Apostila mqaa

Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais
Instituto de Ciências Econômicas e Gerenciais
Departamento de Administração
Métodos Quantitativos
Aplicados à Administração
Prof. Marcelo Resende

Métodos Quantitativos Aplicados à Administração
Cronograma
4º período
NºAula Conteúdo/Atividade prevista
1 Apresentação e considerações gerais
2 Análise de Investimentos: conceito, objetivos, problemas de estimativas
3 Problemas de estimativas de fluxos de caixa
4 Estrutura genérica de fluxo de caixa para análise de investimentos
5 Metodologias de avaliação de fluxos: payback e payback atualizado
6 Valor atual líquido e Taxa Interna de Retorno
7 Pontos de convergência e divergências das metodologias e limitações
8 Taxa interna de retorno modificada e valor atual líquido anualizado
9 Exercícios de avaliação de fluxo de caixa
10 Exercícios de análise de investimentos
14 1ª prova – 25 pontos
15 Análise de regressão: conceito, objetivos, limitações e equação da reta
16 Séries cronológicas e Método dos Mínimos Quadrados
17 Coeficiente de Determinação e Inferência em Regressão
18 Intervalo de confiança a níveis de certeza
19 Observações discrepantes e conclusões
20 Exercícios sobre análise de regressão
23 Risco e Incerteza em negócios individuais.
24 Risco em portfólios, diversificação e correlação e carteira de títulos
26 Números Índices: conceitos, relativos, Laspeyres.
27 Deflacionamento e inflacionamento de dados, construção de índices
28 Mudança de base e inflacionamento a partir de séries de índices
29 Exercícios de números índices
30 Diagrama de decisão/tomada de decisão: objetivos. Estudo de caso “Dahran”
31 Continuação do estudo de caso
32 Exercício de diagramas de decisão
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ANÁLISE DE
INVESTIMENTOS
1. Introdução
2. Estimativa de fluxos de caixa
3. Exemplo de montagem de fluxos de caixa
4. Métodos de análise
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1. INTRODUÇÃO
Quando uma empresa faz um investimento, ela incorre em saídas correntes de
caixa, na "expectativa" de ganhos futuros. Portanto, sabemos que devemos
analisar uma proposta de acordo com seu retorno esperado e tendo em mente
os riscos específicos a tais iniciativas.
Nesse aspecto, pode-se argumentar que se deva impor uma taxa de desconto
ajustada ao risco de cada projeto. Para o momento, vamos supor apenas que
se estabeleça para a empresa uma taxa de desconto (ver taxa requerida de
retorno), não importando os diferentes graus de risco dos projetos. Vale dizer
que consideramos constante o complexo do risco ambiente dos negócios da
empresa.
Adicionalmente, aprofundaremos comentários sobre inflação em análises de
investimentos, em especial, colocando a necessidade premente de
compatibilidade entre fluxos de caixa e taxas de descontos. Assim, se os
investimentos se ajustam à inflação, estas deverão ser corrigidas igualmente.
Pode-se verificar, então, o desamparo em que se processa a ação executiva,
sendo, na verdade, uma quimera a ocorrência de fluxos de caixa certos no
tempo – contrariamente ao que costuma ser apontado em textos introdutórios
de finanças e de matemática financeira.
Sendo assim, nos preocuparemos basicamente com os seguintes itens:
$ estimativa de fluxos de caixa para as propostas;
$ avaliação dos fluxos;
$ seleção das propostas.
No que se refere às motivações para a geração de propostas, citamos:
$ novos produtos ou expansão dos atuais;
$ reposição de equipamentos;
$ pesquisa e desenvolvimento;
$ exploração;
$ outros.
2. ESTIMATIVA DE FLUXOS DE CAIXA
Um dos mais importantes objetivos dentro da análise de investimento é a
estimativa de fluxos de caixa futuros, o que influencia sobremaneira a ação
gerencial. Veja-se que caixa, e não lucro, é o ponto central para todas as
decisões de uma firma e, por isso, expressamos os benefícios futuros em
termos de fluxo de caixa líquido, ou seja, entradas menos saídas a cada
período.
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Para cada proposta de investimento, devemos prover informações sobre fluxos
de caixa numa base não apenas após o imposto de renda (IR), mas, ainda, em
termos incrementais. Vale dizer: se a empresa avalia o lançamento de um
produto novo que competirá com sua linha atual de produtos, a consideração
desta "canibalização" é vital na análise. Enfatizando, apenas o fluxo de caixa
incremental nos interessa.
Outra consideração de grande importância se refere aos custos de
oportunidade sobre recursos alocados a projetos. Veja-se, por exemplo, em
que a consecução de um projeto envolve a ocupação de terrenos próprios, que
poderiam ser vendidos pela empresa. Seu valor de venda deveria ser tratado
exatamente como uma saída de caixa, embora não envolva desembolso
efetivo.
A seguir, procedemos à elaboração de uma lista, a mais exaustiva possível,
dos problemas associados à constituição de fluxos de caixa de projetos.
1. Dimensão temporal do projeto
É certo que quanto menor o período total considerado tanto menor o valor do
projeto. Os valores concernentes a períodos muito afastados no tempo perdem
em relevância e precisão.
Ao administrador cabe, portanto, maior atenção e responsabilidade sobre os
fluxos iniciais, que são aqueles que mais fortemente impactam o valor atual dos
projetos.
2. "Timing" dos fluxos de caixa
Este problema é algo sério quando se procede a análises com intervalos de
tempo anuais. Nesse caso, considerarmos as saídas de caixa no início ou ao
final de um projeto traria diferenças sensíveis, podendo levar à rejeição de
bons projetos ou à aceitação de projetos danosos à empresa.
3. Depreciação na análise de investimento
Depreciação é uma despesa que não envolve desembolso de caixa, porém,
seu valor "transita" do balanço patrimonial para a Demonstração de
Resultados, diminuindo o lucro antes do IR e, portanto, reduzindo o montante
de IR a pagar.
Além disso, pois há de se ter em conta que, freqüentemente, o período legal
para depreciação não coincide com o período de vida daquele equipamento ou
instalação, que consubstancia o projeto. Naturalmente, tais observações hão
de estar presentes na constituição dos fluxos de caixa.
4. Movimento de "preços relativos"
Este aspecto é de importância capital numa economia inflacionária, em que a
par da subida geral dos preços, temos ainda que tais elevações não se dão
uniformemente. Se é assim, a demanda pelo produto gerado do projeto deverá
5

apresentar "instabilidades" com o passar do tempo e um acurado levantamento
dos fluxos de caixa futuros fica dificultado.
5. Constância dos custos de produção ao longo do tempo
Este ponto guarda relação com o anterior, na medida em que estamos nos
referindo a movimentos não-uniformes de preços relativos. Assim, se todos os
preços da economia (ou pelo menos aqueles que afetam a empresa mais
diretamente) se movessem com idênticos percentuais, tudo se passaria como
numa economia sem inflação. Porém, esse não é um fato da vida econômica e
isso deve ser considerado, quando da estimativa dos fluxos de caixa futuros.
6. Consideração dos juros na análise de investimentos
As decisões de financiamento e de investimento são coisas distintos, e não
devem ser misturadas. Assim sendo, não se deve incluir juros, que
representam o custo de financiamentos, nos fluxos de caixa previstos para o
projeto. Ou seja, os projetos devem ser avaliados nos seus próprios termos, no
tocante à capacidade que apresentem de acrescer a base geradora de riqueza
da empresa.
Naturalmente, porém, se um determinado projeto detiver vantagens fiscais
específicas, estas deveriam, então, ser consideradas na análise.
7. Capital de giro
Além do investimento em ativos, por vezes é preciso que se considerem as
necessidades adicionais de caixa, assim como as decorrentes de políticas de
estoques e de contas a receber.
Tal "investimento" em capital de giro há de ser tratado como uma saída de
caixa no período inicial do projeto, que retornará ao final do período de vida do
mesmo. Sendo assim, em termos de valor presente, sua consideração vai
"contra" a aceitação de projetos, pois que valores mais próximos do período
inicial impactam mais fortemente o valor atual líquido do que aqueles locados
de maneira mais distante no tempo.
Nesse sentido, cada fluxo de caixa no tempo é descontado pelo fator 1/(1+i)t,
sendo que "i" representa a taxa requerida de retorno para aceitação de projetos
e "t" o período de ocorrência de cada fluxo específico. Naturalmente, quanto
maior "t", menor o valor atualizado de um fluxo descontado até o período inicial.
3. EXEMPLO DE MONTAGEM DE FLUXO DE CAIXA
Se o projeto sob análise se refere à reposição de máquinas, sem alterar o
padrão de oferta de produtos pela empresa, os cálculos deverão incluir tanto as
reduções de custos trazidos por tais equipamentos como, ainda, os valores
relativos à depreciação de ambos os itens, substitutos e substituídos. Vejamos
o exemplo a seguir.
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Dados:
(-)Preço da nova máquina: $18.500
(-)Custo da instalação: $ 1.000
(-)Custo de desmontagem: $ 500
(+)Venda da máquina antiga: $ 2.000
Investimento Inicial $18.000
Aumento de vendas/ano: $ 8.100
Imposto de renda 40%
Tempo de depreciação:
-Máquina antiga: 10 anos
-Máquina nova : 5 anos
Observação: Tempos de vida útil das máquinas nova e antiga são de,
respectivamente, 5 e 10 anos. O valor residual da máquina nova (ao final dos 5
anos) é de $1.000. A máquina antiga já tem 5 anos de vida, tendo sido
adquirida por $20.000.
A par desses dados, os fluxos de caixa se determinam como a seguir:
Valores contábeis Fluxo de caixa
Aumento de vendas $8.100 $8.100
(-)Depreciação s/máquina nova 4.000
(+)Deprec. s/máquina antiga 2.000
Lucro tributável 6.100
(-)Imposto de renda (40%) 2.440 2.440
Lucro adicional l======> $3.660
Fluxo de Caixa Anual ======> $5.660
Assim é que o fluxo de caixa se determina numa base incremental e após
consideração do imposto de renda.
Por agora, temos que análises de investimentos se fariam sobre os fluxos a
seguir:
Saída inicial (Ano 0): $18.000
Fluxo de caixa (Ano 1 ao 4): $ 5.660
Fluxo de caixa (Ano 5)*: $ 6.660
7

* FC 1 a 4 + valor residual. Observa-se que tal consideração não é a mais
precisa. Contudo, neste momento, é a que utilizaremos para fins de
simplificação, a despeito de não estar considerando a tributação ideal do FC5.
4. MÉTODOS DE ANÁLISE
Uma vez determinado o fluxo de caixa esperado para o projeto, partimos para o
detalhamento dos métodos de avaliação de rentabilidade dos mesmos. Vamos
nos deter sobre as seguintes metodologias:
· Payback
· Valor Atual Líquido ou Valor Presente Líquido
· Taxa Interna de Retorno
· Taxa Interna de Retorno Modificada
Naturalmente, à exceção do primeiro, todos os demais são métodos que se
apegam a fluxos de caixa descontados no tempo. Vamos a eles.
4.1 Payback (Tempo de retorno)
Este método nos diz o número de períodos requeridos para se recuperar a
saída inicial de caixa, sendo resultado apenas da relação entre x e y, entre o
investimento inicial e o fluxo de caixa por período. Por exemplo, no caso acima,
teríamos:
Payback = $18.000 = 3,18 anos
$ 5.660
Naturalmente, surgiriam problemas de cálculo caso o fluxo de caixa não fosse
uniforme. Tal fórmula só contempla fluxos de caixa uniformes. Assim, no
exemplo em pauta, não foi considerado o retorno dado pelo valor residual da
máquina nova, ao final do 5o ano.
Mas esse não é um grande problema com o método, se pensarmos, por
exemplo, no fato de que não são considerados o fluxo de caixa que
aconteceriam após o período do Payback. Deixa-se de considerar um montante
de $10.300 de entradas.
Outro aspecto negativo do método tem como base a máxima de que o dinheiro
tem valor no tempo, ou seja, é necessário atentar para uma taxa de retorno
como expressão do custo de oportunidades, para que se analise a aceitação
ou a rejeição de um projeto. E isso não se faz, quando se adota o método
Payback.
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Como observações finais, devemos lembrar que, apesar desses problemas
metodológicos sérios, o método do Payback recebe relativa importância na
análise de investimentos. Talvez isso aconteça porque as administrações
entendam tal método como uma aproximação ao risco dos projetos. Vale dizer,
entende-se que quanto maior o período de recuperação de investimentos maior
o risco inerente a cada projeto.
De qualquer forma, se se deseja utilizar o Payback, que isto seja feito como
análise suplementar a outros métodos, buscando, com ele, apenas uma
abordagem superficial ao risco do negócio.
4.2 Taxa Interna de Retorno (TIR)
Este método se insere de fato dentre aqueles que lidam com fluxos de caixa
descontados, tomando em conta tanto o aspecto do valor do dinheiro no tempo,
como a magnitude e o "timing" dos fluxos ao longo de toda a duração do
projeto.
Podemos definir a TIR como a taxa de desconto que zera a diferença entre os
valores presentes dos fluxos de entradas e de saídas de caixa de projetos sob
análise. Enfatizando, ela será a taxa que leva a zero a equação a seguir:
n
∑ _ FCt __ = 0
t=0 (1 + i)t
em que,
FCt : o fluxo de caixa líquido (entradas menos saídas), relativo a cada período
"t"
i : a taxa de desconto, a que denominamos TIR;
n : número de períodos considerados, ou a dimensão de vida do projeto.
Em outras palavras, também é possível definir a TIR como a taxa de desconto
que leva a zero o Valor Atual Líquido de um projeto.
Com o fim de levantarmos a TIR do projeto em pauta, teremos:
-18.000 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 6.660 = 0
(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)5
Perfazendo os cálculos por interpolação (exatamente como o faria uma planilha
eletrônica em computador), encontraríamos a taxa de 18,33% a.a. Com isso,
se diz que o projeto corresponderia a um investimento que rendesse exatos
18,33% ao ano.
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Como critério de aceitação de propostas com base neste método, sua "regra
de ouro" seria verificar se: TIR ≥ Taxa requerida de retorno
Digamos que a empresa em apreço coloque uma taxa de 12% a.a. como o
mínimo aceitável para aceitação de projetos. Sendo assim, a aludida troca de
equipamentos se processaria sem problemas. Entretanto, se a exigência fosse
de 20%, haveria de se rejeitar tal iniciativa.
Adicionalmente, no caso da taxa de corte de 12%, a aceitação do projeto
significaria, em linguagem de finanças, que o projeto acresceria a base
geradora de riquezas da empresa.
4.3 Valor Presente Líquido ou Valor Atual Líquido
Da mesma forma que o método da TIR, este se constitui em método baseado
em fluxos de caixa descontados, sendo que tal desconto se dá pela inserção
de uma taxa requerida de retorno. Vejamos:
n
VAL = ∑ FCt em que as variáveis se definem como no item anterior.
t=0 (1 + i)t
Com vista à aceitação de projetos, a pertinente "regra de ouro" fica sendo:
VAL≥0
Dessa forma, um VAL maior do que zero implica em dizer que o projeto
possibilita um retorno superior ao caso de aplicações no mercado financeiro,
p.ex., em que se teria retorno certo de uma taxa "i". Ou, em outros termos, a
base geradora de riquezas da empresa se elevaria à par da aceitação do
projeto em questão.
Atendo-nos novamente ao nosso exemplo, impondo-se uma taxa mínima de
retorno da ordem de 12% a.a., teremos:
VAL = -18.000 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 6.660 = $2.970,
1,121 1,122 1,123 1,124 1,125
o que nos capacita à aceitacão do projeto.
Obviamente, um VAL≤0 representaria um retorno aquém do nível demandado
de 12% a.a. e, a aceitação de projetos nestas condições representaria um
decréscimo na base geradora de riquezas da empresa.
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4.4 A TIR versus o VAL
Pontos de convergência
Ambos os métodos proporcionam o mesmo "sinal" de aceitação ou de rejeição,
em análises em que se avaliem propostas únicas. Com a Fig.1, podemos
visualizar a relação que se estabelece entre ambos:
Fig.1 VAL e TIR
VAL
($)
$11.300,00
18,33%
0
Taxa de juros %
Nesse exemplo hipotético, temos que, a uma taxa de desconto zero, o VAL
será tão somente a diferença entre entradas e saídas ao longo da vida do
projeto. Por outro lado, à taxa de 18,33% a.a., ainda aceitaríamos o projeto,
visto que, nesse ponto, o VAL se iguala a zero. Qualquer outra taxa requerida
de retorno que se situasse entre 0 e 18,33% levaria à aceitação da proposta,
enquanto taxas superiores não encontrariam fluxo esperado de retornos que a
justificassem.
Pontos de divergência
Situamos tais pontos nos seguintes aspectos:
$ taxa de reinvestimento dos fluxos intermediários;
$ escala do investimento;
$ taxas múltiplas de retorno.
A divergência na sinalização para aceitação ou rejeição de propostas de
investimentos ocorre quando da comparação de projetos mutuamente
excludentes, em que somente um será selecionado. Vejamos o exemplo a
seguir:
FLUXO DE CAIXA
Ano 0 1 2 3 4
Proposta A -$23.616 $10.000 $10.000 $10.000 $10.000
Proposta B -$23.616 $0 $ 5.000 $10.000 $32.675
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Procedendo aos cálculos do VAL e da TIR, a uma taxa requerida de retorno de
10%, teremos:
Projeto A Projeto B
VAL $8.083 $10.347
TIR 25% 22%
Com isto, vemos um evidente conflito gerado da consideração simultânea dos
dois métodos, onde, pelo uso da TIR preferimos o Projeto A, enquanto pelo
método do VAL, escolhemos o Projeto B.
Qual, então, a decisão mais sensata?
A escolha recai sobre o Projeto B, visto que ele tomou em conta o custo de
oportunidade da empresa, representado por aplicações alternativas que
poderiam lhe render até 10% a.a.
E quanto à TIR? Qual a razão de seu preterimento? Isso se deve à suposição
"heróica" do reinvestimento dos fluxos intermediários (1 e 2) à própria TIR, o
que se constitui em equívoco evidente, já que colocamos que o custo de
oportunidade da empresa seria de 10% a.a.
Um novo problema que decorre do uso do método da TIR refere-se à escala do
investimento inicial. Assim, desde que este método se expressa como uma
porcentagem, a escala do investimento pode gerar problemas sérios na
seleção de projetos. Vejamos o próximo exemplo:
Fluxos de Caixa
Ano 0 1 TIR VAL(a 10% a.a)
Proposta X -$100 $150 50% $36,36
Proposta Y -$500 $625 25% $68,18
Utilizando o método da TIR, recusaríamos um maior ganho ($68,18 no Y) em
troca de um menor ($36,36 no X) apenas porque este nos daria maior
"porcentagem". Nada mais absurdo.
Outro problema surge quando da ocorrência de taxas de retorno múltiplas.
Consideremos o seguinte projeto de investimento:
Investimento Inicial: $ 1.600,00
FC 1: $ 10.000,00
FC 2: $ -10.000,00
A equação de determinação da TIR se escreve então:
Equação resultante: -10.000,00/(1+TIR)2 + 10.000,00 / (1+TIR)1 - 1.600,00 = 0
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Dividindo por 1.000 e substituindo 1 / (1+TIR) por X, temos:
-10X2 + 10X - 1,6 = 0 => 10X2 - 10X + 1,6 = 0
Raízes: X1 = 0,80 e X2 = 0,20. Substituindo X1 e X2 por 1 / (1+TIR) temos:
TIR 1 = 25% e TIR 2 = 400% VAL (a 10%) = -774,00
Pelo critério do VAL o referido projeto deve ser rejeitado (VAL de -774,00).
Entretanto, pelo critério da TIR, deverá ser aceito (TIR de 25% e TIR de 400%).
Tal fato demonstra sua inadequação para o referido caso.
É também útil mostrar outra limitação do método, ao possibilitar a ocorrência
de taxa de retorno inexistente na análise de propostas.
Pelo exemplo que segue, pode ser demonstrada tal limitação. Observe-se:
Inv. Inicial FC1 FC2
-$100,00 $200,00 -$150,00
200
1
150
1
100 01 2
( ) ( )+
+
−
+
− =
TIR TIR
Dividindo por 100 e substituindo
1
1+ TIR
por x, temos:
2 15 1 0
15 2 1 0
4
2
2 4 4 15 1
2 15
2 2
3
2
2
2
x x
x x
x
b b ac
a
x
x
− − =
− + =
=
− ± −
=
± − × ×
×
=
± −
=
,
,
( , )
,
Isto se deveu à ocorrência de fluxo de caixa negativo. A presença de FC
negativo gera a probabilidade de ocorrência de TIR inexistente, mas não
determina sua inexistência, necessariamente. Quanto maior o número de
inversões e de discrepância dos fluxos maior a probabilidade de aparecimento
da TIR inexistente.
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∃ não existem raízes reais

Descrevemos um outro empecilho à aceitação deste método, e que se refere à
não aditividade das taxas quando da consideração conjunta de projetos não-
excludentes.
Melhor explicando, vejamos os dois projetos abaixo, já apontados
anteriormente:
Fluxos de Caixa
Ano 0 1 2 3 4
Proposta A -$23.616 $10.000 $10.000 $10.000 $10.000
Proposta B -$23.616 $0 $ 5.000 $10.000 $32.675
Proposta A+B -$47.232 $10.000 $15.000 $20.000 $42.675
Vimos que as TIR's para os projetos A e B são, respectivamente, 25% e 22%.
Porém, com sua consideração conjunta (Projeto A+B) não temos 47% e, sim,
23,19%. Visando melhor esclarecimento, com o uso do método da VAL,
teríamos a característica de aditividade, com seu valor alcançando $18.430
(que corresponde à soma dos valores parciais de $8.083 e $10.347).
Mas, enfim, por que a ampla aceitação da TIR no mundo empresarial? Os
dados apontados restringem-lhe enormemente a significação econômica. Em
especial, a idéia do reinvestimento dos fluxos intermediários à própria TIR se
mostra um equívoco grosseiro.
As razões de aceitação da TIR se prendem ao fato de que, sendo uma taxa,
ela é mais fácil de ser visualizada e interpretada. Paralelamente, com o método
concorrente dado pelo VAL, a decisão se faz sobre um número absoluto,
"descontado" para o momento zero, o que traz dificuldades de entendimento
para muitos profissionais.
Adicionalmente, sendo a taxa requerida de retorno apenas uma aproximação
ao real custo de oportunidade da empresa, o uso do VAL não recebe apoio
unânime da comunidade empresarial, deixando campo para a aceitação do
método da TIR.
Outrossim, temos o fato real de que as empresas não se defrontam
freqüentemente com análises de projetos mutuamente excludentes ou, ainda,
de projetos cujos fluxos não apresentem o padrão usual (que poderia trazer
taxas múltiplas de retorno). Então, se o que importa na análise de projetos
únicos é uma correta sinalização quanto a aceitá-los ou rejeitá-los, e desde que
ambos os métodos apontariam sinal idêntico, tem-se a preferência pelo método
da TIR.
14

4.5 Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM)
Se os problemas aludidos acima se constituem de fato em sérias restrições ao
uso do método da TIR, a solução estaria num método que tomasse em conta o
custo de oportunidade sobre os recursos da empresa nos cálculos para
levantamento de uma taxa de retorno para iniciativas empresariais. Vejamos
como, através do nosso primeiro exemplo:
Fig.2 Avaliação de projeto
0 1 2 3 4 5
-18.000 5.660 5.660 5.660 5.660 6.660
Taxa de desconto: 12% ao ano
Taxa de juros do mercado financeiro: 14% ao ano
Assim, procedendo ao reinvestimento dos fluxos intermediários (1 a 5) à taxa
de juros do mercado financeiro (que representa o custo de oportunidade sobre
recursos disponíveis da empresa), a equação de cálculo será:
TIRM
VF
II
x
n
=





 −








1
1 100
em que falta definir e relembrar que:
VF = valor futuro (no último período) dos fluxos de caixa da empresa;
n = período de vida considerado para o projeto;
II = investimento inicial.
Já a operacionalização dos cálculos da TIRM no problema anterior se daria
como abaixo:
Ano 1: 5.660 x 1,144 = 9.559,51
Ano 2: 5.660 x 1,143 = 8.385,54
Ano 3: 5.660 x 1,142 = 7.355,74
Ano 4: 5.660 x 1,141 = 6.452,40
Ano 5: 6.660 x 1,140 = 6.660,00
VF ============> 38.413,19
TIRM = ((38.413,19/18000)1/5 - 1) x 100 = 16,37% aa
Nesse caso, são dois os passos para aferição da viabilidade de projetos de
investimentos:
15

a) TIRM ≥ TRR: se isso ocorrer, o projeto é viável, por superar a taxa requerida
de retorno, que é julgada suficiente para os propósitos de crescimento e
sustentação da empresa no longo prazo.
b) TIRM ≥ im: se essa nova restrição é atendida, isso implica em que a
rentabilidade do projeto supera possíveis aplicações de recursos no
mercado financeiro. Em outros termos, a empresa terá retornos superiores
aplicando na produção em lugar de investir em produtos financeiros.
Outro detalhe diz respeito à fórmula da TIR, que se refere a casos onde ocorra
o padrão usual na análise de projetos, com investimentos num período inicial,
sendo seguidos, no tempo, por fluxos de caixa líquidos.
Caso houvesse fluxos de caixa negativos, além daquele referente ao
investimento inicial, o critério internacionalmente aceito é o de se
descontar tais fluxos negativos para o momento zero à taxa requerida de
retorno, aumentando o valor de "II" na fórmula dada.
Observa-se que não importa o padrão do fluxo de entradas e de saídas, pois
que poderíamos adaptar novas configurações, quando necessário. Planilhas
eletrônicas como o Excel, já incorporam soluções nesta direção.
Quanto à regra para aceitação de projetos, o procedimento segue aquele do
método da TIR, ou seja:
TIRM ≥ Taxa requerida de retorno
Para nosso exemplo acima, temos que a TIRM se iguala a 16,37%, superando
a taxa requerida de retorno de 12%. Nesse sentido, o projeto contribuirá
decisivamente para acrescer a base geradora de riquezas da empresa.
16

Exercícios de Aprendizagem/Fixação de metodologias de avaliação de
fluxos de caixa de projetos de investimentos
Calcule o payback:
Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5
-18.000,00 5600,00 4780,00 6620,00 4789,00 -
Payback = _______ períodos
-540,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00
Comente:________________________________
-99.000,00 15000,00 24500,00 24500,00 34570,00 87900,00
-8.500,00 9000,00 5600,00 - 10000,00 14500,00 2000,00
Comente:________________________________
-8.500 4500,00 - 5600,00 10000,00 14500,00 2000,00
Comente:________________________________
- 54.600,00 28400,00 8976,00 4550,00 4550,00 16248,00
________________________________________
Calcule o payback atualizado do 1º e do 3º exercícios acima (i=4,65%):
Payback atualizado = ________ períodos
Payback atualizado = ________ períodos
17

Calcule o VPL e a TIR:
-32000,00 9800,00 19000,00 8600,00 17000,00 5000,00
TRR=15%
VPL= R$____________ TIR= ______ %
-32000,00 9800,00 19000,00 8600,00 17000,00 -5000,00
TRR=17,5%
VPL= R$____________ TIR= ______ %
-50000,00 13875,00 13875,00 13875,00 13875,00 40000,00
TRR=20%
VPL= R$____________ TIR= ______ %
-100 70,00 -10,00 170,00 -15,00 200,00
TRR=25%
VPL= R$____________ TIR= ______ %
Um veículo é financiado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas de
R$325,00 e mais três prestações semestrais de R$775,00, R$875,00 e
R$975,00. Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pela
financeira foi de 8,7% a.m.
__________________________________________
Calcular a TIR-M:
-100 70,00 -10,00 170,00 -15,00 200,00
TRR=25% im=20%
TIR-M= ______ %
18

Exercícios de Análise de Investimentos:
1)A empresa XYZ estuda a reposição de parte de seu parque fabril e, para
isso, levantou os seguintes dados:
Equipamentos novos
• Valor: $800.000
• Vida útil: 5 anos
• Tempo de depreciação.: 2 anos
• Valor residual: $350.000
• Receitas adicionais : $580.000/ano nos 2 primeiros anos
: $620.000/ano nos 2 anos seguintes
: $440.000 no último ano
• Custos de produção : 25% das receitas, a cada ano
• Despesas com manutenção: $50.000 no 2o
ano;
$80.000 no 3o
ano;
$90.000 no 4o
ano;
• Instalação do equipamento novo (valor a ser lançado como despesa no fluxo
seguinte): $60.000
Equipamentos antigos
• Valor residual hoje: $180.000
• Vida útil restante: 3 anos
• Valor original dos equipamentos: $1.150.000
• Tempo restante para depreciação: 2 anos
• Idade atual dos equipamentos: 3 anos
A par destes dados, pergunta-se se vale a pena a troca do parque fabril hoje,
dada a taxa requerida de retorno de 20%, uma taxa de juros do mercado
financeiro de 22% ao ano e a alíquota do imposto de renda de 40%.
OBS: Os equipamentos antigos devem ser vendidos hoje e o método de
análise deve ser o da taxa interna de retorno modificada.
2)Uma empresa vem considerando promover a automação de sua fábrica, num
investimento em equipamentos que custaria $1.000.000, valor a ser coberto
parcialmente pela venda de maquinaria obsoleta no total de $350.000. Esta
última custou $800.000 há 5 anos atrás, tem vida útil restante de 3 anos e
deverá ser depreciada por adicionais 2 anos (além da vida útil).
Espera-se um aumento anual de $500.000 nas vendas dos 3 primeiros anos e
de $800.000 nos 3 últimos. A cada ano, os custos de produção corresponderão
a 40% das vendas.
19

Outros dados relacionados ao empreendimento novo são de que ao
investimento inicial se acresceria dispêndio de $500.000 por conta de trabalhos
de consultoria no campo da informática (dispêndios esses que devem ser
lançados contabilmente como despesas no Ano 1), além do período de 5 anos
para depreciação dos itens imobilizados e de um valor residual de $100.000 ao
final da vida útil de 6 anos.
Sendo de 40% a alíquota do imposto de renda e de 20% a taxa requerida de
retorno da empresa, pergunta-se se o projeto de troca de equipamentos é
viável.
OBS: Proceda a sua análise com base no método do Valor Presente Líquido e
da Taxa Interna de Retorno.
3)A Politécnica S/A está considerando um plano de investimento para produção
de um novo produto desenvolvido pela área industrial por 06 anos. Para tanto,
a empresa deve aplicar imediatamente $300.000 na compra de equipamentos,
além de dispender $35.000 por conta de trabalhos de consultores de
marketing. Além desses gastos, prevê-se que manutenções periódicas anuais
das instalações demandariam $25.000 no 3o
ano, $30.000 no 4o
ano e $20.000
no 5o
ano. As receitas adicionais esperadas do plano são projetadas em
$160.000 no 1o
ano, crescendo à taxa de 15% até o 4o
ano. Para os 2 últimos
anos (5o
e 6o
), projeta-se queda anual das receitas de 20%. O tempo de
depreciação dos equipamentos é de 5 anos e seu valor residual de $80.000.
Por outro lado, os custos de produção devem representar 42% das receitas no
1o
ano, 35% no 2o
e 30% da receita do 3o
ano para o terceiro ano e demais
anos até o final do projeto. Além disto, o novo produto deve reduzir a receita de
produtos atuais num valor equivalente a 15% das vendas anuais do produto
novo, assinaladas no parágrafo acima.
Outro aspecto do atual projeto é que a empresa poderá livrar-se de
equipamentos atualmente em uso, os quais podem ser vendidos no estado em
que se encontram pela soma de $85.000 (mesmo valor de livro). A idade atual
desses equipamentos é de 4 anos e seu tempo restante de depreciação é de 2
anos. Caso sejam vendidos ao final destes 2 anos, seu valor de mercado seria
de apenas $35.000, além do que seriam necessários $8.000 para reforma-los
antes de poderem ser colocados à venda.
As novas instalações ocuparão um terreno avaliado em $1.000.000, o qual não
deve sofrer variação significativa de valor nos próximos anos e que encontraria
compradores até com uma certa facilidade, o que permitiria sua venda sem
maiores problemas.
20

O custo de capital da empresa é de 17% ao ano e a taxa de juros do mercado
financeiro é de 20% anuais. Além disso, a alíquota do imposto de renda é de
40%. A par destas informações, responda se o projeto é viável de acordo com
a metodologia da taxa interna de retorno modificada.
Obs: Despesas no ano zero devem ser lançadas contabilmente no fluxo
seguinte.
4)Um analista de empresa industrial foi convocado a avaliar a conveniência da
troca da frota de caminhões pesados da empresa. Os dados de que dispõe são
os seguintes:
Para compra:
.Valor de cada unidade : $90.000
.Tempo de depreciação : 5 anos
.Manutenção por veículo: despesas de $3.000 no 1o
ano, crescendo à
razão de $1.500 por ano, até o 5o
ano.
.Vida útil na empresa : 5 anos
.Valor residual : $30.000 por veículo
.Tamanho da frota : 10 unidades
Por outro lado, a frota de 13 veículos que seria substituída poderia ser utilizada
por adicionais 5 anos e alcançaria o valor de venda de $22.000 por unidade se
vendida hoje no mercado de veículos usados. Vendidos ao final de 5 anos, o
preço unitário seria de apenas $6.000. Ademais, esses veículos foram
adquiridos três anos antes por $80.000 cada e teriam mais 2 anos para
depreciação.
O acréscimo de produtividade que seria alcançado no setor de transporte
possibilitaria ganhos adicionais estimados em $350.000 por ano. Assim, sendo
de 20% a taxa requerida de retorno para aceitação de projetos e de 40% a
alíquota do imposto de renda, pergunta-se se a troca da frota seria vantajosa
para a empresa. (Faça sua análise com base no Valor Atual Líquido e no
Payback)
5)Uma empresa industrial está analisando a conveniência da troca de
equipamentos para modernização de sua linha de montagem. O valor desses
equipamentos alcança $320 milhões, com vida útil prevista de 5 anos e valor
residual (valor de sucata) de $85 milhões ao final desse prazo. As receitas
líquidas previstas são de $180 milhões/ano para os 3 primeiros anos e de $240
milhões/ano para os demais.
Adicionalmente, prevê-se reformar os equipamentos ao final do segundo ano,
de forma a adequá-los a recursos modernos de informática, que custarão
adicionais $200 milhões. Ademais, esses equipamentos serão depreciados em
21

3 anos. Ao final deste período, terão valor de mercado da ordem de $100
milhões.
No que tange às depreciações, essas se fariam exclusivamente em linha reta.
Por outro lado, os equipamentos que seriam substituídos na troca custaram
$210 milhões, quando de sua instalação 4 anos antes, e seriam depreciados
por mais 3 anos. Vendidos no momento, alcançariam o valor de $40 milhões no
mercado de máquinas usadas. Vendidos ao final de sua vida útil (em 3 anos),
valeriam apenas $10 milhões.
Enfim, sabendo-se que a alíquota do Imposto de Renda é de 40%, que a
empresa exige taxa mínima de retorno sobre investimentos da ordem de 20%
ao ano e que a taxa de juros do mercado financeiro é de 18% ao ano, analise
esta operação e descubra se ela é de fato vantajosa.
6)A destilaria McDaniel está contemplando a reposição de sua máquina
engarrafadora por uma nova e mais eficiente. A máquina velha tem valor de
livro de $400.000 e restantes 5 anos de vida útil. Seu valor residual seria
irrisório quando de seu esgotamento produtivo (ao final dos 5 anos); caso a
empresa se decidisse a vendê-la hoje, conseguiria $200.000. Ademais, a
depreciação se faz em "linha reta" e tal vantagem tributária se obterá por mais
2 anos.
A nova máquina tem um preço de compra de $800 mil e uma vida útil estimada
em 5 anos, com valor residual de $100.000 ao final desse período. Espera-se
que economize energia elétrica, trabalho, custos de manutenção e peças de
reposição, num montante anual de $200.000. Ademais, a depreciação ocorrerá
de forma linear pelos mesmos 5 anos.
Sendo de 40% a alíquota do imposto de renda incidente sobre a empresa e de
18% ao ano a taxa de desconto usada para avaliação de projetos, pergunta-se
se valeria a pena a compra da máquina.
7)Uma empresa vem considerando a troca de uma máquina pela qual obteria
$20.000 no mercado de máquinas usadas. Ela teria adicionais 3 anos de vida
útil (e igual período de depreciação por apropriar), que se dariam sobre o valor
de livro (ou valor que falta depreciar) de $33.000. Ademais, não teria valor
residual se fosse vendida ao final desses 3 anos.
No tocante à máquina nova, seu preço é de $60.000 (a ser depreciado em 6
anos), e valor residual de $8.000 ao final desse período. Seu uso permitirá
ganhos incrementais de $20.000/ano nos 3 primeiros anos e de $25.000/ano
nos 3 últimos.
22

Sendo de 40% a alíquota do IR, 15% a taxa requerida de retorno e 16% a taxa
para aplicações no mercado financeiro, pergunta-se se é viável a troca de
equipamentos.
8)A empresa Toninhas vem considerando a reposição de uma máquina com 2
anos de vida e que ainda deverá ser depreciada por mais 3 anos, por uma
nova que acrescerá os ganhos de $25.000 para $65.000/ano. A máquina custa
$60.000, tem vida útil de 5 anos, período de depreciação de 2 anos e valor
residual de $8.000.
Ademais, prevêem-se gastos com consultores externos no 20
ano, no valor de
$5.000.
Por outro lado, a máquina antiga havia sido adquirida por $45.000 e, se
vendida hoje, alcançaria o valor de $10.000. Vendida ao final de sua útil, não
teria qualquer valor.
Sabendo-se que o custo de oportunidade da empresa se expressa por uma
taxa de desconto de 20% e que a alíquota do Imposto de Renda é de 40%,
pergunta-se: a empresa deve proceder à troca da máquina?
9)Está em questão a aquisição de um reator de planta química, no valor de
$500.000, o qual exigiria gastos adicionais de $50.000 no Ano 0 (a serem
contabilizados como despesa no ano seguinte) e de $60.000 no Ano 4. O
tempo de vida útil previsto do reator é de 6 anos, o tempo de depreciação está
determinado em 4 anos e os ganhos anuais derivados de sua incorporação
seriam $180.000.
Sendo de $60.000 seu valor residual, 40% a alíquota do imposto de renda e de
18% tanto a taxa requerida de retorno como a taxa de mercado para
reaplicações dos fluxos de caixa, pergunta-se se o projeto é totalmente viável
para a empresa.
Sua conclusão seria a mesma para uma taxa requerida de retorno de 16%?
23

LEITURA COMPLEMENTAR
Quanto vale a sua empresa??!!1
Domingos Xavier Teixeira2
Determinar qual o valor de uma empresa é algo complexo e difícil,
mas não impossível. Quanto vale, por exemplo, a Petrobrás e todo o seu
complexo de empresas controladas e coligadas dos mais variados ramos?
Pergunta simples e direta, porém cuja resposta não é tão simples quanto
parece a primeira vista. Quanto vale uma rede de supermercados, por
exemplo, o Carrefour? Ou quanto vale uma lanchonete da Praça Sete, como o
Café Nice, por exemplo?
Todas essas perguntas levam o leitor a pensar como é possível
calcular o valor de um negócio desses. Teoricamente, cada “negócio” vale, em
princípio, o montante do patrimônio líquido apurado pelo balanço da empresa
ajustado pelos ativos e passivos a valor presente acrescido da mais ou menos
valia dos estoques e do imobilizado, mais ainda o valor do ativo intangível, que
não está contabilizado, que é o fundo de comércio, deduzido das contingências
certas e um percentual das contingências prováveis. Esse seria, então, o valor
teórico da empresa, à vista. A prazo, esse valor seria então acrescido dos juros
de uma aplicação financeira.
Essa é uma forma simplista de calcular o valor de um negócio, mas
é um critério utilizado quanto não se tem história do negócio ou orçamentos
projetados de anos futuros com forte margem de certeza. Mas existe uma outra
forma mais técnica de calcular o valor de uma empresa. Trata-se da
sistemática de fluxo de caixa descontado. Com base nesse critério, a empresa
vale o montante que ela pode gerar de lucros futuros, que seriam descontados
a valor presente. Em outras palavras, o valor da empresa seria determinado
1
Diário do Comércio, 25 a 27 de abril de 1998, pág 16.
2
Contador, economista e administrador de empresas. Sócio da Teixeira e Associados, Diretor Técnico da
Ibracon-MG e vice-presidente da Câmara de Desenvolvimento Profissional do Conselho de Contabilidade
de Minas Gerais.
24

com base no fluxo de caixa futuro (a soma das sobras futuras de caixa) que a
empresa irá gerar, descontado o valor presente. Assim sendo, em
conformidade com esse raciocínio, o montante do fluxo de caixa futuro será
igual à diferença entre os ativos e passivos que a empresa tem hoje, que
seriam acrescidos ou ajustados pelo valor presente dos lucros futuros
acrescidos das depreciações e amortizações que não representam desembolso
de caixa, e deduzido das saídas de caixa. Nessa sistemática de avaliação da
empresa com base no fluxo de caixa, o imobilizado e o diferido não seriam
considerados nos saldos iniciais, porque a sua geração seria anualmente
considerada pelo acréscimo ao resultado da amortização do diferido e da
depreciação do imobilizado.
Os fluxos de caixa anuais assim encontrados seriam então trazidos
a valor pressente e ter-se-ia então o valor do negócio à vista. Assim, ao se
projetar o valor dos lucros futuros, estaria então sendo levado em consideração
todo o esforço de vendas e de redução de custos, a política de negócios, de
marketing, a eficiência do pessoal de vendas ou do gerente financeiro para
aplicar recursos disponíveis, ou do engenheiro de produção. O valor do fundo
de comércio seria então levado nessa consideração para gerar lucros. Eis
porque não seria pago nada de adicional por esse fundo, em virtude de o seu
benefício já estar sendo considerado. Todo esse esforço estaria então sendo
considerado como parte dos lucros futuros. Portanto, o valor do goodwill*
representado pela marca, pelo fundo de comércio, pela qualidade da gerência,
ou pela carteira de clientes, tudo isso já estaria sendo considerado como parte
do lucro futuro. Assim, neste critério de avaliação não há que se falar em valor
de mercado do imobilizado, ou em valor da patente. Tudo isto já estará refletido
nos lucros futuros projetados. Nessas condições, qualquer negócio só tem
valor se ele puder gerar resultados. De nada adianta escritório bonito ou fábrica
modelo, se isso tudo não gera lucros. Sob a ótica do investidor, nada vale
como negócio.
Um aspecto importante a se considerar também na avaliação do
fluxo de caixa é o percentual a ser adotado para se estabelecer o desconto a
ser reduzido dos lucros futuros. Para concluirmos sobre esse assunto, vamos
25

pensar do ponto de vista do investidor. Se ele tem uma determinada quantia
para investir e, teoricamente, não quer correr risco, ele então irá aplicá-la em
um fundo que lhe garanta por exemplo um retorno pelo menos igual ao CDI,
hoje em torno de 30%. Nesse tipo de investimento, o investidor teria o único
esforço e risco de dar um telefonema para o gerente de sua conta e lhe solicitar
para fazer a aplicação do seu dinheiro. Agora, se o investidor quer correr algum
risco, ele então precisaria de uma remuneração adicional, além desses 30%. E
de quanto seria, então, esse percentual adicional que ele teria para correr
risco? Nas circunstâncias atuais, poderíamos falar em algo em torno de um
rendimento adicional de 10%. Portanto, o valor do desconto a ser aplicado aos
lucros futuros seria de 40% ao ano. Essa taxa seria aplicada até atingir a
perpetuidade.
Normalmente, o consultor, ao ser contratado para calcular o valor de
um negócio, estabelece inicialmente com seu cliente, que geralmente é o
comprador, o critério de avaliação a ser adotado. Definido esse critério, que
geralmente é o do fluxo de caixa descontado, o consultor e o auditor, que
trabalham em conjunto nessas avaliações, adotam vários procedimentos de
avaliação e de auditoria. Um procedimento, por exemplo, seria a revisão de
como a empresa chegou a cada um dos valores de seu orçamento de caixa
para os próximos dez anos. Ainda para confirmar essa tendência futura, é feita
uma auditoria dos últimos três anos para se ter certeza de que os valores
informados pela contabilidade nesse período estariam corretos. Nesse trabalho
de auditoria do passado, são obtidas inúmeras informações para que o
avaliador possa também confirmar as projeções futuras.
Outros aspectos que o trabalho de auditoria e avaliação levam em
consideração se relacionam com as contingências ativas e passivas,
principalmente essas últimas, que reduzem o preço de partida. Quando se faz
essa auditoria do passado, o auditor procura se certificar também de que os
saldos atuais, que serão os saldos iniciais do fluxo de caixa ao qual será
somado o valor dos fluxos futuros, são corretos. Da mesma forma que o fluxo
de caixa futuro, esses saldos iniciais serão trazidos a valor presente, utilizando-
26

se, por exemplo, a sistemática adotada para a contabilidade pela correção
integral.
O consultor procura também se certificar das projeções da empresa
utilizando-se de informações externas, de terceiros. Uma fonte importante é a
tendência da história das empresas concorrentes e como essas empresas
estão vendo o futuro. Outra fonte externa importante é o setor em que a
empresa opera. Ou, também, os órgãos de classe, o governo, ou as empresas
congêneres do exterior. Considerar também a tendência de mercado é algo
muito importante. Por exemplo, avaliar o preço de uma empresa fabricante de
aparelhos de fax de mesa é algo impossível, pois esta empresas já estão
entrando em decadência, já que o fax de mesa está sendo substituído pelo fax
via computador ou pela própria Internet. É a mesma coisa de um fabricante de
aparelhos de telex ou de máquina de escrever: são máquinas recentes que já
viraram peça de museu.
Toda essa pesquisa tem por objetivo permitir ao consultor formar
uma opinião sobre o negócio e sobre as suas perspectivas futuras, cujo único
objetivo é o de confirmar as cifras que foram projetadas no fluxo de caixa.
Aliás, esse fluxo de caixa é que será a base para determinar o valor da
empresa para fins de negócio entre comprador e vendedor.
* Goodwill: expressão em inglês que significa, literalmente “boa vontade”, mas,
aplicada à atividade empresarial denota a reputação que esta e/ou seus produtos gozam junto
aos consumidores. Uma empresa obtém essa condição por meio de qualidade dos seus
produtos e de sua propaganda e publicidade, mas também por meio de atitudes e
procedimentos como financiamento de campanha humanitária, a defesa do meio ambiente, o
apoio a esportistas e artistas, etc., o que, de uma forma direta ou indireta ajuda a criar uma
imagem positiva junto aos consumidores (efetivos ou potenciais) de seus produtos. O goodwill
é considerado um ativo da empresa e, no caso de venda da mesma, ele é avaliado e entra
como parte do seu valor.
27

Destruição criativa, essencial para o progresso3
Gary S. Becker4
Ainda que a capacidade de empreender seja um conceito difícil de
definir, os economistas reconhecem sua importância desde a análise brilhante
do desenvolvimento econômico feita pelo grande economista austríaco Joseph
Schumpeter, na virada do século. Indivíduos com visão, dispostos a arriscar
seu próprio dinheiro e o de outros investidores em novos produtos, são o motor
que combina capital humano e físico, estimulando o crescimento econômico e
o progresso.
Um ambiente que favorece empreendimentos de sucesso tem como
característica uma “destruição criativa” permanente, nos termos do próprio
Schumpeter. Novas empresas prosperam e ajudam a economia em parte
destruindo os mercados de concorrentes estabelecidos. Entre os exemplos
podemos citar a concorrência feita aos telefones tradicionais pelo telefone
celular, o corroído mercado dos pequenos varejistas de frutas e verduras, dada
a maior eficiência dos supermercados, e o declínio acentuado do mercado de
computadores da IBM após a introdução dos PCs de rede pela Sun
Microsystems e outras empresas. Países que protegem os mercados e rendas
de empresa já existentes impedem a destruição criativa, tão essencial ao
progresso.
Embora algumas culturas encorajem a capacidade empresarial mais
do que outras, todas as culturas têm reservas de talento que vêm à tona
quando o ambiente é propício para negócios. Chineses prosperam nos
negócios na Indonésia, Malásia e Cingapura, enquanto são impedidos de
utilizar seus talentos na China comunista. O Chile descobriu reservas enormes
de capacidade empresarial após as reformas de livre mercado dos anos 80.
Regulamentação e burocracia são os principais obstáculos à
formação dos novos negócios. Entre os mais onerosos estão as licenças e
outras exigências que atrasam enormemente a aprovação oficial para novos
3
Gazeta Mercantil, 2 de maço de 1998, pág. A-3. Artigo publicado originariamente na Business Week.
4
Prêmio Nobel de Economia em 1992. Professor da Universidade de Chicago e membro da Hoover
Institution.
28

empreendimentos. Alguns países chegam a exigir certificação de que a nova
empresa é “necessária” numa particular localidade ou setor industrial -
aprovação freqüentemente recusada.
Os impostos sobre lucros, ganhos de capital e propriedade são
freqüentemente tão opressivos que também eles desencorajam os que querem
começar. Embora os impostos sobre os lucros das empresas e sobre ganhos
de capital nos Estados Unidos sejam moderadamente pesados, as brechas na
legislação são suficientemente abundantes para permitir que muitos dos novos
ricos amealhassem sua fortuna via novos investimentos. Isso também é
verdade em Hong Kong, Taiwan e Chile.
Os países europeus, infelizmente, erigiram sérias barreiras nesse
caminho para a riqueza. Um bom exemplo é a Suécia, famosa pela eficiência
competitiva de empresas como a L.M. Ericsson, Volvo e ABB - Asea Brown
Boveri. Todavia, com poucas exceções, elas foram fundadas entre 1875 e
1915, auge do crescimento sueco e do livre mercado. Apenas um pequeno
número de empresas suecas importantes, como a Tetra-Pak Processing
Systems, foi criado em anos recentes, em razão dos impostos confiscatórios e
da pressão igualitária nos mercados de trabalho. Frustradas, algumas das mais
bem-sucedidas empresas, como a ABB, mudaram sua sede e fábricas para o
exterior.
Mesmo em países europeus, com um grande número de pequenas
empresas, como a Itália, os executivos se queixam das regulamentações
intrusivas que desencorajam e prejudicam os que desejam iniciar um negócio.
Estão impressionados como é mais rápido obter aprovação para suas fábricas
nos Estados Unidos, embora estejam começando a se preocupar com o
número crescente de litígios e regulamentações ambientais.
Estatísticas da Organização para Cooperação e Desenvolvimento
Econômico confirmam que o capital de risco é mais abundante nos Estados
Unidos do que na Europa, e que a América investe muito mais desse capital
em novos projetos. Além disso, muito desse dinheiro é investido em empresas
de alta tecnologia em Silicon Valley e em outros centros de energia
empresarial.
29

Uma conseqüência disso foi o crescimento do emprego. Há
evidência de que empresas menores forneceram cerca da metade dos novos
empregos durante o “boom” do emprego que começou nos anos 80. Em
contraste, a Europa não experimentou, de um modo geral, um crescimento do
emprego no setor privado nas últimas décadas.
Outra vantagem é a renovação da vitalidade das grandes empresas
de capital aberto. Há enormes oportunidades na América para pequenas
empresas crescerem. A listagem do Financial Times das cem maiores
empresas do mundo contém muitas empresas européias, mas quase todas
elas fundadas muitos anos atrás. Em contraste, Microsoft, Intel, Wal-Mart
Stores, Hewlett-Packard, McDonald’s e outras empresas americanas listadas
forma fundadas apenas umas poucas décadas atrás e se tornaram grandes
empresas.
Impressiona-me o número de pessoas que acredita que ganhará
muito dinheiro começando um novo negócio. A grande maioria fracassará ao
tentar levar adiante suas idéias. Ainda assim, esses sonhos conduzem uma
economia para novos apogeus quando encorajados por uma atmosfera
regulatória favorável e baixos impostos sobre lucros, ganhos de capital e
rendimentos.
30

ANÁLISE DE
REGRESSÃO
1. Introdução
2. A regressão linear
3. Método dos mínimos quadrados
4. Inferência em análise de regressão
5. O coeficiente de determinação (r2
)
6. Intervalos de confiança
7. Observações discrepantes
8. Conclusão
31

1. INTRODUÇÃO
O objetivo principal da análise de regressão é predizer o valor de uma variável
(a variável dependente), desde que seja conhecido o valor de uma variável
associada (a variável independente). A equação de regressão é a fórmula
algébrica para determinação do valor previsto da variável dependente.
Mais especificamente, a análise de regressão compreende o exame de dados
amostrais para saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas
uma com a outra numa população, propiciando, como resultado, uma equação
matemática que descreva o relacionamento. Tal equação pode ser usada para
estimar ou predizer valores futuros de uma variável quando se conhecem ou se
supõem conhecidos os valores da outra variável.
Os dados para a análise de regressão resultam de observações de variáveis
emparelhadas. Para um problema de duas variáveis, cada observação origina
dois valores, um para cada variável. Por exemplo, um estudo que envolva
características do mercado específico (de carros usados) poderia focalizar
níveis de quilometragem e preços de carros.
2. REGRESSÃO LINEAR
A regressão linear simples constitui uma tentativa de estabelecer uma equação
matemática linear (linha reta) que descreva o relacionamento entre duas
variáveis e que seja fácil de lidar e de interpretar.
2.1 Equação Linear
Duas importantes características da equação linear são o coeficiente angular
da reta e a cota da reta em determinado ponto. Uma equação linear tem a
forma:
y = a + bx
em que a e b são valores que se determinam com base nos valores amostrais;
a é a cota da reta em x=0, e b é o coeficiente angular. A variável y é aquela a
ser predita, e x é o valor preditor.
A Fig.1 ilustra a relação entre o gráfico de uma reta e sua equação. A reta, com
equação y = a + bx, intercepta o eixo dos y's no ponto y = a. Esse ponto é
chamado intercepto-y. O coeficiente angular da reta, b, indica a variação de y
por unidade de variação de x.
32

Fig.1 A reta de regressão
y = a + bx
y Coef. angular = b = ∆y
x ∆x
y = a
Consideremos a equação linear y = 5 + 3x. A reta intercepta o eixo dos y's no
ponto em que y = 5. O coeficiente da reta é 3, o que significa que a cada
unidade de variação em x, correspondem 3 unidades de variação de y.
Podemos usar a equação para determinar valores de y correspondentes a
valores de x, como se vê na tabela abaixo.
Valor de x Valor de y (Calculado de y = 5 + 3 x x)
2,0 5 + 3 x 2,0 = 11,0
3,1 5 + 3 x 3,1 = 14,3
7,2 5 + 3 x 7,2 = 26,6
2.2 Decisão por um Tipo de Relação
Deve-se atentar para o fato de que nem todas as situações são bem
aproximadas por uma equação linear. Por isso, em geral é necessário
desenvolver um trabalho preliminar para determinar se um modelo linear é
adequado. O processo mais simples consiste em grafar os dados e ver se uma
relação linear é adequada. Vejamos os gráficos da Fig.2:
Fig.2 situações diversas para regressões lineares
a. b.
33

c. d.
e. f.
Quando os dados não podem ser aproximados por um modelo linear, as
alternativas são procurar um modelo não-linear conveniente, ou transformar os
dados para a forma linear.
2.2.1 Análises de séries cronológicas
Vamos verificar a pertinência de equações lineares, analisando as relações
entre variáveis. O que se espera é que os dados históricos expressem relações
causais e que, ademais, sejam estáveis no tempo. Com isto, as previsões
tornam-se extremamente simples e baratas de serem obtidas.
Infelizmente para o analista, sua ação neste campo não será das mais fáceis.
Vemos, na próxima seqüência de figuras, que, em alguns casos, encontramos
produtos, marcas e serviços, cuja demanda progride regularmente com o
passar do tempo (Fig.3a), enquanto, em outros casos, há comportamentos
menos previsíveis.
A Fig.3b, em especial, sugere produtos - bastante influenciados pelo ambiente
econômico -, cujas vendas variam na dependência de promoções de preços,
campanhas publicitárias, modas passageiras etc. Nesse caso, análises de
séries cronológicas e jogos estatísticos não serão de grande valia. O
34

desamparo do analista poderá diminuir pela recorrência a métodos de opinião
(de compradores, de especialistas ou de força de vendas).
Entre os extremos aludidos acima, temos as situações intermediárias,
representadas pela Fig.3c, em que vemos três forças sistemáticas reais em
atuação, sendo a primeira a tendência que resulta do processo de crescimento
e de desenvolvimento econômicos.
A segunda força é o ciclo, que motiva os movimentos variáveis das vendas e
resulta, muitas vezes, das variações das atividades econômicas.
Por fim, temos a força sistemática dada pela estação, que decorre de eventos
sazonais como férias e condições climáticas, em especial.
E se tudo isto não bastasse, temos de lidar ainda com fatores erráticos como
greves, concorrência inesperada, pacotes governamentais, dentre outros.
Fig. 3a Fig. 3b Fig. 3c
2.3 Determinação da Equação Matemática
Com o objetivo de levantarmos um modelo preditivo, com base na análise de
regressão, vamos nos utilizar do exemplo do Quadro 1, para determinar se há
alguma relação entre quilometragem e preços dos carros de um determinado
modelo. Isto é, queremos saber se e como o preço dos veículos varia com a
quilometragem dos mesmos. Em linguagem de regressão, a quilometragem
seria a variável independente, ou explicativa, e o preço dos veículos a variável
dependente, ou explicada. Ademais, é tradicional usar o símbolo x para
representar valores da variável independente e o símbolo y para valores da
variável dependente.
Repetindo:
Na regressão, os valores "y" são preditos com base em valores dados ou
conhecidos de "x". A variável "y" é chamada dependente, e a variável "x",
variável independente.
35

Suponha-se que tenhamos coligido dados de venda do veículo "GOL", modelo
CL, ano 1992, junto a vendedores de veículos em Belo Horizonte (na zona de
comércio do Estádio Mineirão). Segue uma possível tabela de apresentação de
dados amostrais, originados aleatoriamente.
Quadro 1. Quilometragens e preços dos veículos
Observação Quilometragem
(1.000 kms)
Preços
Negociados
(R$1.000)
1 40 1000
2 30 1500
3 30 1200
4 25 1800
5 50 800
6 60 1000
7 65 500
8 10 3000
9 15 2500
10 20 2000
11 55 800
12 40 1500
13 35 2000
14 30 2000
Os dados da tabela acima são plotados no gráfico da Fig.4 a fim de decidirmos
se uma reta descreve adequadamente os dados. Conquanto seja evidente a
impossibilidade de achar uma reta que passe por cada um dos pontos do
diagrama, parece que uma relação linear é razoavelmente consistente com os
dados amostrais.
Fig.4 Expressão gráfica dos dados do Quadro 1
Preço ($)
km
36

3. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS
O método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos é
conhecido como método dos mínimos quadrados. A reta resultante do uso
desse método, tem duas características importantes: (1)a soma dos desvios
verticais dos pontos em relação à reta é zero, e (2)a soma dos quadrados
desses desvios é mínima (isto é, nenhuma outra reta daria menor soma de
quadrados de tais desvios). Simbolicamente, o valor minimizado será:
∑(yi - yc)2
sendo,
Yi = um valor observado de y
Yc = o valor de y calculado a partir do método dos mínimos quadrados, com
os valores xi correspondentes a yi.
Os valores de a e b para a reta Yc = a + bx que minimiza a soma dos
quadrados dos desvios são dados por:
b = n∑(XY) - ∑X∑Y
n∑X2
- (∑X)2
a = ∑Y - bΣX
n
Podemos usar o método dos mínimos quadrados para obter uma reta para o
exemplo dos preços dos veículos face às quilometragens apresentadas. Das
equações acima é evidente que para determinar a equação linear, devemos
primeiro calcular ∑X, ∑Y, ∑X2
, ∑XY, além de ∑Y2
para uso no cálculo do
coeficiente de determinação, conforme veremos adiante.
Note-se que, sendo n (o número de observações amostrais) igual a 14,
teremos:
b = -38,56 a = 2.934
Vale dizer, a equação de regressão resultante é: yc = 2.934 - 38,56x
A equação pode ser interpretada da seguinte forma: o preço esperado dos
veículos é de $2.934 menos $38,56 para cada 1.000 kms rodados. Por
exemplo: para um veículo com 20.000 kms rodados, a equação sugere um
preço de $2.163.
Outrossim, cabe reconhecermos certos fatos relativos à equação de regressão.
Um deles é que se trata de uma relação média e, assim, um carro com
determinada quilometragem não custará, necessariamente, o preço previsto ela
equação.
37

Outro ponto importante é que seria muito arriscado extrapolar essa equação
entre preço e quilometragem para fora do âmbito dos dados. Vale dizer que se
estamos contentes em verificar uma relação causal de preço e quilometragem
em Belo Horizonte, nada nos autoriza a extrapolar conclusões para o Rio de
Janeiro, por exemplo, cidade litorânea com enormes problemas derivados da
ação da maresia sobre os carros.
4. INFERÊNCIA EM ANÁLISE DE REGRESSÃO
Os dados amostrais usados para calcular uma reta de regressão podem ser
encarados como um número relativamente pequeno de observações possíveis,
provenientes de uma população infinita de pares de valores. Nesse sentido, a
reta de regressão calculada pode ser encarada como uma estimativa da
relação real, porém desconhecida, que existe entre as duas variáveis na
população. Logo, os coeficientes de regressão a e b servem como estimativas
pontuais dos dois parâmetros populacionais correspondentes, A e B, e a
equação Yc= a + bx, é uma estimativa da relação populacional y = A + BX + e,
onde e representa a dispersão na população (variável estocástica).
A Fig.5 ilustra o conceito de uma população de pares de valores. Note-se que,
mesmo nessa população, os valores não se dispõem segundo uma única linha
reta, mas tendem a apresentar certo grau de dispersão. De fato, se não
houvesse dispersão na população, todas as observações amostrais estariam
sobre uma reta, e não haveria necessidade de fazer inferências quanto aos
verdadeiros valores populacionais. Infelizmente, na vida real, são poucos os
exemplos de população sem dispersão.
Fig.5 Dados populacionais
Uma pergunta que se pode fazer é: "Por que existe dispersão?" A resposta
está no fato de não existir um relacionamento perfeito entre duas variáveis na
população. Há outros fatores que influenciam os valores da variável
dependente, talvez mesmo um número surpreendentemente grande de
influências não consideradas na análise de regressão.
38

Os níveis de preços de carros, no caso em questão, são influenciados por
outros fatores além da quilometragem: condições climáticas, idade e profissão
dos vendedores, propaganda etc. Deveriam tais variáveis ser incluídas no
estudo? A influência de cada uma delas provavelmente é pequena, e o custo
da inclusão de tais fatores na análise supera o benefício que adviria de sua
consideração. Além disso, um ou dois fatores geralmente respondem por
quase toda a gama da variável dependente, de modo que pouco se ganha
procurando explicar completamente como se determina o preço dos veículos,
no nosso exemplo. E o que é mais importante, o número de variáveis
explanatórias potenciais é tão grande que seria sem dúvida impossível (ou
altamente improvável) obter uma descrição perfeita. Uma conseqüência disso é
que sempre haverá alguma dispersão. Assim é que há muitas equações de
regressão diferentes, que poderiam concebivelmente ser obtidas, conforme
sugerido na Fig.6.
Fig.6 Possibilidades de retas de regressão
y = a+bx
A dispersão na população significa que, para qualquer valor de x, haverá
muitos valores possíveis de y. Assim, se se vende um lote de veículos com
igual quilometragem, os preços variarão conforme ilustra a Fig.7.
Fig.7 Dispersão em torno da reta Fig.8 Dispersão em
torno
de regressão da média
y
Freq. Relativa
(%)
x ym
39

A análise de regressão supõe que, para cada valor possível de x, há uma
distribuição de y's potenciais que segue a lei normal. Tal é a chamada
distribuição condicional (isto é, dado x). A distribuição condicional equivale a
uma fatia vertical da população tomada em dado valor de x. A média de cada
distribuição condicional é igual ao valor médio de y na população para esse
particular x: y = A + BX e estimada por yc = a + bx. Vejamos a Fig.9 que segue.
Fig.9 A restrição de "normalidade" na análise de regressão
Reta de Regressão
(Valores de Yc)
0 x1 x2 x3
Admite-se, além disso, que todas as distribuições condicionais tenham o
mesmo desvio-padrão e que Y seja uma variável aleatória (isto é, os X's podem
ser pré-selecionados, mas não os Y's). Assim, as hipóteses da análise de
regressão são as seguintes:
a) Existem dados de mensurações tanto para X como para Y.
b) A variável dependente é aleatória.
c) Para cada valor de X há uma distribuição condicional de Y's que é normal.
d) Os desvios padrões de todas as distribuições condicionais são iguais.
5. O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO (r2
)
Uma medida útil associada à análise de regressão é o grau em que as
predições baseadas na equação de regressão superam as predições baseadas
num Y médio, Ym. Isto é, se as predições baseadas na reta não são melhores
que as baseadas no valor médio de y, então não adianta dispormos de uma
equação de regressão. Nesse caso, o coeficiente de determinação, r2
, nos
auxilia na aferição da qualidade do modelo para fins de previsão.
40

Consideremos a dispersão de pontos na Fig. 10, em torno de um valor Ym, em
oposição à dispersão (vertical) de pontos em torno da reta de regressão, tal
como na Fig. 11. Se a dispersão associada à reta é menor que a dispersão
associada ao Ym, as predições baseadas na reta serão melhores.
Fig. 10 Fig.11
y
Dispersão de pontos em torno da
média do grupo ( y
_
)
y Dispersão de pontos em torno da
reta (yc)
yc
y
_
y
_
x x
A variação de pontos em torno de ym é chamada variação total e se calcula
como uma soma de desvios elevados ao quadrado:
variação total = ∑(yi - ym)2
Já os desvios verticais dos yi's em relação à reta de regressão chamam-se
"variação não-explicada", porque não podem ser explicadas somente pelo valor
de “x” (isto é, ainda há uma dispersão, mesmo depois de se levar em conta a
reta). A variação não-explicada se calcula como a soma de quadrados em
relação à reta:
variação não-explicada = ∑(yi - yc)2
A quantidade de desvio explicada pela reta de regressão é a diferença entre a
variação total e a variação não-explicada, ou:
variação explicada = variação total - variação não-explicada
A percentagem de variação explicada, r2
, é a razão da variação explicada para
a variação total:
r2
= variação explicada = variação total - variação não-explicada
variação total variação total
41

Um modo simples de cálculo deste coeficiente nos é dado a seguir:
r2
= a∑y + b∑(xy) - nym
2
∑y2 - nym
2
em que ym
2
= y médio ao quadrado =
y
n
∑





2
Para nosso exemplo, temos: r2
= 0,81
O valor de r2
pode variar de 0 a 1. Quando a variação não-explicada constitui
uma grande percentagem da variação total (isto é, a variação explicada é uma
percentagem pequena), r2
será pequeno. Inversamente, quando a dispersão
em torno da reta de regressão é pequena face à variação total dos valores de Y
em torno de sua média, isso significa que a variação explicada responde por
uma grande percentagem da variação total, e r2
estará muito próximo de 1,00.
Logo, o fato de que r2
seja igual a 0,81, em nosso exemplo, indica que
aproximadamente 81% da variação nos preços dos veículos estão relacionados
com a quilometragem dos mesmos. Em outras palavras, 19% da variação não
é explicada pela quilometragem, assim sendo, as predições baseadas na
equação de regressão se aproximarão satisfatoriamente dos níveis de preços
efetivos.Portanto, o fato de r2
não estar próximo de zero sugere que a equação
é melhor que a média Ym como preditor.
6. INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA
O modelo desenvolvido em termos da equação da reta nos é útil para
previsões da variável resposta (Y) para níveis desejados da variável controle
(X). Além disso, é fundamental que saibamos o intervalo de confiança dentro
do qual deva ocorrer o valor da variável dependente, a partir de um valor
qualquer da variável independente. Vale dizer que importa saber o intervalo de
confiança para o preço, relativamente a possíveis quilometragens.
Para tanto, a fórmula de cálculo nos é dada por:
IC = y ± t(n-2) x Se x
( )
( )
1
2
2
2
1
2
n
X X
X
X
n
m
+
−
−












∑
∑
em que t(n-2) é a estatística t-Student, para (n-2) graus de liberdade. Por
exemplo, como temos 14 observações, resulta haver 12 graus de liberdade
42

(GL). Enfim, desejando-se um grau de certeza para o intervalo de confiança
(95%, por exemplo) e tendo-se os GL's (12, no nosso caso), basta recorrer a
uma tabela estatística para a determinação do valor de t(n-2).
Exemplo: Qual a estimativa de preço médio para o grupo de carros de de
quilometragem de 45.000 kms, a um grau de certeza de 95%?
Y(45) = 2.934 - 38,56 x 45 = 1.199
e,
IC = 1.199 ± 2,179 x Se x (1/14 + (45 - 36,07)2
/ 3.608,9)1/2
Ademais, "Se" nos é dado por:
Se =
Y a Y b XY
n
2
1
2
2
− −
−






∑∑∑
em que n é o número de observações, igual a 14, no exemplo. Assim,
Se = (39.960.000 - 2.934 x 21.600 + 38,56 x 640.000)1/2
= 325,3
14 - 2
E o intervalo de confiança fica dado por:
IC(45) = 1.199 ± 2,179 x 325,3 x (1/14 + (45 - 36,07)2
/ 3.608,9)1/2
IC(45) = 1.199 ± 216,75
Outros exemplos já calculados:
IC(36) = 1.546 ± 189,4 IC(50) = 1.006 ± 250,8
IC(45) = 1.199 ± 216,8
Interpretação: de acordo aos dados coletados de quilometragem e preços,
pode-se esperar que o preço médio dos veículos com quilometragem média de
45.000 kms se situe no intervalo de $1.415,6 e $982,0, dado um grau de
certeza de 95%.
43

7. OBSERVAÇÕES DISCREPANTES
É freqüente, em análise de regressão, o aparecimento de pontos cujo
comportamento é bastante diferenciado das demais observações. A existência
dessas observações discrepantes num conjunto de dados pode trazer
problemas sérios no ajuste do modelo e na estimativa dos parâmetros. As
dificuldades podem ser melhor entendidas através do exemplo a ser discutido.
Na quadro a seguir aparecem dados sobre o número de telefones (X) e a
arrecadação de ICMS - Imposto de Circulação de Mercadorias e de Serviços
(Y), em 10(dez) sub-regiões administrativas do Estado de São Paulo.
Também foram adicionadas 3(três) outras sub-regiões: São Sebastião, São
José dos Campos e Região Metropolitana de São Paulo. As observações foram
padronizadas em relação ao número de habitantes de cada sub-região.
Estamos interessados em ajustar o modelo de equação linear ==> Y = a + bx.
Quadro 2. Número de Telefones e Arrecadação de ICMS
Sub-região X Y
Dracena 42 1,95
Adamantina 44 2,39
Avaré 48 2,50
Catanduva 53 3,22
Araçatuba 56 3,63
Lins 58 3,54
Assis 58 3,65
Franca 65 4,49
São Carlos 68 5,78
Extras
São Sebastião 77 1,14
São José dos Campos 86 13,94
São Paulo 138 12,66
X = No
de telefones x 100 y = Total de ICMS (em R$1.000)
No
de habitantes No
de habitantes
Para exemplificar a influência de observações discrepantes na modelagem,
vamos considerar quatro conjuntos de dados:
(i) Caso 1: formado pelas 9 sub-regiões básicas.
(ii) Caso 2: formado pelas 9 sub-regiões e São Sebastião.
(iii)Caso 3: formado pelas 9 sub-regiões e São José dos Campos
(iv) Caso 4: formado pelas 9 sub-regiões e São Paulo.
44

Para o caso 1, obtemos o modelo ajustado
Yc = -3,484 + 0,127x r2
= 0,93
O modelo estimado para o caso 2 é
Yc = 1,468 + 0,031x r2
= 0,07
Em primeiro lugar convém observar a grande diferença entre as estimativas
dos dois modelos. A observação introduzida está "arruinando" o modelo,
tirando-lhe qualquer força preditiva.
O caso 3 é estimado por
Yc = -9,832 + 0,248x r2
= 0,85
e tem comportamento inverso; a nova observação não altera substancialmente
a qualidade explicativa do modelo.
Finalmente, no caso 4, embora a nova observação seja diferente das demais,
ela não altera muito a estimativa do primeiro modelo, pois está alinhada com os
demais valores. O modelo, ajustado neste caso é
Yc = -2,700 + 0,112x r2
= 0,99
Essas diferenças ficam mais realçadas quando comparamos as estatísticas
associadas aos modelos conforme apresentado no quadro 3.
Quadro 3. Estatísticas Associadas aos 4 Modelos
Caso A b r2
n
1 -3,484 0,127 93% 9
2 1,468 0,031 7% 10
3 -9,832 0,248 85% 10
4 -2,700 0,112 99% 10
Existem várias razões para o aparecimento de pontos discrepantes. Alguns são
resultados claros de erro de mensuração, e devem ser corrigidos ou então
removidos do conjunto básico de dados. Para outros, após cuidadosa análise
das informações, encontra-se uma razão para a inadequação daquela
observação, o que justificaria sua eliminação, já que não esperaríamos outros
pontos como aquele na população. Por exemplo, no caso 2 sabemos que a
sub-região de São Sebastião é uma região litorânea, com muitas residências
temporárias, o que justificaria uma alta taxa de telefones, e com poucas sedes
de empresa na região, acarretando uma baixa arrecadação do ICMS. Como
não esperamos outra sub-região com tais características, é razoável ajustar o
modelo sem essa observação.
45

Outras vezes, o caso é perfeitamente legítimo, com nada de improvável ou
excepcional ocorrendo, mas com o par observado formando um ponto
discrepante em relação aos demais. Pode ser, inclusive, um daqueles
possíveis pontos, pouco prováveis de ocorrer, mas dentro das especificações
do modelo. Aqui a eliminação da observação pode produzir modelos de pouco
interesse para explicar o fenômeno real, e a manutenção do ponto introduz as
dificuldades discutidas acima. Tem sido procedimento usual a estimativa sem a
observação, mas na análise ressalta-se o fato, chamando a atenção para que a
análise seja adequada para aqueles pontos bem comportados, havendo porém
a possibilidade de existência de pontos com um particular comportamento
atípico. Diríamos que o caso 3 está nesta situação, já que esperamos algumas
outras poucas sub-regiões cuja arrecadação do ICMS deva ser alta, mas o
nível de telefones nem tanto. Assim, o modelo 1 seria adotado com ressalvas.
Quanto à situação do caso 4, embora o ponto discrepante não altere muito as
estimativas do modelo, somos da opinião de que pontos desse tipo devam ser
eliminados, pois, nesse caso, ele é praticamente único no Estado de São
Paulo, com valor exagerado da variável preditora x.
Assim, a presença de elementos discrepantes é um problema muito sério para
construção de modelos de regressão, e envolve três etapas:
(i) identificação de possíveis pontos discrepantes;
(ii) avaliação dos efeitos sobre os estimadores e previsões;
(iii)análise criteriosa para eliminação da observação.
8. CONCLUSÃO
A regressão linear é uma técnica destinada a estimar o relacionamento entre
duas variáveis, indo ao ponto de equacionar matematicamente tal
relacionamento. A equação gerada por meio do método dos mínimos
quadrados pode ser usada para predição de valores de uma variável
dependente, face aos movimentos da outra variável, dita independente. Já as
relações lineares são relativamente simples, fáceis de interpretar e servem de
aproximação para muitas relações da vida real.
Finalmente, realçamos que o coeficiente de determinação, o qual aponta a
qualidade do modelo preditivo, demonstra, muitas vezes, a base frágil sobre a
qual se assenta a ação empresarial. À luz de nossa experiência, tais
coeficientes em torno de 0,65 já representam alento considerável à ação
executiva.
46

ANÁLISE DE REGRESSÃO
EXERCÍCIOS5
1) Suponhamos que uma cadeia de supermercados tenha financiado um
estudo dos gastos com mercadorias para famílias de quatro pessoas. A
investigação se limitou a famílias com renda líquida entre $8.000 e $20.000.
Obteve-se a seguinte equação:
Yc = -200 + 0,10x r2
= 0,71
onde,
Yc = despesa anual com mercadorias
x = renda líquida anual
Suponha que os dados tenham sido obtidos por amostragem aleatória.
a) À luz do coeficiente r2
acima, qual sua opinião sobre a qualidade da reta
para previsão de despesas?
b) Estime a despesa de uma família de quatro pessoas com renda anual de
$15.000.
c) Um dos diretores ficou intrigado com o fato de a equação aparentemente
sugerir que uma família com $2.000 de renda não gaste nada em
mercadorias. Qual é a explicação?
d) Explique suscintamente por que a equação acima não poderia ser usada nos
casos seguintes:
1.Estimativa das despesas com mercadorias para famílias com cinco pessoas.
2.Estimativa das despesas com mercadorias para famílias com renda líquida
de $21.000 a $35.000.
2) Um grupo de pessoas fez uma avaliação do peso aparente de alguns
objetos. Com o peso real e a média dos pesos aparentes, dados pelo grupo,
obteve-se a tabela
Peso real 18 30 42 62 73 97 120
Peso aparente 10 23 33 60 91 98 159
Calcule o índice de correlação.
5
Extraídos de: CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil., STEVENSON, Willian. Estatística Aplicada à
Administração., DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada., WERKEMA, Maria
Cristina Catarino, AGUIAR, Sílvio. Análise de Regressão: Como entender o relacionamento entre as
variáveis de um processo, e alguns badulaques.
47

3) Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de
alunos da escola A:
X 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37
Y 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25
Verifique, graficamente, se existe correlação retilínea entre as variáveis;
Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlação.
4) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de
uma barra de aço varia conforme a temperatura:
Temperatura (ºC) 10 15 20 25 30
Comprimento (mm) 1003 1005 1010 1011 1014
Determine:
 o coeficiente de correlação;
 a reta ajustada a essa correlação;
 o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18ºC;
 o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35ºC.
(comente qual a ressalva necessária a esta estimação)
5) Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em
relação à variação de preço de venda, obteve a tabela:
Preço 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110
Demanda 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208
Determine o coeficiente de correlação;
Estabeleça a equação da reta ajustada;
Estime Y para x=60 e x=120.
6) Calcule a reta de regressão, sendo M2 a variável independente:
M2 = moeda em circulação
IPC = Índice de preços ao consumidor
Ano M2 IPC
1977 1286,7 60,6
1978 1389,0 65,2
1979 1497,1 72,6
1980 1629,8 82,4
1981 1793,3 90,9
1982 1952,9 96,5
1983 2186,3 99,6
1984 2374,7 103,9
48

1985 2569,7 107,6
1986 2811,6 109,6
1987 2910,1 113,6
1988 3069,9 118,3
1989 3223,1 124,0
1990 3327,8 130,7
1991 3425,4 136,2
7) Com base nos dados abaixo:
a - calcule os coeficientes da equação de regressão.
b - duplique cada valor de X e recalcule os coeficientes.
c - duplique os X’s e os Y’s originais e recalcule os coeficientes.
d - use os X’s originais mas some 2 a cada valor Y original e recalcule os
coeficientes.
Dados originais:
x 1 2 3 4 5 6 7
y 2 4 5 6 7 7 9
a - Equação =>
b -
x
y
Equação =>
Comentário:_____________________________________________________
c -
x
y
Equação =>
Comentário:_____________________________________________________
d -
x
y
Equação =>
Comentário:_____________________________________________________
49

8) Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energia
elétrica”(xi) e “volume de produção nas empresas industriais”(yi), fez-se uma
amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores:
xi∑ =11,34 yi∑ =20,72 xi
2
∑ =12,16 yi
2
∑ =84,96 x yi i∑ =22,13
Determine:
 o cálculo do coeficiente de correlação;
 a equação de regressão de Y para X;
 a equação de regressão de X para Y;
 Responda: há diferença entre o r2
de Y para X e de X para Y?
9) A tabela abaixo apresenta a produção de uma indústria:
Anos 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998
Quantidade 34 36 36 38 41 42 43 44 46
Calcule:
a) o coeficiente de correlação
Sugestão: para simplificar os cálculos, use para o tempo uma variável auxiliar,
por exemplo: xi’ = xi - 1994
b) a reta ajustada
c) a produção estimada para 1999.
Obs: lembre-se que foi usada uma variável auxiliar.
10) A variação no valor do BTN (Bônus do Tesouro Nacional), relativamente a
alguns meses de 1990, deu origem à tabela:
Meses abr. mai. jun. jul. ago. set. out. nov.
Valor (Cr$) 41,73 41,73 43,98 48,91 53,41 59,06 66,65 75,76
Calcule o grau de correlação;
Estabeleça a equação de regressão de Y sobre X;
Estime o valor do BTN para o mês de dezembro.
Sugestão: substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, ..., 8.
11) Uma companhia com 09 lojas compilou dados sobre a área de vendas (em
m2
) versus lucro mensal. Determine a equação de regressão, bem como o
coeficiente de determinação. Dê sua opinião quanto à pertinência desta reta
face aos dados levantados.
Comente se, de fato, lucro depende de lojas maiores ou menores.
50

Loja Lucro Mensal (em $1.000) M2
em (10.000)
A 45 55
B 115 200
C 120 180
D 75 90
E 170 260
F 130 200
G 75 85
H 105 180
I 200 300
12) Determine uma equação preditora do montante de seguro (em R$mil) em
função da renda anual (em R$milhão), com base nos dados abaixo. Após isto,
calcule o coeficiente de determinação e comente se a demanda de seguros
depende da renda das pessoas.
Renda Anual 20 25 26 18 16 17 32 13 38 40 42
Seguro 10 12 15 10 15 20 30 5 40 50 40
13) A tabela abaixo relata os custos de manutenção por hora, classificados por
idade de máquinas em meses. Determinar a reta dos custos sobre a idade e
fazer uma previsão de custo para uma máquina de 3 anos e meio. E, claro,
levante o coeficiente de determinação, comentando a capacidade preditora da
equação obtida.
Idade (meses) 6,0 15,0 24,0 33,0 42,0
Custos Médios ($) 9,7 16,5 19,3 19,2 26,9
14) A administração de um banco desejava estabelecer um critério para avaliar
a eficiência de seus gerentes. Para isto levantou, para cada um dos sub-
distritos onde possuía agência, dados a respeito do depósito médio mensal por
agência e o número de estabelecimentos comerciais existentes nesses sub-
distritos. São os seguintes os dados:
51

Sub-distritos No
. de Estabelecimentos
Comerciais
Depósito Médio por
Agência ($10.000)
Sabará 16 14
Casa Verde 30 16
Vila Formosa 35 19
Mooca 70 30
Brooklin 90 31
Jardins 120 33
Santo Amaro 160 35
Lapa 237 43
Pinheiros 378 50
a)Levante o coeficiente de determinação e explique o que ele representa neste.
b)Quais agências você imagina a mais e a menos eficientes?
15) Quando da realização do orçamento anual, a empresa Americana de
Tecidos levantou os seguintes custos de materiais indiretos face às horas de
máquinas empregadas na produção ao longo do ano:
Mês Horas de Uso
Direto de Máquinas
Custo de Materiais
Indiretos ($)
Jan 44.000 $875
Fev 41.000 850
Mar 45.000 875
Abr 43.000 850
Mai 36.000 750
Jun 22.000 550
Jul 23.000 500
Ago 15.000 450
Set 30.000 600
Out 38.000 700
Nov 41.000 800
Dez 44.000 850
a)Levante o coeficiente de determinação e comente a qualidade do modelo.
b)O que representa o coeficiente linear na equação levantada? E o coeficiente
angular?
c)Qual seria o custo variável de materiais indiretos esperado no caso de 28.500
horas de trabalho de máquina?
52

16) A Indústria MIMI vende um remédio para combater resfriado. Após 2 anos
de operação, foram coletadas as seguintes informações:
Trimestre Vendas
(10.000 unids)
Despesas com
Propaganda
Temperatura
Média no Trim.
1 25 11 2
2 13 5 13
3 8 3 16
4 20 9 7
5 25 12 4
6 12 6 10
7 10 5 13
8 15 9 4
a)Encontre as duas retas de regressão.
b)Qual das duas você acha estatisticamente mais adequada para prever as
vendas? Por que?
c)De acordo com a decisão acima, qual a previsão de vendas para um
trimestre em que a despesa de propaganda será 8? E para a temperatura
prevista de 10?
17) Tem-se abaixo dados relacionados ao número de semanas de experiência
de trabalhadores numa empresa de eletrônicos face ao número de itens
rejeitados durante um período de tempo qualquer.
Semanas de experiência 7 9 2 14 8 12 10 4 6 11
No
de itens rejeitados 26 20 38 16 23 18 24 26 28 22
Pede-se:
a) Determinar a equação de regressão e o coeficiente de determinação.
b) Esclareça o significado dos valores dos coeficientes de determinação e
angular encontrados no item anterior.
c) Vejam que o terceiro elemento da tabela acima tem 2 semanas de
experiência. Que comentários você faria a propósito deste elemento quanto a
sua influência no conjunto dos dados amostrais levantados?
18) É possível prever o tempo gasto no caixa de um supermercado como
função do valor da compra? Para responder a essa pergunta tomou-se uma
amostra de fregueses, medindo-se as duas variáveis. Os resultados estão no
quadro abaixo. Com base nele, determine a equação da reta e o coeficiente de
determinação. OBS: Resolva este exercício sempre com 06 decimais.
Freguês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tempo(min) 3,8 4,2 0,9 5,6 3,1 1,7 4,4 0,2 2,6 1,2
Valor($) 40 40 3 55 28 8 52 3 20 8
t = 2,306
53

a)Qual o tempo gasto para um freguês com despesa de $35?
b)Qual o tempo mínimo gasto por um freguês que dispendesse $35, a 95% de
certeza? (O valor t acima incorpora tal nível de certeza).
19) Um analista de uma empresa de transporte toma uma amostra aleatória de
9 carregamentos recentes por caminhão feitos por sua companhia e anota a
distância (em kms) e o tempo de entrega (em horas). Os valores levantados
são dados abaixo:
Distância 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670
Tempo 13,8 3,8 15,6 9,4 8,1 14,6 21,2 5,7 11,6
t(correspondente a um grau de certeza de 95%) = 2,365
OBS: Resolva este exercício sempre com 06 decimais.
a)Levante a reta de regressão e o coeficiente de determinação.
b)Explique os significados do coeficiente angular e do coeficiente de
determinação para os valores encontrados.
c)Qual o tempo esperado para uma viagem entre o Rio de Janeiro e Recife, na
distância de 2.200 kms?
d)A um grau de certeza de 95% (correspondente à estatística t acima), e se
você fosse o responsável pelo setor de transporte desta empresa, como
avaliaria o comportamento de um motorista que completasse um percurso de
1000 kms no tempo de 12 horas?
e)E para motoristas que fizessem este percurso em 18,5 horas; qual seria sua
avaliação?
20) Analise sua capacidade de conceituar:
a - regressão linear simples;
b - reta de regressão;
c - variável dependente;
d - variável independente;
e - cota da reta em y;
f - coeficiente angular;
g - método dos mínimos quadrados;
h - correlação;
i - intervalo de confiança.
54

RISCO E INCERTEZA
1. Projetos individuais
2. Portfólio de negócios
3. Carteira de títulos
55

1. INTRODUÇÃO
O Dicionário Escolar da Língua Portuguesa do Ministério da Educação e
Cultura, na sua 11a
edição, define risco como "perigo; probabilidade ou
possibilidade de perigo". Por outro lado, incerteza recebe definição de:
"hesitação; dúvida; que não é certo, conhecido". Vamos investir nas definições
acima, dando-lhes uma dimensão empresarial:
Risco: probabilidade de que retornos futuros fiquem abaixo de valores
esperados.
Mais formalmente, o risco existe quando as decisões são tomadas em conjunto
com a probabilidades relativas a vários resultados. Vale dizer, isso acontece
quando se dispõe de distribuições probabilísticas objetivas sobre de quê
resultados possíveis, as quais se baseiam normalmente em dados históricos.
Por exemplo, se o objetivo é determinar probabilidades relativas aos retornos
possíveis de um dado negócio, poder-se-ia desenvolver uma distribuição
probabilística baseada em dados históricos de retornos de outros negócios
assemelhados.
Incerteza: situação em que decisões não são amparadas por dados históricos
que permitam a formulação de distribuições probabilísticas objetivas.
Como fatores geradores do risco, citamos a situação econômica geral, os
fatores técnicos específicos dos projetos, as inovações tecnológicas, as
preferências dos consumidores, as condições do mercado de trabalho, dentre
outros. Todos esses elementos atuam para dificultar previsões de
desempenhos empresariais no tocante às receitas e as custos dos negócios.
Para a mensuração do risco, definido como "probabilidade" de perigo. será
adaptada a medida estatística convencional de dispersão em uma distribuição
de probabilidade o desvio-padrão. Por quê? Porque quanto menos esparsa a
distribuição de probabilidade de retornos esperados, menor o risco de um dado
negócio. Ou,em outras palavras, quanto menor a amplitude dos resultados
futuros esperados, menor o risco do empreendimento. Para uma
exemplificação, observe aFig.1, onde se compara dois ativos com diferentes
distribuições probabilísticas sobre seus retornos, mostra o relatado acima.
56

Fig.1 Distribuições Probabilísticas de 2 Ativos
Prob.
B
A
4.000
Valor Atual Líquido ($)
Verifica-se que se, por um lado, o valor esperado líquido para as duas
oportunidades tem a mesma dimensão ($4.000), por outro lado, as dispersões
imputadas a cada um são diferentes. Vemos que a proposta A é mais arriscada
que a B e, que se a administração da empresa que as analisa for avessa a
riscos, preferirá B a A. Entretanto, se essa mesma administração for confiante
o bastante na sua capacidade de lidar com desafios, preferirá o projeto A, visto
que este oferece oportunidades de ganhos superiores.
Conduziremos a análise de ativos com base em três seções distintas: para
negócios (ou ativos) individuais; para portfólios de negócios dentro de uma
mesma empresa e para carteiras de títulos (ações de empresas e/ou títulos de
débito) possuídos por investidores.
2. NEGÓCIOS INDIVIDUAIS E O RISCO
O enfrentamento do fator risco na avaliação de novos negócios pode ser feita
por 2(duas) formas mais destacadas: por meio de imputações probabilísticas
(Ver tópico Diagrama de Decisão) e através de ajustes na taxa de desconto
utilizada para cálculo de valores atuais líquidos (ou valores presentes).
É importante ter em mente as características de dependência e independência
dos fluxos de caixa de projetos no tempo, características estas que afetam
sobremaneira a aceitação de projetos de investimentos.
Independência dos fluxos de caixa no tempo
Esta hipótese nos diz simplesmente de situações em que resultados
alcançados no período t não dependerão do ocorrido em (t-1). Objetivamente,
pode se dizer que, para a maioria das propostas de investimentos, esta é uma
hipótese de difícil realização, pois, se um negócio não vai bem nos primeiros
períodos, quase certamente os demais estarão comprometidos, e vice versa.
Apesar disso, esta hipótese encontra-se presente em quase todos os livros-
texto de matemática financeira.
Dependência dos fluxos de caixa
Para a maioria dos negócios (ou projetos de investimentos), o fluxo de caixa
em cada um dos períodos depende dos fluxos precedentes. Assim, se as
57

entradas e saídas esperadas para determinado período não corresponderem à
expectativa, as dos períodos subseqüentes estarão também afetadas.
Vale dizer, projetos (ou negócios) que tenham fluxos correlacionados
positivamente ao longo do tempo, ou seja, projetos em que o ocorrido em t
depende do ocorrido em (t-1), serão mais arriscados do que aqueles onde se
verifica a independência dos fluxos de caixa no tempo.
2.1 Ajuste na Taxa de Desconto
Uma forma pela qual o risco pode ser levado em conta consiste, simplesmente,
em alterar a taxa de desconto proporcionalmente ao risco existente em cada
situação. Quanto maior o risco, mais elevada a taxa de desconto usada para
cálculo de valores atuais líquidos.
Naturalmente, a dificuldade relacionada a esse enfoque refere-se a um
adequado reajustamento na taxa de desconto. Geralmente o ajustamento
tende a ser arbitrário e a gerar inconsistências, pois flui dos sentimentos
pessoais dos executivos quanto ao risco deste ou daquele projeto.
Esse método de enfrentamento do risco parece, portanto, rudimentar para
decisões no campo do orçamento de capital, porém, encontra fortíssimo apoio
teórico nos autores Modiglianni e Miller (laureados com o Prêmio Nobel de
Economia) que já em 1958, dispunham que:
"Se uma empresa numa determinada faixa de risco 'k' está atuando no melhor
interesse de seus acionistas, ela explorará uma oportunidade de investimento
se e somente se a taxa de retorno sobre o investimento, digamos 'p*', superar
a taxa 'pk'".
Ademais, a facilidade de sua operacionalização o leva a ser mais amplamente
utilizado do que os métodos dos Equivalentes à Certeza (veremos adiante).
Com o exemplo abaixo, podemos entender melhor o método.
Dados para um projeto cujo padrão de risco não fuja do nível médio de risco
para projetos no interior da empresa:
Inv. Inicial = $10.000
Fc = $4.500 para 3 períodos à frente
Taxa de Desconto = 10% por período
então, o VAL do projeto será, utilizando nossa Equação
n
VPL = ∑ FCt = 0
t=0 (1 + i)t
58

VPL = -10.000 + 4.500/1,101
+ 4.500/1,102
+ 4.500/1,103
= $1.191
Decisão : como VPL > 0, aceita-se o projeto.
Os executivos da empresa, porém, poderiam ter o sentimento de que esse
projeto em análise fugiria do padrão de risco da empresa e, por isto, deveria
ser penalizado com uma elevação substancial sobre a taxa de desconto de,
digamos, 8%. Assim:
i' = Taxa ajustada de desconto = i + 8% = 18%, e o valor do projeto se alteraria
para:
VAL = -10.000 + 4.500/1,18 + 4.500/1,182
+ 4.500/1,183
= $-217
Decisão: como VPL < 0; rejeita-se o projeto.
Em resumo, o método é de fato simples e esta simplicidade de aplicação o leva
a ser mais amplamente aceito e utilizado que os demais. O uso desta ou
daquela taxa desconto, à par os riscos dos projetos, fica entregue aos
sentimentos pessoais da alta administração.
Por outro lado, esse método oferece "defesas" para os profissionais de
administração na medida em que podemos utiliza-lo contra exageros
formulados freqüentemente por elementos técnicos de outras áreas quanto às
vicissitudes dos projetos, em termos dos benefícios que gerariam. Nesse
sentido, a solução menos conflituosa no âmbito da empresa seria apenas a de
reajustar mais fortemente a taxa de desconto, reduzindo, conseqüentemente, o
valor atual líquido dos projetos cujas qualidades estivessem sendo exageradas.
2.2 Coeficiente à Certeza
VAL =
( )∑= +
×n
t iL
ftFC
t
0 1
Em que: iL = Taxa Livre de Risco
ft = coeficiente à certeza
A idéia central da análise de risco via coeficiente à certeza é o ajuste do risco
vinculado a cada fluxo de caixa. Uma vez que a percepção do risco já foi
expressa através do coeficiente à certeza, não há que se pensar em
novamente embuti-lo na taxa de desconto. Aí reside a importância de ser
utilizada uma taxa livre de risco (iL), para não estar superdimensionando do
risco.
59

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