Matematica 4

1. Instituto universitario Politécnico Santiago marino
Extensión edo-Tachira
CONVOLUCION Y
TRANSFORMADA DE
FOURIER

2. CONVOLUCION
El teorema de convolución establece que, bajo determinadas circunstancias, la
Transformada de Fourier de una convolucion es el producto punto a punto de las
transformadas. En otras palabras, la convolución en un dominio (por ejemplo el
dominio temporal) es equivalente al producto punto a punto en el otro dominio (es
decir dominio espectral).

3. La convolución de f y g se denota f *g . Se define como la integral del producto de ambas
funciones después de que una sea invertida y desplazada una distancia τ.
Para las funciones discretas se puede usar una forma discreta de la convolución.

4. TRANSFORMADA DE FOURIER
La transformada de Fourier es básicamente el espectro de frecuencias de una función. Un
buen ejemplo de eso es lo que hace el oído humano, ya que recibe una onda auditiva y la
transforma en una descomposición en distintas frecuencias (que es lo que finalmente se
escucha).
El oído humano va percibiendo distintas frecuencias a medida que pasa el tiempo, sin
embargo, la transformada de Fourier contiene todas las frecuencias del tiempo durante el
cual existió la señal; es decir, en la transformada de Fourier se obtiene un sólo espectro de
frecuencias para toda la función.

5. Sea f una función Lebesgue integrable:
La transformada de Fourier de f es la función
Esta integral tiene sentido, pues el integrando es una función integrable. Una estimativa
simple demuestra que la transformada de Fourier F(f) es una función acotada. Además
por medio del teorema de convergencia dominada puede demostrarse que F(f ) es
continua.
La transformada de Fourier inversa de una función integrable f está definida por:

6. Nótese que la única diferencia entre la transformada de Fourier y la transformada de Fourier
inversa es el signo negativo en el exponente del integrando. El teorema de inversión de
Fourier formulado abajo justifica el nombre de transformada de Fourier inversa dado a esta
transformada. El signo negativo en el exponente del integrado indica la traspolación de
complementos ya expuestos. Estos complementos pueden ser analizados a través de la
aplicación de la varianza para cada función.

7. TABLA DE TRANSFORMADAS