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Was ist angesagt?
Was ist angesagt? (20)
春休み自由研究 コラッツ予想
- 2. コラッツ予想とは… 任意の正の整数(1以上) n について、 ● n が偶数なら n / 2 ● n が奇数なら 3n + 1 この操作を繰り返し適用すると、どんなnについてもきっと1になる！ ● 7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1
- 4. プログラマーの視点で遊ぶ ● 数を2進数で見る。 ○ 7 = 111(2) ○ 6 = 110(2) ● 先頭ビットが0なら右シフト ○ 110 → 11 ● 先頭ビットが1なら ○ 101 1010 左シフト (2n) 1111 元の値と加算 (2n + n) 10000 1を足す ● つまり、単純なビット判定・ビットシフト・加算だけで表現できる！
- 5. 数をビット配列で見る プログラミング的都合から、桁の数え方を逆にします。 10 = [0,1,0,1] = 0101 左が低位ビット、上が高位ビット 5 = 101 6 = 011 7 = 111 8 = 0001 1234567890 = 0100101101000000011010011001001 などなど
- 6. 7が処理される様子 [ 0] 111 [ 1] 01101 [ 2] 1101 [ 3] 010001 [ 4] 10001 [ 5] 001011 [ 6] 01011 [ 7] 1011 [ 8] 000101 [ 9] 00101 [10] 0101 [11] 101 [12] 00001 [13] 0001 [14] 001 [15] 01 [16] 1
- 13. n / 2の減り方 0000011001001 0が続くと、増えるチャンスが無いまま喰われてしまう 11001001 1が立っていれば、(3n+1) / 2で、 差し引き0.58桁くらい増える
- 14. D言語くん救出計画 ● 桁が増える方向には上限がある。(約1.58桁) ● 下からの桁の削除は、0が連続していれば何桁でも削られてしまう。 ● だが、もし神のようなビット列があって、下に1を多く出現させることができたら？ 111111111100000000000000000001 神
- 15. ビット列でプログラミングする 使えそうなメンバーを紹介するぜ！ ● 111000111000……といったビット列は、3n+1の2ステップで1の連続になる ○ 11100011100 ○ 011100011101 ○ 10101010101 ○ 1111111111111 ○ ※ +1は遥か下のビットと見なして無視しています。 ● 1111……というビット列は、前のビットを高位ビットにワープさせる ○ 1 + 1111…..11 ○ 0000000 ... 001
- 16. アルゴリズム妄想 ● 11100011100 … といったビット列を用意する。 ● の直前で111111111000000...0001といったビット列に変化させる。 ● が111...111を喰っている間に、ワープ先で新たに111000111000...を用意 する。 周期的にこんなビット列が作れるよう プログラミングできれば、 D言語くん救出成功！
- 17. 1010011001001
- 21. 1010011001001
- 28. 3n+1で、初期値の情報が保存されない ● 加算(XORと桁上げ)は情報を壊す作用があるみたい……。 ● 3nでは、実はビット数が増えるパターンは孤立した”1”のみ。 ○ 1 → 11 ○ 11 → 1001 ○ 111 → 10101 ○ 1111 → 101101 ○ 11111 → 1011101 ○ つまり、n個の1の連続は、10 (1がn-2個) 01になる。1が増えず、歯抜けになっていく。 ● 3n が作るビットパターンはランダムに近い ○ 無理数を計算する過程そのものだから？ ○ 実測したところ、3n+1の1ステップで平均2桁ずつ削られる。 ○ 伸びるほうは約1.6桁ずつなので、いずれ桁が全て喰われてしまう。
- 33. 参考：単純な3n の場合(拡大)
- 35. これから ● 3nは自分自身を使ったハッシュ計算に似ていて、暗号理論や情報エントロピーとの 関連がありそう。 ○ 2n -1といった偏った(1通りしかない)ビット列から、徐々に類似パターンの多いビット列に変化してい く。 ● コラッツ予想のような、状態に対して繰り返し同じ計算を適用する漸化式は、物理 法則の簡単なモデルとも考えられそうな気がする。 ○ 宇宙は、物理法則の再帰的な適用によって、情報の詰まった初期状態から現在の均一な状態に なった、とも見なせる。