1. ESTUDIO GENERAL DEL MOVIMIENTO
Posición, trayectoria, desplazamiento, distancia y espacio
La posición de un objeto es el punto donde se encuentra el objeto en relación con un sistema de
referencia dado.
El vector de posición de un punto P, de coordenadas x, y, z, es el vector que une al origen del
sistema de referencia con el punto P. Se representa con la letra r .
r xi yj zk
La trayectoria de un objeto es la sucesión de puntos del espacio por los que pasa el objeto a
medida que transcurre el tiempo.
El desplazamiento de un objeto es la diferencia de posiciones que ocupa el objeto entre dos
instantes dados:
desplazamiento = posición final – posición inicial
El desplazamiento es positivo si la posición final es mayor que la inicial y negativo en caso
contrario.
El desplazamiento de un objeto que inicialmente se encuentra en el punto A (de coordenadas x 0,
y0, z0) y pasa al punto B (de coordenadas x, y, z) es r
r = r r0 =
=(x i + y j + z k )-(x0 i + y0 j + z0 k )=
(x – x0) i + (y – y0) j + (z – z0) k
r0 + r =r
r = r – r0
La distancia entre dos puntos es el valor absoluto del desplazamiento:
distancia = desplazamiento = posición final – posición inicial

2. d= r = r r 0 = (x – x0) i + (y – y0) j + (z – z0) k =
2 2
x x0 y y0 (z z0 ) 2
Supóngase que la trayectoria recorrida por el objeto se divide en varios tramos (de forma que en
cada tramo el sentido en que se desplaza dicho objeto no varía).
- En un movimiento rectilíneo, el espacio recorrido por el objeto es igual a la suma de las
distancias recorridas por el objeto en cada tramo rectilíneo.
- En un movimiento cualquiera el espacio recorrido por el móvil es igual a la suma de las
longitudes recorridas en cada tramo.
Concepto de movimiento
Se dice que un cuerpo A se encuentra en movimiento relativo con respecto a otro B, cuando la
posición de A cambia con respecto a la posición de B a medida que transcurre el tiempo. En
caso contrario, se dice que A se halla en reposo relativo con respecto a B. El objeto que se
mueve recibe el nombre de móvil.
La mecánica y sus partes: estática, cinemática y dinámica
La mecánica es la parte de la física que estudia el movimiento. Se divide en tres partes:
La estática: Estudia los cuerpos en equilibrio.
La cinemática: Estudia los movimientos sin tener en cuenta las causas que los producen.
La dinámica: Estudia los movimientos teniendo en cuenta las causas que los producen.
Movimientos rectilíneos
El movimiento de un cuerpo es rectilíneo cuando su trayectoria es una recta.
A. Velocidad media. Velocidad instantánea. Movimiento uniforme
La velocidad media de un movimiento rectilíneo, vm, se define mediante la siguiente expresión:
x x0 x
vm
t t0 t
siendo x la posición del móvil en el instante t, x0 la posición del móvil en el instante t 0,
x = (x-x0) es el desplazamiento y t = t-t0 es el intervalo de tiempo considerado.
Las unidades de la velocidad son m/s.
La velocidad instantánea es la velocidad del móvil en cada instante.
La velocidad instantánea se obtiene tomado el límite de la velocidad media cuando t tiende a
cero:
x dx
v lim v
t 0
m lim
t 0 t dt
Un movimiento es uniforme cuando la velocidad es constante. En un movimiento uniforme el
móvil recorre espacios iguales en tiempos iguales. La velocidad instantánea de un movimiento
rectilíneo y uniforme es igual a su velocidad media:
x x0
v vm
t t0
despejando x – x0 se obtiene
x – x0 = v(t-t0)
despejando x se obtiene:
x = x0 + v(t-t0)

3. B. Aceleración media. Aceleración instantánea. Movimientos uniformemente
variados (acelerados y retardados)
La aceleración media de un móvil en un movimiento rectilíneo, a m, se define mediante la
siguiente expresión:
v v0 v
am
t t0 t
siendo v la velocidad del móvil en el instante t, v0 la velocidad del móvil en el instante t0.
m
m
Las unidades de la aceleración son s
s s2
Si la velocidad del móvil es constante (es decir no cambia con el tiempo) su aceleración es cero.
Los movimientos con aceleración constante se llaman movimientos uniformemente variados. En
los movimientos uniformemente variados la velocidad varía cantidades iguales en tiempos
iguales. Estos movimientos pueden ser de dos tipos:
Acelerados: aquellos en los que el valor absoluto de la velocidad aumenta con el
tiempo.
Retardados: aquellos en los que el valor absoluto de la velocidad disminuye con el
tiempo.
La relación entre la velocidad y la aceleración en un movimiento rectilíneo queda reflejada en la
siguiente figura:
A. Movimiento acelerado B. Movimiento retardado
La aceleración instantánea es la aceleración del móvil en cada instante.
La aceleración instantánea se obtiene tomado el límite de la aceleración media cuando t tiende
a cero:
v dv
a lim a
t 0
m lim
t 0 t dt
La aceleración instantánea de un movimiento uniformemente variado es igual a la aceleración
media:
v v0
a am
t t0
despejando v – v0 se obtiene
v – v0 = a(t-t0)
despejando v se obtiene:
v = v0 + a(t-t0)
Dos expresiones muy utilizadas en el estudio de los movimientos uniformemente variados son:
x = x0 + v0 (t - t0) + ½ a (t –t0)2
v2 = v02 + 2a (x – x0)

4. Movimiento curvilíneo
El movimiento de un cuerpo es curvilíneo cuando su trayectoria es una curva.
A. Velocidad media. Velocidad instantánea
La velocidad media de un movimiento curvilíneo, v m , se define a través de la siguiente
expresión:
r r0 r
vm
t t0 t
siendo r el vector de posición del móvil en el instante t:
r xi yj zk
y r 0 el vector de posición del móvil en el instante t0 :
r0 x0 i y0 j z0 k
Por tanto:
( xi yj
z k ) ( x0 i y0 j z 0 k ) ( x x0 )i ( y y 0 ) j ( z z 0 )k x y z
vm i j k
t t0 t t0 t t t
La velocidad instantánea se obtiene tomado el límite de la velocidad media cuando t
tiende a cero:
r dr
v lim v
t 0
m lim
t 0 t dt
De esta expresión se deduce que la velocidad instantánea es tangente a la trayectoria.
Pero como: r xi yj zk
entonces:
dr dx dy dz
v i j k vx i v y j vz k
dt dt dt dt
El módulo del vector velocidad se llama celeridad y vale:
2 2 2
v vx vy vz
La velocidad también se puede expresar como:
v vu T
B. Componentes radial y tangencial de la velocidad
La velocidad se ha definido mediante la expresión:
dr
v
dt
pero el vector de posición se puede expresar del siguiente modo:
r rur
Por tanto:
d (r u r ) dr dur dr d
v ur r ur r uT
dt dt dt dt dt

5. C. Aceleración media. Aceleración instantánea
La aceleración media de un móvil en un movimiento curvilíneo, , se define mediante
la siguiente expresión:
=
Siendo la velocidad del móvil en el instante t:
y la velocidad del móvil en el instante t 0:
Por tanto:
La aceleración instantánea se obtiene tomando el límite de la aceleración media cuando
t tiende hacia cero:
En un movimiento curvilíneo la velocidad cambia de dirección constantemente con el
tiempo, por eso en dicho tipo de movimiento siempre hay aceleración.
La aceleración es un vector que tiene la misma dirección que el cambio instantáneo de
la velocidad. Como la velocidad cambia en la dirección en la que la trayectoria se curva,
la aceleración está siempre apuntando hacia la concavidad de la curva.

6. Como:
entonces:
y el módulo de la aceleración es:
D. Componentes normal y tangencial de la aceleración
El vector se puede expresar como:
a entonces:
La aceleración se puede descomponer en dos términos, llamados componentes
intrínsecas de la aceleración:
La aceleración tangencial dada por:
La aceleración normal dada por:
La aceleración tangencial es tangente a la trayectoria y está relacionada con la variación del
módulo de la velocidad. Si el movimiento es uniforme entonces v es constante y la aceleración
tangencial es nula.
La aceleración normal (o centrípeta) está asociada con el cambio de dirección de la velocidad.
Si el movimiento es rectilíneo la dirección de la velocidad no cambia y la aceleración normal es
cero.