ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق

2015 / 2016
‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫العلمي‬ ‫السادس‬
‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬
‫المنصور‬-‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬
80087430770

2015 / 2016
‫ا‬
‫الرياضيات‬ ‫ملزمة‬
‫العلمي‬ ‫السادس‬
‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬
‫المنصور‬-‫دراغ‬ ‫حي‬ ‫جامع‬ ‫مجاور‬
80087430770

[ 1 – 1 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬
‫األستاذ‬‫الشمري‬ ‫احمد‬5/ ‫الطباعية‬ ‫للخدمات‬ ‫المرسل‬80087450770
‫ا‬‫لفصل‬‫االول‬(‫المركبة‬ ‫االعداد‬):
1]–1[‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫توسيع‬ ‫الى‬ ‫الحاجة‬:‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫نحاول‬ ‫عندما‬+16 = 02
x:‫ان‬ ‫نجد‬
x2
+16 = 0 ⇒ x2
= -16 ⇒ x = ± √−16 = ± √16. √−1 = ± 4√−1
‫قيمة‬ ‫فما‬√−1‫ي‬ ‫مربعه‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫وهل‬ ‫؟‬‫س‬‫ا‬‫وي‬(-1).‫كهذا‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫انه‬ ‫الواضح‬ ‫من‬‫والعجز‬
‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫في‬ ‫المعادلة‬ ‫هذه‬ ‫مثل‬ ‫حل‬ ‫عن‬0=16+2
x‫في‬ ‫الرغبة‬ ‫أوجد‬ , ‫حل‬
‫للمعادلة‬ ‫يكون‬ ‫بحيث‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجال‬ ‫يضم‬ ‫جديد‬ ‫مجال‬ ‫على‬ ‫الحصول‬0=16+2
x‫المجال‬ ‫هذا‬ ‫في‬ ‫حل‬
( ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫بمجال‬ ‫يسمى‬ ‫ما‬ ‫ابتكار‬ ‫الى‬ ‫ذلك‬ ‫ويدفعنا‬ ‫الجديد‬Complex Number‫فرضن‬ ‫فاذا‬ )‫ـــــــــــــــ‬‫ا‬
‫ان‬i = √−1‫كلمة‬ ‫من‬ ‫االول‬ ‫الحرف‬ ‫وهو‬(Imaginary Numbers)‫ا‬‫ي‬‫االعداد‬‫الخيالية‬‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫فان‬
‫المعادلة‬0=16+2
x‫هي‬{4i±}
‫الجبرية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫ولكنه‬ ‫والقياس‬ ‫العد‬ ‫مع‬ ‫تقترن‬ ‫التي‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫ليس‬ ‫هو‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫ان‬‫لألعداد‬‫ما‬ ‫الحقيقية‬
.‫الترتيب‬ ‫خاصية‬ ‫عدا‬
‫قوى‬i:-i = √−1
i2
= -1
i3
= i2
. i = -1 . i = -i
i4
= i2
. i2
= (-1) . (-1) = 1 ⇒ ∴ i4
= 1
:‫يكون‬ ‫عندما‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
i4n + r
= ir
, n ∈ N . r = 0 , 1 , 2 , 3 …
‫رفع‬ ‫عند‬ ‫انه‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬i‫المجموعة‬ ‫عناصر‬ ‫احد‬ ‫يكون‬ ‫فالناتج‬ ‫موجب‬ ‫صحيح‬ ‫لعدد‬{i , -1 , -i , 1}‫اس‬ ‫نقسم‬ ‫حيث‬
i‫على‬4‫لـ‬ ‫الجديد‬ ‫االس‬ ‫هو‬ ‫والباقي‬i:
/‫مثال‬i = i.6
i = 1.6
)4
i = (i.24
= i25
i
i99
= i96
. i3
=(i4
)24
. i3
= 124
. i3
= i3
= -i
‫مثال‬1/:‫صورة‬ ‫بابسط‬ ‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫اكتب‬-
i20
= i24
. i3
= (i4
)6
. i3
= 16
. i3
= -i
i08
= i08
. i = (i4
)28
. i = 128
. i = i
i0
= i4
. i3
= 8 . i3
= -i
i81
= (i4
)4
= 8
i30
= i31
. i2
=(i4
)84
. i2
=184
(-1)= -1
i104
= (i4
)26
= 126
= 1
i10
= i8
. i2
= (i4
)2
. i2
= 8 . i2
= -1
i17
= i16
. i = (i4
)4
. i = 14
. i = i
i12n+93
= i12n
. i93
= (i4
)3n
. (i4
)23
. i = 13n
. 1 . i = i
:‫تعريف‬‫للعدد‬ ‫يقال‬c = a + bi‫حيث‬a,b‫وان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬√−1i =‫مركبا‬ ‫عددا‬ ,)ComplexNumber(
‫يسمى‬a‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬Real Part‫ويسمى‬b‫التخيلي‬ ‫الجزء‬Imaginary Part‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ويرمز‬ .
‫بالرمز‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ℂ‫للصيغة‬ ‫ويقال‬a+bi.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬ ‫او‬ ‫العادية‬ ‫الصيغة‬

i -13
= i -13
. (i4
)4
=i -13
.(i16
)= i3
= -i OR i -13
=
1
i131
=
i16
i131
= i3
= -i
/‫مالحظة‬‫إذا‬‫اسس‬ ‫كانت‬i‫أ‬‫العدد‬ ‫نستبدل‬ ‫ان‬ ‫فيمكن‬ ‫سالبة‬ ‫صحيحة‬ ‫عداد‬(1)( ‫بـ‬ ‫البسط‬ ‫في‬i‫من‬ ‫لقوة‬ ‫مرفوع‬ )
‫العدد‬ ‫مضاعفات‬(4)‫أكبر‬‫اس‬ ‫يساوي‬ ‫او‬(i).
‫الجذور‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ /‫مالحظة‬‫ألي‬‫بداللة‬ ‫سالب‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬i:‫فمثال‬
√−16 = √16 .√−1 = 4 i
√−25 = √25 .√−1 = 5 i
√−12 = √12 .√−1 = 2√3 i
√−15 = √15 .√−1 = √15 i
:‫يكون‬ ‫عامة‬ ‫وبصورة‬
√−a = √a .√−1 = √a i , ∀ a ≥ 0
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬c = a + bi‫المرتب‬ ‫للزوج‬ ‫مناظرا‬ ‫جعله‬ ‫يمكن‬(a , b):‫مثال‬ ,
2 + 3i = (2,3)
-1 + i = (-1 , 1)
2 = 2 + 0 i = (2,0)
3i = 0 + 3 i = (0,3)
‫مثال‬2/‫صورة‬ ‫على‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫أكتب‬a+bi:
a) √−100 = √100 .i = 0 +10i
b) -1 + √−3 = -1 + √3 i
c)
1+√−25
4
=
1
4
+
√−25
4
=
1
4
+
5i
4
d) -5 = -5 + 0 i
‫مثل‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬a‫بالشكل‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬a + 0i‫او‬(a,0)‫عدد‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫كتابته‬ ‫يمكن‬ ‫اي‬ ,
:‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫صفر‬ ‫التخيلي‬ ‫جزؤه‬ ‫مركب‬
2]-[1‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫العمليات‬:
‫ا‬‫ال‬‫او‬/:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬
‫مثال‬:(25 + 3i)+(7 - 12i) = 32 – 9i‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬32 – 9i‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬ ‫مركبا‬ ‫عددا‬
)ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ ‫ان‬ ‫(اي‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬
‫مثال‬3/‫المركبين‬ ‫العددين‬ ‫مجموع‬ ‫جد‬‫ل‬:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬
a) 3 + 4 √2 i , 5 - 2√2 i
b) 3 , 2 – 5 i
c) 1 – 3 i , i
/‫الحل‬
a) (3 + 4 √2 i) + (5 - 2√2 i) = 8 + 2√2 i
/‫مالحظة‬‫ان‬ ‫اي‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫من‬ ‫جزئية‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬R ⊂ C.
: ‫تعريف‬-
‫ليكن‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬:)i2+ b1) + (b2+ a1(a=2c+1c
:‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2+ b1(b,R∈)2+ a1(a.‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الن‬
∴ (a1 + a2) + (b1 + b2)i ∈ ℂ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬

b) )3 + 0i) + (2 – 5 i) = 5 – 5 i
c) (1 – 3i) + (0 + i) = 1 – 2i
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬
:‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الجمع‬ ‫عملية‬ ‫تتمتع‬ℂ∈3, c2, c1c∀
1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1+ c2c=2c+1c
2)( ‫التجميعية‬ ‫الخاصية‬Associativity):3) + c2+ c1(c=)3+ c2(c+1c
3)( ‫الجمعي‬ ‫النظير‬Additive Inverse):-c ∈ ℂc = a + bi ∃,∀ c ∈ ℂ
‫حيث‬–c = -a-bi‫يسمى‬(-c)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬c.
4)( ‫الجمعي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬AdditiveIdentity):‫بالرمز‬ ‫له‬ ‫يرمز‬e‫ويعرف‬∈ ℂe = 0 = 0 + 0i
‫أن‬ ‫نستنتج‬ ‫سبق‬ ‫مما‬(ℂ , +)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬ ‫هي‬Commutative Group
‫مثال‬4/:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬
a) (4-5i) - (3+2i) = (4-5i) + (-3-2i) = 1-7i
b) (7-13i) - (9+4i) = (7-13i) + (-9-4i) = -2-17i
‫مثال‬5/‫المعادلة‬ ‫حل‬∈ ℂ,x(2-4i)+x = 5+i
/‫الحل‬
(2-4i)+x = 5+i ⇒ x = (5+i) – (2-4i) = (5+i) +(-2+4i) ⇒ ∴ x = 3 + 5i
‫ا‬‫ا‬‫ثاني‬‫عملية‬ /‫الضرب‬:‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬‫بصفتهما‬ ‫بضربهما‬ ‫نقوم‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬ ‫عملية‬ ‫اليجاد‬
‫من‬ ‫بدال‬ ‫ونعوض‬ ‫جبريين‬ ‫مقدارين‬2
i‫العدد‬1)-(:‫مبين‬ ‫كما‬
‫كان‬ ‫اذا‬i1b+1= a1c,i2b+2= a2c:‫فان‬
c1. c2 = (a1 +b1i) (a2 +b2i)= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i + b1 .b2i2
= a1 .a2 + a1 .b2i + a2 .b1i - b1 .b2 = (a1 .a2 - b1 .b2) + (a1 .b2 + a2 .b1)i
/‫مثال‬
(2+5i).(3-4i)
= 6 – 8i + 15i – 20 i2
i2
= -1
= 6 + 20 + 7i = 26 + 7i
‫العدد‬ ‫ان‬ ‫نالحظ‬∈ ℂ26 + 7i‫عملية‬ ‫تأثير‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫يعني‬ ‫وهذا‬‫الضرب‬‫ان‬ ‫(اي‬
‫ضرب‬ ‫حاصل‬)ً‫ا‬‫ايض‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬
/‫مالحظة‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫مع‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جمع‬ ‫حاصل‬ ‫يساوي‬ ‫اخر‬ ‫من‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫اي‬ ‫طرح‬ ‫ان‬
.‫الثاني‬
/‫مالحظة‬‫كان‬ ‫اذا‬k ∈ R,c = a + bi:‫فان‬kc = ka + kbi
: ‫تعريف‬-
‫ليكن‬i1+b1= a1c,i2+b2= a2c‫حيث‬ℂ∈2,c1c‫فان‬:
c1.c2 =(a1.a2 - b1.b2)+(a1.b2 + a2.b1)i
:‫أن‬ ‫تعلم‬ ‫وكما‬R∈)2b.1b-2a.1a(,R∈)1b.2a+2b.1a(‫مجموعة‬ ‫الن‬R‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلق‬
‫فان‬ ‫لذلك‬ ‫الضرب‬ℂ∈2c.1c‫مجموعة‬ ‫ان‬ ‫أي‬.‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تحت‬ ‫مغلقة‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬

‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫خواص‬
:‫االتية‬ ‫بالخواص‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫على‬ ‫الضرب‬ ‫عملية‬ ‫تتمتع‬ℂ∈3, c2, c1c∀
1)( ‫االبدالية‬ ‫الخاصية‬Commutativity):1cX2c=2cX1c
2)‫الخاصية‬( ‫التجميعية‬Associativity):3c)2c.1c)=)3c.2(c.1c
3)( ‫الضربي‬ ‫المحايد‬ ‫العنصر‬ ‫يتوفر‬Multiplicative Identity‫)وهو‬1=(1+0i)
4)‫الضربي‬ ‫النظير‬(Multiplicative Inverse:)∀ c ≠(0+0i) , ∃
1
c
∈ ℂ‫بحيث‬
1
c
= (1+0i)c x
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫لكل‬ ‫ان‬ ‫اي‬c‫عد‬‫ا‬‫ضربي‬ ‫نظير‬ ‫له‬ ‫يوجد‬ ‫الصفر‬
1
c
.‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫الى‬ ‫ينتمي‬
:‫ان‬ ‫اي‬(ℂ - (0+0i), X)‫ابدالية‬ ‫زمرة‬
:‫ان‬ ‫اي‬(ℂ,+,X)‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫حقل‬ ‫يسمى‬ ‫حقل‬
‫مثال‬6/:‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ناتج‬ ‫جد‬
1) (3+4i)2
2) i(1+i)
3) −
5
2
(4+3i)
4) (1+i)2
+ (1-i)2
5) (1+i)3
+ (1-i)3
/‫الحل‬
1) (3+4i)2
= 9 + 24i – 16 = -7 + 24i
.‫التخيلي‬ ‫مع‬ ‫والتخيلي‬ ‫الحقيقي‬ ‫مع‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬ ‫نجمع‬ ‫ثم‬ ‫ومن‬ ‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫مالحظة/نستخدم‬
2) i(1+i) = i + i2
= -1 + i
‫توزيع‬ ‫مالحظة/يتم‬i‫القوس‬ ‫حدود‬ ‫على‬(1+i).
3) −
5
2
(4+3i) = -10 -
15
2
i
4) (1+i)2
+ (1-i)2
= (1+2i-1) +(1–2i-1) = 2i – 2i = 0
‫مالحظة/نفتح‬‫االقواس‬.)‫الحدانية‬ ‫(مربع‬
5) (1+i)3
+ (1-i)3
= (1+i)2
(1+i) + (1-i)2
(1-i)=2i(1+i) + (-2i)(1-i)= 2i - 2 - 2i – 2 = -4
‫االعتماد‬ ‫مالحظة/يكون‬.‫الحدانية‬ ‫مربع‬ ‫على‬
/‫مالحظة‬‫ليكن‬k ∈ R,c ∈ ℂ‫حيث‬c=a+bi:‫فان‬
1) k. c = k)a + bi( = ka + kbi
2) ki. c = ki(a + bi) = -kb + kai

[ 1 – 3 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
]3-[1:‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬
:‫ا‬‫ال‬‫فمث‬3+i‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫هو‬3-i‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬(i)‫هو‬(-i)‫وبالعكس‬,‫وان‬5-4i‫مرافق‬5+4i
‫العدد‬ ‫مرافق‬ ‫وكذلك‬ , ‫وبالعكس‬0‫هو‬0.‫وبالعكس‬
‫مالحظة‬1:‫االتية‬ ‫الخواص‬ ‫يحقق‬ ‫انه‬ ‫المرافق‬ ‫تعريف‬ ‫من‬ ‫يتضح‬ /
1) 𝐜 𝟏 ± 𝐜 𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 ± 𝐜̅2
2) 𝐜 𝟏 . 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜 𝟏̅̅̅ . 𝐜 𝟐̅̅̅
3) (
𝐜 𝟏
𝐜 𝟐
)
̅̅̅̅̅
= (
𝐜 𝟏̅̅̅
𝐜 𝟐̅̅̅
)
4) c 𝐜̅ = a2
+ b2
‫فان‬ c = a+bi ‫كان‬ ‫اذا‬
5) 𝐜̅ = 𝐜 ‫فان‬ c ∈ 𝐑
6) c + 𝐜̅ = 2a
7) 𝐜̅̅ = c
‫مالحظة‬2:‫القسمة‬ ‫عملية‬ ‫اجراء‬ ‫في‬ ‫الخاصية‬ ‫هذه‬ ‫تفيدنا‬ /
c1 ÷ c2 = c1 .
1
c2
, c1 , c2 ∈ ℂ
‫مالحظة‬3/‫إلجراء‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫قسمة‬ ‫عملية‬c1‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫على‬2c‫حيث‬0≠2c‫فإننا‬‫بسط‬ ‫نضرب‬
‫ومقام‬‫المقدار‬
𝐜 𝟏
𝐜 𝟐
:‫فيكون‬ ‫المقام‬ ‫بمرافق‬
c1
c2
=
c1
c2
(
c2̅̅̅
c2̅̅̅
)=
c1.c2̅̅̅
c2.c2̅̅̅
=
c1.c2̅̅̅
a2+b2
ً‫ال‬‫مث‬: )‫(الجبرية‬ ‫العادية‬ ‫بالصورة‬ ‫ضع‬ :
2+3i
4−5i
/‫الحل‬‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نضرب‬(4+5i):
2+3i
4−5i
=
2+3i
4−5i
.
4+5i
4+5i
=
(2+3i)(4+5i)
42+52 =
8+12i+10i−15
16+25
=
−7+22i
41
=
−7
41
+
22i
41
‫مثال‬7/‫كان‬ ‫اذا‬2i-= 32= 1 + i , c1c:‫ان‬ ‫فاثبت‬
a) c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 + c̅2
b)c1 . c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 . c̅2
c) (
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
)
/‫الحل‬
a) c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 + c̅2 ⇒ c1 + c2 = (1+ i) + (3 - 2i) = 4 – i ⇒ c1 + c2̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 4 + i
c̅1 + c̅2 = (1 – i) + (3 + 2i) = 4 + i ⇒ ∴ 𝐜 𝟏 + 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 + 𝐜̅2
b) c1. c2̅̅̅̅̅̅̅ = c̅1 . c̅2
c1. c2 = (1+ i) (3 - 2i) = 3 + 3i – 2i + 2 = 5 + i ⇒ c1. c2̅̅̅̅̅̅̅ = 5 – i
c̅1 . c̅2 = (1- i) (3 + 2i) = 3 - 3i + 2i + 2 = 5 – i ⇒ ∴ 𝐜 𝟏. 𝐜 𝟐̅̅̅̅̅̅̅ = 𝐜̅1 . 𝐜̅2
: ‫تعريف‬-‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مرافق‬c = a + bi‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫هو‬c̅ = a - biR ,∀ a , b ∈
‫مال‬‫مركبين‬ ‫عددين‬ )‫(ضرب‬ ‫عند‬ ‫او‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ /‫حظة‬
.‫صحيح‬ ‫والعكس‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الناتج‬ ‫يكون‬ ‫مترافقين‬

c) (
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
)
c1
c2
=
1+ i
3 − 2i
=
(1+ i)(3+ 2i)
9+4
=
3+3i+2i−2
13
=
1+5i
13
=
1
13
+
5i
13
⇒ (
c1
c2
)
̅̅̅̅̅̅
=
1
13
-
5i
13
c1̅̅̅
c2̅̅̅
=
1− i
3+ 2i
=
(1− i)(3− 2i)
9+4
=
3−3i−2i−2
13
=
1−5i
13
=
1
13
-
5i
13
∴ (
𝐜 𝟏
𝐜 𝟐
)
̅̅̅̅̅
= (
𝐜 𝟏̅̅̅
𝐜 𝟐̅̅̅
)
‫مثال‬8/‫للعدد‬ ‫الضربي‬ ‫النظير‬ ‫جد‬2-2i.‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫وضعه‬
/‫الحل‬‫الضربي‬ ‫النظير‬‫للعدد‬2-2i‫هو‬
1
2− 2i
1
2− 2i
=
1
2− 2i
.
2+ 2i
2+ 2i
=
2+ 2i
4+4
=
2
8
+
2i
8
=
1
4
+
1
4
i
‫في‬ ‫عاملين‬ ‫الى‬ ‫التحليل‬ℂ
‫مربعين‬ ‫مجموع‬ ‫صورة‬ ‫على‬ )‫(المقدار‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬ : ‫هي‬ ‫التحليل‬ ‫فكرة‬2
+ y2
x‫بـ‬ ‫احدهما‬ ‫نضرب‬ ‫ثم‬)2
i-(‫فيصبح‬
.‫تحليله‬ ‫فيتم‬ ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫صورة‬ ‫على‬ ‫المقدار‬
x2
+ y2
= x2
- y2
i2
= (x - yi)(x + yi)
‫مثال‬9/‫من‬ ‫كل‬ ‫حلل‬‫االعداد‬53 , 10,0.65‫صورة‬ ‫من‬ ‫عاملين‬ ‫الى‬a+bi‫حيث‬a,b.‫نسبيين‬ ‫عددين‬
/‫الحل‬
10 = 9 + 1 = 32
+ 12
= 32
- 12
i2
= (3 – i)(3+i) ‫مربعين‬ ‫بين‬ ‫الفرق‬ ‫تحليل‬
‫مربعين‬ ‫مجموع‬ (-i2
) ‫بـ‬ ‫نضرب‬
53 = 4 + 49 = 22
+ 72
= 22
- 72
i2
= (2–7i) (2+7i)
0.65 = 0.49 + 0.16 = 0.49 - 0.16 i2
= (0.7–0.4i) (0.7+0.47i)
‫تساوي‬‫عددين‬‫مركبين‬
‫وتساوى‬ ‫الحقيقيان‬ ‫جزءاهما‬ ‫تساوى‬ ‫اذا‬ ‫المركبان‬ ‫العددان‬ ‫يتساوى‬ ‫اي‬‫وبالعكس‬ ‫التخيليان‬ ‫جزءاهما‬.
‫مثال‬11/‫قيمة‬ ‫جد‬x‫و‬y:‫تحققان‬ ‫واللتان‬ ‫الحقيقيتين‬
1) )2x -1( + 2i = 1 + (y+1)i ⇒ 2x -1 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
2 = y+1 ⇒ y = 1
.)‫(العادية‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الجبرية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬
‫الجبرية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيمن‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬.)‫(العادية‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬
.‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬ ‫نستفيد‬
2) 3x – 4i = 2 + 8yi
3x = 2 ⇒ x =
2
3
-4 = 8y ⇒ y =
−1
2
3) (2y+1) – (2x-1)i = -8 + 3i
2y+1 = - 8 ⇒ 2y = -9 ⇒ y =
−9
2
-(2x-1) = 3 ⇒ -2x = 2 ⇒ x = -1
‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نضرب‬
‫المقام‬ ‫بمرافق‬2 + 2i
: ‫تعريف‬-: ‫كان‬ ‫اذا‬i1+b1= a1c,i2+b2= a2c‫فان‬:2= b1, b2= a1a⇔2c=1c

4) (x + yi)(3 + 2i) = 5 - 3i
(x + yi) =
5 – 3i
3 + 2i
=
5 – 3i
3 + 2i
.
3− 2i
3− 2i
‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬
(x + yi) =
15−9i−10i−6
9+4
=
9−19i
13
=
9
13
−
19
13
i
x =
9
13
, y = −
19
13
5)
x−yi
(3+i)2 = 1 − 2i ⇒ x − yi = (1 − 2i)(3 + i)2
‫طرفين‬ ‫في‬ ‫وسطين‬
= (1 − 2i)(9 + 6i − 1) = (1 − 2i)(8 + 6i)
= (8 + 6i − 16i − 12 i2) = (20 − 10 i)
∴ x = 20 & y = 10
6)
3−2i
i
,
x−yi
1+5i
‫مترافقان‬
‫ليكن‬c =
x−yi
1+5i
∵ c =
x−yi
1+5i
⇒ ∴ c̅ =
x+yi
1−5i
(
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
) ‫الن‬
∴
x+yi
1−5i
=
3−2i
i
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لنفس‬ ‫المرافقين‬‫متساويان‬
(x + yi)i = (1 − 5i)(3 − 2i) ‫بطرفين‬ ‫وسطين‬
xi − y = 3 – 15i – 2i – 10 ⇒ −y + xi = -7 – 17i
-y = -7 ⇒ y = 7
x = -17
‫التمارين‬ ‫حلول‬1–1
8)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫يأتي‬ ‫مما‬ ‫كل‬ ‫ضع‬∀ n ∈ N:
1. i5
= i4
. i = i = 0 + i
2. i6
= i4
. i2
= -1 = -1 + 0i
3. i124
= (i4
)31
= 1 = 1 + 0i
4. i999
= i996
. i3
=(i4
)247
. i3
= -i = 0 - i
5. i4n+1
= i4n
. i = i = 0 + i
6.(2 + 3i)2
+ (12 + 2i) = (4 + 12i - 9) + (12 + 2i) = (-5 + 12i) + (12 + 2i) = 7 + 14i
7. (10 + 3i) (0 + 6i) = 0 + 0 + 60i -18 = -80 + 60i
8.(1 + i)4
- (1 - i)4
= ((1 + i)2
)2
– ((1 - i)2
)2
= (1 + 2i -1)2
– (1 – 2i -1)2
= (2i)2
– (-2i)2
= -4 –(-4)=0 = 0 + 0i
9.
12+i
i
=
12+i
i
.
−i
−i
=
−12i− i2
−i2 =
−12i+1
1
= 1 – 12i
10.
3+4i
3−4i
=
3+4i
3−4i
.3+4i
3+4i
=
9 +12i+12i−16
9+16
=
−7+24i
25
=
−7
25
+
24
25
i

11.
i
2+3i
=
0+i
2+3i
.
2−3i
2−3i
=
0+2i−0+3
4+9
=
3+2i
13
=
3
13
+
2
13
i
12. (
3+i
1+i
)
3
= (
3+i
1+i
.
1−i
1−i
)
3
= (
3+i−3i+1
1+1
)
3
= (
4−2i
2
)
3
=(2 − i)3
=(2 − i)2
. (2 − i)=(4 − 4i − 1). (2 − i)
=(3 − 4i). (2 − i)= 6 – 8i - 3i – 4= 2 – 11i
13.
2+3i
1−i
.
1+4i
4+i
=
2+3i+8i−12
4−4i+i+1
=
−10+11i
5−3i
=
−10+11i
5−3i
.
5+3i
5+3i
=
−10+11i
5−3i
.
5+3i
5+3i
=
−50+55i−30i−33
25+9
=
−83+25i
34
=
−83
34
+
25i
34
14. (1 + i)3
+ (1 - i)3
= (1 + i)2
.(1 + i) + (1 - i)2
.(1 - i)
= (1 + 2i -1).(1 + i) + (1 - 2i -1).(1 - i) = (2i).(1 + i) + (-2i).(1 - i)
= 2i – 2 + [-2i - 2] = 2i – 2 – 2i - 2 = -4 = -4 + 0i
2)‫من‬ ‫كل‬ ‫قيمة‬ ‫جد‬y , x:‫االتية‬ ‫المعادالت‬ ‫تحققان‬ ‫اللتين‬ ‫الحقيقيتين‬
a) y + 5i = (2x + i)(x + 2i)
/‫الحل‬
y + 5i = 2x2
+ xi + 4xi - 2 ‫االقواس‬ ‫نضرب‬
y + 5i = 2x2
+ 5xi - 2 ⇒ y + 5i = (2x2
– 2) + 5xi
:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
5x = 5 ⇒ x = 1
y = 2x2
– 2 = 2 – 2 = 0
b) 8i = (x + 2i)(y + 2i) + 1
/‫الحل‬:‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االيسر‬ ‫الطرف‬ ‫نكتب‬
-1 + 8i = xy + 2yi + 2xi - 4 ⇒ -1 + 8i = (xy – 4) + (2y + 2x)i
-1 = xy – 4 ⇒ xy = 3 ……
8 = 2y + 2x ⇒ 4 = y + x ⇒ y = 4 – x .…
‫نعوض‬‫قيمة‬y‫من‬‫معادلة‬‫في‬:
xy = 3 ⇒ x(4 – x) = 3 ⇒ 4x – x2
= 3 ⇒ x2
– 4x + 3 = 0
(x - 3)(x - 1) = 0
∴ x = 3 ⇒ y = 4 – 3 = 1
x = 1 ⇒ y = 4 – 1 = 3
c) (
1−i
1+i
) + (x+yi) = (1+2i)2
/‫الحل‬
(
1−i
1+i
.
1−i
1−i
) + (x+yi) = (1 + 4i - 4) ⇒ (
1−i−i−1
1+1
) + (x+yi) = -3 + 4i
(
−2i
2
) + (x+yi) = -3 + 4i ⇒ -i + (x+yi) = -3 + 4i
(x+yi) = -3 + 4i + i ⇒ (x+yi) = -3 + 5i

∴ x = -3 , y = 5
d)
2−i
1+i
x +
3−i
2+i
y =
1
i
/‫الحل‬
(
2−i
1+i
.
1−i
1−i
) x + (
3−i
2+i
.
2−i
2−i
) y =
1
i
⇒ (
2−i−2i−1
1+1
) x + (
6−2i−3i−1
4+1
) y =
i4
i
(
1−3i
2
) x + (
5−5i
5
) y = i3
⇒ (
1−3i
2
) x + (
5−5i
5
) y = - i
(
1
2
−
3i
2
) x + (1 − i ) y = 0 – i ⇒
1
2
x −
3x
2
i + y - yi = 0 - i
(
1
2
x + y) + (
−3x
2
− y) i = 0 - i
1
2
x + y = 0 …… 
−3x
2
− y = -1 ………
‫بالجمع‬---------------------
-x + 0 = -1 ⇒ ∴ x = 1
‫في‬ ‫نعوض‬‫قيمة‬ ‫لنجد‬y:
1
2
. 1 + y = 0 ⇒ ∴ y = −
1
2
7):‫ان‬ ‫اثبت‬
a)
1
(2−i)2 −
1
(2+i)2 =
8
25
i
L.H.S =
1
4−4i−1
−
1
4+4i−1
=
1
3−4i
−
1
3+4i
=
1
3−4i
.
3+4i
3+4i
−
1
3+4i
.
3−4i
3−4i
=
3+4i
9+16
−
3−4i
9+16
=
3+4i−(3−4i)
25
=
3+4i−3+4i
25
=
8
25
i = R.H.S
b)
(1−i)2
1+i
+
(1+i)2
1−i
= −2 2882‫دور‬‫ثالث‬
L.H.S =
1−2i−1
1+i
+
1+2i−1
1−i
=
−2i
1+i
+
2i
1−i
=
−2i
1+i
.
1−i
1−i
+
2i
1−i
.
1+i
1+i
=
−2i−2
1+1
+
2i−2
1+1
=
−2i−2
2
+
2i−2
2
= -1 – i + i -1 = -2 = R.H.S
c) (1 – i) (1 – i2
)(1 – i3
) = 4
L.H.S = (1 – i) (1 – i2
)(1 – i3
) = (1 – i) (1 – (-1))(1 – (-i)) = (1 – i) (1 + 1)(1 + i)
= 2(1 – i) (1 + i) ‫مرافقين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
= 2(1 + 1) = 4 = R.H.S
i2
= -1
i3
= - i

4)‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كال‬ ‫حلل‬03,48,823,27‫الصورة‬ ‫من‬ ‫عاملين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫الى‬a+bi‫حيث‬b , a
.‫نسبيان‬ ‫عددان‬
a) 85 = (81 + 4) = 81 - 4i2
= (9-2i)(9+2i)
OR 85 = (4 + 81) = 4 - 81i2
= (2-9i)(2+9i)
OR 85 = (49 + 36) = 49 - 36i2
= (7-6i)(7+6i)
b) 41 = (25 + 16) = 25 - 16i2
= (5-4i)(5+4i)
c) 125 = (121 + 4) = 121 - 4i2
= (11-2i)(11+2i)
OR 125 = (100 + 25) = 100 - 25i2
= (10-5i)(10+5i)
d) 29 = (25 + 4) = 25 - 4i2
= (5-2i)(5+2i)
3)‫قيمة‬ ‫جد‬y , x‫ان‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬ ‫الحقيقيتين‬
6
x+yi
,
3+i
2−i
.‫مترافقان‬
/‫الحل‬‫نفرض‬c =
3+i
2−i
c =
3+i
2−i
⇒ c̅ =
3−i
2+i
(
c1
c2
)
̅̅̅̅̅
= (
c1̅̅̅
c2̅̅̅
) ‫الن‬
6
x+yi
=
3−i
2+i
‫بطرفين‬ ‫وسطين‬
x + yi =
6(2+i)
(3−i)
=
12 + 6i
3−i
.
3+i
3+i
=
36 + 12i+18i−6
9+1
=
30 + 30i
10
= 3+ 3i
∴ x = 3 & y = 3
‫السابقة‬ ‫السنوات‬ ‫من‬ ‫اضافية‬ ‫تمارين‬
‫س‬8‫العدد‬ ‫اكتب‬ /1-4n
i: ‫العادية‬ ‫بالصيغة‬
i4n-1
= i4n
.i-1
= i-1
= i-1
.i4
= i3
= 0 – i
‫س‬2‫ان‬ ‫اثبت‬ /
3i
√2+i
−
3i
√2−i
= 2
/‫الحل‬
L.H.S =
3i
√2+i
−
3i
√2−i
=
3i
√2+i
.
√2−i
√2−i
−
3i
√2−i
.
√2+i
√2+i
=
3√2 i+3
2+1
−
3√2 i−3
2+1
=
3√2 i+3
3
−
3√2 i−3
3
= (√2i + 1) − (√2i − 1) = √2i + 1 − √2i + 1 = 2 = R.H.S
OR:
L.H.S =
3i
√2+i
−
3i
√2−i
=
3i(√2−i)−3i(√2+i)
(√2+i) (√2−i)
=
3√2 i+3− 3√2 i+3
2+1
=
6
2+1
= 2
=R.H.S
‫س‬7/‫كان‬ ‫اذا‬
5
x+yi
‫و‬
2+i
3−i
‫قيمتي‬ ‫فجد‬ , ‫مترافقان‬x , y‫الحقيقيتين‬.(2882‫دور‬8)
‫س‬4/‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫العادية‬ ‫بالصيغى‬ ‫ضع‬5
i)-+ (15
(1 + i).(2882‫دور‬2)

[ 1 – 4 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬
4]–[1:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬‫كان‬ ‫اذا‬a‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫يوجد‬ ‫فانه‬ ‫موجبا‬ ‫حقيقيا‬ ً‫ا‬‫عدد‬±√a
‫المعادلة‬ ‫منهما‬ ‫كل‬ ‫يحقق‬= a2
x‫ويسمى‬±√a‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬a.
: ‫مثال‬5±x =⇒= 252
x‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬a = 0‫هو‬ ‫واحد‬ ‫تربيعي‬ ‫جذر‬ ‫له‬ ‫فان‬8
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬c = a+bi‫الصورة‬ ‫من‬ ‫تربيعيين‬ ‫جذرين‬x+yi.
‫مثال‬11/‫من‬ ‫لكل‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬-25‫و‬-17.
/‫الحل‬
a) c2
= -25 ⇒ c = ±√−25 = ± 5i
b) c2
= -17 ⇒ c = ±√−17 = ± √17 i
:‫التالية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫اليجاد‬
8-‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬a+bi.
2-‫اخر‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫يساوي‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬x+yi.
7-: ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫ومن‬ ‫معادلتين‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬ ‫نأخذ‬
a.= ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬2
y-2
x.
b.= ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫الجزء‬2xy.
4-‫اليجاد‬ ً‫ا‬‫اني‬ ‫المعادلتين‬ ‫نحل‬x , y ∈ R.
‫مثال‬12/:‫لالعداد‬ ‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬
1) -3 + 4i
c = -3 + 4i
‫للعدد‬ ‫التربيعي‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬c‫هو‬x + yi
∴ x + yi = √−3 + 4i
(x + yi)2
= -3 + 4i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -3 + 4i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = -3 + 4i
:‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
2xy = 4 ⇒ y =
4
2x
⇒ y =
2
x
…..❶
x2
– y2
= -3 ……..❷
‫نعوض‬❶‫في‬❷:
x2
– (
2
x
)
2
= -3 ⇒ x2
–
4
x2 = -3
x4
– 4 = -3x2
x2
‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
x4
+ 3x2
– 4 = 0 ⇒ (x2
- 1)(x2
+ 4) = 0
x2
+ 4 = 0 ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ x ‫الن‬ ‫تهمل‬
x2
- 1 = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x = ±1
‫قيمة‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬x‫معادلة‬ ‫في‬❶:
x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i
x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(1+2i)

2) 8 + 6i
c = 0 + 1i
∴ x + yi = √8 + 6i
(x + yi)2
= 0 + 1i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 0 + 1i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 + 1i
2xy = 1 ⇒ y =
6
2x
⇒ y =
3
x
…..❶ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
x2
– y2
= 0 ……..❷ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
x2
– (
3
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
9
x2 = 0
x4
– 7 = 8x2
x2
x4
- 8x2
– 9 = 0 ⇒ (x2
- 9)(x2
+ 1) = 0
x2
x2
- 9 = 0 ⇒ x2
= 9 ⇒ x = ±3
x = 3 ⇒ y = 1 ⇒ c1 = 3 + i
x = −3 ⇒ y = −1 ⇒ c2 = -3 - i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(3+i)
3) –i
c = 0 - i
∴ x + yi = √0 − i
(x + yi)2
= 0 - i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 0 – I ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 - i
2xy = -1 ⇒ y =
−1
2x
…..❶ ‫من‬‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬
x2
– y2
= 0 ……..❷ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫تساوي‬ ‫من‬
x2
– (
−1
2x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
1
4x2 = 0 ⇒ x4
–
1
4
= 0 x2
x4
=
1
4
⇒ x = ∓
1
√2
x =
1
√2
⇒ y =
−1
2
1
√2
=
−1
√2
⇒ c1 =
1
√2
-
1
√2
i
x = −
1
√2
⇒ y =
−1
2
−1
√2
=
1
√2
⇒ c2 = −
1
√2
+
1
√2
i
:‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(
𝟏
√ 𝟐
-
𝟏
√ 𝟐
i)

4) 8i
c = 0 + 8i
∴ x + yi = √0 + 8i
(x + yi)2
x2
+ 2xyi – y2
= 0 + 8i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 + 8i
2xy = 8 ⇒ y =
4
x
…..❶
x2
– y2
= 0 ……..❷
x2
– (
4
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
16
x2 = 0 ⇒ x4
– 16 = 0 x2
x4
– 16 = 0 ⇒ x4
= 16 ⇒ x = ±2
x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 2 + 2i
x = −2 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -2 - 2i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(2 + 2i)

[ 1 – 5 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ
5 ]–[ 1‫في‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ℂ:‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫تعلمت‬+ bx + c = 02
ax‫حيث‬a ≠ 0‫و‬
a,b,c ∈ R‫بالدستور‬ ‫ايجادهما‬ ‫يمكن‬ ‫حلين‬,x =
−b±√b2−4ac
2a
,‫المقدار‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫انه‬ ‫وعلمت‬‫المميز‬
4ac-2
b‫يو‬ ‫ولكن‬ , ‫حقيقية‬ ‫حلول‬ ‫للمعادلة‬ ‫يوجد‬ ‫ال‬ ‫فانه‬ ‫سالبا‬‫ال‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫حالن‬ ‫لها‬ ‫جد‬.‫مركبة‬
‫مثال‬13/‫المعادلة‬ ‫حل‬+ 2x + 2 = 02
x.‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬
/‫الحل‬
x2
+ 2x + 2 = 0 a = 1 , b = 2 , c = 2
x =
−b±√b2−4ac
2a
‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬
x =
−2±√4−8
2
=
−2±√−4
2
=
−2 ± 2i
2
= -1 ± i
‫جذران‬ ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫اي‬(-1+ i)‫و‬(-1- i).‫مترافقان‬ ‫عددان‬ ‫وهما‬
‫مثال‬14/‫المعادلة‬ ‫حل‬0=5+4x+2
x.‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬
/‫الحل‬
x2
+ 4x + 5 = 0 a = 1 , b = 4 , c = 5
x =
−b±√b2−4ac
2a
x =
−4±√16−20
2
=
−4±√−4
2
=
−4 ± 2i
2
= -2 ± i
‫جذران‬ ‫للمعادلة‬ ‫ان‬ ‫اي‬(-2+ i)‫و‬(-2- i).‫مترافقان‬ ‫عددان‬ ‫وهما‬
/‫مالحظة‬‫المعادلة‬ ‫لجذري‬ ‫التالية‬ ‫الخصائص‬ ‫نجد‬ ‫السابقة‬ ‫واالمثلة‬ ‫الدستور‬ ‫قانون‬ ‫من‬+ bx + c = 02
ax
‫حيث‬a ≠ 0‫و‬a,b,c ∈ R:
8-‫كان‬ ‫اذا‬x+yi‫فان‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬x-yi.‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫هو‬
2-‫على‬ ‫المعادلة‬ ‫بقسمة‬a‫حيث‬a ≠ 0:
x2
+
b
a
x +
c
a
= 0
:‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫هي‬ ‫والتي‬
x2
– (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬ x + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫)حاصل‬ = 0
‫ذلك‬ ‫من‬ ‫ونستنتج‬ , ‫التربيعية‬ ‫للمعادلة‬ ‫العامة‬ ‫الصيغة‬ ‫وهي‬‫ان‬:
𝐜
𝐚
= ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ,
−𝐛
𝐚
= ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
‫مثال‬15/( : ‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫جد‬2+2i( ‫و‬ )2-2i-.)
/‫الحل‬
(2 + 2i) +(-2 – 2i) = 0 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(2 + 2i)(-2 – 2i) = - 4 - 4i – 4i + 4 = -8i ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
x2
– (‫الجذرين‬ ‫)مجموع‬x + (‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫)حاصل‬ = 0 ‫المعادلة‬
x2
– 0 x + (-8i) = 0 ⇒ x2
- 8i = 0 ⇒ x2
= 8i
‫مثال‬16/( ‫جذريها‬ ‫واحد‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫حدودها‬ ‫معامالت‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬3-4i.)
/‫الحل‬∵‫معامالت‬‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعادلة‬
∴‫مترافقان‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬
∴( ‫هما‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬3-4i( ‫و‬ )3+4i)
(3 + 4i) +(3 – 4i) = 6 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫نجد‬
(3 + 4i)(3 – 4i) = 9 +12i –12i +16 = 25 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫نجد‬
x2
– 6x + 25 = 0 ‫المعادلة‬
/‫مالحظة‬√−4 = √4 i = 2i

‫مثال‬17/‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬ ‫جد‬i = 0-5x +7–2
x
/‫الحل‬
x2
–5x +7-i = 0 a = 1 , b = -5 , c = 7-i
x =
−b±√b2−4ac
2a
x =
5±√25−4(7−i)
2
=
5±√25−28+4i
2
=
5±√−3+4i
2
/‫مالحظة‬‫المقدار‬ ‫كان‬ ‫اذا‬√𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜‫التعريف‬ ‫من‬ ‫ايجاده‬ ‫فيمكن‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬√−𝐚 = √ 𝐚 𝐢,‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬
√𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜‫الفقرة‬ ‫في‬ ‫سابقا‬ ‫بنا‬ ‫مرت‬ ‫التي‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫ايجاد‬ ‫بطريقة‬ ‫ايجاده‬ ‫فيجب‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬[1-4]
‫الصفحة‬ ‫في‬9.
‫اذا‬‫ايجاد‬ ‫يجب‬√𝐛 𝟐 − 𝟒𝐚𝐜‫مثال‬ ‫في‬ ‫ايجاده‬ ‫لنا‬ ‫سبق‬ ‫وقد‬ ‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫ايجاد‬ ‫بطريقة‬12
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫سابقا‬
c = -3 + 4i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √−3 + 4i
(x + yi)2
= -3 + 4i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -3 + 4i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = -3 + 4i
2xy = 4 ⇒ y =
4
2x
⇒ y =
2
x
…..❶
x2
– y2
= -3 ……..❷
x2
– (
2
x
)
2
= -3 ⇒ x2
–
4
x2 = -3
x4
– 4 = -3x2
x2
x4
+ 3x2
– 4 = 0 ⇒ (x2
- 1)(x2
+ 4) = 0
x2
x2
- 1 = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x = ±1
x = 1 ⇒ y = 2 ⇒ c1 = 1 + 2i
x = −1 ⇒ y = −2 ⇒ c2 = -1 - 2i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(1+2i)
:‫الحل‬ ‫لنكمل‬ ‫االن‬ ‫نعود‬
x =
5±√−3+4i
2
⇒ x =
5±(1+2i)
2
x =
5+(1+2i)
2
=
6+2i
2
= 3 + i
x =
5−(1+2i)
2
=
4−2i
2
= 2 - i
∴‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬{3 + i , 2 - i }

‫حلول‬‫التمارين‬2-1
1)‫مترافقان؟‬ ‫جذراها‬ ‫يكون‬ ‫منها‬ ‫اي‬ ‫وبين‬ ‫االتية‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬
a) z2
= -12
z = ±√−12 = ±√12 i = ±2√3 i
∴ S = {0+𝟐√ 𝟑 i , 0-𝟐√ 𝟑 i} ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
:‫للحل‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
z2
= -12 ⇒ z2
+ 12 = 0 ⇒ z2
– 12 i2
= 0
(z - 2√3 i) (z + 2√3 i) = 0
z - 2√3 i = 0 ⇒ z = 2√3 i
z + 2√3 i = 0 ⇒ z = −2√3 i
∴ S = {0±𝟐√ 𝟑 i} ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
:)‫الدستور‬ ‫(باستخدام‬ ‫للحل‬ ‫ثالثة‬ ‫طريقة‬
z2
= -12 ⇒ z2
+ 12 = 0 a = 1 , b = 0 , c = 12
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
0±√0−4(12)
2
=
±√−48
2
=
±4√3 i
2
= ±2√3 i
∴ S = {0±𝟐√ 𝟑 i} ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
b) z2
– 3z + 3+ i = 0
z2
– 3z + 3+ i = 0 A=1 , B=-3 , C=3+i
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
3±√9−4(3+i)
2
=
3±√9−12−4i
2
=
3±√−3−4i
2
‫المقدار‬ ‫جذري‬ ‫نجد‬√−3 − 4i:
(x + yi)2
= −3 − 4i
2xy = -4 ⇒ y =
−2
x
x2
– y2
= -3 ⇒ x2
–
4
x2 = -3 ⇒ x4
– 4 = -3x2
x2
x4
+ 3x2
- 4 = 0 ⇒ (x2
+ 4)( x2
– 1) = 0 ⇒ x2
– 1 = 0 ⇒ x = ±1
∴ √−3 − 4i = ±(1 - 2i)
:‫المعادلة‬ ‫الى‬ ‫نعود‬
z =
3 ± √−3−4i
2
=
3 ± (1 − 2i)
2
∴ z =
3 + 1 − 2i
2
=
4 − 2i
2
= 2 - i
or z =
3− 1+ 2i
2
=
2+ 2i
2
= 1 + i
∴‫هي‬ ‫الحل‬ ‫مجموعة‬{2- i , 1+ i}

c) 2z2
– 5z + 13 = 0 ⇒ 2z2
– 5z + 13 = 0 a=2 , b=-5 , c=13
𝐳 =
−𝐛±√ 𝐛 𝟐−𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
‫من‬‫الدستور‬ ‫قانون‬
𝐳 =
𝟓±√𝟐𝟓−𝟒( 𝟐 .𝟏𝟑)
𝟐 .𝟐
=
𝟓±√𝟐𝟓−𝟏𝟎𝟒
𝟒
=
𝟓±√−𝟕𝟗
𝟒
=
𝟓±√ 𝟕𝟗 𝐢
𝟒
∴ S = {
𝟓
𝟒
+
√ 𝟕𝟗
𝟒
𝐢 , 𝟓
𝟒
−
√ 𝟕𝟗
𝟒
𝐢 } ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬
d) z2
+ 2z + i(2-i) = 0
z2
+ 2z + (2i - i2
) = 0
z2
+ 2z + (2i + 1) = 0 ⇒ a = 1 , b = 2 , c =1+ 2i
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
−2±√4−4(1+2i)
2
=
−2±√4−4−8i
2
=
−2±√0−8i
2
‫المقدار‬ ‫جذري‬ ‫نجد‬√0 − 8i:
x + yi = √0 − 8i ⇒ (x + yi)2
= 0 - 8i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 0 - 8i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 - 8i
2xy = -8 ⇒ y =
−4
x
…..❶
x2
– y2
= 0 ……..❷
x2
– (
−4
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
16
x2
= 0 ⇒ x4
– 16 = 0 x2
x4
– 16 = 0 ⇒ x4
= 16 ⇒ x = ±2
x = 2 ⇒ y = −2
x = −2 ⇒ y = 2
‫نعود‬:‫المعادلة‬ ‫الى‬
z =
−2±√0−8i
2
=
−2±(2−2i)
2
=
−2 + 2 − 2i
2
= - i
or z =
−2− 2 + 2i
2
=
− 4 + 2i
2
= -2 + i
∴ S = {- i , -2+ i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
:)‫الدستور‬ ‫استخدام‬ ‫يطلب‬ ‫لم‬ ‫للحل(اذا‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
z2
+ 2z + i(2-i) = 0 ⇒ z2
+ 2z + 2i - i2
= 0 ⇒ (z2
– i2
) + (2z + 2i) = 0
(z2
– i2
) + 2(z + i) = 0 ⇒ (z - i)(z + i) + 2(z + i) = 0
(z + i) [(z – i) + 2] = 0
z + i = 0 ⇒ z = -i
or (z – i) + 2 = 0 ⇒ z – i = -2 ⇒ z = -2 + i
∴ S = {- i , -2+ i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
√0 − 8i = ± (2 - 2i)

e) 4z2
+ 25 = 0 ⇒ 4z2
– 25i2
= 0 ⇒ z2
=
25
4
i2
⇒ z = ±
5
2
i
∴ S = { 0 ±
𝟓
𝟐
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫الدستور‬ ‫بطريقة‬ ‫السؤال‬ ‫حل‬ ‫يمكن‬
4z2
+ 25 = 0 a = 4 , b = 8 , c = 23
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
0±√0−4(4 .25)
2 .4
=
±√−400
8
=
±√400 i
8
= ±
20 i
8
= ±
5 i
2
∴ S = { 0 ±
𝟓
𝟐
f) z2
- 2zi + 3 = 0 … ‫بطريقتين‬
‫ب‬ /‫االولى‬ ‫الطريقة‬:‫الدستور‬
z2
- 2zi + 3 = 0 a=1 , b=-2i , c=3
z =
−b±√b2−4ac
2a
z =
2i ±√4i2−4(3)
2
=
2i±√−4−12
2
=
2i ± √−16
2
=
2i ± √16 i
2
=
2i ± 4 i
2
=
2i ± 4 i
2
∴ z =
2i+ 4 i
2
= 3i
or z = 2i− 4 i
2
= -i
∴ S = {0 - i , 0 + 3i} ‫مترافقان‬ ‫غير‬ ‫الجذران‬
/‫الثانية‬ ‫الطريقة‬‫بضرب‬‫بـ‬ ‫الثالث‬ ‫الحد‬(2
i–:)
z2
- 2zi + 3 = 0 ⇒ z2
- 2zi – 3i2
= 0 ⇒ (z - 3i)(z + i) = 0
z - 3i = 0 ⇒ z = 3i
or z + i = 0 ⇒ z = -i
:‫للطرفين‬ ‫اكس‬ ‫معامل‬ ‫نصف‬ ‫مربع‬ ‫بأضافة‬ /‫الثالثة‬ ‫الطريقة‬
z2
- 2zi + 3 = 0 ⇒ z2
- 2zi = -3 ⇒ z2
- 2zi + i2
= -3 + i2
(z - i) (z - i) = -3 -1 = -4 ⇒ (z - i)2
= -4 ⇒ z - i = ±2i ⇒ z = i ± 2i
Neither: z = i + 2i ⇒ z = 3i
OR : z = i – 2i ⇒ z = -i
2)‫جذرها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬m.L:‫حيث‬
a) m = 1 +2i , L = 1- i
m+L = (1 + 2i) + (1 - i) = 2 + i
m.L = (1 + 2i)(1 - i) = 1 + 2i – i + 2
m.L = 3 + i
x2
– (2 + i) x + (3 + i) = 0 ‫المعادلة‬

b) m =
3− i
1+ i
, L = (3- 2i)2
m =
3− i
1+ i
=
3− i
1+ i
.
1− i
1− i
=
(3− i)(1− i)
1+ 1
=
3−i−3i−1
2
=
2−4i
2
= 1 – 2i
L = (3- 2i)2
= 9 – 12i – 4 = 5 – 12i
m+L = (1 - 2i) + (5 - 12i) = 6 - 14i
m.L = (1-2i)(5-12i) = 5 –10i – 12i – 24 = -19 - 22i
:‫المعادلة‬
x2
– (6 - 14i) x + (-19 - 22i) = 0
3)‫التربيعية‬ ‫الجذور‬ ‫جد‬:‫االتية‬ ‫المركبة‬ ‫لالعداد‬
a) -6i
c = 0 - 6i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √0 − 6i
(x + yi)2
= 0 - 6i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= -0 - 6i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 0 - 6i
2xy = -6 ⇒ y =
−6
2x
⇒ y =
−3
x
...❶
x2
– y2
= 0 ……..❷
x2
– (
−3
x
)
2
= 0 ⇒ x2
–
9
x2 = 0
x4
– 9 = 0 x2
x4
= 9 ⇒ x2
= ±3 ⇒ x = ± √3
x = √3 ⇒ y =
−3
√3
= −√3 ⇒ c1 = √3 − √3 i
x = −√3 ⇒ y =
−3
−√3
= √3 ⇒ c2 = -√3 + √3 i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(√ 𝟑 - √ 𝟑i)
b) 7+24i
c = 7 + 24i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √7 + 24i
(x + yi)2
x2
+ 2xyi – y2
= 7 + 24i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 7 + 24i
2xy = 24 ⇒ y =
24
2x
⇒ y =
12
x
...❶
x2
– y2
= 7 ……..❷
x2
– (
12
x
)
2
= 7 ⇒ x2
–
144
x2 = 7 ⇒ x4
– 144 = 7x2
x2

x4
–7x2
- 144 = 0 ⇒ (x2
- 16)( x2
+ 9) = 0
x2
+ 9 = 0 ‫تهمل‬
x2
– 16 = 0 ⇒ x2
= 16 ⇒ x = ± 4
x = 4 ⇒ y = 3 ⇒ c1 = 4 + 3i
x = −4 ⇒ y = −3 ⇒ c2 = -4 - 3i
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±( 𝟒 + 3i)
c)
4
1−√3 i
‫المقام‬ ‫بمرافق‬ ‫نضرب‬
4
1−√3 i
=
4
1−√3 i
.
1+√3 i
1+√3 i
=
4(1+√3 i)
1+3
=
4(1+√3 i)
4
= 1 + √3 i
c = 1 + √3 i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √1 + √3 i ⇒ (x + yi)2
= 1 + √3 i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬
x2
+ 2xyi – y2
= 1 + √3 i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = 1 + √3 i
2xy = √3 ⇒ y =
√3
2x
…....❶
x2
– y2
= 1 ……..❷
x2
– (
√3
2x
)
2
= 1 ⇒ x2
–
3
4x2 = 1 ⇒ 4x4
– 3 = 4x2
4x2
≠0 ‫بـ‬ ‫الطرفين‬ ‫نضرب‬
4x4
– 4x2
- 3 = 0 ⇒ (2x2
- 3)(2x2
+ 1) = 0
2x2
+ 1 = 0 ‫تهمل‬
2x2
– 3 = 0 ⇒ x2
=
3
2
⇒ x = ±
√3
√2
x =
√3
√2
⇒ y =
√3
2(
√3
√2
)
=
√3√2
2√3
=
√2
2
=
1
√2
x = −
√3
√2
⇒ y =
−1
√2
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±(
√ 𝟑
√ 𝟐
+
𝟏
√ 𝟐
i)
/‫اضافي‬ ‫تمرين‬‫للمقدار‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬ ‫جد‬-1+2√−2
/‫الحل‬
c = -1+2√−2 = -1+2√2 i ‫ليكن‬
∴ x + yi = √−1 + 2√2 i ⇒ (x + yi)2
= -1+2√2 i ‫الطرفين‬ ‫تربيع‬

x2
+ 2xyi – y2
= -1+2√2 i ⇒ )x2
– y2
( + (2xy) i = -1+2√2 i
2xy =2√2 ⇒ y =
2√2
2x
⇒ y =
√2
x
...❶
x2
– y2
= -1 ……..❷
x2
– (
√2
x
)
2
= -1 ⇒ x2
–
2
x2 = -1 ⇒ x4
– 2 = -x2
x2
x4
+ x2
– 2 = 0 ⇒ (x2
- 1)( x2
+ 2) = 0
x2
+ 2 = 0 x ∈ R ‫الن‬ ‫تهمل‬
x2
– 1 = 0 ⇒ x2
= 1 ⇒ x = ± 1
x = 1 ⇒ y = √2
x = −1 ⇒ y = −√2
: ‫هما‬ ‫التربيعيين‬ ‫الجذرين‬±( 𝟏 + √ 𝟐i)
4):‫هو‬ ‫جذريها‬ ‫وأحد‬ ‫الحقيقية‬ ‫المعامالت‬ ‫ذات‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ما‬
a) i
‫وهما‬ ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬i , -i
i + (-i) = 0 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
i. (-i) = 1 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- (0) x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
x2
+ 1 = 0 ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬
b) 5 – i
‫وهما‬ ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬5+i , 5-i
5+i + (5-i) = 10 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(5+i)(5-i)=25 + 1= 26 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- 10x + 26 = 0 ‫المعادلة‬
c)
√2+ 3i
4
‫وهما‬ ‫مترافقان‬ ‫الجذران‬ ‫اذا‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬
√2+ 3i
4
,
√2− 3i
4
√2− 3i
4
+
√2+ 3i
4
=
2√2
4
=
√2
2
=
1
√2
‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
√2− 3i
4
.
√2+ 3i
4
=
2+9
16
=
11
16
‫حاصل‬‫الجذرين‬ ‫ضرب‬
x2
-
1
√2
x +
11
16
= 0 ‫المعادلة‬

5)‫كان‬ ‫اذا‬3+i: ‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫احد‬ ‫هو‬ax + (5+5i) = 0–2
x‫قيمة‬ ‫فما‬∈ ℂa‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫هو‬ ‫وما‬ ‫؟‬‫؟‬
‫االول‬ ‫الجذر‬ ‫ليكن‬= 3 + i1x,= ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬2x
∵= ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
‫المطلق‬ ‫الحد‬
x2 ‫معامل‬
∴ x1 . x2 =
5+5i
1
= 5+5i ⇒ (3 + i) . x2 = 5 + 5i
x2 =
5+5i
3+i
=
5+5i
3+i
.
3−i
3−i
=
15+15i−5i+5
9+1
=
20+10i
10
= 2 + i ‫الثاني‬ ‫الجذر‬
∵= = ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
x ‫معامل‬ −
x2 ‫معامل‬
∴ x1 + x2 =
−(−a)
1
⇒ (2 + i) + (3 + i) = a ⇒ a = 5 + 2i
:‫للحل‬ ‫ثانية‬ ‫طريقة‬
‫قيمة‬ ‫اليجاد‬ ‫المعادلة‬ ‫في‬ ‫االول‬ ‫الجذر‬ ‫نعوض‬a
(3 + i)2
– a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ (9 + 6i - 1) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0
(8 + 6i) – a(3 + i) + (5 + 5i) = 0 ⇒ a(3 + i) = (8 + 6i) + (5 + 5i) = 13 + 11i
a =
13+11i
3+i
=
13+11i
3+i
.
3−i
3−i
=
39+33i−13i+11
9+1
=
50+20i
10
= 5 + 2i
:‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫او‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫القانون‬ ‫تطبيق‬ ‫يتم‬ : ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫اليجاد‬
= ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫نفرض‬2x
(3 + i) + x2 = 5 + 2i
x2 = (5 + 2i) – (3 + i)
x2 = 2 + i ‫االخر‬ ‫الجذر‬

[ 1 – 6 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬
6 ]–[ 1‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬:‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الي‬ ‫انه‬ ‫تعلمت‬a‫يحقق‬ ‫واحد‬ ‫تكعيبي‬ ‫جذر‬ ‫يوجد‬
‫المعادلة‬= a3
x‫الصورة‬ ‫على‬ ‫ويكتب‬√a
3
‫تكعيبية‬ ‫جذور‬ ‫ثالثة‬ ‫هناك‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫في‬ ‫اما‬
‫ال‬ ‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫عن‬ ‫االن‬ ‫ولنبحث‬ ‫الحقيقي‬ ‫للعدد‬‫ح‬‫واليجاد‬ , ‫الصحيح‬ ‫الواحد‬ ‫وهو‬ ‫ابسطها‬ ‫ولنأخذ‬ ‫قيقي‬
:‫االتية‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ )‫(الثالثة‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬-
8-‫نفرض‬:= ‫العدد‬3
z1=3
z
2-: ‫نجعل‬8‫العدد‬ =-3
z= 01-3
z
7-‫المع‬ ‫نحل‬:‫مكعبين‬ )‫مجموع‬ ‫او‬ ‫(الفرق‬ ‫بـ‬ ‫ادلة‬
z3
– 1 = 0 ⇒ (z – 1)(z2
+ z +1) = 0
z – 1 = 0 ⇒ z = 1
z2
+ z +1 = 0 ⇒ z =
−1±√1−4
2
=
−1±√−3
2
=
−1±√3 i
2
4-:‫هي‬ ‫اعداد‬ ‫ثالثة‬ ‫فتكون‬ ‫النواتج‬ ‫نجد‬
1 ,
−1
2
+
√3
2
i ,
−1
2
−
√3
2
i
‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫خواص‬
8-‫العدد‬ ‫هو‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫الجذور‬ ‫احد‬8.‫مترافقان‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬ ‫هما‬ ‫االخران‬ ‫والجذران‬ ,
2-‫صفر‬ ‫تساوي‬ ‫الثالثة‬ ‫الجذور‬ ‫مجموع‬:
1 + )
−1
2
+
√3
2
i( + )
−1
2
−
√3
2
i( = 0
7-= ‫التخيليين‬ ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬8
)
−1
2
+
√3
2
i()
−1
2
−
√3
2
i( = 8
4-‫االخر‬ ‫التخيلي‬ ‫الجذر‬ = ‫التخيليين‬ ‫الجذرين‬ ‫احد‬ ‫مربع‬
(
−1
2
+
√3
2
i)2
=
−1
2
−
√3
2
i
(
−1
2
−
√3
2
i)2
=
−1
2
+
√3
2
i
‫التخيليين‬ ‫الجذرين‬ ‫الحد‬ ‫رمزنا‬ ‫فاذا‬(
−1
2
−
√3
2
i),(
−1
2
+
√3
2
i)‫بالرمز‬w( ‫اوميكا‬ ‫ويقرأ‬Omega)‫فان‬
‫هو‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬2
w‫الصورة‬ ‫على‬ ‫الصحيح‬ ‫للواحد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫كتابة‬ ‫يمكن‬ ‫ولذلك‬2
1 , w , w‫الجذور‬ ‫وهذه‬
:‫العالقتين‬ ‫تحقق‬
1- w3
= 1
2- 1 + w + w2
= 0
‫الخاصية‬ ‫ومن‬2:‫على‬ ‫نحصل‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬
1 + w = -w2
⇒ 1 + w2
= -w ⇒ w + w2
= -1 ⇒ w = -1 - w2
⇒ w2
= -1 - w ⇒ 1 = -w2
- w
2
w , w.‫مترافقان‬ ‫عددان‬
‫كان‬ ‫اذا‬ : ‫عامة‬ ‫وبصورة‬a‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬ ‫فان‬ , ‫حقيقيا‬ ‫عددا‬a:‫هي‬
√a
3
, √a
3
w , √a
3
w2
:‫مثال‬-
‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬0: ‫هي‬2
2 , 2w , 2w
‫للعدد‬ ‫التكعيبية‬ ‫الجذور‬1-: ‫هي‬2
w-w ,-1 ,-

‫قوى‬w:
w3
= 1 , w4
= w3
. w = w
w5
= w3
. w2
= w2
w6
= w3
. w3
= 1
‫قوى‬ ‫ان‬ ‫نجد‬ ‫وباالستمرار‬(w)‫القيم‬ ‫احدى‬ ‫تأخذ‬ ‫موجبة‬ ‫صحيحة‬ ‫السس‬2
1 , w , w‫زادت‬ ‫كلما‬ ‫القيم‬ ‫هذه‬ ‫وتتكرر‬
‫بمقدار‬ ‫المتتالية‬ ‫االسس‬7,:‫مثال‬-
w20
= w18
. w2
= (w3
)6
. w2
= w2
w100
= w99
. w = (w3
)33
. w = w
w3n
= (w3
)n
= 1 ‫صحيح‬ ‫عدد‬ n ‫حيث‬
w3n-1
= (w3
)n
.w-1
= w-1
=
1
w
=
w3
w
= w2
w-4
=
1
w4 =
1
w3 .w
=
1
w
= w2
‫كان‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬w‫بـ‬ ‫نضرب‬ ‫ان‬ ‫فيمكن‬ ‫سالب‬ ‫الس‬ ‫مرفوع‬w‫مضاعفات‬ ‫من‬ ‫موجب‬ ‫الس‬ ‫مرفوع‬
‫العدد‬3‫اس‬ ‫يساوي‬ ‫او‬ ‫اكبر‬w.
or w-4
= w6
. w-4
= w2
w-5
= w6
. w-5
= w
w-6
= w6
. w-6
= w0
= 1
w-20
= w21
. w-20
= w
w-31
= w33
. w-31
= w2
:‫ان‬ ‫بمعنى‬‫حيث‬n‫صحيح‬ ‫عدد‬r = 0 , 1 , 2,r
= w3n+r
w
:‫مثال‬
w33
= w3(11) + 0
= w0
= 1
w25
= w3(8) + 1
= w1
= w
w-58
= w3(-20) + 2
= w2
:‫ان‬ ‫بمعنى‬‫اس‬ ‫قسمة‬ ‫باقي‬w‫على‬3‫لـ‬ ‫الجديد‬ ‫االس‬ ‫هو‬w
‫مثال‬18/:‫قيمة‬ ‫جد‬
a) (3 + 2w + 2w2
)20
= [3 + 2(w + w2
)]20
‫مشترك‬ ‫عامل‬ 2 ‫نستخرج‬
= [3 + 2(-1)]20
w + w2
= -1 ‫نعوض‬
= [3 – 2]20
= 1
/‫مالحظة‬‫متشابهة‬ ‫المعامالت‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫فاننا‬‫نستخر‬‫مشترك‬ ‫عامل‬ ‫ج‬.
b) (1 - 3w - 3w2
)4
= [1 – 3(w + w2
)]4
= [1 – 3(w + w2
)]4
w + w2
= -1‫نعوض‬
= [1 – 3(-1)]4
= [1 + 3]4
= 44
= 256
c) (3 + 4w + 5w2
)2
/‫الحل‬‫نعوض‬w-1-=2
w
= [3 + 4w + 5(-1 – w)]2
= [3 + 4w - 5 – 5w]2
= [-2 - w]2
= 4 + 4w + w2
= 4(1 + w) + w2
1 + w = -w2
= 4(-w2
) + w2
= -4w2
+ w2
= -3w2

/‫مالحظة‬‫المعامالت‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬‫مختلفة‬‫فيمكن‬‫تحويل‬w‫الى‬2w.‫بالعكس‬ ‫او‬
‫مثال‬19/:‫ان‬ ‫اثبت‬
1) w7
+ w5
+ 1 = 0
L.H.S= w7
+ w5
+1= w6
. w + w3
. w2
+1 = w + w2
+ 1 = 0 = R.H.S
2) (5+3w+3w2
)2
= -4(2+w+2w2
)3
= 4
L.H.S = (5 + 3w + 3w2
)2
‫االيمن‬ ‫الطرف‬
= [5 + 3(w + w2
)]2
= [5 + 3(-1)]2
w + w2
= -1‫نعوض‬
= [5 - 3]2
= 22
= 4 = R.H.S
M.H.S = -4(2+w+2w2
)3
‫االوسط‬ ‫الطرف‬
= -4(w + 2 + 2w2
)3
= -4[(w + 2(1+ w2
)]3
1+w2
= -w ‫نعوض‬
= -4[(w + 2(-w)]3
= -4[w – 2w]3
= -4[-w]3
= -4[-1] = 4 = L.H.S = R.H.S
‫مثال‬21/‫كو‬:‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ن‬
1) 1 – iw , 1 - iw2
‫ثالث‬ ‫دور‬ 2882
(1 – iw) + (1 – iw2
) = 2 – iw – iw2
= 2 – i(w + w2
) = 2 – i(-1) = 2 + i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(1 – iw) (1 – iw2
) ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
=8 – iw – iw2
+ i2
w3
= 8 – iw – iw2
-1 = – iw – iw2
= – i(w + w2
) = – i(–1) = i
x2
– (2+i) x + i = 0 ‫المعادلة‬
2) 3w + w2
, w + 3w2
(3w + w2
) + (w + 3w2
) ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
= 4w + 4w2
= 4(w + w2
)= 4(-1) = -4
(3w + w2
)(w + 3w2
= 3w2
+ w3
+ 9w3
+ 3w4
= 3w2
+ 1 + 9 + 3w3
.w = 3w2
+ 10+ 3w
=10 + 3w + 3w2
= 10 + 3(w + w2
) = 10 + 3(-1) = 10 – 3 = 7
x2
+ 4x + 7= 0 ‫المعادلة‬
3) 1-2w , 1-2w2
(1-2w) + (1-2w2
) = 2 - 2w - 2w2
= 2 - 2(w + w2
) = 2 - 2(-1) = 4 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(1-2w)(1-2w2
= 1 –2w -2w2
+4w3
= 1 –2w -2w2
+ 4 = 5 – 2w – 2w2
= 5 – 2(w + w2
)
= 5 – 2(-1) = 7
x2
- 4x + 7= 0 ‫المعادلة‬
‫المثالين‬ ‫في‬ /‫مالحظة‬2‫و‬3‫المعادلة‬ ‫جذري‬ ‫فان‬ ‫حقيقيان‬ ‫عددان‬ ‫ضربهما‬ ‫وحاصل‬ ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
.‫مترافقان‬ ‫عددان‬

4) 2iw –
3w2
i
, 3iw –
2w2
i
/‫الحل‬:‫الكسور‬ ‫من‬ ‫لنتخلص‬ ‫الجذرين‬ ‫شكل‬ ‫نبسط‬
2iw –
3w2
0+i
.
0−i
0−i
= 2iw + 3iw2
‫االول‬ ‫الجذر‬
3iw –
2w2
0+i
.
0−i
0−i
= 3iw + 2iw2
‫الثاني‬ ‫الجذر‬
(2iw + 3iw2
) + (3iw + 2iw2
) = 5iw + 5iw2
= 5i(w + w2
)= 5i(-1) = –5i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(2iw+3iw2
)(3iw+2iw2
) = –6w2
– 4 – 9 – 6w = –13 – 6(w + w2
)= –13 + 6 = –7
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
+ 5ix – 7 = 0 ‫المعادلة‬
5)
2
1−w
,
2
1−w2
(
2
1−w
) + (
2
1−w2) =
2(1−w2)+ 2(1−w)
(1−w)(1−w2)
=
2−2w2+ 2−2w
(1−w)(1−w2)
=
4−2w2−2w
1−w−w2+1
=
4−2(w2+w)
2−(w+w2)
=
4+2
2+1
=
6
3
= 2 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(
2
1−w
)(
2
1−w2) =
4
1−w− w2+ 1
=
4
2−(w+ w2)
=
4
2+1
=
4
3
‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
– 2x +
4
3
= 0 ‫المعادلة‬
‫مثال‬21/‫قيمة‬ ‫جد‬
a + bw + cw2
b + cw + aw2
/‫الحل‬/‫مالحظة‬‫ي‬ ‫كسر‬ ‫الختصار‬‫ــ‬‫ت‬‫ــ‬‫ف‬‫ــ‬‫ق‬‫فاننا‬ )‫باشاراتها‬ ‫المعامالت‬ , ‫الحدود‬ ‫(عدد‬ ‫بـ‬ ‫مقامه‬ ‫مع‬ ‫بسطه‬
‫من‬ ‫الخالي‬ ‫الحد‬ ‫نضرب‬w‫بـ‬ ‫البسط‬ ‫في‬3w.‫االختصار‬ ‫فيتم‬
a + bw + cw2
b + cw + aw2 =
aw3+ bw + cw2
b + cw + aw2 =
w(aw2+ b + cw)
b + cw + aw2 = w
‫مثال‬22/‫كان‬ ‫اذا‬2
)
1
w
a+bi=(1+2w+,R∈a,b
8)‫ان‬ ‫برهن‬:= 12
+ b2
a
2)‫جذريها‬ ‫واحد‬ ‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫حدودها‬ ‫معامالت‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫كون‬a+bi.
/‫الحل‬
1) a + bi = (1 + 2w +
1
w
)2
= (1 + 2w +
w3
w
)2
= (1 + 2w + w2
)2
= (– w + 2w)2
= w2
∴ a + bi = w2
a2
+ b2
= a2
– b2
i2
= (a - bi)(a + bi)
‫ان‬ ‫بما‬w‫و‬2
w:‫مترافقان‬ ‫عددان‬
a2
+ b2
= w . w2
= w7
= 1
‫و‬‫قي‬ ‫عن‬ ‫بالتعويض‬ ‫الحل‬ ‫يمكن‬‫م‬2
w , w‫بـ‬)
−1
2
±
√3
2
i(
2)‫حقيقية‬ ‫اعداد‬ ‫المعامالت‬ ‫ان‬ ‫بما‬ً‫ا‬‫اذ‬‫مترافقان‬ ‫المعادلة‬ ‫جذري‬‫,فاذ‬‫كان‬ ‫ا‬‫االول‬ ‫الجذر‬2
w‫هو‬ ‫االخر‬ ‫الجذر‬ ‫فان‬w:
w + w2
= -1 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
w . w2
= 1 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- x + 1 = 0 ‫المعادلة‬

‫التمارين‬ ‫حلول‬3-1
1):‫صورة‬ ‫ابسط‬ ‫في‬ ‫االتية‬ ‫المقادير‬ ‫اكتب‬
a) w64
= w63
. w = (w3
)21
. w = w
b) w–325
= w327
. w–325
= w2
c)
1
(1+w−32)12 =
1
(1+w33.w−32)12 =
1
(1+w)12 =
1
(−w2)12 =
1
w24 = 1
d) (1+w2
)–4
= (-w)–4
=
1
(−w)4 =
1
w4 =
w6
w4 = w2
e) w9n+5
, n ∈ N ‫حيث‬
w9n+5
= w9n
. w5
= (w3
)3n
. w5
= w5
= w3
.w2
= w2
2)‫كو‬:‫جذراها‬ ‫التي‬ ‫التربيعية‬ ‫المعادلة‬ ‫ن‬
a) 1+w2
, 1+w
/‫الحل‬
(1+w2
) + (1+w) = 2 + w + w2
= 2 – 8 = 1 ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
(1+w2
)(1+w) = 1 + w2
+ w + w3
= 1 + w + w2
+ 1 = 2 + -1 = 1 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
- x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
b)
w
2−w2 ,
w2
2−w
(
w
2−w2) + (
w2
2−w
) ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
=
w(2−w) + w2(2−w2)
(2−w2)(2−w)
=
2w−w2+ 2w2−w4
4−2w2−2w+w3 =
2w+ w2−w
5−2w2−2w
=
w+ w2
5−2(w2+w)
=
−1
5+2
=
−1
7
(
w
2−w2)(
w2
2−w
=
w3
4−2w2−2w+w3=
1
5−2w2−2w
=
1
5−2(w2+w)
=
−1
5+2
=
1
7
x2
+
1
7
x +
1
7
= 0 ⇒ 7x2
+ x + 1 = 0 ‫المعادلة‬
c)
3i
w2 ,
−3w2
i
/‫الحل‬:‫الكسور‬ ‫من‬ ‫لنتخلص‬ ‫الجذرين‬ ‫شكل‬ ‫نبسط‬
3i
w2 .
w
w
= 3iw ‫االول‬ ‫الجذر‬
−3w2
i
.
−i
−i
= 3iw2
‫الثاني‬ ‫الجذر‬
(3iw + 3iw2
) = 3i(w + w2
) = -3i ‫الجذرين‬ ‫مجموع‬
3iw . 3iw2
= 9i2
w3
= –9 ‫الجذرين‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬
x2
+ 3ix – 9 = 0 ‫المعادلة‬

3): ‫كان‬ ‫اذا‬+ z + 1 = 02
z: ‫قيمة‬ ‫فجد‬
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8
/‫الحل‬‫قيمة‬ ‫نحسب‬z
z2
+ z + 1 = 0 a = 1 , b = 1 , c = 1
z =
−1±√1−4
2
=
−1±√−3
2
=
−1±√3 i
2
⇒ z =
−1
2
±
√3
2
i ⇒ z = w or w2
‫لتكن‬z = w
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8 =
1+3w10+3w11
1−3w7−3w8 =
1+3w+3w2
1−3w−3w2 =
1+3(w+w2)
1−3(w+w2)
=
1−3
1+3
=
−2
4
= −
1
2
‫لتكن‬2
z = w
1+3z10+3z11
1−3z7−3z8 =
1+3(w2)10+3(w2)11
1−3(w2)7−3(w2)8 =
1+3w20+3w22
1−3w14−3w16=
1+3w2+3w
1−3w2−3w
=
1+3(w2+w)
1−3(w2+w)
=
1−3
1+3
=
−2
4
= −
1
2
4):‫ان‬ ‫اثبت‬
a) (
1
2+w
−
1
2+w2)
2
= −
1
3
L.H.S = (
1
2+w
−
1
2+w2)
2
=(
(2+w2)− (2+w)
(2+w)(2+w2)
)
2
= (
w2− w
4+2w+2w2+w3)
2
=(
w2− w
5+2(w+w2)
)
2
=(
w2− w
5−2
)
2
=(
w2− w
3
)
2
=
w4− 2w3+w2
3
=
w+w2− 2
3
=
−3
9
=
−1
3
= R.H.S
b)
w14+w7−1
w10+w5−2
=
2
3
L.H.S =
w14+w7−1
w10+w5−2
=
w2+w−1
w+w2−2
=
−1−1
−1−2
=
−2
−3
=
2
3
= R.H.S
c) (1 −
2
w2 + w2
) (1 + w −
5
w
) = 18 ‫وزاري‬2884‫دور‬8
L.H.S = (1 −
2
w2 + w2
) (1 + w −
5
w
) = (1 −
2w3
w2 + w2
) (1 + w −
5w3
w
)
= (1 − 2w + w2)(1 + w − 5w2) = (−w − 2w)(−w2
− 5w2)
= (−3w)(−6w2) = 18 w3
= 18 = R.H.S
d) (1+ w2
)3
+ (1+ w)3
= -2
L.H.S = (1+ w2
)3
+ (1+ w)3
= (–w)3
+ (–w2
)3
= – w3
– w6
= – w3
– (w3
)2
= –1 – 1 = –2 = R.H.S
= 13
w
2
w–1+w =
w–=2
1+w

[ 1 – 7 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركبة‬ ‫لالعداد‬ ‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬
7 ]–[ 1‫الهندسي‬ ‫التمثيل‬:‫المركبة‬ ‫لالعداد‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫يعرف‬z‫الحقيقية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫انه‬ ‫على‬
(x,y)‫بالشكل‬ ‫ويكتب‬z(x,y)‫للعدد‬ )‫ارجاند‬ ‫(شكل‬ ‫الديكارتي‬ ‫الشكل‬ ‫ويسمى‬z‫المجموعة‬ ‫وتسمى‬ ,
ℂ = {(x, y) ∶ x , y ∈ R}‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬.
‫االزواج‬ ‫من‬ ‫منتهية‬ ‫غير‬ ‫مجموعة‬ ‫هي‬ ‫المجموعة‬ ‫هذه‬ ‫ان‬ ‫الواضح‬ ‫من‬
‫مركب‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫ونالحظ‬ , ‫المرتبة‬(x,y)‫في‬ ‫وحيدة‬ ‫نقطة‬ ‫تمثله‬
‫المحورين‬ ‫المتعامد‬ ‫المستوي‬)2
or E2
(R‫المستوي‬ ‫في‬ ‫نقطة‬ ‫كل‬ ‫ان‬ ‫كما‬
‫المركبة‬ ‫االعداد‬ ‫مجموعة‬ ‫بين‬ ‫تقابل‬ ‫هناك‬ ‫ان‬ ‫اي‬ ً‫ا‬‫وحيد‬ ً‫ا‬‫مركب‬ ً‫ا‬‫عدد‬ ‫تمثل‬
‫ومجموعة‬.‫المستوي‬ ‫نقط‬
‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫تمثيل‬ ‫ويمكن‬z = x+yi‫بالمتجه‬𝐎𝐏⃑⃑⃑⃑⃑⃑‫االصل‬ ‫نقطة‬ ‫من‬O(0,0)‫النقطة‬ ‫الى‬P(x,y)‫وذلك‬‫بتمثيل‬
‫الحقيقي‬ ‫الجزء‬x‫السينات‬ ‫محور‬ ‫على‬X-Axis‫التخيلي‬ ‫الجزء‬ ‫وتمثيل‬y‫الصادات‬ ‫محور‬ ‫على‬Y– Axis.
‫مثال‬23/:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫في‬ ‫هندسيا‬ ‫االتية‬ ‫العمليات‬ ‫مثل‬
1) (3 + 4i) + (5 + 2i)
(3 + 4i) + (5 + 2i) = 8 + 6i
‫مثلنا‬ ‫فاذا‬ , ‫متجهين‬ ‫جمع‬ ‫هو‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫جمع‬ ‫ان‬ /‫مالحظة‬
‫بالنقطتين‬ ‫مركبان‬ ‫عددان‬1P‫و‬2P‫مجموعهما‬ ‫فان‬ ‫المستوي‬ ‫في‬
‫بالنقطة‬ ‫يمثل‬3P‫االضالع‬ ‫لمتوازي‬ ‫الرابع‬ ‫الرأس‬
3,P2,P1O,P‫حيث‬O. ‫االصل‬ ‫نقطة‬
‫العدد‬ ‫نمثل‬3+4i‫بالنقطة‬(3,4)1P
‫العدد‬ ‫نمثل‬5+2i‫بالنقطة‬(5,2)2P
‫حيث‬ ‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫نكمل‬ ‫ثم‬𝐎𝐏 𝟏
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑,𝐎𝐏 𝟐
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑‫ضلعان‬
‫النقطة‬ ‫ونمثل‬ ‫متجاوران‬3P.‫العددين‬ ‫جمع‬ ‫ناتج‬
2) (6 - 2i) - (2 - 5i(
(6 - 2i) - (2 - 5i) = (6 - 2i) + (-2 + 5i)= 4 + 3i
‫جمع‬ ‫عملية‬ ‫انها‬ ‫على‬ ‫الطرح‬ ‫عملية‬ ‫تعرف‬
‫العدد‬ ‫نمثل‬2i-6‫بالنقطة‬2)-(6,1P
‫العدد‬ ‫نمثل‬i5+2-‫بالنقطة‬)5,2-(2P
‫الناتج‬ ‫فيكون‬ ‫االضالع‬ ‫متوازي‬ ‫نكمل‬𝐎𝐏 𝟑
⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑‫وهو‬‫جمع‬ ‫ناتج‬
‫العددين‬
y
x
O(0,0)
P(x,y)
y
x
O(0,0) 2)-(6,1P
2,5)-(2P
(4,3)3P
y
xO(0,0)
(5,2)2P
(3,4)1P
(8,6)3P

‫التمارين‬ ‫حلول‬4–1
1)‫مث‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫الجمعي‬ ‫النظير‬ ‫اكتب‬:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫الجمعية‬ ‫ونظائرها‬ ‫االعداد‬ ‫هذه‬ ‫ل‬
z1 = 2+3i , z2 = -1+3i , z3 = 1-i , z4 = i
z2 = -1+3i = (-1,3)
-z2 = 1-3i = (1,-3) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
z1 = 2+3i = (2,3)
-z1 = -2-3i = (-2,-3) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
z4 = i =0 + i = (0, 1)
-z4 = - i = 0 - i = (0,-1) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
z3 = 1- i = (1,-1)
-z3 = -1+ i = (-1,1) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
2)‫مث‬ ‫ثم‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫لكل‬ ‫المرافق‬ ‫العدد‬ ‫اكتب‬:‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫ومرافقاتها‬ ‫االعداد‬ ‫ل‬
z1 =3+3i , z2 =-7+2i , z3 =1-i , z4 = -2i
z2 = -3 + 2i = (-3, 2)
z2̅ = -3 - 2i = (-3,-2) ‫المرافق‬
z1 = 5 + 3i = (5, 3)
z1̅ = 5 - 3i = (5,-3) ‫المرافق‬
z4 = -2i = 0 - 2i = (0, -2)
z4̅ = 2i = 0 + 2i = (0,2) ‫المرافق‬
z3 = 1 - i = (1, -1)
z3̅ = 1 + i = (1,1) ‫المرافق‬
(-1,1)
(1,-1)
(5,-3)
(5, 3)
(-3,-2)
(-3, 2)
(1,-1)
(1, 1)
(0,-2)
(0, 2)
(-1,3)
(1,-3)
(0,-1)
(0, 1)
1z
1z-
(2,3)
(-2,-3)

3)‫كان‬ ‫اذا‬z = 4+2i‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬:z , z̅ , −z
/‫الحل‬
z = 4 + 2i = (4 , 2)
z̅ = 4 – 2i = (4 , -2) ‫المرافق‬
−z = -4 – 2i = (-4 , -2) ‫الجمعي‬ ‫النظير‬
4)‫كان‬ ‫اذا‬2i-= 41z,2i+1=2z:‫من‬ ً‫ال‬‫ك‬ ‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫على‬ ‫فوضح‬
-3z2 , 2z1 , z1 – z2 , z1 + z2
z1 = 4 - 2i
2z1 = 2(4 - 2i) = 8 - 4i = (8,-4)
z2 = 1 + 2i
-3z2 = -3(1 + 2i) = -3 -6i = (-3,-6)
z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i
z1 + z2 = (4 - 2i) + (1 + 2i)
= 5 - 0i = (5, 0)
z1 = 4 - 2i , z2 = 1 + 2i
z1 - z2 = (4 - 2i) – (1 + 2i)
= (4 - 2i) + (-1 - 2i) = 3 - 4i = (3,-4)
(4, -2)
(4, 2)
(-4, -2)
(-3,-6)
(3,-4)
(-1,-2)
(4,-2)
(4,-2)
(5, 0)
(1, 2)
(8,-4)

[ 1 – 8 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
8 ]–[ 1:‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لدينا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬z = x +yi‫بالنقطة‬ ‫ومثلناه‬P(x,y)‫فان‬
(r,θ)‫للنقطة‬ ‫القطبيان‬ ‫االحداثيان‬ ‫هما‬P‫حيث‬O)‫االصل‬ ‫(نقطة‬ ‫القطب‬ ‫تمثل‬‫و‬OX⃑⃑⃑⃑⃑.‫االبتدائي‬ ‫الضلع‬ ‫يمثل‬
‫يسمى‬r‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫مقياس‬z‫ويقرأ‬ ‫سالب‬ ‫غير‬ ‫حقيقي‬ ‫عدد‬ ‫وهو‬
(Mod z)‫له‬ ‫ويرمز‬‖z‖:‫حيث‬
r = ‖z‖ = √x2 + y2
‫المتجه‬ ‫يصنعها‬ ‫التي‬ ‫الزاوية‬ ‫قياس‬ ‫اما‬OP⃑⃑⃑⃑⃑‫الموجب‬ ‫االتجاه‬ ‫مع‬
‫لها‬ ‫ويرمز‬ ‫السينات‬ ‫لمحور‬θ:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫ايجادها‬ ‫ويتم‬
cos θ =
x
r
=
x
‖z‖
⇒ R(z) = x = r.cos θ
sin θ =
y
r
=
y
‖z‖
⇒ 𝐈(z) = y = r.sin θ
‫حيث‬:R(z)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫الحقيقي‬ ‫للجزء‬ ‫يرمز‬(z)
I(z)‫المركب‬ ‫للعدد‬ ‫التخيلي‬ ‫للجزء‬ ‫يرمز‬(z)
‫تسمى‬θ‫بالشكل‬ ‫وتكتب‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫القيمة‬θ = arg(z)‫الفترة‬ ‫الى‬ ‫تنتمي‬ ‫التي‬ ‫القيمة‬ ‫وهي‬
[0, 2π)‫اما‬ ,θ + 2nπ‫(حيث‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫فتسمى‬n)‫صحيح‬ ‫عدد‬.
:‫السعة‬ ‫ايجاد‬ ‫حول‬ ‫مالحظات‬-
8-.‫للدالة‬ ‫المطلقة‬ ‫القيمة‬ ‫من‬ )‫المنسبة‬ ‫(الزاوية‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫نحدد‬
2-‫الزاوية‬ ‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬ ‫نحدد‬θ.‫ارجاند‬ ‫شكل‬ ‫من‬ ‫او‬ ‫الدالة‬ ‫اشارة‬ ‫من‬
7-‫ربعية‬ ‫الزاوية‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬{0 ,
π
2
, π ,
3π
2
}‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬ ‫تحديد‬ ‫يتم‬ ‫وال‬ ‫االسناد‬ ‫زاوية‬ ‫تحديد‬ ‫يتم‬ ‫فال‬
.‫الزاوية‬
‫مثال‬24/:‫من‬ ‫لكل‬ ‫للسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫جد‬
1) z1 = 1- √3i
z1 = 1- √3i =(1,- √3)
Mod(z) = ‖z‖ = r = √x2 + y2 = √1 + 3 = 2 unit ‫المقياس‬ ‫نجد‬
cos θ =
x
‖z‖
=
1
2
, sin θ =
y
‖z‖
=
− √3
2
‫نجد‬‫االسناد‬ ‫زاوية‬
∴= ‫االسناد‬ ‫زاوية‬
𝝅
𝟑
: ‫الزاوية‬ ‫فيه‬ ‫تقع‬ ‫الذي‬ ‫الربع‬-θ‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
θ = arg(z) = 2π -
𝜋
3
=
5𝜋
3
𝜽
𝝅
𝟔
𝝅
𝟒
𝝅
𝟑
0
𝝅
𝟐
𝝅
𝟑𝝅
𝟐
sin
𝟏
𝟐
𝟏
√𝟐
√ 𝟑
𝟐
0 1 0 -1
cos √ 𝟑
𝟐
𝟏
√𝟐
𝟏
𝟐
1 0 -1 0
Y
XO
P(x,y)
θ
r
y
x
❶+, y+x
sin+ , cos+
‫االسناد‬ ‫زاوية‬ = ‫السعة‬
❷+, y–
x
sin+ , cos–
𝜃 = 𝜋 − ‫االسناد‬
❹–
, y+x
sin–
, cos+
𝜃 = 2𝜋 − ‫االسناد‬
❸–
, y–
x
sin–
, cos–
𝜃 = 𝜋 + ‫االسناد‬
‫العادية‬ ‫بالصيغة‬ ‫العدد‬ ‫نكتب‬
‫الديكارتية‬ ‫والصيغة‬

2) -1-i
z2 = -1- i =(-1, -1)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2 unit
cos θ =
x
‖z‖
=
−1
√2
, sin θ =
y
‖z‖
=
− 1
√2
𝝅
𝟒
,θ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬‫الثالث‬
θ = arg(z) = π +
𝜋
4
=
5𝜋
4
3) i
z3 = 0 + i =(0, 1)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √0 + 1 = 1 unit
cos θ =
x
‖z‖
= 0 , sin θ =
y
‖z‖
=
1
1
= 1
∴ θ =
𝜋
2
‫مثال‬25/‫كان‬ ‫اذا‬z‫مقياسه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬2‫وسعته‬
𝜋
6
‫للعدد‬ ‫الجبري‬ ‫الشكل‬ ‫جد‬ ,z.
/‫الحل‬
r = ‖z‖ = 2 , θ = arg(z) =
𝜋
6
‫نجد‬x‫من‬cos 𝛉:cos θ =
x
r
x = r . cos θ = 2 (cos
𝜋
6
) = 2 (
√3
2
) = √3
‫نجد‬y‫من‬sin 𝛉:sin θ =
y
r
y = r . sin θ = 2 (sin
𝜋
6
) = 2 (
1
2
) = 1
∴ z = x + yi = √3 + i
‫مثال‬26/‫االساسية‬ ‫سعته‬ ‫الذي‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫جد‬
𝜋
4
‫التخيلي‬ ‫وجزءه‬
1
√2
.
‫من‬sin θ‫المقياس‬ ‫نجد‬r:-sin θ =
y
r
r =
y
sin θ
. =
1
√2
sin
𝜋
4
=
1
√2
1
√2
= 1
‫من‬cos θ‫نجد‬x:-cos θ =
x
r
x = r.cos θ = 1 . cos
𝜋
4
= 1(
1
√2
) =
1
√2
z =
1
√2
+
1
√2
i ‫العدد‬ ∴

‫مثال‬27/:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬
1) -2+2i = (-2,2)
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √4 + 4 = √8 = 2 √2
cos θ =
x
r
=
−2
2√2
=
−1
√2
, sin θ =
y
r
=
2
2√2
=
1
√2
∴‫زاوية‬‫الاسناد‬=
𝝅
𝟒
,𝛉‫تقع‬‫في‬‫الربع‬‫الثاني‬
θ = arg(z) = π -
𝜋
4
=
3𝜋
4
:‫القطبية‬ ‫الصيغة‬-
z = r (cos θ + i sin θ) = 2√2 (cos
3𝜋
4
+ i sin
3𝜋
4
)
2) 2√3 - 2i = (2√3 , -2) ‫وزاري‬2882‫ثاني‬ ‫دور‬
r = Mod(z) = ‖z‖ = √x2 + y2 = √12 + 4 = √16 = 4
cos θ =
x
r
=
2√3
4
=
√3
2
, sin θ =
y
r
=
−2
4
=
−1
2
𝝅
𝟔
,𝛉‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫تقع‬
θ = arg(z) = 2π -
𝜋
6
=
11𝜋
6
z = r (cos θ + i sin θ) = 4 (cos
11𝜋
6
+ i sin
11𝜋
6
) ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
8)‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫ان‬z = 0.‫اتجاه‬ ‫له‬ ‫ليس‬ ‫الصفري‬ ‫المتجه‬ ‫الن‬ ‫وذلك‬ ‫معرفة‬ ‫غير‬
2)‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫بكتابة‬ ‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫لسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫من‬ ‫االفادة‬ ‫ممكن‬z = x+yi‫بصورة‬
‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫تسمى‬ ‫اخرى‬Polar form:‫يأتي‬ ‫وكما‬
∵ x = r cos θ , y = r sin θ
∴ z = r cos θ + i r sin θ
= r(cos θ + i sin θ)
z = ‖z‖[cos (arg z)+ i sin (arg z)] ‫أو‬
:‫حيث‬r = Mod(z) = ‖z‖,θ = arg(z)‫المركب‬ ‫العدد‬ ‫سعة‬ ‫هي‬z

‫مثال‬28/‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫االتية‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫عن‬ ‫عبر‬:
b) ia) 1
d) -ic) -1
:‫نضع‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ ‫السابق‬ ‫االستنتاج‬ ‫وبتطبيق‬
3 = 3 . 1 = 3(cos 0 + i sin 0)
-2 = 2 . (-1) = 2(cos 𝜋 + i sin 𝜋)
5i = 5 . i = 5(cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)
-7i = 7 .(-i) = 7(cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)
:‫نستنتج‬ ‫السابق‬ ‫المثال‬ ‫من‬-
 1 = (cos 0 + i sin 0)
 -1 = (cos 𝜋 + i sin 𝜋)
 i = (cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)
 -i = 1(cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)
(1, 0)
Pz1 = (1,0) = 1+0i
mod z1 = 1
arg z1 = 0
∴ z1 = 1(cos 0 + i sin 0)
(0, 1)
Pz2 = (0,1) = 0+1i
mod z2 = 0
arg z2 =
𝜋
2
∴ z2 = 1(cos
𝜋
2
+ i sin
𝜋
2
)
(-1, 0)
Pz3 = (-1,0) = -1+0i
mod z3 = 1
arg z3 = 𝜋
∴ z3 = 1(cos 𝜋 + i sin 𝜋) (0, -1)
Pz4 = (0,-1) = 0- i
mod z4 = 1
arg z4 =
3𝜋
2
∴ z4 = 1(cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
)

[ 1 – 9 ])‫المركبة‬ ‫(االعداد‬ ‫االول‬ ‫الفصل‬‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬‫ڤ‬‫ر‬
9 ]–[ 1:‫ديمواڤر‬ ‫مبرهنة‬1z,2z‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫تكتب‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬:
z1 = cos∅ + i sin∅
z2 = cosθ + i sinθ
‫نجد‬ ‫االن‬2z.1z:
z1 . z2 = (cos∅ + i sin∅)( cosθ + i sinθ)
= cosθ cos∅ + i cosθ sin∅ + i sinθ cos∅ - sinθ sin∅
z1 . z2 = (cosθ cos∅ - sinθ sin∅) + i (cosθ sin∅ + sinθ cos∅)
z1 . z2 = cos(θ + ∅) + i sin(θ + ∅)
‫كانت‬ ‫واذا‬θ = ∅:‫تصبح‬ ‫العالقة‬ ‫فان‬
z1 . z2 = cos(2θ) + i sin(2θ)
: ‫فان‬ ‫المثلثات‬ ‫قوانين‬ ‫خالل‬ ‫ومن‬
cos(2θ) + i sin(2θ) = (cosθ + i sinθ)2
:‫البرهان‬
R.H.S = (cosθ + i sinθ)2
= cos2
θ + 2i sinθ cosθ - sin2
θ
=(cos2
θ - sin2
θ) + i(2sinθ cosθ) = cos2θ + i sin2θ = L.H.S
:‫لتصبح‬ ‫ذلك‬ ‫تعميم‬ ‫ويمكن‬
‫مثال‬29/: ‫احسب‬-4
)
3𝜋
8
+ i sin
3𝜋
8
(cos
(cos
3𝜋
8
+ i sin
3𝜋
8
)4
= cos 4(
3𝜋
8
) + i sin4(
3𝜋
8
) = cos
3𝜋
2
+ i sin
3𝜋
2
= 0 + i(−1)
∴ (cos
3𝜋
8
+ i sin
3𝜋
8
)4
= −i
‫مثال‬78‫لكل‬ ‫انه‬ ‫بين‬ /N∈n,Rθ ∈: ‫فان‬nθi sin-nθcos=n
)θsini-θcos(
L.H.S = (cosθ - i sinθ)n
= [cosθ + i (-sinθ)]n
= [cos(−θ) + i sin(−θ)]n
‫وبجعل‬β = − θ: ‫العالقة‬ ‫تصبح‬
= [cos β + i sin β]n
= cos nβ + i sin nβ = cos (−nθ) + i sin (−nθ)
= cos nθ - i sin nθ = R.H.S
‫مثال‬31/‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫احسب‬‫ڤ‬‫ر‬11
(1 + i)
z = (1+ i) = (1 , 1)
‫للعدد‬ ‫للسعة‬ ‫االساسية‬ ‫والقيمة‬ ‫المقياس‬ ‫نجد‬z:
mod(z) = r = √2
cos θ =
1
√2
, sin θ =
1
√2
‫العدد‬ ‫نكتب‬z:‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
z = r )cos θ + i sin θ( θ =
𝝅
𝟒
‫لكل‬N∈n,Rθ ∈:‫فان‬nθi sin+nθcos=n
)θsin+ iθcos(
‫مبرهنة‬‫ديموا‬‫ڤ‬:‫ر‬‫لكل‬N∈n,Rθ ∈‫كان‬ ‫اذا‬)θ+ i sinθz = r(cos: ‫فان‬
zn
= rn
(cosθ + i sinθ)n
= rn
(cos nθ + i sin nθ)

z = √2 )cos
𝝅
𝟒
+ i sin
𝝅
𝟒
(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نطبق‬‫ڤ‬:‫ر‬
zn
= rn
(cos nθ + i sin nθ)
z11
= (√2)11
(cos
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
)
∴ z11
= (2)
11
2 (cos
𝟑 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟑 𝝅
𝟒
)
∴ z11
= (2)5
1
2 (
−1
√2
+
1
√2
i)
z11
= 32 √2 (
−1
√2
+
1
√2
i) = 32 (-1+ i)
∴ (1 + i)11
= 32 (-1+ i)
:‫االتي‬ ‫بالشكل‬ ‫العالقة‬ ‫هذه‬ ‫تعميم‬ ‫ويمكن‬
(cosθ + i sinθ)-n
= cos(nθ) - i sin(nθ)
‫مثال‬32/‫المعادلة‬ ‫حل‬+ 1 = 03
x,ℂ∈x
x3
+ 1 = 0 ⇒ x3
= -1
‫العدد‬ ‫عن‬ ‫نعبر‬-1‫المثال‬ ‫في‬ ‫سابقا‬ ‫مبين‬ ‫كما‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬20:
∴ x = (cos π + i sin π)
1
3
1
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫حسب‬‫ڤ‬:‫ر‬
θ = π , n = 3
∴ x = (cos
π+2πk
n
+ i sin
π+2πk
n
) k = 0 , 1 , 2
k = 0 ⇒ x = (cos
π
3
+ i sin
π
3
) =
1
2
+
√3
2
i
k = 1 ⇒ x = (cos π + i sin π)= −1 + i(0) = −1
k = 2 ⇒ x = (cos
5π
3
+ i sin
5π
3
) ‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬
𝟓𝛑
𝟑
‫الزاوية‬
x = cos (2π −
π
3
) + i sin (2π −
π
3
) = cos(
π
3
) − i sin(
π
3
) =
1
2
−
√3
2
i
∴: ‫هي‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫مجموعة‬{ −1 ,
1
2
+
√3
2
i ,
1
2
−
√3
2
i }
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬‫ڤ‬:‫ر‬‫لكل‬N , n > 1∈n,Rθ ∈:‫فان‬
√ 𝐳
𝐧
= 𝐫
𝟏
𝐧
𝟏
(𝐜𝐨𝐬
𝛉+𝟐𝛑𝐤
𝐧
+ 𝐢 𝐬𝐢𝐧
𝛉+𝟐𝛑𝐤
𝐧
)
‫حيث‬:k = 0 , 1 , 2 , … , n-1
‫الزاوية‬ ‫نحدد‬
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
‫االولى‬ ‫الدورة‬ ‫في‬
/‫مالحظة‬=
𝟑 𝝅
𝟒
𝟏𝟏 𝝅
𝟒
=
𝟖 𝝅
𝟒
+
𝟑 𝝅
𝟒
cos
3 π
4
= cos (π −
π
4
) = -cos
π
4
=
−𝟏
√𝟐
sin
3 π
4
= sin (π −
π
4
) = sin
π
4
=
𝟏
√𝟐
/‫مالحظة‬θi sin-θcos=)θ-(i sin+)θ-(cos=1-
)θsin+ iθcos(

‫مثال‬33/‫للمقدار‬ ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬ ‫اوجد‬(√3 + i)
2
.‫له‬ ‫الخمسة‬ ‫الجذور‬ ‫اوجد‬ ‫ثم‬
/‫الحل‬‫ليكن‬z = √3 + i
z = √3 + i = (√3 , 1)
‫و‬ ‫المقياس‬ ‫نجد‬‫ا‬‫للعدد‬ ‫لسعة‬z:
mod(z) = r = √3 + 1 = 2
cos θ =
√3
2
, sin θ =
1
2
, arg(z) =
π
6
∴ z = 2 )cos
π
6
+ i sin
π
6
( ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ z ‫العدد‬ ‫نكتب‬
‫نأخذ‬2
z‫وذلك‬‫ب‬‫مبرهنة‬ ‫تطبيق‬‫ديموا‬‫ڤ‬:‫ر‬
z2
= 22
)cos
π
6
+ i sin
π
6
(2
= 4 )cos
π
3
+ i sin
π
3
(
‫للعدد‬ ‫الخامس‬ ‫الجذر‬ ‫نأخذ‬2
z:‫فيصبح‬
z
2
5
2 = [4 (cos
π
3
+ i sin
π
3
)]
1
5
2 = 4
1
5
2 (cos
π
3
+ i sin
π
3
)
1
5
2
= √4
5
(cos
π
3
+ i sin
π
3
)
1
5
2
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫نتيجة‬ ‫نطبق‬‫ڤ‬‫ر‬:θ =
π
3
, n = 5
k = 0 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
π
15
+ i sin
π
15
)
k = 8 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
7π
15
+ i sin
7π
15
)
k = 2 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
13π
15
+ i sin
13π
15
)
k = 7 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
19π
15
+ i sin
19π
15
)
k = 4 ⇒ z
2
5
2 = √4
5
(cos
25π
15
+ i sin
25π
15
) = √4
5
(cos
5π
3
+ i sin
5π
3
)
)‫(اثرائي‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫ضرب‬
: ‫كان‬ ‫اذا‬)θ1+ i sinθ1(cos1= r1z‫و‬)θ2+ i sinθ2(cos2= r2z
: ‫فان‬
z1 . z2 = r1. r2[cos(θ1+θ2)+ i sin(θ1+θ2)]
/‫مثال‬‫كان‬ ‫اذا‬)
π
6
+ i sin
π
6
(cos2=1z‫و‬)
2π
3
+ i sin
2π
3
(cos7=2z‫ناتج‬ ‫اوجد‬2. z1z‫ثم‬
.‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الناتج‬ ‫اكتب‬
/‫الحل‬
z1 . z2= 2(3)[cos(
π
6
+
2π
3
)+ i sin(
π
6
+
2π
3
)] = 6 [cos(
5π
6
)+ i sin(
5π
6
)] ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
= 6 [−
√3
2
+ i (
1
2
)] = −3√3 + 3i ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬
‫المثال‬ ‫صيغة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫يمكن‬ /‫مالحظة‬: ‫يلي‬ ‫كما‬‫المقدار‬ ‫اوجد‬(√3 + i)
2
5

)‫(اثرائي‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫مركبين‬ ‫عددين‬ ‫قسمة‬
: ‫كان‬ ‫اذا‬)θ1+ i sinθ1(cos1= r1z‫و‬)θ2+ i sinθ2(cos2= r2z
: ‫فان‬
z1
z2
=
r1
r2
[cos(θ1-θ2)+ i sin(θ1-θ2)]
‫كان‬ ‫اذا‬ /‫مثال‬)
5π
6
+ i sin
5π
6
= 4(cos1z,)
π
6
+ i sin
π
6
(cos7=2z‫ناتج‬ ‫اوجد‬
z1
z2
‫اكتب‬ ‫ثم‬
.‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬ ‫الناتج‬
/‫الحل‬
z1
z2
=
4
3
[cos(
5π
6
-
π
6
)+ i sin(
5π
6
-
π
6
)] =
4
3
[cos(
4π
6
)+ i sin(
4π
6
)]
=
4
3
[cos(
2π
3
)+ i sin(
2π
3
)] ‫القطبية‬ ‫الصيغة‬
z1
z2
=
4
3
[-cos(
π
3
)+ i sin(
π
3
)] =
4
3
(
−1
2
+
√3
2
i) = −
2
3
+
2
√3
i ‫الجبرية‬ ‫الصيغة‬
‫التمارين‬ ‫حلول‬5-1
8-:‫يأتي‬ ‫ما‬ ‫أحسب‬
a) [cos
5
24
𝜋 + i sin
5
24
𝜋]
4
= cos 4 (
5𝜋
24
) + i sin 4 (
5π
24
) = cos (
5𝜋
6
) + i sin (
5π
6
)
= cos (𝜋 −
𝜋
6
) + i sin (𝜋 −
𝜋
6
) = −cos (
𝜋
6
) + i sin (
𝜋
6
) = −
√3
2
+ 1
2
i
b) [cos
7
12
𝜋 + 𝑖 sin
7
12
𝜋]
−3
= cos 3 (
7𝜋
12
) − i sin 3 (
7π
12
) = cos (
7𝜋
4
) − i sin (
7π
4
)
= cos (2𝜋 −
𝜋
4
) − i sin (2𝜋 −
𝜋
4
) = cos (
𝜋
4
) + i sin (
𝜋
4
) =
1
√2
+
1
√2
i
2-‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫باستخدام‬ ‫احسب‬‫ڤ‬:‫يأتي‬ ‫ما‬ )‫التعميم‬ ‫(او‬ ‫ر‬
a) (1 – i)7
8 ‫دور‬ 2882 ‫وزاري‬ , 2887 ‫تمهيدي‬
/‫الحل‬‫العدد‬ ‫نكتب‬(1-i):‫والسعة‬ ‫المقياس‬ ‫بايجاد‬ ‫وذلك‬ ‫القطبية‬ ‫بالصيغة‬
z = 1 – i = (1,-1) ‫ليكن‬
r = Mod(z) = √x2 + y2 = √1 + 1 = √2unit
cos θ =
x
r
=
1
√2
, sin θ =
y
r
=
−1
√2
𝝅
𝟒
‫الرابع‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫يقع‬ ‫العدد‬ ,
∴ θ = arg(z) = 2𝜋 −
𝜋
4
=
7𝜋
4
z = √2 )cos
𝟕𝝅
𝟒
+ i sin
𝟕𝝅
𝟒
(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫ڤ‬:‫ر‬
z7
= (√2)7
(cos
𝟕 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟕 𝝅
𝟒
)7
= (√2)7
(cos
𝟒𝟗 𝝅
𝟒
+ i sin
𝟒𝟗 𝝅
𝟒
)

z7
= 8√2 (cos
𝝅
𝟒
+ i sin
𝝅
𝟒
)
z7
= 8√2 (
1
√2
+
1
√2
i)
∴ (1 - i)7
= 8 + 8 i
:‫مبين‬ ‫كما‬ ‫االسهل‬ ‫الحل‬ ‫فيكون‬ "‫ديمواڤر‬ ‫مبرهنة‬ ‫"باستخدام‬ ‫السؤال‬ ‫في‬ ‫يحدد‬ ‫لم‬ ‫اذا‬ /‫مالحظة‬
(1 - i)7
= [(1 - i)2
]3
(1- i) = (1 - 2i - 1)3
(1- i) = (-2i)3
(1- i) = -8 i3
(1- i)
= 8i (1- i) = 8 + 8i
b) (√3 + i)-9
‫ثاني‬ ‫دور‬ 2887 ‫وزاري‬
/‫الحل‬
z = √3 + i = (√3, 1) ‫ليكن‬
r = Mod(z) = √x2 + y2 = √3 + 1 = 2unit
cos θ =
x
r
=
√3
2
, sin θ =
y
r
=
1
2
𝝅
𝟔
‫العدد‬ ,‫االول‬ ‫الربع‬ ‫في‬ ‫يقع‬
∴ θ = arg(z) =
𝜋
6
z = 2 )cos
𝝅
𝟔
+ i sin
𝝅
𝟔
(
‫ديموا‬ ‫مبرهنة‬ ‫حسب‬‫ڤ‬:‫ر‬
z-9
= (2)-9
(cos
𝝅
𝟔
+ i sin
𝝅
𝟔
)-9
= (
1
29) (cos
𝟗𝝅
𝟔
- i sin
𝟗𝝅
𝟔
) =
1
512
(cos
𝟑𝝅
𝟐
- i sin
𝟑𝝅
𝟐
)
z-9
=
1
512
(0 – (-i)) =
1
512
i
7-‫ما‬ ‫بسط‬:‫يأتي‬
a)
(cos2θ + i sin 2θ)5
(cos3θ + i sin 3θ)3 =
[(cos θ + i sin θ)2]
5
[(cos θ + i sin θ)3]3 =
(cos θ + i sin θ)10
(cos θ + i sin θ)9 = cos θ + i sin θ
b) (cosθ + i sinθ)8
(cosθ - i sinθ)4
…..
‫بطريقتين‬
/‫الحل‬:‫االولى‬ ‫الطريقة‬
(cosθ + i sinθ)8
(cosθ - i sinθ)4
= (cosθ + i sinθ)8
(cosθ + i sinθ)-4
= (cosθ + i sinθ)4
= cos4θ + i sin4θ
:‫الثانية‬ ‫الطريقة‬
(cosθ + i sinθ)8
(cosθ - i sinθ)4
= (cos 8θ + isin 8θ)(cos4θ + isin 4θ)
=(cos 8θ cos 4θ + i cos 8θ sin 4θ + i cos 4θ sin 8θ + i2
sin 8θ sin 4θ)
=(cos 8θ cos 4θ − sin 8θ sin 4θ + i (cos 8θ sin 4θ + cos 4θ sin 8θ))
=(cos(8θ − 4θ) + i ( sin 8θ − 4θ)) = cos4θ + i sin4θ
Hint: x4
y4
= (x.y)4
/‫مالحظة‬
49 𝜋
4
=
49 𝜋
4
− 12 𝜋 =
𝝅
𝟒
√2= 8(√2)6
(√2)=7
(√2)

ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق

ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق

Empfohlen

Empfohlen

Weitere ähnliche Inhalte

Was ist angesagt?

Was ist angesagt? (20)

Andere mochten auch

Andere mochten auch (16)

Ähnlich wie ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق

Ähnlich wie ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق (20)

Kürzlich hochgeladen

Kürzlich hochgeladen (11)

ملزمة رياضيات سادس علمي _ العراق