El documento describe los conceptos fundamentales del plano cartesiano, incluyendo las coordenadas cartesianas y su uso para representar puntos en un plano. También explica cómo se pueden trazar diferentes curvas como circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas utilizando el sistema de coordenadas cartesianas.

1. Colina L., Alejandra J.
Sección: AD0101
C.I.: 29.654.564
Profesora: Albanis Nue

2. Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema
cartesiano, a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y
otra vertical, que se cortan en un punto llamado origen o punto cero.
Del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto en el
plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
Plano Numérico:
La finalidad:
para analizar matemáticamente figuras geométricas
como la parábola, la hipérbole, la línea, la
circunferencia y la elipse, las cuales forman parte de la
geometría analítica.
El plano cartesiano también sirve:

3. Distancia:
Un ejemplo muestra cómo usar la fórmula para
determinar la distancia entre dos puntos dadas sus
coordenadas La distancia entre dos puntos P1 y P2 del
plano la denotaremos por d(P1,P2 ).
Es un punto que está sobre el segmento y se
ubica a la distancia igual de los puntos
extremos.
Punto medio en matemática, es el punto
que se encuentra a la misma distancia de
otros dos puntos cualquiera o extremos de
un segmento.
La fórmula de la distancia usa las
coordenadas de los puntos:
Punto Medio

4. Pasos para hacer una Circunferencia:
El mejor método para dibujar una circunferencia es utilizando un compás, por
lo que solo vas a necesitar uno, un lápiz y un papel. Ten a mano también goma
de borrar por si necesitaras rectificar.
Prepara el compás con la distancia necesaria y traza la circunferencia
en una sola pasada, si es posible. Asegúrate de que queda
perfectamente marcada para no tener que volver a pasar, ya que el
pulso podría no ser el mismo y salirte algo diferente.
Una vez que has trazado la circunferencia, puedes repasarla con
bolígrafo, rotulador o cualquier otro soporte que te interese en cada
caso.
En el caso de que quieras hacer la circunferencia a mano alzada, lo
mejor es que determines cuatro puntos, como los puntos cardinales, y
vayas uniendo uno a uno con una media luna.
Debes tener mucha precisión para hacerla a mano ya que tienen que quedar
todos los caminos a todos los puntos exactamente iguales.
1
2
3
4
5
Ecuación de la Circunferencia
Ecuación de la circunferencia que
pasa por el origen

5. 4. Como se ha visto, este método consiste en obtener los distintos puntos de la
parábola. Por lo que, lógicamente, no se puede utilizar el compás para su
trazado final. Para finalizar el trabajo, se unirán todos los puntos obtenidos en
la operación anterior, mediante las plantillas de curvas (las más utilizadas son
las plantillas Burmester).
Parábolas:
1. A partir de los datos que nos dan (directriz, eje, vértice y foco), se trazan
varias perpendiculares al eje de la parábola, por ejemplo cuatro.
Hacemos que una de ellas, pase por el foco F.
2. Se toma un radio RO1, distancia entre el punto O (intersección de
la directriz con el eje de la parábola) y la intersección de la primera
de las perpendiculares con el eje (punto 1).Parábola 03
Haciendo centro en el foco F y con el radio RO1, se traza un arco que
corte a la perpendicular correspondiente al punto 1.
Nos encontramos con dos puntos, el punto 1′ (superior) y el 1”
(inferior).
3. Se realiza la misma operación para los puntos 2, 3 y T.
Parábola 04Trazamos arcos desde el foco F con los radios: RO2, RO3 y ROF.
Estos arcos cortan a las perpendiculares según:
a la perpendicular 2, en los puntos 2′ y 2”,
a la perpendicular 3, en los puntos 3′ y 3′‘, y
a la perpendicular F, en los puntos F’ y F”,
Se obtienen los puntos que junto con el vértice V, formarán la parábola.

6. Condición elipse :
Ecuación de una elipse de
eje mayor horizontal :
Semieje menor de la
elipse:
Elipses:
1. A partir de uno de los extremos del eje menor, por ejemplo el punto D, se traza un
arco con una medida del compás equivalente a la mitad del eje mayor, esto es, la
distancia OB.
Obtenemos los dos focos de la elipse: F y F’.
2.En el espacio existente entre F y F’, se llevan tres medidas cualesquiera y que sean
equidistantes de O.Elipse conociendo ejes 02
Para que esta operación sea más sencilla, trazamos tres circunferencias concéntricas
desde el centro O. Obtenemos las marcas 1, 2 y 3, por un lado y 1′, 2′ y 3′, por el otro
lado.
3. Las marcas creadas servirán para hacer los arcos de la siguiente forma. Por ejemplo,
con la marca 3, la medida A3 servirá para hacer un arco (desde F) y la medida B3 servirá
para hacer el otro arco (en este caso desde F’). Esto es:
Haciendo centro con el compás en el punto F y con un radio A-3, trazamos un arco.
De la misma forma, haciendo centro en F’ y con un radio de B-3, trazamos otro arco que
corta al anterior en los puntos P1 y P2.
4. Se repite la misma operación con todos los puntos originados en la operación anterior
(1, 2, 3, 1′, 2′ y 3′). Es un proceso un poco tedioso, pero nada complicado.
Se obtienen los puntos que aparecen en la imagen de abajo.
5. Este es un trazado mediante el cálculo de puntos, por lo que no se puede utilizar el
compás para el trazado de la elipse. Por lo tanto, habrá que utilizar las plantillas de
curvas (las más utilizadas son las plantillas Burmester).
Utilizando unas plantillas de curvas se unen todos los puntos para obtener la elipse.

7. Hipérbola:
Es el lugar geométrico de los puntos de un plano, tales que el
valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos
fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices,
la cual es una constante positiva.
Ecuación:

8. Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice.
Cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0).
REPRESENTACIÓN GRAFICA Y USO DE CURVAS CANÓNICAS:
Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a todas las curvas resultantes de las
diferentes intersecciones entre un cono y un plano; si dicho plano no pasa por el vértice, se
obtienen las cónicas propiamente dichas. Se clasifican en cuatro tipos: elipse, parábola,
hipérbola y circunferencia.
La primera definición conocida de sección cónica surge en la Antigua Grecia, cerca del año 340 a.C (Menecmo)
donde las definieron como secciones «de un cono circular recto».1 Los nombres de hipérbola, parábola y elipse se
deben a Apolonio de Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirse de varias maneras; estas
definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica, la geometría
proyectiva, etc.
En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse
diferentes secciones cónicas, a saber:
β < α : Hipérbola (naranja)
β = α : Parábola (azulado)
β > α : Elipse (verde)
β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)
Y β= 180º : Triangular