S04_01-Sistemas lineales y no lineales.pptx

Curso: Telecomunicaciones I
Tema: Sistemas lineales,no lineales y
filtros
Ms. Filiberto Azabache Fernández
fazabachef@upao.edu.pe

Contenido
• Sistemas lineales
• Sistemas no lineales
• Filtros

Sistemas lineales
• Un Sistema lineal es aquel que es invariante en el tiempo
caracterizado por la dependencia de la señal de salida sobre la señal
de entrada.
Sistema lineal
h(t)
H(W)
H(f)
f(t)
F(W)
F(f)
r(t) = f(t) * h(t)
R(W) = F(W).H(W)
R(f) = F(f). H(f)
H(f) es la función de transferencia
(respuesta en frecuencia del
sistema)

Sistemas lineales
Respuesta en frecuencia
• La respuesta de frecuencia es la representación de cómo el sistema responde a
entradas sinusoidales con frecuencia variable.
• Describe las diferencias en amplitud y fase que se observarían entre la señal
sinusoidal de entrada y la salida.
• Solo se puede definir para sistemas LTI.
• En comunicaciones usualmente nos interesa una representación gráfica de la
respuesta en frecuencia.
|H(f)|
f
arg{H(f)}
f
H(f) nos muestra cómo el sistema modifica los
componentes de frecuencia de la señal de entrada.

Propiedades de H(f)
• Conmutativa
F(f) H(f) = H(f) F(f)
Importancia: Permite considerar
otras alternativas cuando se va a
sintetizar una señal de salida.
R(f)
F(f)
!igual!
!igual!
Sistemas lineales
Sistema lineal
H(f)
R(f)
H(f) Sistema lineal
F(f)

Propiedades de H(f)
Sistemas lineales
• Asociativa
H(f)G(f)F(f) = G(f)[H(f)F(f)] = H(f)[G(f)F(f)]
Importancia: El orden de los subsistemas no importa.
H(f)
R(f)
F(f)
G(f)
G(f)
R(f)
F(f)
H(f)

Propiedades de H(f)
Sistemas lineales
Importancia: puede utilizar superposición.
• Distributiva
H(f).[F1(f) + F2(f)] = H(f)F1(f) + H(f)F2(f)
H(f)
F1(f)+F2(f) F(f)
F1(f)
R(f)
F2(f)
H(f)
H(f)
+

Causalidad en dominio de f
Sistemas lineales
• En el dominio del tiempo, un sistema causal es aquel que responde después de
ocurrir el estímulo. Un sistema es causal si h(t)= 0 para t<0.
• La definición de causalidad está expresada en términos de lo que ocurre en el
tiempo.
• ¿Será posible reconocer la propiedad de causalidad en el dominio de frecuencia?
• o sea, sin tener que convertir al dominio de tiempo
• Sí, el teorema de Paley-Wiener establece que un sistema es causal solo si
 







df
f
f
H
2
1
ln • Puesto de otra forma, si H(f) cumple con lo
anterior, entonces h(t) tiene que ser causal.
• ¿es fácil de evaluar esto en frecuencia?
– no necesariamente

Importancia de Paley-Wiener
Sistemas lineales
• Cualquier H(f) que sea cero sobre una banda de
frecuencia no satisface el teorema.
H(f)
f
Esto lo hace no causal
• Por lo tanto, no es posible obtener sistemas físicamente realizables que
rechacen por completo una banda de frecuencias.
– Lo mejor que podemos hacer es atenuar, no eliminar.
 







df
f
f
H
2
1
ln
En esa zona estaría
evaluando ln(0)

Determinación de H(f)
Sistemas lineales
• Depende de la información disponible. Su cálculo es similar a cómo se obtiene
la función de transferencia utilizando transformada de Laplace.
• Si tiene el circuito que describe al sistema:
• Reemplace al capacitor e inductor por las reactancias capacitivas e inductivas, tal como
hace un análisis fasorial.
fC
j
XC

2
1
 fL
j
XL 
2

– Analice el circuito tal como lo hizo en el curso de circuitos eléctricos.
– Obtenga una expresión de la forma R(f) = [H(f)] F(f)

Ejemplo: Calcular H(f) del siguiente circuito
R
C
vi(t)
+
_
+
_
fC
j
XC

2
1

vo(t)
i(t)
𝑣𝑖(𝑡) =i(t)(R+𝑋𝐶)
𝑣𝑜(𝑡) =i(𝑡)𝑋𝐶
h(𝑡) =
𝑣𝑜(𝑡)
𝑣𝑖(𝑡)
H 𝑊 =
𝑉𝑜 𝑊
𝑉𝑖 𝑊
=
𝑋𝐶
𝑅+𝑋𝐶
=
1/(j2𝜋𝑓𝐶)
R+1/(j2𝜋𝑓𝐶)
=
1
1+jf2𝜋𝑅𝐶
𝑅𝐶 =
1
2𝜋𝑓𝑐
𝑓𝑐 =
1
2𝜋𝑅𝐶
H 𝑓 =
𝑉𝑜 𝑓
𝑉𝑖 𝑓
=
1
1+j(
𝑓
𝑓𝑐
)
|H 𝑓 |2 = |
1
1+j 𝑓
𝑓𝑐
||
1
1−j 𝑓
𝑓𝑐
| =
1
1+ 𝑓
𝑓𝑐
2
Sistemas lineales

Ejemplo: Calcular H(f) de la siguiente ecuación:
Sistemas lineales
x
y
dt
dy
dt
y
d
5
4
3
2
2



  )
(
5
)
(
4
)
(
2
3
)
(
2
2
f
X
f
Y
f
fY
j
f
Y
f
j 

 

  f
j
f
f
X
f
Y
f
H

 6
2
4
5
)
(
)
(
)
( 2





Transmisión sin distorsión
• Una transmisión sin distorsión ideal
debe preservar la forma de onda objeto
de la transmisión.
• Pero hay que aceptar que:
• la señal debe al propagarse sobre una
distancia, va a tomar tiempo, y no
necesariamente se podrá capturar toda la
energía transmitida.
• Por lo tanto, la salida esta dada por:
r(t) = Kf(t - to)
Atenuación o ganancia retardo
Sistema
lineal
f(t) r(t)
𝑅 𝑊 = 𝐾𝐹 𝑊 𝑒−𝑗𝑤𝑡
H 𝑊 = 𝐾𝑒−𝑗𝑤𝑡
𝑅 𝑊 = 𝐹 𝑊 .H(W)

• La respuesta de amplitud y fase del sistema ideal es:
o
o
ft
j
jwt
Ke
f
H
Ke
W
H

2
)
(
)
(




|H(f)|
f
Ho
(f)
f
-2to
La misma ganancia o atenuación para
toda frecuencia
Fase es función lineal para
toda frecuencia
Pendiente es proporcional al retardo

¿Es posible retardo = 0?
• El retardo es función de distancia (d) y velocidad de propagación de la onda (v)
v
d
to 
Fuente Destino
d
• No es físicamente posible requerir que v > c (la
velocidad de propagación de la luz en el vacío).
 Siempre existe algún retardo
entre la entrada y la salida.

Transmisión con distorsión
• Este tipo de transmisión se presenta cuando H(f) no es ideal ni lineal.
• Como la transformada de Fourier es única, cualquier H(f) que no sea la ideal será
incapaz de transmitir una señal sin distorsionarla.
• Ejemplos:
(f)
f
-2to
ideal
No ideal
|H(f)|
f
Ho
ideal
No ideal

Transmisión con distorsión
• Distorsión es la modificación no deseada que sufre la forma de onda
de la señal.
• La salida del sistema no es una réplica de la entrada.
• Tres tipos de distorsión reconocidos:
• Distorsión de amplitud
• Distorsión de fase o retardo
• Distorsión no lineal.
• Cuando la modificación es deseada decimos que estamos filtrando
a la señal, no decimos que estamos distorsionando la señal.

Distorsión de amplitud
• Distorsión atribuible a que H(f) ≠ K para toda frecuencia.
|H(f)|
f
K
Se altera la proporción que
existía entre los distintos
componentes de frecuencia
en la señal original.
ideal
Componentes en
esta zona se
amplifican más
No ideal
Componentes en estas
zonas se atenúan más

• En el caso de audio, se nota que la calidad del sonido se empobrece.
• Ejemplo: se pierde la distinción entre instrumentos musicales.
• Comparación de la calidad del sonido de:
• Una llamada telefónica (hasta 3 kHz)
• Radio AM (hasta 5 kHz)
• Radio FM (hasta 15 kHz)
• CD/DVD (>20 kHz)
• Solo interesa la distorsión que modifica la señal deseada.
Ejemplo: en el caso de audio no importa perder componentes sobre los 20
kHz porque no se podrían escuchar.
¿Cómo se percibe distorsión de amplitud?

¿Cómo se percibe distorsión de amplitud?
y(t)
t
• En el caso de pulsos o señales digitales, notamos que se deteriora la transición
entre niveles de voltaje.
• Esta distorsión limita la capacidad para
reconocer los niveles lógicos.
y(t)
t
x(t)
t
Causa oscilaciones en las transiciones

Usos de distorsión de amplitud
• Aunque la distorsión de amplitud puede parecer un defecto, en
sistemas de audio se introduce deliberadamente para hacer que el
sonido suene “mejor”, “más natural”, …
• ¿Cómo?
• Mediante el uso de ecualizadores para cambiar la respuesta de frecuencia de
un sistema de audio.
|H(f)|
f
Enfatizar frecuencias altas
Enfatizar frecuencias bajas

Distorsión de retardo o distorsión de fase
Cuando la fase, (f) ≠ -2fto
df
f
d
f
Tg
)
(
2
1
)
(



Se define el retardo de grupo (“group
delay”) como:
Tg(f) = tiempo de propagación del
componente de frecuencia f relativo al
resto del grupo de componentes de
frecuencia.
(f)
f
No ideal
Ideal
Tg mayor Tg menor

• La distorsión de fase es difícil de medir ya que requiere comparar la diferencia en
fase entre la señal de entrada y la de salida.
• Retardo de grupo (“group delay”) se define de manera relativa.
• La referencia de cero retardo de grupo puede ser el componente de
frecuencia en la mitad de la banda del canal.
• Los demás componentes van a estar adelantados o atrasados con respecto al
que se ha escogido como referencia.
• Todo esto se mide en la salida.
• Salvo casos extremos, en audio normalmente no se percibe efecto.
• El sistema auditivo humano es bien sensible a la presencia de las frecuencias pero no así a
diferencias en fase entre diferentes frecuencias.
• En audio se hace mayor esfuerzo por limitar la distorsión de amplitud.

Para pulsos o señales digitales este tipo de distorsión es muy
importante.
• Provoca que los componentes de frecuencia que forman la forma de onda de la
señal lleguen en diferentes momentos.
Los que lleguen primero se acaban primero.
Los que lleguen últimos terminan más tarde.
y(t)
t
x(t)
t
alargamiento
de la duración
del pulso.
Si se envían pulsos en intervalos
consecutivos, la cola del pulso
previo invade el espacio que le
corresponde a otro pulso.

Sistemas no lineales
• Esta es la modificación causada a una señal por un sistema que no es lineal.
• Si:
 
)
(
)
( t
x
t
y 

es no lineal, superposición deja de ser válida.
• El efecto observable será la posible por la
aparición en la salida de componentes de
frecuencia que no estaban presentes en la
entrada.
• Ejemplo: curva de transferencia de un
amplificador.
y
x
No lineal
lineal
Distorsión no lineal

Ejemplo:
Determine el espectro de la salida si el operador del sistema es y = ax + bx2 y la
entrada es x(t) = X1cos(2f1t) + X2cos(2f2t)
 

 )
2
cos(
)
2
cos(
)
( 2
2
1
1 t
f
X
t
f
X
a
t
y 

 2
2
2
1
1 )
2
cos(
)
2
cos( t
f
X
t
f
X
b 
 

 

 )
2
cos(
)
2
cos( 2
2
1
1 t
f
X
t
f
X
a 



 )
2
(
cos
)
2
(
cos 2
2
2
2
1
2
2
1 t
f
bX
t
f
bX 

)
2
cos(
)
2
cos(
2 1
1
2
1 t
f
t
f
X
bX 



Y(f)
f
• Simplificando:


 )
2
cos(
)
2
cos(
)
( 2
2
1
1 t
f
aX
t
f
aX
t
y 

• Espectro:
0 f1 f2
f2- f1 f2+ f1 2f1 2f2




 )
4
cos(
2
2
)
4
cos(
2
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1 t
f
X
b
X
b
t
f
X
b
X
b


]
)
(
2
cos[
]
)
(
2
cos[ 1
2
2
1
1
2
2
1 t
f
f
X
bX
t
f
f
X
bX 


 


Comentario:
• Este ejemplo muestra una de las
características de la distorsión no
lineal.
• Aparecen frecuencias en la
salida que no estaban
presentes en la entrada.
• Algunas de estas frecuencias
son armónicas de las presentes
en la entrada (distorsión
armónica)
• Otras son sumas y restas de las
frecuencias presentes en la
entrada. (distorsión de
intermodulación)
• Puede aparecer un
componente DC

Ancho de banda del sistema
• Es la banda de frecuencia sobre la cual los componentes de frecuencia de la señal
pasan con poca o ninguna modificación.
• Por lo general se define tomando en cuenta solo el espectro de magnitud,
haciendo caso omiso el espectro de fase.
• Siempre se define sobre el lado de frecuencia positiva del espectro. Nunca se
incluye el lado de frecuencia negativa.

Ancho de banda de una señal
• Se define como el rango de frecuencias
que contiene los componentes de
frecuencia esenciales para describir
adecuadamente a la forma de onda en el
tiempo.
• Note que no es una definición mecánica.
• Depende de la distorsión que se
puede tolerar.
• Depende del uso que se le va a dar a
la señal.
X(f)
f
En todos los casos:
Bseñal ≤ Bsistema

Medición del ancho de banda
• Ancho de banda absoluto: gama de
frecuencia que incluye todos los
componentes de frecuencia de la señal o
respuesta de frecuencia.
|H(f)|
f
B
• Esta definición presenta dificultad al
aplicarla a señales y sistemas físicos:
– Las señales físicas están acotadas
en el tiempo. No pueden estar
acotadas en el dominio de
frecuencia.
– Esto hace que la definición
resulte en un ancho de banda
infinito, no importa cual sea la
forma de la señal.
|H(f)|
f
B =
H(f) es
cero aquí

• Ancho de banda efectivo: gama de
frecuencia que incluye todos los
componentes de frecuencia de la señal o
respuesta de frecuencia que están a 3
dB del máximo.
• Esta definición solo es apropiada para
espectros o respuestas de frecuencia
que tienen zonas que bajan
dramáticamente en amplitud fuera de la
región incluida en el ancho de banda.
– Por ejemplo: filtros
• En otros casos puede resultar en excluir
componentes que son importantes para
representar adecuadamente a la señal.
|H(f)|
f
B
max{H(f)}
0.707max{H(f)}

Ejemplo: Determine el ancho de banda efectivo del circuito RC
fRC
j
f
V
f
V
f
H
i
o

2
1
1
)
(
)
(
)
(



R
C
vi(t)
+
_
vo(t)
+
_
La función de transferencia es
Ahora max{|H(f)|} ocurre cuando f = 0.
 2
2
1
1
)
(
fRC
f
H



1
)
0
( 
H
El ancho de banda ocurre cuando f = B y
|H(B)|=0.707.
 2
2
1
1
707
.
0
BRC




Ejemplo: Determine el ancho de banda efectivo del circuito RC
Resuelva ahora por B
RC
B

2
1

El ancho de banda es inversamente proporcional a la constante de tiempo del circuito RC.
 2
2
1
1
707
.
0
BRC



R
C
vi(t)
+
_
vo(t)
+
_

• Ancho de banda equivalente: ancho
que tendría un rectángulo que abarca
igual área que la que contiene |H(f)|2
para frecuencias positivas.
• Es similar a decir que el rectángulo representa a un sistema ideal cuya respuesta
a impulso tiene igual energía que la de el sistema bajo estudio.
• Note que se define utilizando la magnitud al cuadrado.
|H(f)|2
f
B
    df
f
H
B
f
H 


0
2
2
max

Ancho de banda de cruce de cero o
hasta el punto nulo
ancho que tendría un rectángulo que
se extiende desde el punto de mayor
amplitud hasta el primer lugar donde
|H(f)| = 0
• Note que esta definición es apropiada solo para casos donde el espectro o respuesta de frecuencia se
caracteriza por tener lóbulos laterales.
• También debe tomar en cuenta si los componentes de frecuencia excluidos realmente no son tan
importantes.
|H (f)|
f
B
Primer cruce
de cero

Ejemplo: Ancho de banda de cruce de cero para el pulso rectangular
x(t)
t
½
-½
A
 





f
Sa
A
f
X
w
Sa
A
W
X








)
(
)
2
(
)
(
Ahora se debe averiguar para que valor de f = B de Sa(πB)=0.
   






B
B
B
Sa
sin
 0
   0


B
Sa 

 
B

1

B

Ejemplo: Ancho de banda de cruce de cero para el pulso rectangular
• Si graficamos el espectro verá que la definición excluye
arbitrariamente otros componentes de frecuencia
X(f)
f
• Notar que para juzgar si esta definición es o no
adecuada hay que conocer más sobre el uso que se
le estará dando a la señal.
Esto es: si excluir los componentes por encima de B
afecta significativamente el proceso de comunicar el
mensaje o información.

1

B
At

1

1


2

3
Es posible demostrar que para
una definición de ancho de banda
y una forma de onda de pulso
existe una relación inversa entre
la duración del pulso y el ancho
de banda que ocupa su espectro.

k
B 
B = ancho de banda
 = duración del pulso
k = constante de proporcionalidad

• Existen otras definiciones que
tienden a ser particulares a una
aplicación.
• Por ejemplo: ancho de banda de
FCC:
ancho de banda definido según
las especificaciones de la Federal
Communications Commission.
Depende de la reglamentación.
|H(f)|
f
B

Filtros
• Un filtro es un sistema que permite suprimir componentes de
frecuencia que se encuentran en determinada banda o bandas de
frecuencia.
• El objetivo es dejar pasar solo ciertos componentes de frecuencia y remover
otros.
• Los componentes a remover pueden pertenecer a la misma señal o a
otra señal ajena.
• Importante: La remoción de componentes es deliberada, no
accidental.

Filtros
Por ejemplo, si se desea remover del siguiente espectro, las frecuencias superiores a
1 KHz, se pide que se especifiquen las características del filtro para cumplir el
objetivo.
|X(f)|
f
1 kHz 2 kHz 2.5 kHz
Filtro
x(t)=x1(t) + x2(t)
r(t) = x1(t)

Filtros
objetivo.
• Un posible H(f) es H1(f)
• Otras opciones son H2(f) y H3(f)
|X(f)|
f
1 kHz 2 kHz
2.5 kHz
H1(f)
H2(f)
H3(f)
Cualquiera de estas
opciones cumple con lo
especificado.

Filtros
objetivo.
Si escogemos a H1(f) entonces:
• banda de paso: 0 a 1kHz
• banda de rechazo de 1 kHz a infinito.
|X(f)|
f
1 kHz 2 kHz 2.5 kHz
H1(f)
banda de paso banda de rechazo
Este tipo de filtro es un filtro
pasa bajos.
– deja pasar solo las frecuencias
bajas.

Filtros
Comentarios:
• El filtro queda especificado por sus bandas de paso y sus bandas de rechazo.
• Note que el filtro solo puede eliminar componentes de frecuencia que no
coincidan con la señal que se desea dejar pasar.
No es posible eliminar esto.
|X(f)|
f

Filtros ideales
• Son sistemas que:
• deja pasar sin modificación a todos los componentes de frecuencia que se
encuentren en su banda de paso.
• rechaza o elimina por completo todos los componentes de frecuencia que se
encuentren en las bandas de rechazo.

Filtro ideal pasa bajos (“Low Pass Filter”)
|H(f)|
f
0
1
fc
Banda de paso
Banda de rechazo
Se asume que la respuesta de fase es lineal.
 
c
c
ft
j
f
f
para
f
f
para
e
f
H
o








0
0
1 2
Frecuencia de corte
LPF

Filtro ideal pasa altos (“High Pass Filter”)
|H(f)|
f
0
1
fc
Banda de paso
Banda de rechazo
Frecuencia de corte
 
c
c
ft
j
f
f
para
f
f
para
e
f
H
o








0
0
1 2
HPF

Filtro pasa banda ideal (“Band Pass Filter”)
|H(f)|
f
0
1
fc1
Banda de paso
Banda de rechazo
Frecuencia de corte baja
 
2
1
2
1
2
0
0
1
c
c
c
c
ft
j
f
f
para
y
f
f
para
f
f
f
para
e
f
H
o









 
fc2
Frecuencia de corte alta
Banda de rechazo
BPF

Filtro ideal rechaza banda (“Band Reject Filter”)
|H(f)|
f
0
1
fc1
Banda de paso
Frecuencia de corte baja
 
2
1
2
1
2
0
0
1
c
c
c
c
ft
j
f
f
f
para
f
f
para
y
f
f
para
e
f
H
o









 
fc2
Frecuencia de corte alta
Banda de rechazo
Banda de paso
BRF

Representación esquemática de los filtros
LPF
x(t) y(t)
HPF
x(t) y(t)
BPF
x(t) y(t)
BRF
x(t) y(t)
Pasa bajos
x(t) y(t) x(t) y(t)
Pasa banda
x(t) y(t)
Pasa altos
x(t) y(t)
Rechaza banda

El filtro ideal no es físicamente realizable
• En la lección anterior se demostró que la respuesta a impulso del filtro pasa baja
ideal es no causal.
• Lo mismo puede demostrarse para los otros tres filtros.
• Por lo tanto los filtros ideales no son físicamente realizables.
• Lo mejor que podemos hacer es buscar aproximaciones que tengan respuesta a
impulso causal.
Advertencia:
El hecho que un filtro sea causal no garantiza que exista un circuito capaz de
implantarlo.
– En algunos casos tenemos que hacer aproximaciones adicionales.

Aproximaciones causales
Las aproximaciones se caracterizan
por:
• Tres bandas: paso, transición y rechazo
• Banda de paso no es plana. Se tolera
variación.
• Banda de transición deja pasar parte de
los componentes de señal que deseamos
eliminar.
• Banda de rechazo tiene atenuación finita
(no puede ser cero transmisión). Se
tolera variación.
• Si la señal no deseada es fuerte, la
banda de rechazo puede no ofrecer
atenuación suficiente como para
considerarla eliminada.
|H(f)|
f
0
1
fc
paso rechazo
transición

Filtro de Butterworth
• Se caracteriza por:
• Banda de paso más plana posible.
• Pero para lograr esto:
• La banda de transición es amplia.
• La atenuación en la banda de
rechazo aumenta lentamente en
función de f.
1
|H(f)|
f
0 fc
  n
c
f
f
f
H
2
1
1








n = número de polos
paso
rechazo
transición

Filtro de Chebyschev
• Se caracteriza por:
• Banda de transición más angosta posible.
• Pero para lograr esto:
• Hay rizado en la banda de paso.
• La atenuación en la banda de rechazo
aumenta lentamente en función de f.
)
f
(
C
)
f
(
H
n
2
1
1



n = número de polos
 = factor de rizado
Cn = polinomio de Chebyschev
1
|H(f)|
f
0 fc
paso
rechazo
transición

Dejar pasar esto
Aplicaciones de filtros
• Una situación que encontramos en instrumentación electrónica es la inducción
de una señal de 60 Hz en las líneas o cables por los cuales medimos a las señales
deseadas. Debemos eliminar la interferencia.
• ¿Qué tipo de filtro se requiere?
|X(f)+N(f)|
f
0 60 Hz
señal deseada
interferencia
HPF
fc<60Hz
x(t) + n(t) x(t)
Eliminar una señal

Seleccionar un canal de radio
• En sistemas de comunicación se divide una banda de frecuencia en parcelas más
pequeñas llamadas canales. Para evitar interferencia cada fuente debe
transmitir en un canal diferente.
• ¿Qué tipo de filtro se requiere para seleccionar una de las transmisiones, por
ejemplo el canal 2?
Filtro pasa banda
canal 4
canal 3
canal 2
canal 1 canal 4
canal 3
canal 1
f
0
paso
rechazo
rechazo

Limitar el ancho de banda de una señal
• Existen situaciones donde es necesario asegurar que la señal no contenga
componentes de frecuencia por encima de cierto valor.
• Por ejemplo: limitar el contenido de frecuencia antes de un proceso de
muestreo (tema de la próxima lección).
• ¿Qué tipo de filtro se necesita?
Filtro pasa baja
f
0 fmax
no permitida
paso
rechazo

Separar el audio en tres vías
• El audio que sale de un amplificador en la caja acústica los filtros
separan el audio en tres vías que alimentan a los altavoces de
frecuencias bajas (“woofer”), las frecuencias medias (“ squawker”) y
las frecuencias altas (“tweeter”).
• ¿Qué tipo de filtros se necesitan?
HPF
BPF
LPF
x(t)
HPF
BPF
LPF f
0
squawker
woofer
tweeter

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