Silabus mata kuliah Aljabar Linier mencakup bab-bab tentang matriks dan operasinya, determinan matriks, sistem persamaan linear, vektor di bidang dan ruang, ruang vektor, ruang hasil kali dalam, dan transformasi linear. Referensi utama meliputi buku-buku tentang aljabar linier dan matematika lanjutan.
2. Silabus:
Bab I Matriks dan Operasinya
Bab II Determinan Matriks
Bab III Sistem Persamaan Linear
Bab IV Vektor di Bidang dan di Ruang
Bab V Ruang Vektor
Bab VI Ruang Hasil Kali Dalam
Bab VII Transformasi Linear
Bab VIII Ruang Eigen
3. REFERENSI :
• Anton H., Rorres, C., 1995, Elementary Linear Algebra :
Applications V
ersion, 11th edition, John Willey and Sons,
New Y
ork
• Durbin, J. R., 1992, ModernAlgebra : An Introduction,
3rd edition, John Willey and Sons, Singapore
• Kreyszig E., , 1993, Advanced Enginereeng Mathematics,
8th edition, John Willey & Sons, Toronto
• Leon, S. J., 2001, Aljabar Linear dan Aplikasinya,
terjemahan Penerbit Erlangga, Jakarta
4. 1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan
• Matriks dan Jenisnya
• Operasi Matriks
• Operasi Baris Elementer
• Matriks Invers (Balikan)
Beberapa Aplikasi Matriks
➢ Representasi image (citra)
➢ Chanel/Frequency assignment
➢ Operation Research
➢ dan lain-lain.
5. 1. Matriks dan Jenisnya
Notasi Matriks
Matriks A berukuran (Ordo) mxn
=
m m mn
n
n
a a a
a a a
a a a
A
1 2
21 22 2
11 12 1 Baris pertama
Unsur / entri /elemen ke-mn
(baris m kolom n)
Kolom kedua
6. Misalkan A dan B adalah matriks berukuran sama
A dan B dikatakan sama (notasi A = B)
jika
aij
= bij
untuk setiap i dan j
Jenis-jenis Matriks
• Matriks bujur sangkar (persegi)
➔ Matriks yang jumlah baris dan jumlah
kolomnya adalah sama (n x n)
Contoh :
=
0 1 2
1 2 1
2 1 0
B
Unsur diagonal
7.
=
0 0 8
0 1 7
5 9 3
E
Matriks segi tiga
Ada dua jenis, yaitu matriks segitiga atas dan
bawah
• Matriks segi tiga atas
• Matriks segi tiga bawah
=
3 0 2
5 1 0
2 0 0
F
➔ Matriks yang semua unsur dibawah unsur diagonal pada
kolom yang bersesuaian adalah nol.
➔ Matriks yang semua unsur diatas unsur diagonal pada
kolom yang bersesuaian adalah nol.
8. • Matriks Diagonal
Matriks bujur sangkar dimana setiap unsur
yang bukan merupakan unsur diagonal
adalah nol
• Matriks satuan (Identitas)
Matriks diagonal dimana setiap unsur
diagonalnya adalah satu.
=
0 0 1
0 2 0
3 0 0
D
=
0 0 1
0 1 0
1 0 0
I
9. • Transpos Matriks
Matriks transpos diperoleh dengan menukar
baris matriks menjadi kolom seletak, atau sebaliknya.
Notasi At (hasil transpos matriks A)
Contoh :
maka
Jika matriks A = At maka matriks A dinamakan
matriks Simetri.
Contoh :
=
-1 0
3 - 2
2 1
A
=
1 - 2 0
t
2 3 -1
A
=
1 3
2 1
A
10. 2. Operasi Matriks
Beberapa Operasi Matriks yang perlu diketahui :
1. Penjumlahan Matriks
2. Perkalian Matriks
• Perkalian skalar dengan matriks
• Perkalian matriks dengan matriks
3. Operasi Baris Elementer (OBE)
11. • Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat
dijumlahkan
Contoh
• a.
• b.
c d
a b
+
g h
e f
+ +
+ +
=
c g d h
a e b f
3 4
1 2
+
7 8
5 6
=
10 12
6 8
12. Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :
• Perkalian Matriks dengan Matriks
Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn
Syarat : A X B haruslah q = m
hasil perkalian AB berordo pxn
B X A haruslah n = p
hasil perkalian BA berordo mxq
Contoh :
Diketahui
dan
r s
p q
k
=
k r k s
k p k q
d e f
2x3
a b c
A
=
r u
3x2
q t
p s
B
=
AXB → Kolom A=Baris B. →Hasil kali berordo pxn
BXA → Kolom B=Baris A . →Hasil berordo mxq
15. Sifat-Sifat Operasi Matriks
• Misalkan A, B, C adalah matriks berukuran
sama dan a, b merupakan unsur bilangan
skalar (Riil),
• Maka operasi matriks memenuhi sifat
berikut :
1. A + B = B + A
2. A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
3. A(BC) = (AB)C
4. A(B C) = AB AC
5. (B C)A = BA CA
6. a(B C) = aB aC
7. (a b)C = aC bC
8. a(bC) = (ab)C
9. a(BC) = (aB)C = B(aC)
16. Sifat-Sifat Operasi Matriks
✓ A, O merepresentasikan matriks
✓ O adalah matriks nol (semua entrinya = nol)
1. A + O = O + A = A
2. A – A = O
3. O – A = – A
4. AO = O; OA = O
17. OBE (Operasi Baris Elementer)
• OBE adalah suatu operasi yang diterapkan pada
baris matriks. OBE bisa digunakan untuk
menentukan invers suatu matriks dan
menyelesaikan SPL
• Tujuan dari OBE adalah membentuk matriks
eselon baris atau eselon baris terekdusi.
• Apa itu eselon baris? Eselon baris tereduksi?
18. • Beberapa definisi yang perlu diketahui :
• Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol,
karena pada kedua baris tersebut memuat unsur
tak nol.
• Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada
baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada
baris masing-masing.
• Bilangan 1 (pada baris pertama kolom pertama)
dinamakan satu utama.
• Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap
unsur pada baris ke-3 adalah nol.
−
=
0 0 0 0
0 0 3 1
1 1 1 3
B
19. Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama
adalah 1 (dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah
memuat 1 utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol),
maka ia diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka
unsur yang lainnya adalah nol.
▪ Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi
sifat 1, 2, dan 3.
▪ Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika
dipenuhi semua sifat
20. Kesimpulan mengenai eselon baris dan eselon
baris tereduksi:
• Apabila matriks dalam bentuk eselon baris harus
mempunyai nol di bawah setiap 1 utama
• Matriks eselon baris tereduksi harus mempunyai
nol di atas dan di bawah masing masing 1 utama
21. • Contoh:
Tentukan matriks berikut ke dalam Matriks Eselon Baris (MEB)
atau Matriks Eselon Baris Tereduksi (MEBT)
A=
B =
C =
D =
E =
F =
22. • Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan
konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris
yang lain.
Note : Simbol yang digunakan untuk ketiga operasi
1. Operasi 1, simbolnya 𝒃𝒊↔ 𝒃𝒋
2. Operasi 2, simbolnya 𝒌𝒃𝒊
3. Operasi 3, simbolnya 𝒌𝒃𝒊+ 𝒃𝒋
27. Perhatikan hasil OBE tadi :
Setiap baris mempunyai satu utama.
Tidak setiap kolom memiliki satu utama, karena
jumlah baris lebih sedikit dari jumlah kolom
(kolom 4 tidak mempunyai satu utama)
0 0 1 3
0 1 0 2
1 0 0 1
28. Invers Matriks
Misalkan A adalah matriks bujur sangkar.
B dinamakan invers dari A jika dipenuhi
A B = I dan B A = I
Sebaliknya, A juga dinamakan invers dari B.
Notasi A = B-1
Cara menentukan invers suatu matriks A adalah
Jika OBE dari A tidak dapat menghasilkan
matriks identitas maka A dikatakan tidak punya
invers
(A|I)
OBE
~ (I |A
−1
)
32. 1
A
−1
k
Berikut ini adalah sifat-sifat matriks invers :
i. (A-1)-1 = A
ii. Jika A, B dapat dibalik atau memiliki invers
maka (A . B)-1 = B-1 . A-1
iii. Misal k Riil maka (kA)-1 =
iv. Akibat dari (ii) maka (An)-1 = (A-1)n
33. Latihan
Diketahui
, dan
Tentukan (untuk no 1 – 4) matriks hasil operasi berikut ini :
1. AB
2. 3CA
3. (AB)C
4. (4B)C + 2C
= −
1 1
1 2
3 0
A
−
=
0 2
4 1
B
=
3 1 5
1 4 2
C
34. Untuk Soal no. 5 – 7, Diketahui :
dan
5. Tentukan : D + E2 (dimana E2 = EE)
6. Tentukan matriks bentuk eselon baris tereduksi
dari A, B, C, D, dan E
7. Tentukan matriks invers dari D dan E (jika ada)
=
0 1 2
1 2 1
2 1 0
D
−
−
=
4 4 1
0 1 0
3 2 0
E
