Вводим понятие триангуляций. Доказываем, что триангуляции трёхсвязны. Доказываем критерий Татта о том, когда множество образует границу грани в трёхсвязном планарном графе. Доказываем теорему Вагнера—Фари о том, что у любого планарного графа существует укладка, в которой рёбра — отрезки прямых линий. [Слайды курса, прочитанного в МФТИ в 2013 году.]

1. Основы теории графов
осень 2013
Александр Дайняк
www.dainiak.com

2. Укладки графов
Укладкой графа на поверхности называется сопоставление
• вершинам графа — точек поверхности
• рёбрам графа — гладких кривых без самопересечений
так, чтобы кривые, соответствующие рёбрам, не пересекались
(за исключением, быть может, своих концов).
По умолчанию в качестве поверхности рассматривается плоскость.

3. Стягивание рёбер
• Граф 퐺 является стягиваемым к графу 퐺′, если 퐺′ можно
получить из 퐺, применив некоторое количество раз операцию
стягивания ребра
• Если граф 퐺 планарен, то и граф 퐺′ планарен:

4. Стягивание рёбер
• Граф 퐺 является стягиваемым к графу 퐺′, если вершины графа 퐺
можно разбить на связные множества, каждое из которых
соответствует одной вершине графа 퐺′, и при этом 푢, 푣 ∈ 퐸 퐺′ ,
если между соответствующими множествами в 퐺 есть ребро.

5. Миноры
• Граф 퐻 является минором графа 퐺, если в 퐺 есть подграф 퐻′,
который можно стянуть к 퐻
퐻 퐻′ 퐺
• Критерий Вагнера. Граф планарен тогда и только тогда,
когда 퐾5 и 퐾3,3 не являются его минорами.

6. Триангуляции
Триангуляция — это граф, в укладке которого каждая грань
ограничена треугольником (в «графовом», а не геометрическом
смысле).

7. Триангуляции
Утверждение.
Если в планарном графе минимальная длина циклов равна 푡, то
#рёбер ≤
푡
푡 − 2
⋅ #вершин − 2
Следствие.
В любом планарном графе на 푛 (푛 ≥ 3) вершинах число рёбер
не превосходит 3푛 − 6

8. Триангуляции
Утверждение.
Если в планарном графе на 푛 вершинах менее 3푛 − 6 рёбер, то
в граф можно добавить ребро, так, чтобы он остался планарным.
Доказательство.
Если в графе менее 3푛 − 6 рёбер, то в его укладке есть грань,
граница которой не является треугольником.
В этой грани можно провести новое ребро.

9. Триангуляции
Утверждение.
Если в планарном графе на 푛 вершинах менее 3푛 − 6 рёбер,
то в граф можно добавить ребро, так, чтобы он остался планарным.
Утверждение.
В любой триангуляции на 푛 вершинах ровно 3푛 − 6 рёбер.
Утверждение.
Любой планарный граф является подграфом некоторой
триангуляции.

10. Триангуляции трёхсвязны
Утверждение.
Любая триангуляция (на более чем трёх вершинах) трёхсвязна.
Доказательство.
Пусть 퐺 — триангуляция.
Предположим, что граф 퐺 не трёхсвязен, и придём к
противоречию.

11. Триангуляции трёхсвязны
Если 퐺 не двухсвязен, то в 퐺 есть концевой блок 퐵, имеющий
с остальной частью 퐺′ графа 퐺 единственную общую точку
сочленения 푣. Рассмотрим укладку 퐺, в которой 푣 лежит
на внешней грани.
У 퐵 и 퐺′ есть соответственно вершины 푥 и 푦 (푥, 푦 ≠ 푣) на внешней
грани. При этом 푥푦 ∉ 퐸 퐺 , но можно добавить ребро 푥푦
в укладку.
Это противоречит тому, что триангуляция является максимальным
планарным графом.
퐺′
푣 푥
퐵
푦

12. Триангуляции трёхсвязны
Итак, 퐺 двухсвязен.
Если 퐺 не трёхсвязен, то можно выделить подграф 퐺′, который
имеет с остальной частью 퐺′′ графа 퐺 только две общие вершины
푢, 푣.
푢
푣
퐺′
퐺′′

13. Триангуляции трёхсвязны
Пусть 푤 — произвольная вершина 퐺′, отличная от 푢, 푣.
В двусвязном графе 퐺 есть путь из 푢 в 푣, проходящий через 푤.
Очевидно, этот путь целиком лежит в 퐺′.
푢
푣
퐺′
퐺′′
푤

14. Триангуляции трёхсвязны
В 퐺′ есть путь из 푢 в 푣. Следовательно, граф 퐺′′ + 푢푣 является
минором 퐺.
Аналогично, 퐺′ + 푢푣 является минором 퐺.
Т.к. 퐺 планарен, то графы 퐺′ + 푢푣 и 퐺′′ + 푢푣 планарны.
푢
푣
퐺′
퐺′′

15. Триангуляции трёхсвязны
Возьмём укладки графов 퐺′ + 푢푣 и 퐺′′ + 푢푣 , в которых ребро
푢푣 лежит на границе внешней грани. Из них можно построить
укладку 퐺, в которой на внешней грани есть пара вершин 푥 и 푦,
отличных от 푢, 푣, и не соединённых ребром. Это противоречит
тому, что 퐺 — триангуляция.
푢
푣
퐺′
퐺′′
푦
푥

16. Укладки двусвязных графов
Утверждение.
В любой укладке двусвязного графа граница каждой грани является
простым циклом.
Доказательство:
Если бы граница грани содержала точку сочленения, то она была
бы точкой сочленения и во всём графе.
Значит, граница грани двусвязна. Осталось заметить, что любой
двусвязный граф, не содержащий 휃-подграфа, суть простой цикл.

17. Укладки трёхсвязных графов
Теорема. (Tutte ’1963)
В укладке трёхсвязного планарного графа 퐺 подграф 퐵 образует
границу грани т. и т.т., когда выполнены два условия:
• 퐵 является порождённым простым циклом в 퐺 (то есть у 퐵 нет
«хорд» в 퐺),
• граф 퐺 − 퐵 связен.

18. Укладки трёхсвязных графов
Доказательство:
Зафиксируем произвольную плоскую укладку трёхсвязного графа 퐺.
Пусть 퐶 — цикл, не являющийся границей грани. Тогда есть непустые
множества рёбер внутри 퐶 и снаружи 퐶.
Получаем, что либо у 퐶 есть хорда, либо найдутся какие-то вершины
푢 и 푣 внутри и снаружи 퐶 соответственно. Любой путь из 푢 в 푣
пересекает 퐶, а значит граф 퐺 − 퐶 не будет связным.

19. Укладки трёхсвязных графов
Пусть 퐵 — цикл, являющийся границей грани.
Можно считать, что 퐵 — граница внешней грани укладки 퐺.
Если у 퐵 есть хорда 푥푦, то граф 퐺 − 푥, 푦 несвязен —
противоречие с трёхсвязностью 퐺:
푥
푦

20. Укладки трёхсвязных графов
Итак, у 퐵 нет хорд. Осталось доказать связность графа 퐺 − 퐵 .
Допустим противное. Тогда существуют 푢, 푣 ∈ 푉 퐺 − 퐶 , такие, что
любой путь из 푢 в 푣 имеет с 퐵 общую вершину.
Так как 퐺 трёхсвязен, то найдутся пути 푃1, 푃2, 푃3 между 푢 и 푣 без
общих внутренних вершин. Пусть 푥푖 — любая из общих вершин
пути 푃푖 и цикла 퐵.

21. Укладки трёхсвязных графов
Получаем, что в 퐺 есть не пересекающиеся по внутренним
вершинам пути из 푢, 푣 в каждую из вершин 푥1, 푥2, 푥3. Возьмём
точку вне 퐵 и соединим её с 푥1, 푥2, 푥3.
푢
푣
푥1
푥2
푥3
Получили укладку графа, гомеоморфного 퐾3,3 —
противоречие. Теорема Татта доказана.

22. Укладки трёхсвязных графов
Две укладки одного графа называются эквивалентными, если в
них наборы рёбер, ограничивающих грани, совпадают:
эквивалентны неэквивалентны

23. Укладки трёхсвязных графов
Из доказанной теоремы Татта сразу следует
Теорема. (Whitney ’1933)
Укладка любого трёхсвязного планарного графа единственна с
точностью до эквивалентности.
Следствие из теоремы Уитни.
Во всех укладках одной и той же триангуляции тройки рёбер,
ограничивающих грани, совпадают.

24. Теорема Вагнера—Фари
Укладка графа называется прямолинейной, если каждое ребро
графа в этой укладке изображено отрезком прямой.
Теорема (Wagner’1936, Fáry’1948).
У любого планарного графа существует прямолинейная укладка на
плоскости.
Для доказательства теоремы нам потребуются три леммы…

25. Лемма о вершинах степени ≤ 5
Лемма о четырёх вершинах степени ≤ 5.
В любой триангуляции (в которой не менее четырёх вершин)
найдутся четыре вершины, степень каждой из которых
не превосходит 5.
Доказательство.
Пусть в графе 푛 вершин. Имеем
푣∈푉
6 − 푑 푣 = 6푛 − 2 퐸 = 6푛 − 2 3푛 − 6 = 12.
Так как 6 − 푑 푣 ≤ 3, то в сумме выше по крайней мере 4
положительных слагаемых.

26. Лемма о триангулировании
многоугольника
Лемма о триангулировании многоугольника.
Любой многоугольник можно разбить диагоналями
на треугольники.
Доказательство.
Достаточно указать, как провести хотя бы одну диагональ.
Рассмотрим произвольную тройку 퐴, 퐵, 퐶 последовательных
вершин многоугольника.
Если можно провести диагональ 퐴퐶, то это и сделаем, а если
нельзя, то поступим так…

27. Лемма о триангулировании
многоугольника
Будем вращать луч 퐵퐴 в направлении стороны 퐵퐶 до тех пор,
пока на него не попадёт какая-либо вершина многоугольника 퐷
(если таких вершин несколько, возьмём ближайшую к 퐵).
Отрезок 퐵퐷 и будет искомой диагональю.
퐴
퐵
퐶
퐷

28. Лемма об обзоре пятиугольника
Лемма об обзоре пятиугольника.
Внутри любого пятиугольника найдётся точка, такая, что отрезки,
соединяющие её с вершинами пятиугольника, полностью лежат
внутри него.
(То же утверждение справедливо и для четырёхугольника)

29. Лемма об обзоре пятиугольника
Доказательство.
Пятиугольник, по предыдущей лемме, можно разбить на
треугольники.
По принципу Дирихле, найдётся вершина пятиугольника,
принадлежащая всем трём треугольникам.
Рядом с этой вершиной
можно взять искомую точку.

30. Теорема Вагнера—Фари
Доказательство теоремы. Индукцией по 푛 докажем более
сильное утверждение:
«Пусть 푎, 푏, 푐 — вершины какой-нибудь грани в некоторой укладке
триангуляции на 푛 вершинах. Тогда существует прямолинейная
укладка той же триангуляции, в которой вершины 푎, 푏, 푐 лежат на
границе внешней грани.»

31. Теорема Вагнера—Фари
База 푛 = 3 очевидна.
Пусть 푛 ≥ 4 и 퐺 — триангуляция, 퐺 = 푛. Пусть 푎, 푏, 푐 —
произвольные вершины какой-нибудь грани в одной из укладок 퐺.
В 퐺 найдётся вершина 푣, такая, что 푑 푣 ≤ 5 и 푣 ∉ 푎, 푏, 푐 .
푎
푏
푐 푣

32. Теорема Вагнера—Фари
Пусть 퐺′ — триангуляция, полученная из 퐺 удалением 푣 и
добавлением рёбер между бывшими соседями 푣.
푎
푏
푐

33. Теорема Вагнера—Фари
Т.к. 퐺′ = 푛 − 1, то по предположению индукции, найдётся
прямолинейная укладка 퐺′, в которой вершины 푎, 푏, 푐 лежат
на границе внешней грани (а значит, добавленные при построении
퐺′ рёбра не лежат на границе внешней грани).
푎
푏 푐

34. Теорема Вагнера—Фари
Удалим добавленные при построении 퐺′ рёбра из укладки. В
образовавшуюся при этом грань можно добавить вершину 푣 по
лемме об обзоре пятиугольника.
Получим искомую прямолинейную укладку 퐺.
푎
푏 푐

35. Теорема Татта
Теорема. (Tutte ’1963)
У любого трёхсвязного планарного графа существует такая
прямолинейная укладка на плоскости, в которой каждая грань
ограничена выпуклым многоугольником.
Теорема называется ещё «теоремой о пружинках/резинках» из-за
того, как укладка в этой теореме может быть получена.

36. Теорема Татта
Пусть Γ — множество вершин трёхсвязного графа, составляющих
границу одной из граней в какой-нибудь укладке.
Тогда укладку Татта можно получить, если закрепить вершины
множества Γ в вершинах произвольного выпуклого
многоугольника, и представить, что рёбра графа стремятся
стянуться, как резинки. Полученная при стабилизации такой
физической системы картинка и будет искомой укладкой.

37. Представления планарных графов
Теорема (Chalopin, Gonçalves ’2009).
Любой планарный граф может быть представлен следующим
образом: вершинам графа соответствуют отрезки на плоскости,
рёбрам — пары пересекающихся отрезков:
1
2
4
3
5 1
2
3
4
5

38. Представления планарных графов
Теорема (Koebe ’1936).
Любой планарный граф может быть представлен следующим
образом: вершинам графа соответствуют круги на плоскости,
рёбрам — пары касающихся кругов:
1
2
4
3
5
2
1
3
4
5

39. Минорно-замкнутые классы
Класс графов минорно-замкнутый или минорно-наследственный,
если вместе с каждым графом содержит все его миноры.
Примеры:
• Класс графов, укладываемых на заданной поверхности
• Класс графов, не содержащих простые циклы, длина которых
больше заданной

40. Минорно-замкнутые классы
Класс планарных графов, благодаря теореме Вагнера, может быть
описан в терминах запрещённых миноров: граф планарен т. и т.т.,
когда среди его миноров нет 퐾5 и 퐾3,3.
Класс графов, не содержащих простые циклы длины более 푙,
описывается ещё проще: граф принадлежит классу т. и т.т., когда
цикл на 푙 + 1 вершинах не является минором графа.

41. Минорно-замкнутые классы
А можно ли описать класс графов, укладываемых на торе, в
терминах запрещённых миноров? —Да, можно!
Теорема. (Seymour, Robertson ’2004)
Любой минорно-замкнутый класс графов может быть описан
конечным множеством запрещённых миноров.
(Доказательство — больше сотни страниц.)

42. Минорно-замкнутые классы
Теорема.
Для любого фиксированного графа 퐻 существует алгоритм,
который по входному графу 퐺 за время 푂 퐺 3 проверяет,
является ли 퐻 его минором.
Следствие.
Для любого минорно-замкнутого класса графов задача
распознавания принадлежности этому классу является
полиномиально разрешимой.

43. Минорно-замкнутые классы
Следствие.
Для любой фиксированной поверхности Π существует
полиномиальный алгоритм, распознающий по входному графу,
можно ли уложить его на Π без пересечений ребёр.
Не стоит обольщаться:
Константа в 푂 в оценке сложности алгоритма астрономически
большая.

44. Минорно-замкнутые классы
Не стоит обольщаться:
Множество запрещённых миноров для класса графов,
укладываемых на торе, содержит более 16000 элементов.
В то же время,
для проверки планарности, «тороидальности» и некоторых других
«укладываемостей» известны алгоритмы, линейные по времени.

45. Характеристики
непланарных графов
• Число скрещиваний графа — минимальное число пересечений
рёбер графа при укладке на плоскости
• Толщина графа — минимальное число планарных подграфов, на
которые можно разбить граф
• Род графа — минимальный род поверхности, на которую можно
уложить граф без пересечений рёбер
• Искажённость — наименьшее число рёбер, удаление которых
делает граф планарным