle besitzt,
ist auch ̅ eine weitere Nullstelle. Des Weiteren ist bekannt:
 { } – es gibt einfache Berechnungsvorschriften für die Nullstellen (mit Hilfe der p-q-
Formel)
 { } – es gibt relativ komplizierte Berechnungsvorschriften für die Nullstellen
(Lösungsformel von Cardano oder Transformation in Gleichungen 2. Grades für kubische
Gleichungen sowie Lösungsformel von Ferrari und Transformation in Gleichungen 3. Grades
für quartische Gleichungen)
 – es gibt im Allgemeinen keine expliziten Berechnungsvorschriften für die Nullstellen
Das heißt, für Polynome mit ist die Nutzung numerischer Verfahren zu empfehlen, für ist
sie generell notwendig.
7.1.1 Horner Schema
Unter dem Horner Schema [28] versteht man Methoden zur vereinfachten Berechnung von
Funktionswerten von Polynomen, Ableitungen und Abspalten von Faktoren. Demzufolge kann mit
diesem Verfahren überprüft werden, ob eine vermutete Nullstelle vorhanden ist. Das grundsätzliche
Verfahren wurde von Wiliam G. Horner (1756-1837) vorgestellt.
7.1.2 Das vereinfachte Horner Schema
Am Anfang konzentriere ich mich auf das einzeilige Horner Schema. Dieses ist relativ leicht zu
verstehen und wird verwendet um Funktionswerte eines Polynoms und seiner Ableitung an bestimmten
Stellen auszuwerten oder ein Polynom durch einen linearen Faktor zu dividieren.

______________________________________________________________________________________________________
Man erstellt eine Tabelle, wo alle Koeffizienten des Polynoms in absteigender Folge im Tabellenkopf
eingetragen werden. Links in die zweite Zeile wird das Argument z eingetragen, um für dieses
Argument den Funktionswert auszurechnen. Nun wird die Zahl in der zweiten Zeile mit z multipliziert
und der nächste Koeffizient der ersten Zeile addiert. Dies wird solange wiederholt, bis man beim
letzten Koeffizienten angekommen ist. Dieser ist der Wert des Polynoms an der Stelle z.
…
z - …
…
Nehmen wir beispielweise das Polynom und versuchen wir den
Funktionswert an der Stelle auszurechnen:
2 0 -5 0 4 1
4 - 8 32 108 432 1774
2 8 27 108 436 1745
Demzufolge folgt .
Ein Interessanter Fall entsteht in der Tabelle, wenn man das Verfahren für eine Nullstelle des Polynoms
anwendet. Es ist klar, dass man im Feld unten rechts Null erhalten wird. Jedoch verkörpern die
restlichen Felder der dritten Zeile die Koeffizienten des Quotienten der Polynomdivision, d.h. wenn
man einen Linearfaktor vom Polynom abspalten würde.
Um alle Nullstellen mit Hilfe des Horner Schema berechnen zu können, muss man am Anfang eine
Nullstelle raten. Bei kennt man durch Probieren die Nullstelle
und man möchte nun einen Linearfaktor abspalten.
Hierbei ist gerade der Rest der Division des Polynoms durch den Linearfaktor. Man
erhält dabei ein im Grad um eins vermindertes Polynom. Das klassische Verfahren wäre eine
Polynomdivision durchzuführen. Diese Methode ist aber recht mühsam. Eleganter ist die Nullstelle in
der Tabelle auszuwerten:
2 0 -5 0 4 1
-1 - -2 2 3 -3 -1
2 -2 -3 3 1 0
Wie oben bereits gesagt, verkörpern die Felder links von die Koeffizienten des Quotienten der
Polynomdivison mit dem Linearfaktor Der Rest der Division ist Null, da eine Nullstelle
ausgewertet wurde und tatsächlich das Feld rechts Null ergibt. Man erhält das Resultat:
Mit dem einzeiligen Horner Schema kann man sehr leicht prüfen ob die vermutete Nullstelle richtig ist.
Völlig analog zum reellen Fall kann man das Horner Schema naiv auf komplexe Zahlen angewandt
werden. Dabei muss man allerdings mit komplexen Zahlen rechnen, was aufwendig ist.
Als einfaches Beispiel habe ich folgendes Polynom gewählt:
√ ( √ ) √

______________________________________________________________________________________________________
mit der Nullstelle . Folgendes Horner Schema ist entstanden:
√ √ √
- √ √ √
√ √ 0
- √
√
Da eine Nullstelle ist, ist auch eine Nullstelle.
Durch doppelte Division mit dem Horner Schema resultiert Linearfaktorzerlegung
( )( )( √ )
Auf dieser Weise ist nun auch die reelle Nullstelle bekannt: √ .
Als aufwändiges Beispiel nehme ich mir folgendes Polynom vor:
wobei ich mit Hilfe des CAS eine Nullstelle ermittelt habe. Das komplizierte Horner
Schema für dieses Polynom sieht folgendermaßen aus:
- 13
0
Es ergibt sich:
7.1.3 Das erweiterte Horner Schema
Sollen von einem Polynom
quadratische Faktoren der Form
mit und abgespalten werden, so wird hierzu ein erweitertes Horner Schema benötigt
[9].
Hierbei werden im Tabellenkopf wieder die Koeffizienten des Polynoms notiert. In den nächsten
beiden Zeilen werden in der linken Spalte r und s notiert. In der zweiten Zeile wird das r-fache des
vorangegangenen Elements aus der vierten Zeile notiert, in der dritten Zeile das q-fache des vorletzten
Elementes aus der vierten Zeile notiert.

______________________________________________________________________________________________________
Die vierte Zeile repräsentiert die Summe der kompletten Spalte. Schematisch sieht das erweiterte
Horner Schema folgendermaßen aus:
Der mathematische Hintergrund beruht auf die Abspaltung eines quadratischen Faktors
mit dem Rest wenn das Polynom durch den quadratischen Faktor
geteilt wird. ist in diesem Fall ein Polynom ten Grades und kann somit
durch
geschrieben werden. Wenn man und setzt, dann resultiert aus
mit
folgende Schreibweise für das Polynom
Als Letztes setzt man und dann , folglich für
.
Ist kein Teiler des Polynoms , so verbleibt ein linearer Restterm bestehend aus .
Beispiel 1:
⇔
wobei hier und .
Durch ergibt sich für den Rest des Polynoms aus dem Beispiel
Somit resultiert
Das Ergebnis wird durch eine Überprüfung mit dem CAS bestätigt.

______________________________________________________________________________________________________
Beispiel 2:
Da eine komplexe Nullstelle, i bekannt ist, ist unmittelbar ̅ i auch eine
Nullstelle. Aus dem Satz von Vieta ( und ) gilt für dieses Beispiel
und .
Daraus ergibt sich
Mit Hilfe der Multiplikation mit dem CAS bestätigt sich diese Zerlegung.
Dieses erweiterte Horner Schema kann man auch auf komplexe Zahlen übertragen und dient
hervorragend als Hilfe zur Abspaltung von quadratischen Polynomen bei dem Verfahren von Bairstow,
womit man komplexe Nullstellen bestimmen kann [6].
Allgemein auch bei reellen Polynomen wird die Nullstellenberechnung stark vereinfacht, da z.B. aus
einem Polynom 5. Grades ein Polynom 3. Grades entsteht, bei dem die Nullstellen leichter zu
berechnen sind. Mit dem Horner Schema lassen sich auch Ableitungswerte berechnen, dies ist aber
nicht Gegenstand dieser Facharbeit.
7.1.4 Das Verfahren von Bairstow
Polynome höheren Grades mit reellen Koeffizienten haben
 einfache reelle Nullstellen
 mehrfache reelle Nullstellen
 paarweise konjugiert komplexen Nullstellen ̅ .
Iterationsverfahren zum numerischen Berechnen von Nullstellen wie das Sekantenverfahren, Newton-
Verfahren oder Regula Falsi helfen nur bei einfachen reellen Nullstellen helfen. Bei mehrfachen
Nullstellen geht die Konvergenzordnung rapide nach unten, und komplexe Nullstellen sind überhaupt
nicht zu berechnen, wenn man nicht bereits den Startwert komplex vorgibt und in der ganzen Rechnung
komplexe Arithmetik verwendet.
Leonard Bairstow (1880–1963) stellte 1920 im Anhang seines Buches „Applied Aerodynamics“ [24]
ein Verfahren vor, das komplexe Nullstellen approximiert und dabei ohne komplexe Rechnung arbeitet.
Das Verfahren von Bairstow basiert auf eine schrittweise Reduktion der Ordnung des Polynoms und
arbeitet nach dem Prinzip des Abspaltens von quadratischen Faktoren [31], da komplexe Nullstellen
immer paarweise konjugiert auftreten, mit Hilfe des erweiterten Horner Schemas.
Sei ein Polynom
gegeben.

______________________________________________________________________________________________________
Aufgrund der nur paarweise auftretenden komplexen Nullstellen kann man den quadratischen Faktor
̅ abspalten und somit ergibt sich
̅
Mit den gleichen Umformungen wie bei dem erweiterten Horner Schema kommt man auf
mit
Das Abspalten des quadratischen Faktors kann mit Hilfe des erweiterten Horner Schema vorgenommen
werden. Ein solcher quadratischer Faktor existiert immer für . Statt direkt Nullstellen zu
bestimmen, werden zunächst quadratische Faktoren gesucht [7].
Jedes b hängt natürlich von ab. Das Paar ist genau dann quadratischer Faktor von ,
wenn gilt . Wenn man die Nullstelle der Funktionen und
findet, dann gilt
Nun kann man sofort mit der p-q-Lösungsformel die Nullstellen des quadratischen Faktors
berechnen. Die gesamte Iteration wird von vorne gestartet für das verbleibende Polynom
Das Verfahren wird so oft wiederholt bis nur ein Faktor ersten Faktors übrig bleibt.
Als Startwerte für die Iteration kann man aus den führenden drei Koeffizienten folgendes wählen:
Das Bairstow Verfahren besteht aus der Lösung des unteren Gleichungssystems (zwei Gleichungen und
zwei Unbekannten r und s) mit dem zweidimensionalen Newton-Verfahren [34].
( )
( ) ( )
Die Nullstellen werden somit gefunden jedoch muss man dabei deren
partielle Ableitungen nach r und s berechnen.
An dieser Stelle ist es sinnvoll einen Algorithmus zu entwickeln, denn die Iteration würde manuell sehr
zeitintensiv sein. Mit einem selbsterstelltem Programm konnte ich mit dem Bairstow Verfahren sehr
gute Ergebnisse (angenäherte Nullstellen) erzielen.
Da die Iteration in reeller Arithmetik verläuft, ist sie viel schneller als eine Iteration in komplexer
Arithmetik.

______________________________________________________________________________________________________
Abb. 10 Nullstellen Bsp. 1
Einige Beispiele für Polynome 5. Grades und deren Nullstellen sind:
Beispiel 1:
Komplexe Nullstellen:
Reelle Nullstelle:
Beispiel 2:
Reelle Nullstellen:
Beispiel 3:
Reelle Nullstellen:

______________________________________________________________________________________________________
8. NACHWORT
Die Zahlenmenge der komplexen Zahlen unterscheidet sich, aufgrund einer anderen Betrachtungsweise
der Zahlen, von den bisher bekannten Zahlenmengen. Das Thema „Komplexe Zahlen“ ist unter
anderem sehr umfassend, sodass ich mich in vielen Bereichen beschränken musste, um den Rahmen,
der durch die Seitenzahl vorgegeben wurde, nicht zu verletzen. Aufgrund dessen fehlt hier eine
genauere Betrachtung der Exponentialform und die damit verbundene Eulersche Formel sowie auch
komplexe Reihen und komplexe Funktionen. Andere interessante Themen wie z.B. lineare
Abbildungen wie Translationen oder etwa Drehstreckungen oder Eigenwertprobleme konnten auch
nicht behandelt werden. Ebenso habe ich hier an Anwendungsaufgaben aus der Physik und
Elektrotechnik gespart.
Da aber ein Schwerpunkt dieser Facharbeit neben der allgemeinen Einführung in diese neue
Zahlenmenge die Anwendung in der Mathematik war, und auch das Schreiben eines Computer-
Programms, das die Nullstellen eines Polynoms 5. Grades mit Hilfe des Bairstow Verfahrens, relativ
kompliziert war, ist es unmöglich gewesen, den Fokus auf noch andere interessante Unterthemen zu
lenken.
Besonders viel Wert wurde auf die historische Notwendigkeit der Einführung der komplexen Zahlen
gelegt, sowie auch auf deren Definition. Statt einer vereinfachten Definition
wurden neue Begriffe wie der Körper der komplexen Zahlen sowie deren Anordnung kurz eingeführt
und festgestellt in wie weit die komplexen Zahlen mit diesen neuen Begriffen koalieren. Des Weiteren
kann ich sagen, dass das Rechnen mit den komplexen Zahlen relativ einfach und leicht verständlich ist.
Zum praktischen Teil ist noch zu sagen, dass um das Bairstow Verfahren erläutern zu können, ich auch
das Horner Schema und folglich das erweiterte Horner Schema als Hilfe einführen musste.
Verbesserungspotential hat das Bairstow Verfahren nicht, denn es konvergiert schon sehr schnell, mit
zweiter Ordnung. Ein weiteres Verfahren, das sogar alle Nullstellen eines Polynoms mit komplexen
Koeffizienten simultan bestimmt ist das Weierstraß-(Durand-Kerner)-Verfahren, das aber viel
aufwendiger ist, als das Bairstow Verfahren, welches schon sehr gute Ergebnisse liefert.
Für mich hat die Einarbeitung in das Thema „Komplexe Zahlen“ überraschende Erkenntnisse mit sich
gebracht. Ich durfte feststellen, dass es sich bei den komplexen Zahlen nicht, wie gemeinhin
angenommen wird, „Wurzeln von negativen Zahlen“ handelt und auch, dass es durchaus praktische
Anwendungen der komplexen Zahlen in den Naturwissenschaften gibt.
Bemerkung: Alle Abbildungen, die nötig waren um eine bessere Veranschaulichung darzustellen,
wurden von mir selbst erstellt. Für die Abbildungen 1 bis 6 habe ich Microsoft Word 2010 benutzt, die
Abbildungen 7 bis 12 wurden mit Hilfe von Wolfram Alpha Pro (http://www.wolframalpha.com/)
erstellt.

______________________________________________________________________________________________________
LITERATURVERZEICHNIS
[1] Hartwig Bosse, Vorkurs Mathematik Ubungen zu Komplexen Zahlen, Zugriff unter http://www.uni-
frankfurt.de/fb/fb12/mathematik/dm/personen/bosse/Lehre/Vorkurs/F02_complex_ue_komplett.pdf, am 17.05.2014
[2] H. Föll, Rechnen mit komplexen Zahlen, Zugriff unter www.tf.uni-kiel.de/matwis/amat/mw1_ge/kap_2/basics/b2_1_5.html, am
26.04.2014
[3] Irmgard Gorgas, Komplexe Zahlen, Zugriff unter http://homepage.univie.ac.at/irmgard.gorgas/handouts/physik/skriptum4.pdf,
am 17.04.2014
[4] Christian P. Jäh, Höhere Mathematik I für Ingenieure, Zugriff unter http://www.mathe.tu-freiberg.de/files/personal/201/ueb01-
komplexe-zahlen.pdf, am 17.05.2014
[5] U. Kirchgraber und D. Stoﬀer, Einführung in die Komplexen Zahlen, Zugriff unter http://www.math.ethz.ch
/analysis+geometry/linalg-fall09/KomplexeZahlen3.pdf , am 06.04.2014
[6] Dietlinde Lau, Algebra und Diskrete Mathematik 1, 2007, Springer Verlag, 978-3-540-72364-6, am 18.06.2014
[7] Norbert Herrmann, Höhere Mathematik: für Ingenieure, Physiker und Mathematiker, 2004, Oldenbourg Wissenschaftsverlag, 3-
486-27498-8, am 14.06.2014
[8] Jörn Loviscach, Themen und Termine, http://www.j3l7h.de/lectures/1314ws/Mathe_1/ThemenUndTermine.html, am 17.05.2014
[9] John H. Mathews, Module for Horner's Method, Zugriff unter http://mathfaculty.fullerton.edu/mathews/n2003/HornerMod.html,
am 07.07.2014
[10] Richard M., Komplexe Zahlen, Zugriff unter http://www2.hs-esslingen.de/~mohr/mathematik/me1/KZ-Folien.pdf, am 16.04.2014
[11] Rintu Nath, A chronicle of complex numbers, Zugriff unter http://www.vigyanprasar.gov.in/nmy2012/articles/
A_chronicle_of_complex_numbers.pdf, am 18.04.2014
[12] Dr. A. Noack, Dr. C. Zschalig, 9. Ubungsblatt für die Übungen vom 9.12.-13.12.2013, Zugriff unter http://tu-
dresden.de/Members/christian.zschalig/Lehre/1314_math_fuer_inf_la/Uebung_09, am 10.05.2014
[13] Lukas Prokop, Spezialthema Komplexe Zahlen, Zugriff unter http://lukas-prokop.at/proj/spezialgebiete/komplexe_zahlen.pdf, am
16.04.2014
[14] Jürgen Roth, Die Zahl i – phantastisch, praktisch, anschaulich, Zugriff unter http://www.dms.uni-
landau.de/roth/veroeffentlichungen/zahl_i/roth_zahl_i.pdf, am 18.04.2014
[15] Isabell Schaffer, Anwendungen für die komplexen Zahlen, Zugriff unter http://www.physik-
multimedial.de/cvpmm/sle/komplexzahl/anwendungkomplex.html, am 31.05.2014
[16] Alexander Schmitt, Skript zur Vorlesung „Funktionentheorie“, Zugriff unter http://userpage.fu-berlin.de/~aschmitt/SkriptFT.pdf,
am 16.04.2014
[17] Schülerlexikon, Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene, Zugriff unter
http://m.schuelerlexikon.de/ma_abi2011/Darstellung_komplexer_Zahlen_in_der_gaussschen_Zahlenebene.htm, am 22.04.2014
[18] Rainer Schwenkert, Die komplexen Zahlen, Zugriff unter http://w3-o.cs.hm.edu/~rschwenk/Buchfolien/kapitel9.pdf, am
20.04.2014
[19] Lubov Vassilevskaya, Exponentialform der komplexen Zahlen, zugriff unter https://www.mp.haw-
hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m1/komplex/5b-polar.pdf, am 23.04.2014
[20] Lubov Vassilevskaya, Komplexe Zahlen, Grundbegriffe, Zugriff unter http://www.mp.haw-
hamburg.de/pers/Vassilevskaya/download/m1/komplex/1-kompl-zahl.pdf, am 18.04.2014
[21] Rolf Waldi, Der Körper der komplexen Zahlen, Zugriff unter http://www.uni-
regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/Mat4/waldi/skriptlinalg/kapIII_para3.pdf, am 20.04.2014
[22] Rainer Weissauer, Die komplexen Zahlen, Zugriff unter http://www.mathi.uni-
heidelberg.de/~weissaue/vorlesungsskripte/FUNKT.pdf, am 16.04.2014
[23] Wikibooks, Komplexe Zahlen/ Anwendung in der klassischen Physik, Zugriff unter
http://www.de.wikibooks.org/wiki/Komplexe_Zahlen/_Anwendung_in_der_klassischen_Physik, am 31.05.2014
[24] Wikipedia, Bairstow's method, Zugriff unter http://en.wikipedia.org/wiki/Bairstow%27s_method, am 17.06.2014
[25] Wikipedia, Complex Number, Zugriff unter http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number, am 05.04.2014
[26] Wikipedia, Geordneter Körper, Zugriff unter http://de.wikipedia.org/wiki/Geordneter_K%C3%B6rper, am 22.04.2014
[27] Wikipedia, Moivrescher Satz, Zugriff unter http://de.wikipedia.org/wiki/Moivrescher_Satz, am 28.04.2014
[28] Wikipedia, Horner Schema, Zugrif unter http://de.wikipedia.org/wiki/Horner-Schema, am 07.07.2014
[29] Wikipedia, Komplexe Zahl, Zugriff unter http://de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl, am 05.04.2014
[30] Werner Neundorf, Komplexe Zahlen, Zugriff unter https://www.tu-
ilmenau.de/fileadmin/media/num/neundorf/Dokumente/Lehre/hm/Komplexe_Zahlen.pdf, am 18.04.2014
[31] Wolfgang Eustachi, Komplexe Analysis, 2010, Books on Demand, ISBN:978-3-8391-9507-9, am 14.06.2014
[32] * *, Rechnungen mit komplexen Zahen, Sverige Universität. Zugriff unter http://wiki.math.se/wikis/2009/bridgecourse2-TU-
Berlin/index.php/3.1_Rechnungen_mit_komplexen_Zahlen, am 24.04.2014
[33] * *, Körpereigenschaften der komplexen Zahlen, Zugriff unter
http://www.chemgapedia.de/vsengine/vlu/vsc/de/ma/1/mc/ma_01/ma_01_02/ma_01_02_01.vlu/Page/vsc/de/ma/1/mc/ma_01/ma_01_0
2/ma_01_02_13.vscml.html, am 20.04.2014
[34] Wolfgang Metzler, Numerische Mathematik I, Zugriff unter http://home.arcor.de/doody1/Numerik_1.pdf, am 18.06.2014

______________________________________________________________________________________________________
EINVERSTÄNDNISERKLÄRUNG
Ich erkläre hiermit, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die
angegebenen Hilfsmittel verwendet habe.
Ich erkläre weiterhin, dass ich alles gedanklich, inhaltlich oder wörtlich von anderen (z.B. aus Büchern,
Zeitschriften, Zeitungen, Lexika, Internet usw.) übernommene als solches kenntlich gemacht, d.h. die
jeweilige Herkunft in den Anmerkungen belegt habe. Dies gilt gegebenenfalls auch für Tabellen,
Skizzen, Zeichnungen, bildliche Darstellungen usw.
Ich nehme zur Kenntnis, dass die nachgewiesene Unterlassung der Herkunftsangabe als versuchte
Täuschung bzw. als Plagiat („geistiger Diebstahl“) gewertet wird. Unkenntnis der in der Wissenschaft
gebräuchlichen Regeln gilt nicht als Entlastung.
Ich anerkenne hiermit, dass bei Vorliegen eines Plagiats die Arbeit nicht als selbstständige Leistung
gewertet wird mit der Folge, dass
1. mein Anspruch auf einen Leistungsnachweis und die Möglichkeit einer Nachbesserung der
Arbeit entfällt;
2. die gesamte Arbeit mit „Ungenügend“ bewertet wird.
____________________ ____________________
Datum Unterschrift

Die komplexen Zahlen

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (8)

Die komplexen Zahlen