Distribucion bernoulli

UNIVERSIDAD TECNOLOGIA DE TORREON

DISTRIBUCION BERNOULLI
1. "Lanzar un dado y salir un 6". Cuando lanzamos un dado tenemos 6
posibles resultados:

Estamos realizando un único experimento (lanzar el dado una sola vez). Se
considera éxito sacar un 6, por tanto, la probabilidad según el teorema de
Laplace (casos favorables dividido entre casos posibles) será 1/6.

Se considera fracaso no sacar un 6, por tanto, se considera fracaso sacar
cualquier otro resultado.

ESTADÍSTICA Página 1


2. "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que salga cruz". Se
trata de un solo experimento, con dos resultados posibles: el éxito (p)
se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5. El fracaso (q) que saliera cara,
que vale (1 - p) = 1 - 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que salen en un
lanzamiento", y sólo existirán dos resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es
decir, salir cara) y 1 (una cruz).Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una
Bernoulli, ya que cumple todos los requisitos.



3. Hay que colocar a 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que
las
mujeres ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?

Ya que la fila es de 9 individuos en total, hay 4 posiciones pares (que
deben ser ocupadas por las 4 mujeres) y 5 posiciones impares (para los
5 hombres). Por lo tanto, pueden colocarse de P4 ¢ P5 = 4! ¢ 5! = 2880
maneras.



4. La variable aleatoria X medirá "número de veces que sale un 6", y
solo existen dos valores posibles, 0 (que no salga 6) y 1 (que salga un
6). Por tanto, la variable aleatoria X se distribuye como una Bernoulli
de parámetro = 1/6

La probabilidad de que obtengamos un 6 viene definida como la
probabilidad de que X sea igual a 1.

La probabilidad de que NO obtengamos un 6 viene definida como la
probabilidad de que X sea igual a 0.



5. ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras 0,1,. . . ,9
permitiendo repeticiones;
sin repeticiones;
si el último dígito ha de ser 0 y no se permiten repeticiones?

Asumamos que para que un número sea de 4 dígitos su primer dígito debe
ser distinto de cero.
1. Puesto que debe formarse un numero de 4 dígitos, el primero de
éstos no puede ser cero. Por lo tanto, hay nueve posibilidades para
el primer dígito y diez para cada uno de los tres dígitos restantes,
obteniéndose un total de 9 ¢ 103 = 9000 números posibles.
2. Al igual que en el apartado anterior, el primer dígito no puede ser cero.
Como además no se permiten repeticiones, hay nueve posibilidades
el segundo dígito: el cero y las ocho no escogidas para el primer dígito. Por
tanto, se pueden formar 92 ¢ 8 ¢ 7 = 4536 números.
3. Fijamos el último dígito y, como no puede haber repeticiones, se
obtiene un total de 9 ¢ 8 ¢ 7 ¢ 1 = 504 números.



DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se
responde declarando verdadero” o “falso”, el alumno sabe que,
históricamente, en el 75% de los casos la respuesta correcta es
“verdadero” y decide responder al examen tirando dos monedas, pone
“falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos
hay una cruz. Se desea saber qué probabilidad hay de que tenga al
menos 14 aciertos. Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de
la distribución y el punto k a partir del cual se calculará la probabilidad. En
este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.
Resultados con Epidat 3.1
Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas
Binomial (n,p)
n: Número de pruebas 20
p: Probabilidad de éxito 0,7500
Punto K 14
Probabilidad Pr[X=k] 0,1686
Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828
Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172
Media 15,0000
Varianza 3,7500
La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en
0,61.



2. Un examen consta de 10 preguntas a las cuales hay que responder si o
no. Suponiendo que als personas que se les aplica no saben contestar a
ninguna de las preguntas y , en consecuencia , contestan al azar, hallar :

a) Probabilidad de obtener cinco aciertos:



3. Calcula la probabilidad de que una familia que tiene 3 hijos, tre de ellos
sean niños.

P(x=3)=4*(0,5)3*(0,5)1*=0.25



4. La variable que representa el número del tema seleccionado para el
examen sigue una distribución uniforme con parámetros a=1 y b=50. La
persona aprueba el examen si le toca un tema del 1 al 35; por tanto, la
probabilidad que se pide es la cola a la izquierda de 35. Para obtener los
resultados en Epidat 3.1 basta con proporcionarle los parámetros de la
distribución, y seleccionar calcular probabilidades para el punto 35.
Uniforme discreta (a,b)
a : Mínimo 1
b : Máximo 50
Punto K 35
Media 25,5000
Varianza 208,2500
La persona tiene una probabilidad de aprobar igual a 0,7.



5. Un ejemplo de variable binomial puede ser el número de pacientes
ingresados en una unidad hospitalaria que desarrollan una infección
nosocomial.
Un caso particular se tiene cuando n=1, que da lugar a la distribución de
Bernoulli.
Valores:
x: 0, 1, 2, ..., n
Parámetros:
n: número de pruebas, n > 0 entero
p: probabilidad de éxito, 0 < p < 1



POISSON
1. El número de enfermos que solicitan atención de urgencia en un
hospital durante un periodo de 24 horas tiene una media de 43,2
pacientes. Se sabe que el servicio se colapsará si el número de
enfermos excede de 50. ¿Cuál es la probabilidad de que se colapse
el servicio de urgencias del hospital? Representar la función de
densidad de probabilidad. Para calcular la probabilidad pedida y,
además, representar la función de densidad de probabilidad hay
que marcar el cuadro situado en la parte inferior derecha de la
pantalla:
Obtener las funciones de distribución y densidad.
11
Poisson (lambda)
lambda : Media 43,2000
Punto K 50
Media 43,2000
Varianza 43,2000
La probabilidad de que el servicio colapse está cerca de 0,13.


2. En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la
probabilidad de que si tomamos 20 al azar 3 de ellos hablen ruso.

N=20

P=0.15

X=3

Lambda=3

P(X=3)=(e-3)(38)/3!=22404118


3.Se calcula que en la ciudad el 20% de las personas tienen defectos en la
vista si tomamos una muestra de 50 personas al azar ¿calcular la
probabilidad de que 10 de ellas tengan defectos en la vista?

N=50

P=0.2

Lambda=10 P(x=10)=(e-10)(1010))/10!=0.12511


4. El 8% de los registros contables de una empresa presentan algún
problema, si un auditor toma una muestra de 40 registros ¿ calcular la
probabilidad de que existan 5 registros con problemas?

N=40

P=0.08

Labmda=3.2

X=5

P(X=5)=(e-8.2)(3.25)/5!=0.1139793


5. La producción de televisores de SAMSUNG trae asociada una
probabilidad de defecto del 2%, si se toma una muestra o un lote de 85
televisores obtener la probabilidad de que 4 de los televisores con defecto.

N=85

P=0.02

Labmda=1.7

X=4

P(x=5)=(e-1.7)(1.74)/4!=0.0635756



DISTRIBUCIÓN NORMAL
1.-Los montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos en Down
River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de $70,000 y
una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de
préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

µ= $70,00
σ =$20,0 z

a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?
p(x ≥ 80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915

70000 80000
p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 μ

b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000?
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.6915
–
z =
0.4013
65000 70000 80000
p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 = 0.2902 μ

c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.
p(x ≥ 65,000)
Probabilidad
– acumulada.
z = 0.4013

p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987

65000 70000
μ



2.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de
14.0
µ = 80
σ = 14 z

a) Calcule la probabilidad de un
valor localizado entre 75.0 y 90.0
p (75 ≤ x ≤ 90)
Probabilidad
acumulada.
z = 0.7611

z = 0.3594

75 80 90
p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017 μ

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor.
p(x ≤ 75)
Probabilidad
acumulada.
z 0.3594

p(x ≤ 75) = 0.3594

75 80
μ
c) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 55.0 y 70.0
p (55 ≤ x ≤ 70)
Probabilidad
acumulada.
z = 0.2389

z = 0.0367

p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367=
0.2022

55 70 80
μ



3.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia,
tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación
estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario
de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las
existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?

µ = 1,200
σ = 225

Probabilidad
acumulada. z 5% ó 0.0500
5% = .0500

X=
1,571.25

1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65
–
1.65
z

x = 1,571.25



4.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad
privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de
los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y
que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de
universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad?

µ = 20,082
σ = 4,500 z

Probabilidad Valor
acumulada. de z

95% = .9500 =

X=
27,462
75

95% ó 0.9500

z –
1.64

x = 27,462.



4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond, Virginia,
tiene una distribución normal, con una media de $1,200 y una desviación
estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecer niveles de inventario
de manera que solo haya 5% de probabilidad de que se agoten las
existencias. ¿Dónde se deben establecer los niveles de inventario?

µ = 1,200
σ = 225

Probabilidad z
Acumulada

5% = .0500

1 - 0.0500 = 0.9500
Valor z = 1.65

–
z 1.65

5% ó 0.0500
x = 1,571.25
X=
1,571.2
5



DISTRIBUCIÓN GAMMA
1. Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes
que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un
hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y
p=7,81, calcúlese:
El tiempo medio de supervivencia.
Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es
menor que 0,1.

Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)

a : Escala 0,8100

p : Forma 7,8100


Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000

Punto X 14,2429

Media 9,6420

Varianza 11,9037

Moda 8,4074

El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años .



2. El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue
una distribución de media 3 pacientes por hora. Calcular la
probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada
del segundo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre
hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6,
2).


Gamma (a, p)

a : Escala 6,0000

p : Forma 2,0000

Punto X 1,0000

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826

Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174

Media 0,3333

Varianza 0,0556

Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el
segundo paciente es 0,98.



3. El tiempo de reparación, en horas, de una pieza es una g (0.5 , 2). El
precio de venta de la misma es de 5 mil euros y el de fabricación de
mil euros. ¿A cuanto debemos cobrar la hora de reparación para
obtener un beneficio medio de 3 mil euros?

Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio medio, E(B), sea 3.

El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K* E(X) = 4 - K* (2 / 0.5) lo
igualamos a 3, de donde se deduce que K=1/4, es decir 250 euros, para
obtener un beneficio de 3 mil euros.



4. En una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del
segundo
paciente”).
Campo de variación:
0<x<
Parámetros:
a: parámetro de escala, a > 0
p: parámetro de forma, p > 0


5. Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos
ciclos de esfuerzo. Si estos ciclos ocurren de manera independiente
a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas. Obtener la
probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que
ocurre el segundo ciclo.

Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.

A más de dos desviaciones por encima de la media.

X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo,
en horas.
X=numero de ciclos/100 horas
Y=numero de ciclos/hora
X˜(2,02)



T- STUDENT
1. La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica tienen media
μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en
una muestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea
inferior a 20.5 mm:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de
libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea
inferior a 20.5 mm es del 99.02%



2. La distribución t de Student se aproxima a la normal a medida que
aumentan los grados de libertad.
Calcular, para una distribución N(0,1), el punto que deja a la
derecha una cola de probabilidad 0,05.

Normal (Mu,Sigma)
Mu : Media 0,0000
Sigma : Desviación estándar 1,0000
Dos Colas 1-Pr[|X|<=k] 0,1000
Punto X 1,6449
Media 0,0000
Varianza 1,0000

En el segundo apartado se ejecutará dos veces Epidat 3.1: la primera vez
con una distribución t de Student con 10 grados de libertad y la segunda
vez con 500 grados de libertad.



3. Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes
casos:

En una distribución t-Student con 3 grados de libertad.

w0=95 es aquel número real que verifica:

S [W · w0=95] = 0=95

w0=95, en una t-Student con 3 grados de libertad será el valor:

w0=95 = 2=3534

Si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera
columna, llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos
verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad
acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Student para colas
probabilísticas que van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil
w0=25, tendremos que realizar la siguiente consideración:

S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

La distribución t-Student es simétrica, se verifica:

w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649



4. Calcular, para una distribución t de Student, la probabilidad de que la
variable tome un valor a la derecha de ese punto. Tomar como grados de
libertad sucesivamente n= 10 y n= 500. Para el primer apartado hay que
seleccionar en la lista de distribuciones la normal de parámetros Mu=0 y
Sigma=1.


t de Student (n)
n : Grados de libertad 10
Punto X 1,6449


t de Student (n)
n : Grados de libertad 500
Punto X 1,6449



5. Un banco local revisa su política de tarjetas de crédito, con el objetivo
de cancelar algunas de ellas. En el pasado, el 5% de los clientes con tarjeta
ha pasado a ser moroso, esto es ha dejado de pagar sin que el banco
pudiera recuperar la deuda. Además, el banco ha comprobado que la
probabilidad de que un cliente normal se atrase en un pago es de 0.2.
Naturalmente, la probabilidad de que un cliente moroso se atrase en un
pago es 1.
Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.

Para un cliente cualquiera decimos que ha sucedido el suceso:
M_ cuando el cliente es moroso,
A _ cuando el cliente se ha atrasado en un pago mensual.
Los conjuntos de sucesos {M, ¯ M} y {A, ¯ A} son dos sistemas completos de
sucesos. A continuación reescribimos
los datos que nos proporciona el enunciado en términos de
probabilidades.
P(M) = 0.05,
P(A| ¯M) = 0.2, P(A|M) = 1.


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