Something about Mizar ProofSummit2014

1. Mizarによる形式証明の簡単 な実例 （といろいろ宣伝）
Stowarzyszenie Uzytkownikow Mizara （信州大学）
↑ポーランド語でASSOCIATION OF MIZAR USERSらしい
@Alcor80UMa （岡崎裕之）

2. Mizar 大熊座（Ura Major略してUma）ζ 星：79番星 なお、Alcorは80番星

3. 目的：Mizarの宣伝
•ProofSummit 2014
定理証明支援系
(Coq,Agda,Isabelle/HOL,ACL2などなど)
↑ここ
や自動証明器などを中心に集まるお祭りです。
2014/9/7

4. Formalizing 100 Theorems http://www.cs.ru.nl/~freek/100/
1.HOL Light 86
2.Mizar 61
3.Isabelle 54
4.Coq 49
5.以下略
全体での達成率８９％

5. やっぱりアウェーな感じですが気 にせずやってみましょう
お願い：
単なるユーザーですので難しい話は聞かない でください。
（暗号の人なのでこのあたりに居ます。
日本応用数理学会
「数理的技法による情報セキュリティ」研究部会
http://nicosia.is.s.u-tokyo.ac.jp/jsiam-fais/
）
2014/9/7

6. begin 中正さんのスライド： Mizarプロジェクト概要と現状
日本における参加状況
（スライド提供：信州大学D2中正和久）

7. 形式化数学とは
•概念
–理論とは、「記号列を操作するゲーム」である
–公理とは、記号列を操作するルールである
–定理とは、ルールに則って得られる記号列である
–証明とは、定理を得るまでの記号列の操作手順である
•歴史
–古典的な形式化数学
•ヒルベルト・プログラム(1920)
•ブルバキ「数学原論」(1935-)
–計算機支援による形式化数学(1960s-)
•Mizar(1973)

8. 近年の背景事情
1.現代数学の高度化・複雑化
–Hilbert～Grothendieckを流れとした数学の抽象化と高度な発展
–数論幾何・超弦理論など高度に発展した分野同士の融合
2.システムの堅牢性への要求の高まり
–暗号理論・セキュリティなど、現代数学がシステムの堅牢性を支えている
–数学自体の堅牢性を確かめておかなければならない
3.情報科学の成熟と新たな成功
–クラウドコンピューティング(Google)
–集合知(Wikipedia)
•現代数学の知識体系を計算機で処理可能なコーパスにしようという機運 は確実に高まっている(MKM: Mathematical Knowledge Management)
–QED manifesto (1994)
–MKM-IG (2001)

9. Mizarプロジェクト
1.Mizar
言語
3.MML
2.Mizar
Verifier
Mizarで書かれた証明を
検証するプログラム
数学の証明を
記述する言語
証明済みの定義や定理を
集めたライブラリ
特長1.
高い可読性
特長3.
膨大な資産
特長2.
検証に特化
閲覧・引用
検証
投稿

10. Mizarの特長1. 高い可読性
•数学証明記述に特化
•自然言語に近い文法
•一階述語論理
•宣言型言語
•柔軟な型定義
•記号が少ない
Freek Wiedijk: Comparing mathematical provers より引用

11. Mizarの特長2. 検証に特化
•他の多くのシステム(HOL, Coq, …)は自動証明に力 点を置いている
•Mizarは証明のチェックに力点を置いている
–数学知識体系のライブラリ化が主目的
–人間と計算機にそれぞれ得意な分野を分担させる思想。 証明の記述は人間が、検証は計算機が行う。
ませまてぃしゃんの人が趣味で作ったのでこうなった？
集合理論ベース（選択公理）で一階述語論

12. Mizarの特長3. 膨大な資産
•論文誌Formalized Mathematicsは1990年発刊
•11,600の定義と53,700の定理、261万行 (2013年 7月時点)
•オープンライセンス(GNU v3/CC BY-SA v3)でWeb 上に公開
–http://mizar.org/library/
•現在も活発に執筆が続けられている

13. Mizarの記述例(TAYLOR展開定理)
theorem :: TAYLOR_1:33
for n be Nat, f be PartFunc of REAL,REAL, x0,r be Real st
( 0 < r & f is_differentiable_on n+1, ].x0-r,x0+ r.[ )
for x be Real st x in ].x0-r,
x0+r.[ holds ex s be Real st 0 < s & s< 1 &
f.x=Partial_Sums(Taylor(f, ].x0-r,x0+r.[,x0,x)).n + (diff(f,].x0- r,x0+r.[).(n+1)).(x0+s*(x-x0)) * (x-x0) |^ (n+1) / ((n+1)!);

14. 他システムで記述すると
|- !f diff h n. &0 < h /¥ 0 < n /¥ (diff(0) = f) /¥ (!m t. m < n /¥ &0 <= t /¥ t <= h ==> (diff(m) diffl diff(SUC m)(t))(t)) ==> (?t. &0 < t /¥ t < h /¥ (f(h) = sum(0,n)(¥m. (diff(m)(&0) / &(FACT m)) * (h pow m)) + ((diff(n)(t) / &(FACT n)) * (h pow n))))
判読が難しい
(例 HOL Light)

15. 膨大な数学定理の形式証明ライブラリ を作るには
•どの定理や定義をどのように並べ，有機的に関 連づけていくのか？
•どのように形式証明を記述していくか？
•組織立てられた作成計画が必須
•デザインなど人間の高次な脳の機能に依存
•視野が観ている窓に限定される対話型の定理 証明支援系では困難

16. 現代数学の大規模なライブラリ構築 に重点をおくなら
現状の計算機の技術では，
•形式証明自体は人間が書く
•計算機はそれを精査する
–それぞれ得意なものに集中する役割分業が有効
•QEDの目的達成にはほとんどの数理・情報科学の 研究者が，自分が執筆する通常の論文と同様に, 読み書きに不自由しないシステムの開発が重要

17. MML(mizar mathematical library) music macro languageではない
2013年6月時点で，
Mizar Mathematical Library(MML)は
•延べ200名を超える著者
•1181のファイル
•約52,000の定理
•10,000を超える形式上の定義
WEB上に公開
http://mizar.uwb.edu.pl/version/current/html/

18. BiaLystok大学(ポーランド), Alberta大学(カナダ),
信州大学(日本)で研究グループによって展開,
推進されている
http://mizar.org/project/
チュートリアル, ライブラリ検索, 各種リソース
markun.cs.shinshu-u.ac.jp/kiso/projects/proofchecker/mizar/
index-j.html
成果と資源はweb上ですべて公開

19. 形式化記述の例(環境設定部分)
environ Vocabularies NUMBERS, INT_1, ORDINAL1, SUBSET_1, CARD_1, ARYTM_3, ARYTM_1, RELAT_1, NAT_1,XCMPLX_0,REAL_1; Notations SUBSET_1,ORDINAL1,NUMBERS, XCMPLX_0, INT_1, NAT_1; constructors REAL_1,NAT_1, INT_1, CARD_1; Registrations XREAL_0,NAT_1, INT_1, ORDINAL1, XBOOLE_0; Requirements REAL, NUMERALS, SUBSET,ARITHM, BOOLE; definitions INT_1; Theorems INT_1; Schemes NAT_1;

20. 環境部には
•Vocabularies 用語の定義ファイルを指定する。
•Notations
•constructors 個々の概念の定義する 概念間の階層構造等の関係を表す。
•registrations 変数型の階層的な関係，数学的属性の従属関係などを指定する。
•Requirements 実数の演算や集合の包含関係の演算の自動的な処理を指定する。
•definitions
•theorems
•schemes begin文以下の形式化記述の本体で引用される既存の定義や定理， 公理図式の収録ファイルを指定する。

21. 形式化記述の例(本体部分)
begin
theorem EX1:
for n being Nat holds 2 divides n*(n-1)
proof
defpred P[Nat] means 2 divides $1*($1-1);
0 = 2 * 0;
then
P0: P[0] by INT_1:def 3;
PN: for n being Nat st P[n] holds P[n+1]
proof
let n be Nat;
assume P[n];
then
consider s being Integer such that
A2: n * (n - 1) = 2 * s by INT_1:def 3
(n+1)*(n+1-1) = n*(n-1) + n + n*1
.=n*(n-1) + 2*n
.=2*s + 2*n by A2
.= 2*(s+n);
hence P[n+1] by INT_1:def 3;
end;
thus for n being Nat holds P[n] from NAT_1:sch 2(P0,PN);
end;

22. theorem EX1:
命題名EX1という命題のラベル名の宣 言
for n being Nat holds 2 divides n*(n-1)
「任意の自然数nに対して，n･(n-1)は 2で割り切れる。」という命題
(注) Natは自然数の変数型名であ る。
proof
命題EX1の証明開始
(注) 以下proofとend;で挟まれた
proof ~ endブロックが書かれ，上記 命題EX1の証明が記述される。
defpred P[Nat] means 2 divides $1*($1-1);
自然数を引数に持つ述語P [ ] で，引 数($1)と$1-1との積($1･($1-1))が，2で 割り切れることを表わす述語を定義 する。(defpred)
0 = 2 * 0;
then
P0: P[0] by INT_1:def 3;
0 = 2･0;
だから 2 divides 0･(0-1); であり
補題名P0 : P[0] が 定義INT_1:def 3 により成り立っている。

23. PN: for n being Nat st P[n] holds P[n+1]
補題PN:
任意の自然数nに対して「P[n]が成り 立つときP[n+1]が成り立つ」
proof
補題PNの証明開始
proof ~ endブロックで記述する。
let n be Nat;
nを任意の自然数とする
assume P[n];
P[n] すなわち2 divides n･(n-1)
を仮定する
then
consider s being Integer such that
A2: n * (n – 1) = 2 * s by INT_1:def 3;
従って INT_1:def 3によれば以下の補 題A2が成り立つある自然数 s を考え ることができる。
補題A2: n･(n - 1) = 2･s

24. (n+1)*(n+1-1) = n*(n-1) + n + n*1
.=n*(n-1) + 2*n
.=2*s + 2*n by A2
.= 2*(s+n);
補題2などにより，等式
(n+1)･(n+1-1) = 2･(s+n)
が得られる
hence
P[n+1] by INT_1:def 3;
よってP[n+1] がINT_1:def 3によって成 り立つ
end;
補題PNの証明終了
thus for n being Nat holds
P[n] from NAT_1:sch 2(P0,PN);
以上補題P0,PNと数学的帰納法の公理 図式NAT_1:sch 2を用いて, 任意の 自然数nについてP[n]が成り立つ
end;
定理EX1の証明終了

25. 英文に近い表現の記述を眺めれば
Natが自然数を表すものと分かれば
『任意の自然数nについて，2はn･(n-1)を割り 切る』という命題とそれの数学的帰納法による 証明を記述していることが大凡判読できる
Mizarは自然言語に近い表現ができることが特徴

26. Mizarライブラリ（MML）の現状
•2013/06/18現在で1181の，数学ライブラリが整備されている
•システムとライブラリは，インターネット上で全て公開されている。 http://Mizar.uwb.edu.pl/version/current/html/
•数学の公理体系から出発して必要な定理に至る全ての結果・証明が完 全に収録され，しかも他を参照する必要のない自己完結的な形式化数 学記述のライブラリとして提供されている。
•WEB表示中のproof という単語をクリックすれば，証明の全文が表示さ れる。さらにそれで引用されるライブラリ中の既存の定理や用語にもリン クが張られ，これらのリンクを繰り返し辿れば，集合論の公理系にまで戻 ることができる。

27. 情報工学関連(日本側が始めた活動)
DIST_*
離散集合上の確率変数
DESCIP_1,AESCIP_1
秘密鍵暗号アルゴリズム
CIRCUIT*,ftacell1, gfacirc*
回路,並列回路
PERTRI*
ペトリネット
morph_01
画像処理と数理形態学
NTALOG_1
拡張ユーグリッド互除法
ZMOD_* ECPF_*
整数環上の Module,楕円 曲線
AMI_*,SCM*
抽象計算機

28. WEB上で利用できるMizarシステム(1)
•主に修士の学生の講義用に使用している。
•新しく定義するか特定のシステムコマンドを使用するかどうかによって Verifierのパッケージを選択
•次の入力画面で使用する学生のIDやe-mailアドレスを入力する。
•Verifierのメインページが表示される。
証明を記入するテキストボックス
ファイル名などを記入する入力ボックス
がある。
• データを入力した後SUBMITボタンをマウスでクリックすると，Mizarの proof checker が働いて， 証明をチェックし誤りがあれば，エラーメッセー ジが表示される
•とはいってもインストールも簡単。Install.bat実行して
環境変数2つ（MIZFILES,MIZPATH）追加するだけ。
http://www.wakasato.jp/Mizar/

29. WEB上で利用できるMizarシステム(2)
•Mizarの開発者の一人であるGrzegorz Bancerek 教授がJSPSの客員研究として本学 に招聘した際に作成
•ライブラリの高度な検索機能
http://mmlquery.Mizar.org/mmlquery/three.html

30. WEB上で利用できるMizarシステム(3)
•Mizar Projectの重要なメンバーであるJosef Urban教授が開 発
•証明記述中の既存のMMLの用語，引用定理へ全てリンクが 張られている
•E-learning教材を開発する際には，他を参照する必要のない 自己完結的な形式化数学記述のライブラリとして提供できる
•Mizarの既存のライブラリと一体で数学の公理体系から出発 して必要な定理に至る全ての結果・証明を完全に収録した教 材が作成できる
http://Mizar.cs.ualberta.ca/~mptp/Mizar.html

31. 終わりに
Mizarの概要
プロジェクトの現状と日本おける参加状況
数理的思考訓練用の教材を汎用 CMSに組み込む研究 e-learningを主体とした社会人向け のインターネットによる遠隔教育
暗号理論や情報工学分野での 形式検証に必要な ライブラリの整備を当面の目標に ライブラリ作成に取り組んでいる．
学部や修士学生が学習する微積分や関数解析， 代数等の基礎的定理のライブラリ整備

32. •e-learning教材を開発する際に他を 参照する必要のない自己完結的な 教材を提供できる．
•Mizarの既存のライブラリと一体で 数学の公理体系から出発して必要 な定理に至る全ての結果・ 証明 を収録した教材の作成ができる．
数理的思考訓練用の 教材を汎用CMSに組 み込む研究 e-learningを主体とし た社会人向けのイン ターネットによる遠隔 教育
QED manifestoの目的の一つである
数学的な思考能力の開発に合致する．
終わりに

33. 見果てぬ夢
•殆どの数学定理のライブラリ化が完成し，数学，数理科学， 応用数学分野の研究者が，形式化数学記述システムを用い て自分たちの最新の研究成果とその証明を記述できるよう になることを期待している．
•証明の正しさは，どのような無名な研究者の論文であっても， 学会の権威者ではなく，計算機が瞬時に判定する．
•従来の人間の査読は人間系によってのみ可能な結果の有 用性，新規性といったより高度な判定に利用される．
•プロ，アマチュアの境がなくなり，学問研究の数理科学分野 でのユビキタスが実現されることを期待している．
end 中正さんのスライド;

34. 簡単な例をもう一つ
theorem
for x be Element of NAT st 1 < x holds
not ex N,c be Element of NAT st
for n be Element of NAT st N <= n holds
x to_power n <= c * ( n to_power x)
2014/9/7
xnncxholdsnNtsntsNcholdsxtsx     ...., 1.. NNN

35. つまりこれを言いたい
2014/9/7
( ) n x x Ο n
計算量の評価
とか
暗号の安全性の議論に使う

36. theorem N2POWINPOLY:
for x be Element of NAT st 1 < x holds
not ex N,c be Element of NAT st
for n be Element of NAT st N <= n holds
2 to_power n <= c * ( n to_power x)
を使って
for x be Element of NAT st 1 < x holds
not ex N,c be Element of NAT st
for n be Element of NAT st N <= n holds
x to_power n <= c * ( n to_power x) を証明
2014/9/7

37. proof
let x be Element of NAT;
assume AS: 1 < x;
assume CNT: ex N,c be Element of NAT st
for n be Element of NAT st N <= n holds
x to_power n <= c * ( n to_power x);
まず命題が偽であると仮定する
2014/9/7

38. ex N,c be Element of NAT st
for n be Element of NAT st N <= n holds
2 to_power n <= c * ( n to_power x);
（proofは次ページに）
hence contradiction by AS,N2POWINPOLY;
end;
変なことが証明できたので定理N2POWINPOLY に矛盾して背理法で証明終わり
2014/9/7

39. ex N,c be Element of NAT st for n be Element of NAT st N <= n holds
2 to_power n <= c * ( n to_power x)
proof
consider N,c be Element of NAT such that CNT2:
for n be Element of NAT st N <= n holds
x to_power n <= c * ( n to_power x) by CNT;
take N,c;
for n be Element of NAT st N <= n holds 2 to_power n <= c * ( n to_power x)
proof
let n be Element of NAT; assume N <= n;then
LCX1: x to_power n <= c * ( n to_power x) by CNT2;
1+1 <= x by AS,INT_1:7;then
2 to_power n <= x to_power n by LEMC01;
hence thesis by LCX1,XXREAL_0:2;
end;
hence thesis; end;
2014/9/7

40. 数学の証明にしか使えない？
•そういうわけでもない
–アルゴリズム
–回路の検証
等にも使えます。
例えば暗号とか
2014/9/7

41. Data Encryption Standard (DES) Data Encryption Standard (DES) Symmetric cryptosystem (Block cipher). Selected by the National Bureau of Standards as an official Federal Information Processing Standard for the United States in 1976 (FIPS46).
3 Strong influence on the design of its successors. Insecure Advanced Encryption Standard (AES)
Now

42. Formal Verification of DES Using the Mizar Proof Checker
Hiroyuki Okazaki1, Kenichi Arai2, Yasunari Shidama1
1. Shinshu University 2. Nagano Technical High School（当時） 現：東京理科大学
July 18, 2011

43. Agenda Proof is verified by using a proof checker. The correctness of our formalization of the DES algorithm. Prove the security of cryptographic systems by using the Mizar proof checker. Introduction : Our formalization of the Data Encryption Standard (DES) algorithm.
1

44. Proof Checker “Mizar” The definitions and the theorems have been verified for correctness using the Mizar proof checking system. Mizar Mizar is an advanced project by Mizar Society that Prof. A. Trybulec leads in Bialystok university to which is formalized mathematics by the computer-aid. The Mizar project describes mathematical proofs in the Mizar language, which is created to formally describe mathematics. What formalizes the proof of mathematics and describes it is called article.
2

45. 4
Structure of DES
Figure 1: Structure of DES 64bits length plaintext block. 64bits length secret key. 64bits length ciphertext block. 16 rounds of processing iterations
Decryption Encryption
Same Key
Feistel Structure
64 bits
64 bits
64 bits

46. i-th Round of Feistel Structure
5
Figure 2: i-th round of Feistel structure
( ) Ri-1 : 32 bits length block. Li-1 : 32 bits length block. Ki : i-th round key (48 bits).
Exclusive OR (XOR)

47. About “functor” and “Function”
6
Mizar Two ways to define computational routines in an algorithmic sense.
functor
function
A “functor” is a relation between the input and output of a routine.
A “function” is a map from the space
of the input onto that of the output.

48. Strategy of Formalizing DES in Mizar
7 Step1 : Formalization of the algorithm of generalized DES. Step2 : Formalization of the primitives of DES according to FIPS46–3.
Formalization of the DES algorithm

49. Formalization of the generalized algorithm of DES
8
Definition 5.1: ( Codec of gereralized DES )
Mizar language
it = DES-like- CoDec(M,F,IP,RK)
: Concatenation
: Inverse
[:A, B:] : Cartesian product of A and B

50. Correctness of the generalized algorithm of DES
Theorem 5.1: ( Correctness of generalized DES )
9
Proved that the ciphertext encoded by any Feistel cipher algorithm can be decoded uniquely with the same algorithm and secret key that were used in encryption.
Mizar language

51. Formalization of DES Formalization of the DES algorithm according to FIPS46–3 in Mizar language. Step1: Formalization of the DES primitives according to FIPS46-3. Step2: Formalization of the correctness of the DES algorithm. (Using the formalization of the generalized DES algorithm.)
Prove the correctness of the DES algorithm
10

52. 11
Formalization of DES Primitives S-Boxes ( S-Box S1, ... , S-Box S5, .. , S-Box S8 ). Initial Permutation (IP). Final Permutation (IP -1). Feistel Function : ( ). Bit selection Function (E). Permutation (P). Key Scheduling Function (KS). Permuted Choice 1 (PC1). Permuted Choice 2 (PC2). Left Shift.
DES Primitives

53. S-Boxes
12
S1
S2
…
S7
S8
…

54. 13
S-Boxes
Theorem 6.1: ( S-Box S1)
Similarly defined the other S-Boxes, DES-SBOX2 (S2), ….. , DES-SBOX8 (S8).
S-Box S1
Mizar language
it = DES-SBOX1

55. 14
Initial Permutation (IP)
Definition 6.2: ( IP as functor )
IP
Mizar language
it = DES-IP(r)

56. Initial Permutation (IP)
15
Definition 6.3: ( IP as function )
Similarly defined the functor of the final permutation DES-IPINV and the function of the DES-PIPINV.
Mizar language
it = DES-PIP

57. 16
Feistel function
Figure 4: Feistel function Feistel Function ( ).
Bit selection Function (E) Permutation (P) S-Boxes
+
+
32 bits
48 bits
48 bits
48 bits
6 bits
6 bits
6 bits
6 bits
6 bits
6 bits
6 bits
6 bits
4 bits
4 bits
4 bits
4 bits
4 bits
4 bits
4 bits
4 bits
32 bits
32 bits

58. 17
Bit Selection Function (E)
E
Definition 6.4: ( E as functor )
Mizar language
it = DES-E(r)

59. Permutation (P)
18
P
Definition 6.5: ( P as functor )
Mizar language
it = DES-P(r)

60. Formalization of Feistel Function
Definition 6.6: ( Feistel function as functor )
19
Mizar language
it = DES-F(R, Rkey)

61. 20
Formalization of Feistel Function
Definition 6.7: ( Feistel function as function )
Mizar language
it = DES-FFUNC

62. 21
Key Scheduling Function (KS)
Figure 5: Key Scheduling Function Key Scheduling Function (KS).
Permuted Choice 1 (PC1) Permuted Choice 2 (PC2) Left Shift
+
+
Kn = KS(n, Secret key)
64 bits
28 bits
28 bits
48 bits
56 bits
28 bits
28 bits
28 bits
28 bits
28 bits
28 bits
48 bits
56 bits

63. Permuted Choice 1 (PC1)
Definition 6.8: ( PC1 as functor )
Mizar language
it = DES-PC1(r)
PC1
Similarly defined the functor of PC2 as DES-PC2.
22
C0
D0

64. 23
Table of the Numbers of Left-Shift
Definition 6.9: ( Table of Left-Shift )
Mizar language
it = bitshift_DES
i-th Numbers Round of Left-Shift 2 1 3 2 4 2 5 2 6 2 7 2 8 2 9 1 10 2 11 2 12 2 13 2 14 2 15 2 16 1
1 1

65. 24
Formalization of the Key Scheduling Function
Definition 6.7: ( Key Scheduling function )
Mizar language
it = DES-KS(Key)

66. 25
DES Algorithm The generalized DES algorithm The DES primitives
Definition 6.11: ( DES Algorithm )
Mizar language
it = DES-CoDEC (M,F,IP,RK)
DES algorithm

67. 26
Encode and Decode Algorithm of DES
Definition 6.12: ( Encode Algorithm of DES)
Mizar language
Definition 6.13: ( Decode Algorithm of DES)
Mizar language

68. Correctness of DES
Theorem 6.1: ( Correctness of DES )
Proved using the Mizar system that the ciphertext encoded by the DES algorithm can be decoded uniquely with the same algorithm and secret key that were used in Encryption.
27
Mizar language

69. Conclusion
28 Prove the correctness of the DES algorithm. Introduction : Our formalization of DES algorithm.
Mizar proof checking system.
Future work Analyze the security of DES. Prove the security of cryptographic systems by using the Mizar proof checker.

70. TPP告知
TPP2014もよろしくね！
(Theorem Proving and Provers Meeting)
日時：2014 年 12 月 3 日(水) 〜 12 月 5 日(金)
場所：九州大学・西新プラザ (福岡市早良区西新 2-16-23)
講演者募集中！
Adam Chlipala 氏 (MIT),Cyril Cohen氏 (Univ.Gothenburg) をお 招きしてCoq および Ssreflect,MathComp に関する御講演を 頂く予定だそうです。
入口にビラが置いてありますのでよろしければお持ちください
http://coop-math.ism.ac.jp/files/143/Announcement2.pdf
2014/9/7